1.4-（配套练习）【精讲精练】2026年高考数学一轮复习（人教A版）

[对应学生用书P276] A级　基础过关 1．已知函数f(x)＝4x＋(x＞0，a＞0)在x＝3时取得最小值，则a＝(　　) A．24 B．28 C．32 D．36 解析　因为x＞0，a＞0，所以f(x)＝4x＋≥2＝4，当且仅当4x＝，即4x2＝a时，f(x)取得最小值．又因为f(x)在x＝3时取得最小值，所以a＝4×32＝36.故选D. 答案　D 2．若正实数a，b满足a＋4b＝ab，则ab的最小值为(　　) A．16 B．8 C．4 D．2 解析　因为正实数a，b满足a＋4b＝ab，所以ab＝a＋4b≥2＝4，所以ab≥16，当且仅当a＝4b，即a＝8，b＝2时等号成立． 答案　A 3．(2024·江苏扬州调研)设x>0，y>0，＋2y＝2，则x＋的最小值为(　　) A． B．2 C．＋ D．3 解析　因为＋2y＝2，所以＋y＝1， 因为x>0，y>0， 所以x＋＝＝＋xy＋＋1 ＝＋xy＋≥＋2 ＝＋2×＝＋. 当且仅当即时等号成立．故选C. 答案　C 4．设实数x满足x＞0，则函数y＝2＋3x＋的最小值为(　　) A．4－1 B．4＋2 C．4＋1 D．6 解析　因为x＞0，所以x＋1＞0，所以y＝2＋3x＋＝2＋3(x＋1)－3＋＝3(x＋1)＋－1≥2－1＝4－1，当且仅当3(x＋1)＝，即x＝－1时等号成立，所以函数y＝2＋3x＋的最小值为4－1.故选A． 答案　A 5．(2024·湘豫名校联考)已知正实数x，y满足＋＝1，则4xy－3x的最小值为(　　) A．8 B．9 C．10 D．11 解析　由x>0，y>0，且＋＝1，可得xy＝x＋y. 所以4xy－3x＝4x＋4y－3x＝x＋4y. 因为x＋4y＝(x＋4y)＝5＋＋≥9，当且仅当＝，即x＝3，y＝时等号成立，所以4xy－3x≥9.故选B. 答案　B 6．若x>0，y>0，且xy＋x－2y＝4，则2x＋y的最小值是(　　) A．4 B．5 C．7 D．9 解析　方法一　因为xy＋x－2y＝4， 所以(y＋1)x＝4＋2y， 则x＝＝2＋， 故2x＋y＝4＋＋(y＋1)－1 ≥3＋2＝7， 当且仅当＝y＋1，即y＝1，x＝3时等号成立． 方法二　由xy＋x－2y＝4， 得(x－2)·(y＋1)＝2， 因为y＋1>0，所以x－2>0， 故2x＋y＝2(x－2)＋(y＋1)＋3 ≥2＋3＝7， 当且仅当2(x－2)＝y＋1，即y＝1，x＝3时等号成立． 答案　C 7．若log2m＋log2n＝1，那么m＋n的最小值是________． 解析　因为log2m＋log2n＝1，即log2(mn)＝1，所以mn＝2，由基本不等式可得m＋n≥2＝2，当且仅当m＝n时等号成立，故m＋n的最小值是2. 答案　2 8．当3＜x＜12时，函数y＝的最大值为________． 解析　y＝＝＝－＋15≤－2＋15＝3，当且仅当x＝，即x＝6时等号成立，所以ymax＝3. 答案　3 B级　能力提升 9．(2025·潍坊质检)已知3xy－2x－y＝2(x>0，y>0)，则2x＋y的最小值为(　　) A．2 B．2 C．3 D．4 解析　因为3xy－2x－y＝2(x>0，y>0)，所以2＝3xy－2x－y≤×－(2x＋y)，当且仅当2x＝y，即x＝1，y＝2时等号成立．令t＝2x＋y，则2≤×－t，即3t2－8t－16≥0，解得t≥4或t≤－(不符合题意，舍去).∴2x＋y的最小值为4.故选D. 答案　D 10．(多选)已知正实数a，b满足ab＋a＋b＝8，下列说法正确的是(　　) A．ab的最大值为2 B．a＋b的最小值为4 C．a＋2b的最小值为6－3 D．＋的最小值为 解析　对于A，因为ab＋a＋b＝8≥ab＋2，即()2＋2－8≤0，解得－4≤≤2， 又因为a>0，b>0，所以0<≤2，则ab≤4，当且仅当a＝b＝2时等号成立，故A错误；对于B，ab＋a＋b＝8≤＋(a＋b)，即(a＋b)2＋4(a＋b)－32≥0，解得a＋b≤－8(舍)或a＋b≥4，当且仅当a＝b＝2时等号成立，故B正确；对于C，由题意可得b(a＋1)＝8－a，所以b＝>0，解得0<a<8， 所以a＋2b＝a＋2×＝a＋－2＝a＋1＋－3≥2－3＝6－3， 当且仅当a＋1＝，即a＝3－1时等号成立，故C正确；对于D，＋＝[a(b＋1)＋b]＝≥×(2＋2)＝， 当且仅当＝，即b＝4，a＝时等号成立，故D正确． 答案　BCD 11．(多选)(2025·湖南长郡模拟)若x，y满足(x＋y)2－xy＝2，则(　　) A．y－x≥－ B．y－x<2 C．xy> D．xy≥－ 解析　令y－x＝t，即y＝x＋t，代入(x＋y)2－xy＝2可得x2＋tx＋＝0. 所以Δ＝t2－3≥0，解得 －≤t≤， 所以A正确，B正确； 由 (x＋y)2－xy＝2可变形为 x2＋y2＝xy＋2， 因为 －≤xy≤，将x2＋y2＝xy＋2代入上式可得－－1≤xy≤＋1， 解得 －≤xy≤，所以C不正确，D正确．故选ABD. 答案　ABD 12．已知不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为________． 解析　已知不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，只要求(x＋y)的最小值大于或等于9，因为1＋a＋＋≥a＋2＋1，当且仅当y＝x时等号成立，所以a＋2＋1≥9，所以≥2或≤－4(舍去)，所以a≥4，即正实数a的最小值为4. 答案　4 13．已知正实数x，y满足x＋y＝1，则的最小值为________． 解析　由题意可知，＝ ＝＝＋＝(x＋y) ＝4＋5＋＋≥9＋2 ＝9＋4， 当且仅当＝，即x＝5－2，y＝2－4时等号成立，故的最小值为9＋4. 答案　9＋4 14．某地区计划修建一个如图所示的市民公园，其中AB＝3，∠A＝∠B＝90°，AB∥DE，AB与DE之间的距离为3，曲线段CD，EF是半径相等，且圆心角为90°的圆弧．设该市民公园的面积为S，周长为L，则的最大值为________(本题取π＝3进行计算). 解析　设圆弧的半径为x，根据题意可得DE＝3－2x，AF＝BC＝3－x，S＝3(3－x)＋(3－2x)x＋＝9－2x2＋，L＝3＋2(3－x)＋3－2x＋πx＝12－4x＋πx. ∵π＝3，∴S＝9－，L＝12－x， ∴＝＝. 令t＝24－2x(21＜t＜24)，则x＝， ∴＝＝－＋12. 由基本不等式，得＋≥2＝3，当且仅当＝，即t＝6时等号成立，且6∈(21，24)， ∴当t＝6时，＝12－3. 答案　12－3 C级　拓广探索 15．(2025·苏州模拟)已知a，b∈R，a＋b＝4，则＋的最大值为(　　) A． B． C． D． 解析　因为a＋b＝4，所以a2＋b2＋2ab＝16≥4ab，所以ab≤4，当且仅当a＝b＝2时等号成立， 从而＋＝＝＝， 令t＝ab≤4，设y＝＝，显然y>0， 则yt2＋2(1－y)t＋17y－18＝0， 因为关于t的一元二次方程有实数根，所以Δ＝4(1－y)2－4y≥0， 整理得－64y2＋64y＋4≥0， 即16y2－16y－1≤0， 解得≤y≤，注意到y>0，从而0<y≤，当且仅当Δ＝0时等号成立，即t＝＝1－＝1－4(－2)＝9－4＝(－2)2<22＝4， 所以经检验y的最大值，即＋的最大值为.故选D. 答案　D 16．(2024·江西重点中学联考)已知正数x，y满足x＋y＝6，若不等式a≤＋恒成立，则实数a的取值范围是________． 解析　因为x＋y＝6， 设t＝＋ ＝＋ ＝x＋1＋－2＋y＋2＋－4 ＝3＋＋， 所以t＝3＋＋ ＝3＋ ＝＋＋ ≥＋2＝4， 当且仅当y＝4，x＝2时等号成立，所以＝4，a≤4， 故实数a的取值范围是(－∞，4]. 答案　(－∞，4] 学科网（北京）股份有限公司 $$