2.3-（配套练习）【精讲精练】2026年高考数学一轮复习（人教A版）

[对应学生用书P282] A级　基础过关 1．下列函数是偶函数的是(　　) A．y＝sin x B．y＝cos x C．y＝x3 D．y＝3x 解析　对于A，因为sin (－x)＝－sin x，所以函数y＝sin x为奇函数，故A不正确；对于B，因为cos (－x)＝cos x，所以函数y＝cos x为偶函数，故B正确；对于C，因为(－x)3＝－x3，所以函数y＝x3为奇函数，故C不正确；对于D，因为3－x＝，所以函数y＝3x为非奇非偶函数，故D不正确．综上所述，选B. 答案　B 2．已知函数f(x)满足对于任意的实数x，都有f(x＋3)＝，且f(3)＝，则f(2025)＝(　　) A．－ B． C．－1 D．1 解析　由f(x＋3)＝得f(x)的周期T＝6，f(2025)＝f(337×6＋3)＝f(3)＝. 答案　B 3．函数f(x)＝的图象(　　) A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于坐标原点对称 D．关于直线 y＝x对称 解析　由题意知 f(x)的定义域为R，且f(x)＝＝3x＋3－x，f(－x)＝3－x＋3x，∴f(－x)＝f(x)，故f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称． 答案　B 4．已知f(x)是R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)＝2x－.若f(2)＋f(0)＝1，则f(－3)＝(　　) A．－4 B．－3 C．－2 D．1 解析　因为f(x)是R上的奇函数，所以f(0)＝0.又因为f(2)＋f(0)＝1，所以f(2)＝4－＝1，解得a＝6，所以f(x)＝2x－(x＞0)，所以f(－3)＝－f(3)＝－＝－4. 答案　A 5．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋5)＝f(x－3)，如果当x∈[0，4)时，f(x)＝log2(x＋2)，则f(766)＝(　　) A．3 B．－3 C．2 D．－2 解析　由f(x＋5)＝f(x－3)，得f(x＋8)＝f(x)，所以f(x)是周期为8的周期函数，当x∈[0，4)时，f(x)＝log2(x＋2)，所以f(766)＝f(96×8－2)＝f(－2)，又f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(－2)＝f(2)＝log24＝2. 答案　C 6．已知函数f(x)＝－x2＋bx＋c，且f(x＋1)是偶函数，则f(－1)，f(1)，f(2)的大小关系是(　　) A．f(－1)＜f(1)＜f(2) B．f(1)＜f(2)＜f(－1) C．f(2)＜f(－1)＜f(1) D．f(－1)＜f(2)＜f(1) 解析　因为f(x＋1)是偶函数，所以其对称轴为x＝0，所以f(x)的对称轴为x＝1，又二次函数f(x)＝－x2＋bx＋c的开口向下，根据自变量离对称轴的距离可得f(－1)＜f(2)＜f(1). 答案　D 7．已知函数f(x)＝为偶函数，则2a＋b＝________． 解析　因为f(x)为偶函数， 所以所以 解得经检验，符合题意， 所以2a＋b＝. 答案　 8．已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8(a，b是常数)，且f(－3)＝5，则f(3)＝________． 解析　令g(x)＝x5＋ax3＋bx，则g(－x)＝(－x)5＋a(－x)3＋b(－x)＝－g(x)，即g(x)是奇函数，依题意，g(x)＝f(x)＋8，而g(－3)＋g(3)＝0，则 f(－3)＋8＋f(3)＋8＝0，又f(－3)＝5，所以f(3)＝－21. 答案　－21 B级　能力提升 9．(多选)已知f(x)为奇函数，且f(x＋1)为偶函数，若f(1)＝0，则(　　) A．f(3)＝0 B．f(3)＝f(5) C．f(x＋3)＝f(x－1) D．f(x＋2)＋f(x＋1)＝1 解析　因为函数f(x＋1)为偶函数，所以f(x＋1)＝f(1－x)，又因为f(x)是R上的奇函数，所以f(x＋1)＝f(1－x)＝－f(x－1)，所以f(x＋2)＝－f(x)，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)的周期为4，又因为f(1)＝0，f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝0，f(5)＝f(1)＝0，故A、B正确；f(x＋3)＝f(x＋3－4)＝f(x－1)，所以C正确；f(2)＝f(2－4)＝f(－2)，同时根据奇函数的性质得f(2)＝－f(－2)，所以f(2)，f(－2)既相等又互为相反数，故f(2)＝0，所以f(2)＋f(1)＝0≠1，即f(x＋2)＋f(x＋1)＝1对于x＝0不成立，故D不正确． 答案　ABC 10．函数f(x)的定义域为R，y＝f(x)＋2ex是偶函数，y＝f(x)－3ex是奇函数，则f(x)的最小值为(　　) A．e B． C．2 D．2 解析　由题意可得解得f(x)＝，因为f(x)＝≥＝，当且仅当ex＝5e－x，即x＝ln 5时，等号成立，所以f(x)的最小值为.故选B. 答案　B 11．(2025·菏泽模拟)已知f(x)＝xh(x)，其中h(x)是奇函数且在R上为增函数，则(　　) 解析　由于h(x)是奇函数且在R上为增函数，故h(0)＝0， 当x>0时，h(x)>h(0)＝0，且f(x)＝xh(x)为偶函数，且f(x)＝xh(x)在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减， 答案　C 12．(多选)f(x)是定义在R上的偶函数，对∀x∈R，均有f(x＋2)＝－f(x)，当x∈[0，1]时，f(x)＝log2(2－x)，则下列结论正确的是(　　) A．函数f(x)的一个周期为4 B．f(2024)＝1 C．当x∈[2，3]时，f(x)＝－log2(4－x) D．函数f(x)在[0，2023]内有1011个零点 解析　因为f(x)是定义在R上的偶函数，对∀x∈R，均有f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以函数的一个周期为4，故A正确；f(2024)＝f(4×506＋0)＝f(0)＝1，故B正确；当x∈[2，3]时，x－2∈[0，1]，则f(x)＝－f(x－2)＝－log2[2－(x－2)]＝－log2(4－x)，故C正确；易知f(1)＝f(3)＝f(5)＝…＝f(2021)＝f(2023)＝0，于是函数f(x)在[0，2023]内有1012个零点，故D错误．故选ABC. 答案　ABC 13．若函数f(x)＝ex－e－x，则不等式f(ln x)＋f(ln x－1)＞0的解集是________． 解析　因为f(x)＝ex－e－x，定义域为R，且f(－x)＝e－x－ex＝－f(x)，故f(x)为奇函数，又y＝ex，y＝－e－x均为增函数，故f(x)为R上的增函数，则原不等式等价于f(ln x)＞f(1－ln x)，也即ln x＞1－ln x，整理得ln x＞，解得x＞，故不等式的解集为(，＋∞). 答案　(，＋∞) 14．已知函数f(x)＝在区间[－3，3]上的最大值为M，最小值为N，则M＋N的值为________． 解析　f(x)＝＝＝＋1，令g(x)＝f(x)－1＝，则g(－x)＝－＝－g(x)，所以函数g(x)在[－3，3]上为奇函数，则g(x)max＋g(x)min＝0，即M－1＋N－1＝0，所以M＋N＝2. 答案　2 C级　拓广探索 15．已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)，f(1)＝1，则f(k)等于(　　) A．－3 B．－2 C．0 D．1 解析　因为f(1)＝1， 所以在f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)中， 令y＝1，得f(x＋1)＋f(x－1)＝f(x)f(1)， 所以f(x＋1)＋f(x－1)＝f(x)，① 所以f(x＋2)＋f(x)＝f(x＋1).② 由①②相加，得f(x＋2)＋f(x－1)＝0， 故f(x＋3)＋f(x)＝0， 所以f(x＋3)＝－f(x)，所以f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)，所以函数f(x)的一个周期为6. 在f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)中，令x＝1，y＝0，得f(1)＋f(1)＝f(1)f(0)，所以f(0)＝2. 令x＝y＝1，得f(2)＋f(0)＝f(1)f(1)，所以f(2)＝－1. 由f(x＋3)＝－f(x)，得f(3)＝－f(0)＝－2，f(4)＝－f(1)＝－1，f(5)＝－f(2)＝1，f(6)＝－f(3)＝2，所以f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝1－1－2－1＋1＋2＝0， 根据函数的周期性知，f(k)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝1－1－2－1＝－3，故选A． 答案　A 16．设函数f(x)的定义域为R.若存在常数T，A(T＞0，A＞0)，使得对任意x∈R，f(x＋T)＝Af(x)都成立，则称函数f(x)具有性质P. (1)判断函数y＝x和y＝cos x是否具有性质P？(结论不要求证明) (2)若函数f(x)具有性质P，且其对应的T＝π，A＝2.当x∈(0，π]时，f(x)＝sin x，求函数f(x)在区间[－π，0]上的最大值． 解析　(1)因为函数y＝x是增函数， 所以函数y＝x不具有性质P. 当A＝1，T＝2π时， 函数y＝cos x对于任意x∈R， f(x＋T)＝Af(x)成立， 所以y＝cos x具有性质P. (2)设x∈(－π，0]，则x＋π∈(0，π]， 由题意得，f(x＋π)＝2f(x)＝sin (x＋π)， 所以f(x)＝－sin x，x∈(－π，0]， 由f(－π＋π)＝2f(－π)，f(0＋π)＝2f(0)， 得f(－π)＝f(π)＝0， 所以当x∈[－π，0]时，f(x)＝－sin x， 所以当x＝－时，f(x)在[－π，0]上有最大值f＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$