2.5-（配套练习）【精讲精练】2026年高考数学一轮复习（人教A版）

[对应学生用书P285] A级　基础过关 1．若幂函数f(x)的图象过点(2，)，则函数y＝f(x)＋1－x的最大值为(　　) A．1 B． C．2 D． 解析　设f(x)＝xα，∵f(x)的图象过点(2，)，∴f(2)＝2α＝，则α＝，∴f(x)＝，∴y＝＋1－x＝－＋，∴所求最大值为.故选B. 答案　B 2．已知函数f(x)＝(m－1)x2－2mx＋3是偶函数，则在(－∞，0)上，此函数(　　) A．单调递增 B．不是单调函数 C．单调递减 D．不能确定 解析　因为函数f(x)＝(m－1)x2－2mx＋3是偶函数，所以函数图象关于y轴对称，即＝0，解得m＝0，所以f(x)＝－x2＋3为开口向下的抛物线，所以在(－∞，0)上函数单调递增．故选A． 答案　A 3．在同一平面直角坐标系中，函数f(x)＝ax2＋x＋1和函数g(x)＝ax＋1的图象不可能是(　　) 解析　若a＝0，则f(x)＝x＋1，g(x)＝1，A可能；若a＜0，则f(x)的图象开口向下，过点(0，1)，对称轴为x＝－＞0，g(x)的图象过点(0，1)和，且－＜－，B可能；若0＜a＜，则f(x)的图象开口向上，与x轴有两个交点，过点(0，1)，对称轴为x＝－＜0，g(x)的图象过点(0，1)和，且－＞－，C不可能；若a＞，则f(x)的图象开口向上，与x轴没有交点，过点(0，1)，对称轴为x＝－＜0，g(x)的图象过点(0，1)和，且－＞－，D可能． 答案　C 4．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c，其中a＞0，f(0)＜0，a＋b＋c＝0，则(　　) A．∀x∈(0，1)，都有 f(x)＞0 B．∀x∈(0，1)，都有 f(x)＜0 C．∃x∈(0，1)，使得 f(x)＝0 D．∃x∈(0，1)，使得 f(x)＞0 解析　由a＞0，f(0)＜0，a＋b＋c＝0可知a＞0，c＜0，抛物线开口向上． 因为f(0)＝c＜0，f(1)＝a＋b＋c＝0，即1是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根，所以∀x∈(0，1)，都有f(x)＜0，B正确，A、C、D错误，故选B. 答案　B 5．(多选)已知函数f(x)＝ax2－2bx－1，则下列结论正确的是(　　) A．若f(x)是偶函数，则b＝0 B．若f(x)＜0的解集是(－1，1)，则ab＝1 C．若a＝1，则f(x)＞0恒成立 D．∀a≤0，b＜0，f(x)在(－∞，0)上单调递增 解析　对于A，函数f(x)的定义域为R，若函数f(x)为偶函数，则f(－x)＝f(x)，即ax2＋2bx－1＝ax2－2bx－1，即4bx＝0对任意的x∈R恒成立，则b＝0，故A正确；对于B，若不等式f(x)＜0的解集为(－1，1)，则a＞0且－1，1为方程f(x)＝0的两根，则解得故ab＝1，故B正确；对于C，若a＝1，则f(x)＝x2－2bx－1，Δ＝4b2＋4＞0，故f(x)＞0不恒成立，故C错误；对于D，当a＝0时，因为b＜0，所以f(x)在(－∞，0)上单调递增，当a＜0时，函数f(x)的对称轴为直线x＝，且＞0，由二次函数的单调性可知，函数f(x)在(－∞，0)上单调递增，因此，∀a≤0，b＜0，f(x)在(－∞，0)上单调递增，故D正确． 答案　ABD 6．已知f(x)＝为奇函数，则g(x)＝x2＋ax＋b的单调递增区间为________． 解析　易知函数f(x)的定义域为(－1，1).因为f(x)为奇函数，所以f(0)＝0，所以a－1＝0，即a＝1.经检验，a＝1符合题意，所以g(x)＝x2＋x＋b，该二次函数图象的开口向上，对称轴为直线x＝－，所以g(x)的单调递增区间是. 答案　 7．已知函数f(x)＝3x2－12x＋5在区间[0，n]上的最大值为5，最小值为－7，则n的取值范围是________． 解析　因为函数f(x)＝3x2－12x＋5＝3(x－2)2－7，所以函数f(x)图象的对称轴为直线x＝2，且函数 f(x)的最小值为f(2)＝－7.令f(x)＝5，解得x＝0或4，因为f(x)在区间[0，n]上的最大值为5，最小值为－7，所以n的取值范围是2≤n≤4. 答案　[2，4] 8．已知幂函数f(x)的图象过点，则f(x)＝________，若f(a＋1)＜f(3－2a)，则实数a的取值范围是________． 解析　设f(x)＝xα，将点代入得α＝－，所以f(x)＝x－，其在(0，＋∞)上单调递减，所以a＋1＞3－2a＞0，可得a∈. 答案　x　 9．已知二次函数f(x)的最小值为1，函数y＝f(x＋1)是偶函数，且f(0)＝3. (1)求f(x)的解析式； (2)若函数f(x)在区间[2a，a＋1]上单调，求实数a的取值范围． 解析　(1)因为函数y＝f(x＋1)是偶函数，所以f(x)的图象关于直线x＝1对称，又因为f(x)的最小值为1，所以可设f(x)＝a(x－1)2＋1(a＞0)，又f(0)＝3，所以a＝2，所以f(x)＝2(x－1)2＋1＝2x2－4x＋3. (2)要使f(x)在区间[2a，a＋1]上单调，则或解得≤a＜1或a≤0，所以实数a的取值范围为(－∞，0]∪. 10．已知函数g(x)＝ax2－2ax＋1＋b(a＞0)在区间[2，3]上有最大值4和最小值1. (1)求a，b的值； (2)若存在x∈[3，4]，使g(x)＜2m2－tm＋7对任意的t∈[0，5]都成立，求实数m的取值范围． 解析　(1)g(x)＝ax2－2ax＋1＋b＝a(x－1)2＋1＋b－a. 因为a＞0，所以g(x)在[2，3]上单调递增， 所以⇒⇒ (2)由(1)得g(x)＝x2－2x＋1， 因为存在x∈[3，4]，使g(x)＜2m2－tm＋7对任意的t∈[0，5]都成立， 所以当x∈[3，4]时，g(x)min＝g(3)＝4＜2m2－tm＋7对任意的t∈[0，5]都成立， 即－mt＋2m2＋3＞0对任意的t∈[0，5]都成立，其中t看作自变量，m看作参数， 所以解得m＜1或m＞， 故实数m的取值范围为(－∞，1)∪. B级　能力提升 11．已知函数f(x)＝x2－2tx＋1在区间(－∞，1]上单调递减，且当x∈[0，t＋1]时，有f(x)max－f(x)min≤2，则实数t的取值范围是(　　) A．[－，] B．[1，] C．[2，3] D．[1，2] 解析　由题意得，函数f(x)＝x2－2tx＋1的图象的对称轴为直线x＝t，∵f(x)在区间(－∞，1]上单调递减，∴t≥1，∴当x∈[0，t＋1]时，f(x)max＝f(0)＝1，f(x)min＝f(t)＝t2－2t2＋1＝－t2＋1，∴1－(－t2＋1)≤2，解得－≤t≤，又t≥1，∴1≤t≤，即实数t的取值范围是[1，]，故选B. 答案　B 12．(多选)若关于x的一元二次方程(x－2)(x－3)＝m有实数根x1，x2，且x1＜x2，则下列结论正确的是(　　) A．当m＝0时，x1＝2，x2＝3 B．m＞－ C．当m＞0时，2＜x1＜x2＜3 D．当m＞0时，x1＜2＜3＜x2 解析　当m＝0时，(x－2)(x－3)＝0，所以x1＝2，x2＝3，故A正确； 方程(x－2)(x－3)＝m化为x2－5x＋6－m＝0， 由方程有两个不等实根得Δ＝25－4(6－m)＝1＋4m＞0，所以m＞－，故B正确； 当m＞0时，画出函数y＝(x－2)(x－3)和函数y＝m的图象，如图所示，可得x1＜2＜3＜x2，所以C不正确，D正确． 答案　ABD 13．已知函数f(x)＝kx2＋(3＋k)x＋3，其中k为常数． (1)若f(2)＝3，求函数f(x)的表达式； (2)在(1)的条件下，设函数g(x)＝f(x)－mx，若g(x)在区间[－2，2]上是单调函数，求实数m的取值范围； (3)是否存在k使得函数f(x)在[－1，4]上的最大值是4？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由． 解析　(1)∵f(2)＝4k＋2(3＋k)＋3＝3，解得k＝－1，∴f(x)＝－x2＋2x＋3. (2)由(1)可得g(x)＝－x2＋2x＋3－mx＝－x2＋(2－m)x＋3，其对称轴方程为x0＝， 若g(x)在[－2，2]上为增函数，则x0≥2，解得m≤－2；若g(x)在[－2，2]上为减函数，则x0≤－2，解得m≥6. 综上可知，m的取值范围为 {m|m≤－2，或m≥6}． (3)当k＝0时，函数f(x)＝3x＋3在[－1，4]上的最大值是15，不满足条件； 当k≠0时，假设存在满足条件的k，则f(x)的最大值只可能在－1，4或对称轴处取得， 其中对称轴x0＝－， ①若f(x)max＝f(－1)＝4，则有k－3－k＋3＝4，k的值不存在； ②若f(x)max＝f(4)＝4，则16k＋12＋4k＋3＝4，解得k＝－，此时，对称轴x0＝∈[－1，4]，则最大值应在x0处取得，与条件矛盾，舍去； ③若f(x)max＝f(x0)＝4，则k＜0，且＝4， 化简得k2＋10k＋9＝0，解得k＝－1或k＝－9，满足k＜0且x0＝－∈[－1，4]， 综上可知，当k＝－1或k＝－9时，函数f(x)在[－1，4]上的最大值是4. C级　拓广探索 14．已知幂函数y＝xa与y＝xb的部分图象如图所示，直线x＝m2，x＝m(0＜m＜1)与y＝xa，y＝xb的图象分别交于A，B，C，D四点，且|AB|＝|CD|，则ma＋mb等于(　　) A． B．1 C． D．2 解析　由题意，|AB|＝|(m2)a－(m2)b|，|CD|＝|ma－mb|，根据图象可知b＞1＞a＞0，当0＜m＜1时，(m2)a＞(m2)b，ma＞mb，因为|AB|＝|CD|，所以m2a－m2b＝(ma＋mb)(ma－mb)＝ma－mb，因为ma－mb＞0，所以ma＋mb＝1. 答案　B 15．若f(x)＝x2－2ax＋5(a>1)在区间(－∞，2]上是减函数，且对任意的x1，x2∈[1，a＋1]，总有|f(x1)－f(x2)|≤4，则实数a的取值范围为________． 解析　因为f(x)在(－∞，2]上是减函数，所以a≥2.所以f(x)在[1，a]上单调递减，在[a，a＋1]上单调递增，又函数f(x)的对称轴为直线x＝a， 所以f(x)min＝f(a)＝5－a2， f(x)max＝max{f(1)，f(a＋1)}， 又f(1)－f(a＋1)＝6－2a－(6－a2)＝a(a－2)≥0， 所以f(x)max＝f(1)＝6－2a. 因为对任意的x1，x2∈[1，a＋1]，总有|f(x1)－f(x2)|≤4， 所以f(x)max－f(x)min≤4， 即6－2a－(5－a2)≤4，解得－1≤a≤3. 又a≥2，所以2≤a≤3. 即实数a的取值范围为[2，3]. 答案　 [2，3] 学科网（北京）股份有限公司 $$