3.2-（配套练习）【精讲精练】2026年高考数学一轮复习（人教A版）

[对应学生用书P298] A级　基础过关 1．函数f(x)＝x ln x＋1的单调递减区间是(　　) A． B． C． D．(e，＋∞) 解析　f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1＋ln x，所以在区间上f′(x)＜0，f(x)单调递减，故选C. 答案　C 2．函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是(　　) 解析　利用导数与函数的单调性进行验证．f′(x)＞0的解集对应y＝f(x)的增区间，f′(x)＜0的解集对应y＝f(x)的减区间，验证只有D符合． 答案　D 3．若函数f(x)＝x3＋x2＋ax－1在(－∞，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围为(　　) A．a≥ B．a≤ C．a＞ D．a＜ 解析　由题可知，f′(x)＝3x2＋2x＋a≥0恒成立，故Δ≤0，即4－12a≤0⇒a≥.故选A． 答案　A 4．设函数f(x)＝sin x＋ex－e－x－x，则满足f(x)＋f(5－3x)＜0的x的取值范围为(　　) A． B． C． D． 解析　因为f(x)＝sin x＋ex－e－x－x，所以f(－x)＝sin (－x)＋e－x－ex＋x＝－(sin x＋ex－e－x－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．又f′(x)＝cos x＋ex＋e－x－1，因为cos x－1≥－2，ex＋e－x＝ex＋≥2，所以f′(x)＝cos x＋ex＋e－x－1＞0，所以f(x)在R上是增函数，所以由f(x)＋f(5－3x)＜0，得f(x)＜－f(5－3x)＝f(3x－5)，因为f(x)在R上是增函数，所以x＜3x－5，解得x＞，所以满足f(x)＋f(5－3x)＜0的x的取值范围为. 答案　C 5．(多选)已知定义域为R的连续函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足＜0，当m＜0时，下列关系一定成立的是(　　) A．f(2)＞f(3) B．f(4)＜f(3) C．f(2)＋f(4)＜2f(3) D．f(2)＋f(4)＞2f(3) 解析　由＜0，得m(x－3)f′(x)＜0， 又m＜0，则(x－3)f′(x)＞0， 当x＞3时，f′(x)＞0，f(x)单调递增； 当x＜3时，f′(x)＜0，f(x)单调递减； 所以f(2)＞f(3)，f(4)＞f(3)， 所以f(2)＋f(4)＞2f(3). 答案　AD 6．函数f(x)＝x＋2的单调递增区间是________；单调递减区间是________． 解析　f(x)的定义域为{x|x≤1}，f′(x)＝1－.令f′(x)＝0，得x＝0.当0＜x＜1时，f′(x)＜0；当x＜0时，f′(x)＞0.∴f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为(0，1). 答案　(－∞，0)　(0，1) 7．已知函数y＝f(x)(x∈R)的图象如图所示，则不等式xf′(x)≥0的解集为________． 解析　由题中f(x)的图象特征可得，在和[2，＋∞)上f′(x)≥0，在上f′(x)＜0，所以xf′(x)≥0⇔或⇔0≤x≤或x≥2，所以xf′(x)≥0的解集为∪[2，＋∞). 答案　∪[2，＋∞) 8．若函数f(x)＝x3＋bx2＋x恰有三个单调区间，则实数b的取值范围为________． 解析　由题意得f′(x)＝3x2＋2bx＋1， 函数f(x)＝x3＋bx2＋x恰有三个单调区间， 则函数f(x)＝x3＋bx2＋x有两个极值点， 即f′(x)＝3x2＋2bx＋1的图象与x轴有两个交点， 则判别式Δ＝4b2－12>0，解得b>或b<－. 所以实数b的取值范围为(－∞，－)∪(，＋∞). 答案　(－∞，－)∪(，＋∞) 9．已知函数f(x)＝x2＋a ln x(x＞0). (1)当a＝－2时，求函数f(x)的单调区间； (2)若函数g(x)＝f(x)＋在[1，＋∞)上单调，求实数a的取值范围． 解析　(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，当a＝－2时，f′(x)＝2x－＝. 当0＜x＜1时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；当x＞1时，f′(x)＞0，f(x)单调递增． 故f(x)的单调递增区间是(1，＋∞)，单调递减区间是(0，1). (2)由g(x)＝x2＋a ln x＋(x＞0)， 得g′(x)＝2x＋－. 由题意知，当x≥1时，g′(x)≥0恒成立或g′(x)≤0恒成立． 若g′(x)＝2x＋－≥0，则a≥－2x2＝－， 当x≥1时，－≤0，∴a≥0； 若g′(x)＝2x＋－≤0，则a≤－2x2＝－， 当x≥1时，y＝－无最小值， ∴g′(x)≤0不可能恒成立． 综上，实数a的取值范围是[0，＋∞). B级　能力提升 10．(2025·信阳模拟)已知a＝，b＝e－，c＝ln ，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a>b>c B．b>a>c C．c>a>b D．b>c>a 解析　设函数f(x)＝ex－x－1，x∈R， 则f′(x)＝ex－1， 当x<0时，f′(x)<0， f(x)在(－∞，0)上单调递减； 当x>0时，f′(x)>0， f(x)在(0，＋∞)上单调递增， 故f(x)≥f(0)＝0， 即ex≥1＋x，当且仅当x＝0时等号成立， ∵ex≥1＋x， ∴e－>1－＝， ∴b>a， 由以上分析可知当x>0时，有ex-1≥x成立，当且仅当x＝1时等号成立， 即ln x≤x－1，当且仅当x＝1时等号成立， ∴ln <－1＝， ∴a>c，故b>a>c. 答案　B 11．(多选)已知函数f(x)＝ex＋e－x－2cos x，则下列说法正确的是(　　) A．函数y＝f(x)是偶函数，且在(－∞，＋∞)上不单调 B．函数y＝f′(x)是奇函数，且在(－∞，＋∞)上不单调递增 C．函数y＝f(x)在上单调递增 D．对任意m∈R，都有f(|m|)＝f(m)，且f(m)≥0 解析　函数f(x)的定义域为R，且f(－x)＝e－x＋ex－2cos (－x)＝ex＋e－x－2cos x＝f(x)，即函数f(x)为偶函数，在(－∞，＋∞)上显然不单调，故A正确； 又f′(x)＝ex－e－x＋2sin x，所以f′(－x)＝e－x－ex－2sin x＝－f′(x)， 所以函数y＝f′(x)是奇函数，因为f″(x)＝ex＋e－x＋2cos x≥2＋2cos x≥0恒成立， 所以y＝f′(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，故B错误； 当x∈时，sin x＜0，ex－e－x＜0， 所以f′(x)＝ex－e－x＋2sin x＜0在上恒成立， 所以f(x)在上单调递减，故C错误； 因为函数f(x)为偶函数， 所以对任意m∈R，都有f(|m|)＝f(m)， 当x＞0时，f′(x)＞f′(0)＝1－1＋0＝0， 所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增， 则函数f(x)在(－∞，0)上单调递减， 所以f(x)≥f(0)＝1＋1－2＝0，所以f(m)≥0，故D正确．故选AD. 答案　AD 12．已知函数f(x)＝a ln x－ax－3(a∈R). (1)求函数f(x)的单调区间； (2)若函数y＝f(x)的图象在点(2，f(2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，函数g(x)＝x3＋x2·在区间(t，3)上总不是单调函数，求m的取值范围． 解析　(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝， 当a＞0时，f(x)的单调递增区间为(0，1)，单调递减区间为(1，＋∞)； 当a＜0时，f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0，1)； 当a＝0时，f(x)为常函数，无单调区间． (2)由(1)及题意得f′(2)＝－＝1，即a＝－2， ∴f(x)＝－2ln x＋2x－3，f′(x)＝(x>0). ∴g(x)＝x3＋x2－2x， ∴g′(x)＝3x2＋(m＋4)x－2. ∵g(x)在区间(t，3)上总不是单调函数， 即g′(x)在区间(t，3)上有变号零点． 由于g′(0)＝－2，∴ 由g′(t)＜0，即3t2＋(m＋4)t－2＜0对任意t∈[1，2]恒成立， 由于g′(0)＜0，故只要g′(1)＜0且g′(2)＜0， 即m＜－5且m＜－9，即m＜－9. 由g′(3)＞0，即m＞－，∴－＜m＜－9. 即实数m的取值范围是. C级　拓广探索 13．(多选)若函数g(x)＝f(x)ln x在定义域上单调递增，则称函数f(x)具有“Z魔力”，下列函数中具有“Z魔力”的是(　　) A．f(x)＝ B．f(x)＝x－1 C．f(x)＝ D．f(x)＝ex 解析　要使函数f(x)具有“Z魔力”，则g(x)＝f(x)ln x在定义域上单调递增，即当x∈(0，＋∞)时，g′(x)≥0恒成立，对于A，f(x)＝，g(x)＝ln x在定义域上单调递增，故函数f(x)具有“Z魔力”，故A正确；对于B，f(x)＝x－1，g(x)＝(x－1)ln x，g′(x)＝ln x＋＝1＋ln x－，当x∈(0，1)时，g′(x)＜0，g(x)在(0，1)上单调递减，函数f(x)不具有“Z魔力”，故B错误；对于C，f(x)＝，g(x)＝，g′(x)＝，当x∈(e，＋∞)时，g′(x)＜0，g(x)在(e，＋∞)上单调递减，函数f(x)不具有“Z魔力”，故C错误；对于D，f(x)＝ex，g(x)＝ex ln x，g′(x)＝ex，令h(x)＝ln x＋(x＞0)，h′(x)＝－＝，当x∈(0，1)时，h′(x)＜0，h(x)在(0，1)上单调递减，当x∈(1，＋∞)时，h′(x)＞0，h(x)在(1，＋∞)上单调递增，故h(x)min＝h(x)极小值＝h(1)＝1＞0，即g′(x)＞0恒成立，g(x)在定义域上单调递增，因此函数f(x)具有“Z魔力”，故D正确．故选AD. 答案　AD 14．已知函数f(x)＝. (1)若a＞0，求f(x)的单调区间； (2)若对∀x1，x2∈[1，3]，x1≠x2都有＜2恒成立，求实数a的取值范围． 解析　(1)f(x)的定义域为{x|x≠0}，f′(x)＝ ， ∵a＞0，∴当x∈(－∞，0)∪(0，1)时，f′(x)＜0， 当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0， ∴f(x)的单调递减区间为(－∞，0)，(0，1)，单调递增区间为(1，＋∞). (2)∵∀x1，x2∈[1，3]，x1≠x2， 都有＜2恒成立， 即－2＜0恒成立， 即＜0恒成立， 令g(x)＝f(x)－2x，则＜0在x∈[1，3]上恒成立， 即函数g(x)＝f(x)－2x在区间[1，3]上单调递减， 又∵g′(x)＝f′(x)－2＝－2， ∴－2≤0在[1，3]上恒成立， 当x＝1时，不等式可化为－2≤0显然成立； 当x∈(1，3]时，不等式－2≤0可化为a≤， 令h(x)＝， 则h′(x)＝ ＝ ＝＝＜0在区间(1，3]上恒成立， ∴函数h(x)＝在区间(1，3]上单调递减， ∴h(x)min＝h(3)＝＝，∴a≤， 即实数a的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $$