专题07 二次函数综合及实际应用（含压轴题，41题）（陕西专用）-【好题汇编】5年（2021-2025）中考1年模拟数学真题分类汇编

专题07 二次函数综合及实际应用（含压轴题，41题） 一、单选题 1．（2025·陕西·中考真题）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴有两个交点，且这两个交点分别位于轴两侧，则下列关于该函数的结论正确的是（    ） A．图象的开口向下 B．当时，的值随值的增大而增大 C．函数的最小值小于 D．当时， 【答案】D 【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，由二次函数图象与x轴有两个交点且位于y轴两侧，说明对应方程的两根异号，即常数项与二次项系数符号相反，结合开口方向、顶点坐标及特定点函数值分析选项即可. 【详解】解：由题意可得：方程的两根异号， ∴， 解得， ∴二次项系数，开口向上，故A不符合题意； ∵的对称轴为直线， ∴当时，y随x增大而增大，故B不符合题意； ∵当时，， ∴最小值为，故C不符合题意； 当时，， ∵， ∴此时，故D符合题意； 故选：D 2．（2024·陕西·中考真题）已知一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值如下表， x … 0 3 5 … y … 0 … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（ 　　 ） A．图象的开口向上 B．当时，y的值随x的值增大而增大 C．图象经过第二、三、四象限 D．图象的对称轴是直线 【答案】D 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质．先利用待定系数法求得二次函数解析式，再根据二次函数的性质逐一判断即可． 【详解】解：由题意得，解得， ∴二次函数的解析式为， ∵， ∴图象的开口向下，故选项A不符合题意； 图象的对称轴是直线，故选项D符合题意； 当时，y的值随x的值增大而增大，当时，y的值随x的值增大而减小，故选项B不符合题意； ∵顶点坐标为且经过原点，图象的开口向下， ∴图象经过第一、三、四象限，故选项C不符合题意； 故选：D． 3．（2023·陕西·中考真题）在平面直角坐标系中，二次函数（为常数）的图像经过点，其对称轴在轴左侧，则该二次函数有（    ） A．最大值 B．最大值 C．最小值 D．最小值 【答案】D 【分析】将代入二次函数解析式，进而得出的值，再利用对称轴在轴左侧，得出，再利用二次函数的顶点式即可求出二次函数最值． 【详解】解：将代入二次函数解析式得：，解得：，， ∵二次函数，对称轴在轴左侧，即， ∴， ∴， ∴， ∴当时，二次函数有最小值，最小值为， 故选：． 【点睛】此题主要考查了二次函数的性质以及二次函数的最值，正确得出的值是解题关键． 4．（2022·陕西·中考真题）已知二次函数y=x2−2x−3的自变量x1，x2，x3对应的函数值分别为y1，y2，y3．当−1<x1<0，1<x2<2，x3>3时，y1，y2，y3三者之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求得抛物线的对称轴为直线x=1，抛物线与x轴的交点坐标，画出草图，利用数形结合，即可求解． 【详解】解：y=x2−2x−3=(x-1)2-4， ∴对称轴为直线x=1， 令y=0，则(x-1)2-4=0， 解得x=-1或3， ∴抛物线与x轴的交点坐标为(-1，0)，(3，0)， 二次函数y=x2−2x−3的图象如图： 由图象知． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．利用数形结合解题是关键． 5．（2021·陕西·中考真题）下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值： … -2 0 1 3 … … 6 -4 -6 -4 … 下列各选项中，正确的是 A．这个函数的图象开口向下 B．这个函数的图象与x轴无交点 C．这个函数的最小值小于-6 D．当时，y的值随x值的增大而增大 【答案】C 【分析】利用表中的数据，求得二次函数的解析式，再配成顶点式，根据二次函数的性质逐一分析即可判断． 【详解】解：设二次函数的解析式为， 依题意得：，解得：， ∴二次函数的解析式为=， ∵， ∴这个函数的图象开口向上，故A选项不符合题意； ∵， ∴这个函数的图象与x轴有两个不同的交点，故B选项不符合题意； ∵，∴当时，这个函数有最小值，故C选项符合题意； ∵这个函数的图象的顶点坐标为(，)， ∴当时，y的值随x值的增大而增大，故D选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数的性质，利用二次函数的性质解答是解题关键． 二、解答题 6．（2025·陕西·中考真题）某景区大门上半部分的截面示意图如图所示，顶部，左、右门洞，均呈抛物线型，水平横梁，的最高点到的距离，，关于所在直线对称．，，为框架，点，在上，点，分别在，上，，，．以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的函数表达式； (2)已知抛物线的函数表达式为，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，二次函数的解析式，因式分解法进行解方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，先设抛物线的函数表达式为，结合二次函数的对称性得，再代入进行求解，即可作答． （2）理解题意，得出，再结合抛物线，的函数表达式分别为，，代入，整理得，再解方程，可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的函数表达式为， ∵， ∴结合二次函数的对称性得， 将代入， 得 则， ∴； （2）解：由（1）得抛物线的函数表达式， ∵，，．，且抛物线的函数表达式为， ∴， 整理得， ∴， ∴， 解得， ∴． 7．（2024·陕西·中考真题）一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥．桥梁的缆索与缆索均呈抛物线型，桥塔与桥塔均垂直于桥面，如图所示，以O为原点，以直线为x轴，以桥塔所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．      已知：缆索所在抛物线与缆索所在抛物线关于y轴对称，桥塔与桥塔之间的距离，，缆索的最低点P到的距离（桥塔的粗细忽略不计） (1)求缆索所在抛物线的函数表达式； (2)点E在缆索上，，且，，求的长． 【答案】(1)； (2)的长为． 【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数解析式，根据题意求得函数解析式是解题的关键． （1）根据题意设缆索所在抛物线的函数表达式为，把代入求解即可； （2）根据轴对称的性质得到缆索所在抛物线的函数表达式为，由，把代入求得，，据此求解即可． 【详解】（1）解：由题意得顶点P的坐标为，点A的坐标为， 设缆索所在抛物线的函数表达式为， 把代入得， 解得， ∴缆索所在抛物线的函数表达式为； （2）解：∵缆索所在抛物线与缆索所在抛物线关于y轴对称， ∴缆索所在抛物线的函数表达式为， ∵， ∴把代入得，， 解得，， ∴或， ∵， ∴的长为． 8．（2023·陕西·中考真题）某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型门，并要求所设计的拱门的跨度与拱高之积为，还要兼顾美观、大方，和谐、通畅等因素，设计部门按要求价出了两个设计方案，现把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中，如图所示： 方案一，抛物线型拱门的跨度，拱高其中，点在轴上，． 方案二，抛物线型拱门的跨度，拱高其中，点在轴上，． 要在拱门中设置高为的矩形框架，其面积越大越好（框架的粗细忽略不计），方案一中，矩形框架的面积记为，点、在抛物线上，边在上；方案二中，矩形框架的面积记为，点在抛物线上，边在上，现知，小华已正确求出方案二中，当时，，请你根据以上提供的相关信息，解答下列问题： (1)求方案一中抛物线的函数表达式； (2)在方案一中，当时，求矩形框架的面积并比较的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，求出函数关系式． （1）由题意知抛物线的顶点，设顶点式用待定系数法可得方案一中抛物线的函数表达式； （2）令可得或，故；再比较的大小即可． 【详解】（1）解：由题意知，，， 方案一中抛物线的顶点， 设抛物线的函数表达式为， 把代入得，， 解得：， ， 方案一中抛物线的函数表达式为； （2）解：在中， 令得：； 解得或， ， ， ， ． 9．（2022·陕西·中考真题）现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段表示水平的路面，以O为坐标原点，以所在直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．根据设计要求：，该抛物线的顶点P到的距离为． (1)求满足设计要求的抛物线的函数表达式； (2)现需在这一隧道内壁上安装照明灯，如图所示，即在该抛物线上的点A、B处分别安装照明灯．已知点A、B到的距离均为，求点A、B的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，设抛物线的函数表达式为，再代入（0，0），求出a的值即可； （2）根据题意知，A，B两点的纵坐标为6，代入函数解析式可求出两点的横坐标，从而 可解决问题． 【详解】（1）依题意，顶点， 设抛物线的函数表达式为， 将代入，得．解之，得． ∴抛物线的函数表达式为． （2）令，得． 解之，得． ∴． 【点睛】本题考查了运用待定系数法求二次函数的解析式的运用，由函数值求自变量的值的运用，解答时求出二次函数的解析式是关键． 10．（2021·陕西·中考真题）问题提出 （1）如图1，在中，，，，E是的中点，点F在上且求四边形的面积．（结果保留根号） 问题解决 （2）某市进行河滩治理，优化美化人居生态环境．如图2所示，现规划在河畔的一处滩地上建一个五边形河畔公园按设计要求，要在五边形河畔公园内挖一个四边形人工湖，使点O、P、M、N分别在边、、、上，且满足，．已知五边形中，，，，，．满足人工湖周边各功能场所及绿化用地需要，想让人工湖面积尽可能小．请问，是否存在符合设计要求的面积最小的四边形人工湖？若存在，求四边形面积的最小值及这时点到点的距离；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）存在符合设计要求的四边形面积的最小值为，这时，点N到点A的距离为． 【分析】（1）在中，设边上的高为h，根据题意求出h的值，，计算即可； （2）存在．如图，分别延长与，交于点F，则四边形是矩形． 设，则， ， ，，在根据列出关于x的一元二次方程，根据二次函数最值得方法求解即可． 【详解】解：（1）在中，设边上的高为h． ∵，，∴ ∵，∴点到的距离为． ∴ ． （2）存在．如图，分别延长与，交于点F，则四边形是矩形． 设，则 ， ， ，． 由题意，易知， ∴ ． ∴当时，． ，． ∴符合设计要求的四边形面积的最小值为， 这时，点N到点A的距离为． 【点睛】本题主要考查平行四边形性质，运用锐角三角函数求边长，根据二次函数图像求最值问题，正确列出所求图形面积的式子是解题关键． 11．（2021·陕西·中考真题）已知抛物线与x轴交于点A、B（其中A在点B的左侧），与y轴交于点C． （1）求点B、C的坐标； （2）设点与点C关于该抛物线的对称轴对称在y轴上是否存在点P，使与相似且与是对应边？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），；（2）存在，或． 【分析】(1)令y=0,求的根即可；令x=0,求得y值即可确定点C的坐标； （2）确定抛物线的对称轴为x=1,确定的坐标为（2，8），计算C=2，利用直角相等，两边对应成比例及其夹角相等的两个三角形相似，分类求解即可. 【详解】解：（1）令，则， ∴， ∴． 令，则． ∴． （2）存在．由已知得，该抛物线的对称轴为直线． ∵点与点关于直线对称， ∴，． ∴． ∵点P在y轴上， ∴ ∴当时，． 设， i）当时，则， ∴． ∴ ii）当时，则， ∴ ∴． iii）当时，则，与矛盾． ∴点P不存在 ∴或． 【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，对称轴的意义，三角形相似的判定和性质，熟练掌握二次函数的性质，灵活运用三角形的相似和进行一元二次方程根的求解是解题的关键． 一、单选题 12．（2025·陕西榆林·二模）已知在平面直角坐标系中，将二次函数（为常数）的图象向右平移1个单位长度，得到二次函数（b为常数）的图象，则的值为（   ） A．4 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数图象的平移，根据平移规则，写出新的抛物线的解析式，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴将二次函数（为常数）的图象向右平移1个单位长度，得到， ∴，解得：， ∴； 故选A． 13．（2025·陕西汉中·二模）已知在平面直角坐标系中，抛物线（为常数，且）只经过两个象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，先求出顶点坐标，然后分和讨论即可． 【详解】解：∵， ∴顶点坐标为， 当时， ∵抛物线（为常数，且）只经过两个象限， ∴， 解得， ∴， 当时， ∵抛物线（为常数，且）只经过两个象限， ∴， ∴，不符合题意，舍去， 综上， 故选：A． 14．（2025·陕西榆林·三模）在平面直角坐标系中，将抛物线（为常数，且）沿轴向上平移2个单位，得到抛物线，则抛物线的顶点一定在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题考查抛物线图象与性质，涉及抛物线的平移、将一般式化为顶点式、根据点的坐标判定所在象限等知识，先由函数图象平移得到，再将一般式化为顶点式求出抛物线顶点坐标，由点的坐标符号即可确定顶点所在象限，熟记抛物线平移、抛物线图象与性质是解决问题的关键． 【详解】解：将抛物线（为常数，且）沿轴向上平移2个单位，得到抛物线， 则， ， 抛物线的顶点坐标为， ， 抛物线的顶点一定在第四象限， 故选：D． 15．（2025·陕西商洛·三模）已知二次函数（a为常数，且），下列结论中正确的是（    ） A．对称轴在轴左侧 B．当时，随的增大而增大 C．图象一定不经过第三象限 D．图象与轴一定有两个交点 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的性质，确定二次函数的开口方向，对称轴和顶点位置是解题的关键． 由a的正负可确定出抛物线的开口方向，结合函数的性质逐项判断即可． 【详解】解：二次函数图象的对称轴为直线， ∵， ∴，即对称轴在轴右侧，故A选项错误，不符合题意； ∵， ∴抛物线开口向上， ∴在对称轴的右侧时，随的增大而增大；在对称轴的左侧时，随的增大而减小， 即当时，随的增大而增大，故B选项错误，不符合题意； 当时，， ∴抛物线与y轴交于点，位于y轴正半轴， ∴图象一定不经过第三象限，故C选项正确，符合题意； ∵， ∵， ∴无法确定的正负， 即无法确定图象与轴的交点的个数，故D选项错误，不符合题意； 故选：C 16．（2025·陕西榆林·三模）已知二次函数的自变量与函数的几组对应值如下表： … 0 1 3 5 … … 5 0 12 … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（　　） A． B．函数图象开口向下 C．当时，随的增大而减小 D．的最小值是 【答案】D 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据表格的数据，把代入，求出再根据二次函数的图象性质进行分析，得对称轴是直线，当时，函数取得最小值，，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：把代入， 得 解得 ∴二次函数的解析式为 函数的图象是开口向上的抛物线，且对称轴是直线 ∴当时，函数取得最小值， 当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大． 由以上分析知，B、C不符合题意， D符合题意； ， 故A不符合题意． 故选 D 17．（2025·陕西渭南·三模）在平面直角坐标系中，将抛物线（a、c为常数，且）沿x轴向右平移3个单位得到抛物线，点均在抛物线上，且位于抛物线对称轴的两侧，若，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征．先根据抛物线平移规律求出抛物线的表达式，进而得出其对称轴，再结合判断抛物线的开口方向，最后根据点A、B的位置和函数值大小关系确定m的取值范围． 【详解】解：∵抛物线（a、c为常数，且）， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∵将抛物线（a、c为常数，且）沿x轴向右平移3个单位得到抛物线， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∵点均在抛物线上，且位于抛物线对称轴的两侧， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 综上，． 故选：B． 18．（2025·陕西榆林·三模）如图，抛物线交轴于点和点，抛物线的顶点为点，将该抛物线向右平移2个单位，向下平移2个单位，平移后的抛物线交轴于点和点，顶点为点，则的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的平移变换、抛物线与轴的交点、顶点坐标，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据平移规律确定平移后抛物线的解析式，并求出其顶点和点、点的坐标，画出图象，即可求解． 【详解】解：原抛物线，顶点为， 向右平移2个单位，向下平移2个单位后的抛物线为：， 即，顶点为， 令，则有，解得：或，即，， 如图： 过点作轴交轴于点，则， ∴，， ∴． 故选：C ． 19．（2025·陕西延安·二模）抛物线为常数，且上上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表： ．．．                0 1 ．．． ．．． 4 0           0 ．．． 小聪观察上表，得出下面结论：①抛物线与轴的一个交点为；②在对称轴左侧，随的增大而减小；③抛物线的对称轴是直线；④当时，的取值范围是．其中，正确的结论有（　　） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 【答案】B 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数的图象和性质． 根据表中数据可知，当时，，即可判断①；根据时，，即可求对称轴，从而判断③，根据表格数据观察当，的变化情况，可判断②；根据增减性得出抛物线函数开口方向，结合与轴的交点即可判断④． 【详解】解：根据表格可知，当时，， ∴抛物线与轴的一个交点为，故①错误； ， ∴抛物线的对称轴为直线，所以③正确； 根据表格当时，随的增大而减小，故②正确； 当时，随的增大而增大，故抛物线开口向上，， 而时，，时，， ∴当时，的取值范围是或，故④错误； 故选：B． 20．（2025·陕西咸阳·二模）已知二次函数的图像经过点，有下列说法：①当时，随的增大而减小；②若点在该函数的图象上，则；③该函数的图象有最低点；④该函数图象的对称轴是直线．其中说法正确的是（    ） A．①③④ B．①②③ C．②④ D．①③ 【答案】D 【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的图象与性质，解决本题的关键是把点，的坐标代入二次函数，利用待定系数法求出二次函数的解析式，然后再根据二次函数的图象与性质进行判断． 【详解】解：把点，的坐标代入二次函数， 可得：， 解方程组可得：， 二次函数的解析式为， 二次函数中， 抛物线开口向上， 二次函数的对称轴为， 在对称轴的左侧随的增大而减小， 当时，随的增大而减小，故正确； 点，在该函数的图象上， 当时，可得：， 当时，可得：， ，故错误； 二次函数，则顶点坐标为，且图象开口向上， ∴该函数的图象有最低点，故正确； 二次函数的对称轴为，故错误． 正确的有①③． 故选：D． 21．（2025·陕西延安·三模）已知抛物线（、、为常数，且）的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为，其部分图象如图所示，则下列说法：①抛物线过原点；②；③；④抛物线的顶点坐标为，其中正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性逐个进行判断，最后做出选择即可． 【详解】解：抛物线与x轴的一个交点坐标为，对称轴是直线， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为， 故①正确； 当时，，由图象可知此时，即， 故②不正确； ∵对称轴是直线，即， ∴， 故③不正确； ∵对称轴是直线，即， ∴，而，当时，， 故顶点为， 故④正确； 综上所述，正确的结论有①④，一共2个， 故选：B． 22．（2025·陕西西安·三模）已知在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点为，将抛物线向右平移3个单位长度后得到抛物线（、、为常数，且），则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，抛物线与x轴的交点及二次函数的图象与几何变换，依据题意，抛物线与x轴的一个交点为，对称轴为直线，抛物线与x轴的另一个交点为，进而可以判断得解． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点为，将抛物线向右平移3个单位长度后得到抛物线， ∴抛物线与x轴的一个交点为，对称轴为直线， ∴抛物线与x轴的另一个交点为， ∴， ∴，， ∴， 故选项A错误； ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴， 故选项B错误； ∵， ∴， 故选项C正确； 将点代入得，， ∴， ∵， ∴， 故选项D错误； 故选：C． 23．（2025·陕西西安·三模）已知抛物线，当时，的最大值与最小值之和为，则的值为（    ） A． B．或 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，由解析式可得抛物线的对称轴为直线，再分、和三种情况，根据二次函数的性质解答即可求解，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线， ∴抛物线的对称轴为直线， 当时，，当和时，， ∴当时，的最大值为，最小值为， ∵的最大值与最小值之和为， ∴， 解得或，此种情况不合题意； 当时，的最大值为，最小值为，此时最大值与最小值的和为，不合题意； 当时，的最大值为，最小值为， ∵的最大值与最小值之和为， ∴， 解得（不合，舍去）或， ∴的值为， 故选：． 24．（2025·陕西宝鸡·二模）在二次函数为常数中，当时，随的增大而增大，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质．熟练掌握二次函数的对称性增减性，是解题的关键． 根据二次函数解析式，得开口向上时，对称轴为直线，在对称轴右侧y随x的增大而增大．根据当时y随x的增大而增大，得对称轴应位于直线左侧或与之重合． 【详解】解：∵二次函数的开口向上，对称轴为直线． ∴当时，y随x的增大而增大． ∵当时，随的增大而增大， 因此需满足． 故选：D． 二、解答题 25．（2025·陕西榆林·二模）如图1是我们生活中常见的一只碗，图2是从正面看到的碗的形状示意图，碗壁近似呈抛物线形，该抛物线关于碗口的垂直平分线对称，且碗底与碗口平行，、均在抛物线上，，，已知，，，以所在直线为轴，过点且垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系，碗壁抛物线满足关系式（、为常数）．    (1)求、的值和点的坐标； (2)若碗中装入一定量的水，水面，且与之间的距离为，求水面的宽度． 【答案】(1)，，点的坐标为 (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解题意求出对应的函数关系式是解题的关键． （1）根据题意可得抛物线的对称轴为直线，则由对称轴计算公式可得，再求出，利用待定系数法求出c的值，进而求出点B的坐标即可； （2）求出点E和点F的纵坐标，进而求出点E和点F的横坐标即可得到答案． 【详解】（1）解：， ∴抛物线的对称轴为直线， ， 解得．     ，，，， ∴ ∴．     将点代入，得，    ∴抛物线解析式为， 在中，当时，， ∴点的坐标为． （2）解：与之间的距离为， 点与点的纵坐标为．     令，得，解得，，    ， 即水面的宽度为． 26．（2025·陕西西安·三模）中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志．如图1是某高铁站的一个检票口，其大致示意图如图2所示，检票口大门可看成是抛物线（点O与点Q关于抛物线的对称轴对称），，四边形区域为检票区域，点A与点B在抛物线上，已知检票闸机高，均与垂直，A、E、H、B在一条水平直线上，O、C、F、N、D、Q在一条水平直线上，以所在直线为x轴，过点O且垂直于的直线为y轴建立平面直角坐标系，抛物线满足关系式（a为常数，且）． (1)求a的值和抛物线的对称轴； (2)已知闸机与之间的区域为应急通道，闸机与之间的区域为人工检票通道，闸机与之间的区域为自动检票通道，若应急通道和人工检票通道的宽度均为（即，求自动检票通道的总宽度．（闸机宽度忽略不计） 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）根据题意可得，再利用待定系数法求出函数解析式即可求出a的值，再根据对称轴计算公式求出对称轴即可； （2）求出当时的函数值，即可得到A和B的坐标，进而求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意可得， 把代入到中得，解得． ∴抛物线的函数关系式为， ∴抛物线的对称轴为直线． （2）解：令，得，解得，， ∴点A的坐标为，点B的坐标为， ∴． ∵， ∴， 即自动检票通道的总宽度为． 27．（2025·陕西咸阳·二模）如图，这是型滑板场地轨道示意图，两侧和是各自所在抛物线的一部分，分别为其所在抛物线的最低点，且轨道和所在抛物线的形状相同，其中．为了确保场地安全，需在轨道左侧和右侧进行加固，安装统一规格的支架，两侧的支架完全一致，其中左侧的支架由四段构成，右侧的支架由四段构成．以线段所在直线为轴，线段所在直线为轴建立平面直角坐标系． (1)求轨道所在抛物线的函数表达式． (2)支架的要求为垂直于线段所在的直线，平行于线段所在的直线，且．请通过计算，确定轨道两侧需要的支架材料的最短长度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，利用顶点式求抛物线的解析式，二次函数和几何图形，利用二次函数解决最值问题，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． （1）利用顶点式求抛物线的解析式即可； （2）根据给出的条件分析几何图形，找出边之间的数量关系，根据求出的二次函数的解析式设点，则点，最后利用二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：由题意，可得点，且为轨道AB所在抛物线的顶点， 可设该抛物线的表达式为，代入点， ， 解得， 轨道AB所在抛物线的函数表达式为； （2）解：由（1）得． 由题意，易得． ， ， ． 设点，则点， ． 设轨道两侧需要的支架材料的长度为， ． 当时，的最小值为． 答：轨道两侧需要的支架材料的最短长度为15.5m． 28．（2025·陕西榆林·三模）如图，抛物线交轴于，，交轴于点，抛物线的顶点为，过点作轴的垂线，垂足为． (1)求抛物线的表达式； (2)为对称轴右侧一点，过点作，若与相似，求点点的坐标． 【答案】(1) (2)点共两个，， 【分析】此题主要考查待定系数法求二次函数解析式和三角形相似的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出，对称轴为直线，．得，．设，再分当，和，利用相似三角形的性质建立方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得， 解得， ∴． （2）解：由知，对称轴为直线，． ∴，． 设， ∴，． ∵， ∴与对应， 当时， ∴． ∴． ∴． ∴． 当， ∴． ∴． ∴． ∴． 满足条件的点共两个，，． 29．（2025·陕西延安·二模）在社区举办的篮球亲子挑战赛中，设置了两个不同高度的篮筐．较低的儿童篮筐在距离地面米高的点A处，较高的成人篮筐在距离地面米高的点处，小明和爸爸组队参赛．在第一轮挑战中，小明站在点处进行投篮，篮球出手后恰好投入儿童篮筐，且篮球运动的最高点距离地面3米，最高点到篮筐的水平距离为2米，建立如图的平面直角坐标系，篮球高度（米）和出手点到篮筐的水平距离（米） 之间满足二次函数关系．    (1)求小明第一次投篮时，篮球运动轨迹所在的抛物线的函数表达式； (2)第二轮挑战时，爸爸鼓励小明向篮筐方向前进1米到达点处再投篮，若两次投篮时篮球的运动轨迹完全相同，判断这次篮球能否投入成人篮筐，并说明理由． 【答案】(1) (2)这次篮球不能投入成人篮筐，见解析 【分析】本题考查了二次函数的应用、二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数的应用是解题关键． （1）由已知篮球运动最高点坐标确定抛物线顶点坐标为，根据抛物线顶点式设表达式为．把点代入所设表达式，通过解方程求出，进而得到抛物线函数表达式． （2）在第一问抛物线表达式基础上，将变为得到新抛物线表达式．令，求出此时的值，与成人篮筐高度$3.05$米比较大小，判断能否投入成人篮筐． 【详解】（1）解：依题意知抛物线的顶点坐标为（2，3）， 设该抛物线的函数表达式为， 将点代入，得， 解得， 篮球运动轨迹所在的抛物线的函数表达式为 （2）不能，理由如下． 小明向篮筐方向前进1米， 抛物线的函数表达式为 令，得， 这次篮球不能投入成人篮筐． 30．（2025·陕西延安·三模）如图，某小区内的水池里有一个可垂直升降的喷泉，喷出的水柱呈抛物线．线段表示水池的宽，米，以边缘点为原点，所在的直线为轴，过点垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系，在地面上的点处有一个喷头，从喷出的水柱，在点处落地，其到地面的垂直高度（米）与水平距离（米）之间的关系为，且，已知米，米． (1)求、的值以及抛物线的对称轴； (2)小区工作人员准备升高喷头的位置（水柱的形状大小与喷头的高度无关），，要使水柱落地点不超过点，则喷头调节的最大高度为多少米？ 【答案】(1)，抛物线的对称轴为直线 (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，抛物线与轴的交点坐标，抛物线的对称轴，函数图象平移的性质等知识点，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． （1）利用抛物线与轴的交点坐标即可求出系数的值，利用抛物线对称轴的公式即可求解； （2）假设最大，根据（1）求出原二次函数的解析式，利用平移的性质表示出新抛物线的解析式，然后代入点的坐标即可求解． 【详解】（1）解：根据，且，结合抛物线可得， 点的横坐标为，点的横坐标为， ∵，， ∴， 抛物线的对称轴为直线； （2）解：假设最大， 由（1）得抛物线的解析式为， 向上平移之后抛物线的解析式为， 将代入解析式得， 解得， ∴， ∴喷头调节的最大高度为米． 31．（2025·陕西商洛·三模）现要修建一条隧道，其截面为抛物线形，如图所示，线段表示水平的路面，点为的中点，以为坐标原点，以所在直线为轴，以过点垂直于轴的直线为轴，建立平面直角坐标系．根据设计要求：抛物线底面宽度米，该抛物线的顶点到的距离为9米． (1)求该隧道截面所在抛物线的函数表达式； (2)如图，现需在隧道上方安装一块高度为1米，宽度为3米的长方形电子显示屏，确保行车安全，要求电子显示屏距地面至少6米，并且距左右墙需各留至少0.5米的安全距离，试通过计算说明能否满足安装设计要求． 【答案】(1) (2)满足安装设计要求，理由见解析 【分析】本题考查了待定系数法解二次函数的解析式，矩形的性质，二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）依题意，设抛物线的解析式为，再结合抛物线底面宽度米，且O为的中点，得出，代入求解即可作答． （2）先作图：延长交抛物线于一点H，然后令，则，把代入，得，求出点到地面距离为米，即可解答． 【详解】（1）解：由题意得抛物线的顶点为， 设该隧道截面所在抛物线的函数表达式为， ， ． 将代入，得， 解得． 该隧道截面所在抛物线的函数表达式为， （2）解：满足安装设计要求，过程如下． 依题意米，米． 如图，延长交抛物线于点． 当米时，则． 把代入，得． 点到地面距离为（米）． ， 满足安装设计要求． 32．（2025·陕西咸阳·三模）果树拉枝的作用是通过调整枝条生长方向和树形结构，实现营养与生殖生长的平衡，从而提升产量和果实品质．如图1，果树右侧的枝条经过拉枝后近似呈抛物线型．将图1经过拉枝的枝条．抽象成如图2所示的抛物线，为果树主干，为拉枝的绳子，与均与地面垂直，以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．已知，点到轴的水平距离为，抛物线的对称轴为直线． (1)求抛物线的函数表达式； (2)是枝条的末端，点到的水平距离为，求点到水平地面（轴）的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，二次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据题意设抛物线的函数表达式为，再把分别代入进行计算，即可作答． （2）因为点到轴的水平距离为，点到的水平距离为，得点到轴的水平距离为，再把代入二次函数的解析式进行求解，即可作答． 【详解】（1）解：设抛物线的函数表达式为， 由题可得点的坐标分别为， 把、代入， 得， 解得， 抛物线的函数表达式为． （2）解：点到轴的水平距离为，点到的水平距离为， ∴， 点到轴的水平距离为， 当时，． 点到水平地面（轴）的距离为． 33．（2025·陕西榆林·二模）如图1是某农家小院晾衣服的实景图，晾衣绳近似呈抛物线形，其示意图如图2所示，、是两根与地面垂直的木桩，高度均为，晾衣绳所在抛物线经过、两点，与之间的水平距离，现计划在地面上的点处竖立第三根高为的木桩，将原晾衣绳所在抛物线分成两段抛物线和（绳长可在、处微调，和均经过点），已知于点，，以所在直线为轴、所在直线为轴建立平面直角坐标系，抛物线满足关系式（、为常数，且）． (1)求点、的坐标和、的值； (2)若在抛物线的最低点处晾一条裙子，裙子可到达的最低位置到抛物线最低点的竖直距离为，请计算并说明裙子是否会接触地面？（假设晾衣绳不会因为裙子重量而变形） 【答案】(1)，，， (2)裙子不会接触地面 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，求出二次函数解析式是解题的关键． （1）根据题意可得出点的坐标，再把点的坐标代入抛物线的关系式可求出、的值； （2）由（1）可得抛物线的关系式，即可求出抛物线的顶点坐标，可得抛物线的最低点到地面的距离，进而判断即可求解； 【详解】（1）解：由题意可得，，， 把，代入得， ， 解得， 即，； （2）解：∵，， ∴抛物线的关系式为， ∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线的最低点到地面的距离为， ∵， ∴裙子不会接触地面． 34．（2025·陕西榆林·三模）冬暖夏凉的黄土窑洞藏着四千年的智慧，高窗与厚土交织出天人合一的居住哲学．如图1所示的窑洞，其下部近似为矩形（图2），上部近似为一条抛物线．已知米，米，窑洞的最高点P（抛物线的顶点）离地面的距离为4米．以所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若在窑洞的上部安装两根窗框、，点D、E在矩形的边上，点F、G在抛物线上，点D与点E恰好是的三等分点（点D在点E的左侧），求这两根窗框的总长度． 【答案】(1) (2)米 【分析】本题考查了二次函数的图像和性质. （1）由题意知，顶点P的坐标为，设抛物线的函数表达式为，将代入，求解即可； （2）由题意知，，当时，求出，由对称性可知，即可得解. 【详解】（1）由题意知，顶点P的坐标为， 设抛物线的函数表达式为， 将代入，得， 解得， ∴抛物线的函数表达式为． （2）由题意知，， ， 当时，， 由对称性可知， ， 故这两根窗框的总长度为米． 35．（2025·陕西汉中·二模）毛乌素沙漠是中国四大沙地之一，位于陕西省榆林市长城一线以北，如图1是该沙漠边缘地区常见的抛物线状沙丘（一种风积地貌），其平面轮廓呈抛物线状．如图2，已知某一抛物线状沙丘两翼端点的水平距离，沙丘弧顶最高点到的距离为，抛物线的对称轴垂直于，以所在直线为轴，过点且垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系，现计划从点到点种植一排柠条（在抛物线上，点在点的左侧）． (1)求抛物线状沙丘的函数表达式； (2)轴于点轴于点，若，求两点之间的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次函数的应用，主要考查待定系数法求二次函数解析式，已知自变量值求函数值等．熟练掌握以上知识点是关键; （1）先求出顶点坐标，再设该抛物线的表达式，再将代入即可得到； （2）将代入（1）中求得的解析式中即可求出本题答案． 【详解】（1）解：根据题意可设抛物线的函数表达式为． 将点代入，得， 解得， 抛物线状沙丘的函数表达式为． （2）解：令，得， 解得，， ，， 、两点之间的距离为． 36．（2025·陕西渭南·三模）滑板是一项富有激情与挑战的极限运动，U型池则是它绽放魅力的重要舞台，滑手在连续的U型池滑道间展开挑战，这不仅能考验滑手的综合能力，也为观众带来极具观赏性的视觉盛宴．滑手在U型池之间转换时，脱离滑道起跳后的飞行路线可近似看作是抛物线的一部分．如图，某次挑战中，滑手小红尝试从滑道①转换到滑道②，已知小红从起跳到着陆的过程中，起跳点到滑道底部所在直线的距离为，当离起跳点水平距离为时，小红到滑道底部所在直线的距离达到了最大值，现以滑道底部所在直线为x轴，垂直于滑道底部所在直线且经过起跳点的直线为y轴建立平面直角坐标系（滑道①、②底部在一条直线上）． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若滑手的着陆点位于下一个U型池滑道的内部，则视为滑手成功完成转换，已知滑道②与滑道①高度相同，两者水平距离为，请通过计算说明小红能否转换成功？ 【答案】(1) (2)能 【分析】此题考查了二次函数的应用，正确求出函数解析式是解题的关键． （1）根据题意直接写出抛物线的顶点坐标，再利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）当时，，解方程比较后即可得到答案． 【详解】（1）解：由题知起跳点的坐标为，抛物线的顶点坐标为． 设该抛物线的函数表达式为， 把代入得， 解得， 设该抛物线的函数表达式为． （2）当时，, 解得，（舍去）， 因为, 所以小文能成功转换． 37．（2025·陕西咸阳·一模）【问题提出】 （）如图①，是的直径，点在上，是的中点，若，，求的长； 【问题解决】 （）畅享绿水青山，近年来户外露营火爆，某街道规划将原来的三角形公园进行扩大改造成四边形公园．分为露营区和活动区． 图②所示，按设计要求，，，，．为改造后公园的两条主干道．为了更好的平衡露营区和活动区用地，要让露营区的面积尽可能大．请问是否存在符合设计要求的面积最大的露营区？若存在，求面积的最大值及此时点到点的距离；若不存在，请说明理由． 【答案】（）；（）存在，符合设计需求的面积的最大值为，此时点到点的距离为 【分析】（）如图①，连接，是的中点可得，将绕点顺时针旋转到处，可得，，进而得，即得三点共线，利用勾股定理得，即得，再证明是等腰直角三角形，得到，即可求解； （）以为直径作，连接并延长交于点，连接，可得，由（）同理可得，即得，利用勾股定理得，，即可得，进而可得，过点作交的延长线于点，可得是等腰直角三角形，令， 则，，设的面积为， 则，最后利用二次函数的性质解答即可求解． 【详解】解：（）如图①，连接， ∵是的直径， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， 将绕点顺时针旋转到处， ∴，， ∵， ∴， ∴三点共线， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； （）存在．如图②， 以为直径作，连接并延长交于点，连接， ∵， ∴， ∵为的直径， ∴， 由（）同理可得，， ∴， 又∵是的直径， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵ ∴， 过点作交的延长线于点， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， 令， 则，， 设的面积为， 则， ， ∴当时，有最大值， ∴符合设计需求的面积的最大值为，此时点到点的距离为． 【点睛】本题考查了弧弦圆周角的关系，旋转的性质，圆内接四边形的性质，圆周角定理，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，二次函数的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 38．（2025·陕西榆林·二模）在数学的学习过程中，同学们要善于用数学的眼光观察现实世界，用数学的思维思考现实世界，用数学的语言表达现实世界．如图是薇薇同学用二次函数的知识研究其自制弓箭的示意图，弓箭静止时，弓弦的长为，弓臂部分近似呈抛物线形（抛物线关于的垂直平分线对称），将弓弦拉升为折线时（此时弓臂弯曲忽略不计），其总长度变为，已知，于点，以过点且与平行的直线为轴，过点且与垂直的直线为轴建立平面直角坐标系，弓臂抛物线满足关系式（a为常数，且）． (1)求点的坐标和的值； (2)已知弓臂上、两点之间的距离为，于点，于点，，求的长． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查二次函数的运用，掌握待定系数法，根据函数自变量求函数值的计算是关键． （1）根据题意得到，，由勾股定理得到，则，即，运用待定系数法即可求解； （2）根据抛物线解析式得到抛物线的对称轴为直线，则点到抛物线对称轴的距离为，点的横坐标为，由此得到对应的函数值，由即可求解． 【详解】（1）解：，， ， ，于点， ， ， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，即， 将点代入，得． （2）解：由（1）可得抛物线的函数表达式为， ∴抛物线的对称轴为直线， 、D两点之间的距离为，， ∴点到抛物线对称轴的距离为， ∴点的横坐标为， 当时，， ． 39．（2025·陕西榆林·三模）已知二次函数(为常数，且)． (1)当时，求函数值的最小值； (2)若点在该二次函数的图象上，且，求的取值范围． 【答案】(1)4 (2) 【分析】（1）将代入二次函数解析式，再化为顶点式，即可得解； （2）将原二次函数解析式化为顶点式，从而可知点A即为抛物线顶点，且，根据得到或，再分①若和②若两种情况讨论，结合或，根据对称轴是直线和抛物线的增减性得到函数值的大小关系，从而求出a的取值范围． 【详解】（1）解：将代入， 得 即． 函数图象的开口向上，函数值存在最小值， 且当时，取得最小值4， 当时，函数值的最小值为4． （2）， 抛物线的对称轴为，顶点坐标为． ， 点为抛物线的顶点． ， 或， 或， 或． ①若，即，则抛物线开口向上． 对称轴为， 当时，函数值随的增大而减小；当时，函数值随的增大而增大． 若，则两点都位于抛物线对称轴的右侧，此时函数值随的增大而增大， ，解得 的取值范围为； 若，则两点都位于抛物线对称轴的左侧，此时函数值随的增大而减小， ，解得 的取值范围为． ②若，即，则抛物线开口向下． 对称轴为， 当时，函数值随的增大而增大； 当时，函数值随的增大而减小． 若，则两点都位于抛物线对称轴的右侧，此时函数值随的增大而减小， ，此时无解， 这种情况不存在； 若，则点两点都位于抛物线对称轴的左侧，此时函数值随的增大而增大， ，此时无解， 这种情况不存在． 综上所述，的取值范围为． 【点睛】本题考查二次函数的最值问题，化顶点式，二次函数的图象与性质等知识，运用分析出对称轴是直线，并结合增减性判断函数值的大小关系是解题的关键． 40．（2025·陕西宝鸡·二模）奶奶屋后有一块空地，宁宁帮奶奶设计了一个花园，其示意图如图所示． 素材一：花园由抛物线与围成，底部宽为米，抛物线的最高点与的距离为； 素材二：所在抛物线与所在抛物线关于直线对称，以直线为轴，的中垂线为轴建立平面直角坐标系． (1)求与所在抛物线的表达式； (2)现需要沿、修建篱笆，将花园分成三部分，分别种植不同的花卉，已知点、在抛物线上点在点的右侧，、之间的距离为，点、点关于轴对称，点、关于轴的对称点分别为点、，求所需篱笆的总长度． 【答案】(1)所在抛物线为；所在抛物线为 (2)所需篱笆的总长度为 【分析】本题主要考查了二次函数的应用． （1）依据题意得，，，从而所在抛物线的顶点为，故可设所在抛物线为，结合过，可得，求出后可得所在抛物线为，然后根据对称性可得所在抛物线为，即可得解； （2）依据题意，设，则根据对称性可得，，，，又，则，故，进而可得，，，，从而可以判断得解． 【详解】（1）解：由题意得，，． 所在抛物线的顶点为， 可设所在抛物线为， 又过， ， ， 所在抛物线为， 又所在抛物线与所在抛物线关于轴对称， 将换成代入的表达式可得所在抛物线为； （2）解：由题意，设， 根据对称性可得，，，， ， ， ， ，，，， 所需篱笆的总长度， 答：所需篱笆的总长度为． 41．（2025·陕西渭南·三模）问题提出 (1)如图①，在菱形中，对角线、相交于点，点、分别在边、上，连接、，若，求证：； 问题探究 (2)如图②，在四边形中， ，，点在线段上，连接，过点作交边于点，若，，求四边形的面积； 问题解决 (3)如图③，某家具厂要生产一批特殊的四边形木质雕花装饰板，该装饰板的具体要求为：，，厘米，点到的距离为厘米，已知这种木质材料每平方厘米造价元，在保证装饰效果和质量的前提下，求制作一个这样的装饰板的最低造价是多少元？            【答案】（1）见解析；（2）四边形的面积是（3）这种四边形金属部件的造价最低是元 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，二次函数的性质等知识，运用前一小问解决问题的方法解决新的问题是解题的关键． （1）由菱形的性质证明，再结合已知条件可得结论； （2）过点作于，可得，有，即可求出的长，根据代入计算即可； （3）类比（2）中解决问题的方法，将四边形补成矩形，设 ，则，，同理可表示出四边形的面积，利用二次函数的性质求出面积的最小值，从而可得答案． 【详解】（1）证明：四边形是菱形， ， ，即， ， ； （2）解：如图，过点作于， ∴四边形是矩形， ，， ， ， ， ， 又， ， ，即， ， ， 答：四边形的面积是； （3）解：过点作，过点作的垂线交于点，交的延长线于点，过点作于点， 点到的距离为 同（2）可得， ∴， 设 则 ，， ， 当时，最小为， 四边形金属部件的最低造价为元， 答：这种四边形金属部件的造价最低是元． 试卷第48页，共48页 试卷第47页，共48页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 二次函数综合及实际应用（含压轴题，41题） 一、单选题 1．（2025·陕西·中考真题）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴有两个交点，且这两个交点分别位于轴两侧，则下列关于该函数的结论正确的是（    ） A．图象的开口向下 B．当时，的值随值的增大而增大 C．函数的最小值小于 D．当时， 2．（2024·陕西·中考真题）已知一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值如下表， x … 0 3 5 … y … 0 … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（ 　　 ） A．图象的开口向上 B．当时，y的值随x的值增大而增大 C．图象经过第二、三、四象限 D．图象的对称轴是直线 3．（2023·陕西·中考真题）在平面直角坐标系中，二次函数（为常数）的图像经过点，其对称轴在轴左侧，则该二次函数有（    ） A．最大值 B．最大值 C．最小值 D．最小值 4．（2022·陕西·中考真题）已知二次函数y=x2−2x−3的自变量x1，x2，x3对应的函数值分别为y1，y2，y3．当−1<x1<0，1<x2<2，x3>3时，y1，y2，y3三者之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． 5．（2021·陕西·中考真题）下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值： … -2 0 1 3 … … 6 -4 -6 -4 … 下列各选项中，正确的是 A．这个函数的图象开口向下 B．这个函数的图象与x轴无交点 C．这个函数的最小值小于-6 D．当时，y的值随x值的增大而增大 二、解答题 6．（2025·陕西·中考真题）某景区大门上半部分的截面示意图如图所示，顶部，左、右门洞，均呈抛物线型，水平横梁，的最高点到的距离，，关于所在直线对称．，，为框架，点，在上，点，分别在，上，，，．以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的函数表达式； (2)已知抛物线的函数表达式为，，求的长． 7．（2024·陕西·中考真题）一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥．桥梁的缆索与缆索均呈抛物线型，桥塔与桥塔均垂直于桥面，如图所示，以O为原点，以直线为x轴，以桥塔所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．      已知：缆索所在抛物线与缆索所在抛物线关于y轴对称，桥塔与桥塔之间的距离，，缆索的最低点P到的距离（桥塔的粗细忽略不计） (1)求缆索所在抛物线的函数表达式； (2)点E在缆索上，，且，，求的长． 8．（2023·陕西·中考真题）某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型门，并要求所设计的拱门的跨度与拱高之积为，还要兼顾美观、大方，和谐、通畅等因素，设计部门按要求价出了两个设计方案，现把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中，如图所示： 方案一，抛物线型拱门的跨度，拱高其中，点在轴上，． 方案二，抛物线型拱门的跨度，拱高其中，点在轴上，． 要在拱门中设置高为的矩形框架，其面积越大越好（框架的粗细忽略不计），方案一中，矩形框架的面积记为，点、在抛物线上，边在上；方案二中，矩形框架的面积记为，点在抛物线上，边在上，现知，小华已正确求出方案二中，当时，，请你根据以上提供的相关信息，解答下列问题： (1)求方案一中抛物线的函数表达式； (2)在方案一中，当时，求矩形框架的面积并比较的大小． 9．（2022·陕西·中考真题）现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段表示水平的路面，以O为坐标原点，以所在直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．根据设计要求：，该抛物线的顶点P到的距离为． (1)求满足设计要求的抛物线的函数表达式； (2)现需在这一隧道内壁上安装照明灯，如图所示，即在该抛物线上的点A、B处分别安装照明灯．已知点A、B到的距离均为，求点A、B的坐标． 10．（2021·陕西·中考真题）问题提出 （1）如图1，在中，，，，E是的中点，点F在上且求四边形的面积．（结果保留根号） 问题解决 （2）某市进行河滩治理，优化美化人居生态环境．如图2所示，现规划在河畔的一处滩地上建一个五边形河畔公园按设计要求，要在五边形河畔公园内挖一个四边形人工湖，使点O、P、M、N分别在边、、、上，且满足，．已知五边形中，，，，，．满足人工湖周边各功能场所及绿化用地需要，想让人工湖面积尽可能小．请问，是否存在符合设计要求的面积最小的四边形人工湖？若存在，求四边形面积的最小值及这时点到点的距离；若不存在，请说明理由． 11．（2021·陕西·中考真题）已知抛物线与x轴交于点A、B（其中A在点B的左侧），与y轴交于点C． （1）求点B、C的坐标； （2）设点与点C关于该抛物线的对称轴对称在y轴上是否存在点P，使与相似且与是对应边？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由． 一、单选题 12．（2025·陕西榆林·二模）已知在平面直角坐标系中，将二次函数（为常数）的图象向右平移1个单位长度，得到二次函数（b为常数）的图象，则的值为（   ） A．4 B． C．2 D． 13．（2025·陕西汉中·二模）已知在平面直角坐标系中，抛物线（为常数，且）只经过两个象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 14．（2025·陕西榆林·三模）在平面直角坐标系中，将抛物线（为常数，且）沿轴向上平移2个单位，得到抛物线，则抛物线的顶点一定在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 15．（2025·陕西商洛·三模）已知二次函数（a为常数，且），下列结论中正确的是（    ） A．对称轴在轴左侧 B．当时，随的增大而增大 C．图象一定不经过第三象限 D．图象与轴一定有两个交点 16．（2025·陕西榆林·三模）已知二次函数的自变量与函数的几组对应值如下表： … 0 1 3 5 … … 5 0 12 … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（　　） A． B．函数图象开口向下 C．当时，随的增大而减小 D．的最小值是 17．（2025·陕西渭南·三模）在平面直角坐标系中，将抛物线（a、c为常数，且）沿x轴向右平移3个单位得到抛物线，点均在抛物线上，且位于抛物线对称轴的两侧，若，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 18．（2025·陕西榆林·三模）如图，抛物线交轴于点和点，抛物线的顶点为点，将该抛物线向右平移2个单位，向下平移2个单位，平移后的抛物线交轴于点和点，顶点为点，则的值为（    ） A． B． C． D．2 19．（2025·陕西延安·二模）抛物线为常数，且上上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表： ．．．                0 1 ．．． ．．． 4 0           0 ．．． 小聪观察上表，得出下面结论：①抛物线与轴的一个交点为；②在对称轴左侧，随的增大而减小；③抛物线的对称轴是直线；④当时，的取值范围是．其中，正确的结论有（　　） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 20．（2025·陕西咸阳·二模）已知二次函数的图像经过点，有下列说法：①当时，随的增大而减小；②若点在该函数的图象上，则；③该函数的图象有最低点；④该函数图象的对称轴是直线．其中说法正确的是（    ） A．①③④ B．①②③ C．②④ D．①③ 21．（2025·陕西延安·三模）已知抛物线（、、为常数，且）的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为，其部分图象如图所示，则下列说法：①抛物线过原点；②；③；④抛物线的顶点坐标为，其中正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 22．（2025·陕西西安·三模）已知在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点为，将抛物线向右平移3个单位长度后得到抛物线（、、为常数，且），则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 23．（2025·陕西西安·三模）已知抛物线，当时，的最大值与最小值之和为，则的值为（    ） A． B．或 C． D． 24．（2025·陕西宝鸡·二模）在二次函数为常数中，当时，随的增大而增大，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 二、解答题 25．（2025·陕西榆林·二模）如图1是我们生活中常见的一只碗，图2是从正面看到的碗的形状示意图，碗壁近似呈抛物线形，该抛物线关于碗口的垂直平分线对称，且碗底与碗口平行，、均在抛物线上，，，已知，，，以所在直线为轴，过点且垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系，碗壁抛物线满足关系式（、为常数）．    (1)求、的值和点的坐标； (2)若碗中装入一定量的水，水面，且与之间的距离为，求水面的宽度． 26．（2025·陕西西安·三模）中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志．如图1是某高铁站的一个检票口，其大致示意图如图2所示，检票口大门可看成是抛物线（点O与点Q关于抛物线的对称轴对称），，四边形区域为检票区域，点A与点B在抛物线上，已知检票闸机高，均与垂直，A、E、H、B在一条水平直线上，O、C、F、N、D、Q在一条水平直线上，以所在直线为x轴，过点O且垂直于的直线为y轴建立平面直角坐标系，抛物线满足关系式（a为常数，且）． (1)求a的值和抛物线的对称轴； (2)已知闸机与之间的区域为应急通道，闸机与之间的区域为人工检票通道，闸机与之间的区域为自动检票通道，若应急通道和人工检票通道的宽度均为（即，求自动检票通道的总宽度．（闸机宽度忽略不计） 27．（2025·陕西咸阳·二模）如图，这是型滑板场地轨道示意图，两侧和是各自所在抛物线的一部分，分别为其所在抛物线的最低点，且轨道和所在抛物线的形状相同，其中．为了确保场地安全，需在轨道左侧和右侧进行加固，安装统一规格的支架，两侧的支架完全一致，其中左侧的支架由四段构成，右侧的支架由四段构成．以线段所在直线为轴，线段所在直线为轴建立平面直角坐标系． (1)求轨道所在抛物线的函数表达式． (2)支架的要求为垂直于线段所在的直线，平行于线段所在的直线，且．请通过计算，确定轨道两侧需要的支架材料的最短长度． 28．（2025·陕西榆林·三模）如图，抛物线交轴于，，交轴于点，抛物线的顶点为，过点作轴的垂线，垂足为． (1)求抛物线的表达式； (2)为对称轴右侧一点，过点作，若与相似，求点点的坐标． 29．（2025·陕西延安·二模）在社区举办的篮球亲子挑战赛中，设置了两个不同高度的篮筐．较低的儿童篮筐在距离地面米高的点A处，较高的成人篮筐在距离地面米高的点处，小明和爸爸组队参赛．在第一轮挑战中，小明站在点处进行投篮，篮球出手后恰好投入儿童篮筐，且篮球运动的最高点距离地面3米，最高点到篮筐的水平距离为2米，建立如图的平面直角坐标系，篮球高度（米）和出手点到篮筐的水平距离（米） 之间满足二次函数关系．    (1)求小明第一次投篮时，篮球运动轨迹所在的抛物线的函数表达式； (2)第二轮挑战时，爸爸鼓励小明向篮筐方向前进1米到达点处再投篮，若两次投篮时篮球的运动轨迹完全相同，判断这次篮球能否投入成人篮筐，并说明理由． 30．（2025·陕西延安·三模）如图，某小区内的水池里有一个可垂直升降的喷泉，喷出的水柱呈抛物线．线段表示水池的宽，米，以边缘点为原点，所在的直线为轴，过点垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系，在地面上的点处有一个喷头，从喷出的水柱，在点处落地，其到地面的垂直高度（米）与水平距离（米）之间的关系为，且，已知米，米． (1)求、的值以及抛物线的对称轴； (2)小区工作人员准备升高喷头的位置（水柱的形状大小与喷头的高度无关），，要使水柱落地点不超过点，则喷头调节的最大高度为多少米？ 31．（2025·陕西商洛·三模）现要修建一条隧道，其截面为抛物线形，如图所示，线段表示水平的路面，点为的中点，以为坐标原点，以所在直线为轴，以过点垂直于轴的直线为轴，建立平面直角坐标系．根据设计要求：抛物线底面宽度米，该抛物线的顶点到的距离为9米． (1)求该隧道截面所在抛物线的函数表达式； (2)如图，现需在隧道上方安装一块高度为1米，宽度为3米的长方形电子显示屏，确保行车安全，要求电子显示屏距地面至少6米，并且距左右墙需各留至少0.5米的安全距离，试通过计算说明能否满足安装设计要求． 32．（2025·陕西咸阳·三模）果树拉枝的作用是通过调整枝条生长方向和树形结构，实现营养与生殖生长的平衡，从而提升产量和果实品质．如图1，果树右侧的枝条经过拉枝后近似呈抛物线型．将图1经过拉枝的枝条．抽象成如图2所示的抛物线，为果树主干，为拉枝的绳子，与均与地面垂直，以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．已知，点到轴的水平距离为，抛物线的对称轴为直线． (1)求抛物线的函数表达式； (2)是枝条的末端，点到的水平距离为，求点到水平地面（轴）的距离． 33．（2025·陕西榆林·二模）如图1是某农家小院晾衣服的实景图，晾衣绳近似呈抛物线形，其示意图如图2所示，、是两根与地面垂直的木桩，高度均为，晾衣绳所在抛物线经过、两点，与之间的水平距离，现计划在地面上的点处竖立第三根高为的木桩，将原晾衣绳所在抛物线分成两段抛物线和（绳长可在、处微调，和均经过点），已知于点，，以所在直线为轴、所在直线为轴建立平面直角坐标系，抛物线满足关系式（、为常数，且）． (1)求点、的坐标和、的值； (2)若在抛物线的最低点处晾一条裙子，裙子可到达的最低位置到抛物线最低点的竖直距离为，请计算并说明裙子是否会接触地面？（假设晾衣绳不会因为裙子重量而变形） 34．（2025·陕西榆林·三模）冬暖夏凉的黄土窑洞藏着四千年的智慧，高窗与厚土交织出天人合一的居住哲学．如图1所示的窑洞，其下部近似为矩形（图2），上部近似为一条抛物线．已知米，米，窑洞的最高点P（抛物线的顶点）离地面的距离为4米．以所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若在窑洞的上部安装两根窗框、，点D、E在矩形的边上，点F、G在抛物线上，点D与点E恰好是的三等分点（点D在点E的左侧），求这两根窗框的总长度． 35．（2025·陕西汉中·二模）毛乌素沙漠是中国四大沙地之一，位于陕西省榆林市长城一线以北，如图1是该沙漠边缘地区常见的抛物线状沙丘（一种风积地貌），其平面轮廓呈抛物线状．如图2，已知某一抛物线状沙丘两翼端点的水平距离，沙丘弧顶最高点到的距离为，抛物线的对称轴垂直于，以所在直线为轴，过点且垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系，现计划从点到点种植一排柠条（在抛物线上，点在点的左侧）． (1)求抛物线状沙丘的函数表达式； (2)轴于点轴于点，若，求两点之间的距离． 36．（2025·陕西渭南·三模）滑板是一项富有激情与挑战的极限运动，U型池则是它绽放魅力的重要舞台，滑手在连续的U型池滑道间展开挑战，这不仅能考验滑手的综合能力，也为观众带来极具观赏性的视觉盛宴．滑手在U型池之间转换时，脱离滑道起跳后的飞行路线可近似看作是抛物线的一部分．如图，某次挑战中，滑手小红尝试从滑道①转换到滑道②，已知小红从起跳到着陆的过程中，起跳点到滑道底部所在直线的距离为，当离起跳点水平距离为时，小红到滑道底部所在直线的距离达到了最大值，现以滑道底部所在直线为x轴，垂直于滑道底部所在直线且经过起跳点的直线为y轴建立平面直角坐标系（滑道①、②底部在一条直线上）． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若滑手的着陆点位于下一个U型池滑道的内部，则视为滑手成功完成转换，已知滑道②与滑道①高度相同，两者水平距离为，请通过计算说明小红能否转换成功？ 37．（2025·陕西咸阳·一模）【问题提出】 （）如图①，是的直径，点在上，是的中点，若，，求的长； 【问题解决】 （）畅享绿水青山，近年来户外露营火爆，某街道规划将原来的三角形公园进行扩大改造成四边形公园．分为露营区和活动区． 图②所示，按设计要求，，，，．为改造后公园的两条主干道．为了更好的平衡露营区和活动区用地，要让露营区的面积尽可能大．请问是否存在符合设计要求的面积最大的露营区？若存在，求面积的最大值及此时点到点的距离；若不存在，请说明理由． 38．（2025·陕西榆林·二模）在数学的学习过程中，同学们要善于用数学的眼光观察现实世界，用数学的思维思考现实世界，用数学的语言表达现实世界．如图是薇薇同学用二次函数的知识研究其自制弓箭的示意图，弓箭静止时，弓弦的长为，弓臂部分近似呈抛物线形（抛物线关于的垂直平分线对称），将弓弦拉升为折线时（此时弓臂弯曲忽略不计），其总长度变为，已知，于点，以过点且与平行的直线为轴，过点且与垂直的直线为轴建立平面直角坐标系，弓臂抛物线满足关系式（a为常数，且）． (1)求点的坐标和的值； (2)已知弓臂上、两点之间的距离为，于点，于点，，求的长． 39．（2025·陕西榆林·三模）已知二次函数(为常数，且)． (1)当时，求函数值的最小值； (2)若点在该二次函数的图象上，且，求的取值范围． 40．（2025·陕西宝鸡·二模）奶奶屋后有一块空地，宁宁帮奶奶设计了一个花园，其示意图如图所示． 素材一：花园由抛物线与围成，底部宽为米，抛物线的最高点与的距离为； 素材二：所在抛物线与所在抛物线关于直线对称，以直线为轴，的中垂线为轴建立平面直角坐标系． (1)求与所在抛物线的表达式； (2)现需要沿、修建篱笆，将花园分成三部分，分别种植不同的花卉，已知点、在抛物线上点在点的右侧，、之间的距离为，点、点关于轴对称，点、关于轴的对称点分别为点、，求所需篱笆的总长度． 41．（2025·陕西渭南·三模）问题提出 (1)如图①，在菱形中，对角线、相交于点，点、分别在边、上，连接、，若，求证：； 问题探究 (2)如图②，在四边形中， ，，点在线段上，连接，过点作交边于点，若，，求四边形的面积； 问题解决 (3)如图③，某家具厂要生产一批特殊的四边形木质雕花装饰板，该装饰板的具体要求为：，，厘米，点到的距离为厘米，已知这种木质材料每平方厘米造价元，在保证装饰效果和质量的前提下，求制作一个这样的装饰板的最低造价是多少元？            试卷第48页，共48页 试卷第47页，共48页 学科网（北京）股份有限公司 $$