3.1-（配套练习）【精讲精练】2026年高考数学一轮复习（人教A版）

[对应学生用书P296] A级　基础过关 1．(2024·福建南安侨光中学段考)已知f(x)＝e2025＋x ln x，则f′(1)＝(　　) A．1 B．e2025＋1 C．e2025－1 D．e2025 解析　∵f(x)＝e2025＋x ln x，∴f′(x)＝ln x＋1.∴f′(1)＝ln 1＋1＝1.故选A． 答案　A 2．(2025·邯郸模拟)设函数f(x)＝x＋的图象与x轴相交于点P，则该曲线在点P处的切线方程为(　　) A．y＝－x B．y＝－x－1 C．y＝0 D．y＝x－1 解析　令x＋＝0，即x＋1＝0， 即(x＋1)2＝0，解得x＝－1， 故P，f′(x)＝1－， 则f′(－1)＝1－＝0， 则其切线方程为y－f(－1)＝f′(－1)(x＋1)， 即y＝0.故选C. 答案　C 3．已知函数f(x)的导函数是f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋ln ，则f(1)＝(　　) A．－e B．2 C．－2 D．e 解析　由题意得，f′(x)＝2f′(1)＋·′＝2f′(1)＋x·＝2f′(1)－，所以f′(1)＝2f′(1)－1，解得f′(1)＝1.所以f(x)＝2x＋ln ，则f(1)＝2＋ln 1＝2. 答案　B 4．已知函数f(x)＝x ln x，若直线l过点(0，－e)，且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的斜率为(　　) A．－2 B．2 C．－e D．e 解析　设切点坐标为(t，t ln t)，∵f(x)＝x ln x，∴f′(x)＝ln x＋1，直线l的斜率为f′(t)＝ln t＋1，∴直线l的方程为y－t ln t＝(ln t＋1)(x－t)，将点(0，－e)的坐标代入直线l的方程得－e－t ln t＝－t(ln t＋1)，解得t＝e，∴直线l的斜率为f′(e)＝2. 答案　B 5．(多选)若函数y＝f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线相互垂直，则称y＝f(x)具有T性质．下列函数具有T性质的是(　　) A．y＝cos x B．y＝ln x C．y＝ex D．y＝x2 解析　由题意，若y＝f(x)具有T性质，则存在x1，x2，使得f′(x1)f′(x2)＝－1.对于A，因为f′(x)＝－sin x，存在x1＝，x2＝－，使得f′(x1)f′(x2)＝－1，正确；对于B，因为f′(x)＝＞0，不存在x1，x2，使得f′(x1)f′(x2)＝－1，错误；对于C，因为f′(x)＝ex＞0，不存在x1，x2，使得f′(x1)f′(x2)＝－1，错误；对于D，因为f′(x)＝2x，存在x1＝1，x2＝－，使得f′(x1)f′(x2)＝4x1x2＝－1，正确．故选AD. 答案　AD 6．已知函数f(x)＝＋ex cos x，若f′(0)＝－1，则a＝________． 解析　f′(x)＝＋ex cos x－ex sin x＝＋ex cos x－ex sin x，所以f′(0)＝－a＋1＝－1，则a＝2. 答案　2 7．函数f(x)＝x3－3x2的图象上过点(3，0)的切线方程为________． 解析　由题意得f′(x)＝3x2－6x.设切点为(x0，y0)，则f′(x0)＝3x－6x0，∴切线的方程为y－y0＝(3x－6x0)(x－x0)，又切线过点(3，0)，∴0－y0＝(3x－6x0)(3－x0)，又y0＝f(x0)＝x－3x，得2x－12x＋18x0＝0，∴x0＝0或x0＝3，当x0＝0时，切线方程为y＝0，当x0＝3时，切线方程为y＝9(x－3)＝9x－27. 答案　y＝0或y＝9x－27 8．已知函数f(x)＝x3－ax2＋x(a∈R)，若曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，则a的取值范围为________． 解析　因为f(x)＝x3－ax2＋x(a∈R)，所以f′(x)＝3x2－2ax＋a＋1，因为曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，所以关于x的方程f′(x)＝3x2－2ax＋a＋1＝0有两个不相等的实根，则Δ＝4a2－12＞0，即a2－2a－3＞0，解得a＞3或a＜－1，所以a的取值范围是(－∞，－1)∪(3，＋∞). 答案　(－∞，－1)∪(3，＋∞) 9．已知函数f(x)＝x－1＋(a∈R，e为自然对数的底数). (1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，求a的值； (2)当a＝1时，若直线l：y＝kx－1与曲线y＝f(x)相切，求直线l的方程． 解析　(1)f′(x)＝1－，因为曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，即f′(1)＝1－＝0，解得a＝e. (2)当a＝1时，f(x)＝x－1＋，f′(x)＝1－.设切点为(x0，y0)， 因为f(x0)＝x0－1＋＝kx0－1，① f′(x0)＝1－＝k，② ①＋②得x0＝kx0－1＋k，即(k－1)(x0＋1)＝0. 若k＝1，则②式无解，所以x0＝－1，k＝1－e， 所以直线l的方程为y＝(1－e)x－1. 10．设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0. (1)求f(x)的解析式； (2)证明曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，并求此定值． (1)解析　方程7x－4y－12＝0可化为y＝x－3，当x＝2时，y＝， 又∵f′(x)＝a＋，∴解得 ∴f(x)＝x－. (2)证明　设P(x0，y0)为曲线y＝f(x)上任一点， 由f′(x)＝1＋知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为y－＝(x－x0). 令x＝0，得y＝－， ∴切线与直线x＝0的交点坐标为. 令y＝x，得y＝x＝2x0， ∴切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0，2x0). ∴曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0和y＝x所围成的三角形的面积S＝·|2x0|＝6. 故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和y＝x所围成的三角形面积为定值，且此定值为6. B级　能力提升 11．(多选)若函数f(x)＝＋ln (x＋1)的图象上不存在互相垂直的切线，则a的值可以是(　　) A．－1 B．5 C．1 D．3 解析　f′(x)＝x＋－a＝x＋1＋－a－1≥2－a－1＝1－a， 当且仅当x＋1＝，即x＝0时，等号成立． 因为函数f(x)的图象上不存在互相垂直的切线， 所以f′(x)min≥0，即1－a≥0，解得a≤1，故选AC. 答案　AC 12．若直线y＝kx＋b是曲线y＝ln x＋2的切线，也是曲线y＝ln (x＋1)的切线，则b＝________． 解析　直线y＝kx＋b与曲线y＝ln x＋2，y＝ln (x＋1)均相切， 设切点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由y＝ln x＋2得y′＝， 由y＝ln (x＋1)得y′＝， ∴k＝＝，∴x1＝，x2＝－1， ∴y1＝－ln k＋2，y2＝－ln k. 即A，B， ∵A，B均在直线y＝kx＋b上， ∴解得 答案　1－ln 2 13．已知函数f(x)＝ax3＋3x2－6ax－11，g(x)＝3x2＋6x＋12和直线m：y＝kx＋9，且f′(－1)＝0. (1)求a的值； (2)是否存在实数k，使直线m既是曲线y＝f(x)的切线，又是曲线y＝g(x)的切线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由． 解析　(1)由已知得f′(x)＝3ax2＋6x－6a，因为f′(－1)＝0，所以3a－6－6a＝0，所以a＝－2. (2)存在．理由如下： 由已知得，直线m恒过定点(0，9)，若直线m是曲线y＝g(x)的切线，则设切点为(x0，3x＋6x0＋12). 因为g′(x0)＝6x0＋6，所以切线方程为y－(3x＋6x0＋12)＝(6x0＋6)(x－x0)，将(0，9)代入切线方程，解得x0＝±1. 当x0＝－1时，切线方程为y＝9. 当x0＝1时，切线方程为y＝12x＋9. 由(1)知f(x)＝－2x3＋3x2＋12x－11，f′(x)＝－6x2＋6x＋12. ①由f′(x)＝0得－6x2＋6x＋12＝0，解得x＝－1或x＝2. 在x＝－1处，曲线y＝f(x)的切线方程为y＝－18； 在x＝2处，曲线y＝f(x)的切线方程为y＝9， 所以曲线y＝f(x)与y＝g(x)的公切线是直线y＝9. ②由f′(x)＝12得－6x2＋6x＋12＝12，解得x＝0或x＝1. 在x＝0处，曲线y＝f(x)的切线方程为y＝12x－11； 在x＝1处，曲线y＝f(x)的切线方程为y＝12x－10，所以直线y＝12x＋9不是曲线y＝f(x)与y＝g(x)的公切线． 综上所述，曲线y＝f(x)与y＝g(x)的公切线是直线y＝9，此时k＝0. C级　拓广探索 14．(多选)已知函数f(x)及其导数f′(x)，若存在x0∈R，使得f(x0)＝f′(x0)，则称x0是f(x)的一个“巧值点”，下列函数中，没有“巧值点”的是(　　) A．f(x)＝2x2＋3 B．f(x)＝ C．f(x)＝e－x D．f(x)＝ln x 解析　对于A，由f(x0)＝f′(x0)得2x＋3＝4x0，即2x－4x0＋3＝0，Δ＝－8＜0，∴该方程无解，∴函数f(x)＝2x2＋3无“巧值点”，故A符合题意； 对于B，由f(x0)＝f′(x0)得＝－，解得x0＝－1，∴函数f(x)＝有“巧值点”－1，故B不符合题意； 对于C，由f(x0)＝f′(x0)得e－x0＝－e－x0，无解，∴函数f(x)＝e－x无“巧值点”，故C符合题意； 对于D，由f(x0)＝f′(x0)得ln x0＝，易知函数y＝ln x0与y＝的图象(图略)在第一象限内有一个交点，∴方程ln x0＝有一个解，∴函数f(x)＝ln x有“巧值点”，故D不符合题意．故选AC. 答案　AC 15．若存在a＞0，使得两曲线f(x)＝a ln x与g(x)＝x2－3x－b存在相同的切线，且切线的斜率为1，则b的最大值为________． 解析　f′(x)＝，g′(x)＝2x－3， 令f′(x)＝＝1，得x＝a，∴切点为(a，a ln a)， 令g′(x)＝2x－3＝1，得x＝2， ∴切点为(2，－2－b). 代入切线方程为y－a ln a＝x－a，可得－2－b－a ln a＝2－a，则b＝a－a ln a－4， 令h(x)＝x－x ln x－4，x＞0，则h′(x)＝1－ln x－1＝－ln x，当0＜x＜1时，h′(x)＞0，当x＞1时，h′(x)＜0， ∴h(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， ∴h(x)max＝h(1)＝－3，即b的最大值为－3. 答案　－3 学科网（北京）股份有限公司 $$