第二章第4讲 等分运动的规律—比例法（专项训练）2025-2026学年高一物理人教版2019必修第一册

第4讲 等分运动的规律——比例法 一、 考点精讲练本讲要点 考点1：时间等分规律（必备知识+1例+3变式） 考点2：位移等分规律（必备知识+1例+3变式） 二、 跟踪训练-考点拓展（精选7道题） 　考点1：时间等分规律 初速度为0的匀加速直线运动，按时间等分(设相等的时间间隔为T)，则： 1. T末、2T末、3T末、…、nT末的瞬时速度之比为：v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶2∶3∶…∶n. 2. T内、2T内、3T内、…、nT内的位移之比为：x1∶x2∶x3∶…∶xn＝12∶22∶32∶…∶n2. 3. 第一个T内、第二个T内、第三个T内、…、第n个T内的位移之比为： x1′∶x2′∶x3′∶…∶xn′＝1∶3∶5∶…∶(2n－1)． 【例题】质点从O点由静止开始做匀加速直线运动，依次通过A、B、C三点，已知通过OA、AB、BC所用时间之比为1∶2∶3，则OA、AB、BC的距离之比为(　　) A．1∶4∶9 B．1∶3∶5 C．1∶8∶27 D．1∶2∶3 答案　C 【解析】初速度为0的匀变速直线运动，第1个T，第2个T，第3个T，……，第6个T内的位移之比为1∶3∶5∶7∶9∶11，所以xOA∶xAB∶xBC＝1∶(3＋5)∶(7＋9＋11)＝1∶8∶27，故C正确． 【变式1-1】在某次跳水比赛中，若将运动员入水后向下的运动视为匀减速直线运动，该运动过程的时间为8t。设运动员入水后向下运动的过程中，第一个t时间内的位移大小为x1，最后两个t时间内的总位移大小为x2，则x1∶x2为(　　) A．17∶4 B．13∶4 C．15∶4 D．15∶8 【解析】初速度为零的匀加速直线运动，在第一个t时间内、第二个t时间内、第三个t时间内、…、第n个t时间内的位移之比xⅠ∶xⅡ∶xⅢ∶…∶xn＝1∶3∶5∶…∶(2n－1)，将运动员的匀减速直线运动看作反向的初速度为零的匀加速直线运动，运动员运动总时间为8t，则第一个t时间内的位移即为逆过程中第八个t时间内的位移，最后两个t时间内的总位移即为逆过程中前两个t时间内的位移，故x1∶x2＝15∶(1＋3)＝15∶4，故C正确。 【变式1-2】一平直公路旁等间距竖立5根电线杆，相邻两电线杆间距为d，如图所示。一小车车头与第1根电线杆对齐，从静止开始做匀加速直线运动，测得小车车头从第1根电线杆到第2根电线杆历时t，下列说法正确的是(　　) A．车头到第2根电线杆时，速度大小为 B．车头从第1根电线杆到第5根电线杆历时为t C．车头到第5根电线杆时，速度大小为 D．车头到第5根电线杆时，速度大小为 【解析】：设车头到第2根电线杆时的速度为v，由平均速度公式＝，得v＝，A错误；根据初速度为零的匀变速直线运动，连续相等时间内通过的位移之比为1∶3∶5∶…，车头到第5根电线杆时所用的时间为2t，B错误；车头到第5根电线杆时的速度为v′＝2×＝，C正确，D错误。 【变式1-3】如图所示，、、、为光滑斜面上的四个点。一小滑块自点由静止开始下滑，通过、、各段所用时间均为。现让该滑块自点由静止开始下滑，则该滑块（　　）    A．通过、段的时间均等于 B．通过、点的速度之比为 C．通过、段的时间之比为 D．通过点的速度大于通过段的平均速度 【解析】A．一小滑块自点由静止开始下滑比小滑块从点静止开始下滑通过段任意一点的速度大，所以让该滑块自点由静止开始下滑，相同位移平均速度变小，时间变大，通过、段的时间均大于，故A错误；B．从点静止开始下滑，通过、、各段所用时间均为，根据初速度为的匀加速直线运动，相同时间的位移之比为：：：：设，则，，设滑块匀加速运动的加速度为，从点静止开始下滑通过点，根据速度位移关系公式解得同理可得：的速度故故B错误；C．由B选项及公式可知故C错误；D．通过段的平均速度所以有故D正确。故选D。 考点2：位移等分规律 按位移等分(设相等的位移为x)的比例式 1．通过前x、前2x、前3x、…前nx的位移时的瞬时速度之比为：v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶∶∶…∶. 2．通过前x、前2x、前3x、…、前nx的位移所用时间之比为：t1∶t2∶t3∶…∶tn＝1∶∶∶…∶. 3．通过连续相同的位移所用时间之比为： t1′∶t2′∶t3′∶…∶tn′＝1∶(－1)∶(－)∶…∶(－)． 【例题】(多选)水球可以挡住高速运动的子弹．实验证实：如图所示，用极薄的塑料膜片制成三个完全相同的水球紧挨在一起水平排列，子弹在水球中沿水平方向做匀变速直线运动，恰好能穿出第三个水球，则可以判定(忽略薄塑料膜片对子弹的作用，子弹视为质点)(　　) A．子弹穿过每个水球的时间之比为t1∶t2∶t3＝1∶1∶1 B．子弹穿过每个水球的时间之比t1∶t2∶t3＝(－)∶(－1)∶1 C．子弹在穿入每个水球时的速度之比为v1∶v2∶v3＝3∶2∶1 D．子弹在穿入每个水球时的速度之比为v1∶v2∶v3＝∶∶1 答案　BD 【解析】把子弹的运动看作逆向的初速度为零的匀加速直线运动．子弹由右向左依次“穿出”3个水球的速度之比为1∶∶.则子弹实际运动依次穿入每个水球时的速度之比v1∶v2∶v3＝∶∶1，故C错误，D正确．子弹从右向左，通过每个水球的时间之比为1∶(－1)∶(－)，则子弹实际运动穿过每个水球的时间之比为t1∶t2∶t3＝(－)∶(－1)∶1，故B正确，A错误． 【变式2-1】一列火车进站后做匀减速直线运动直至停下，则匀减速运动前三分之一位移与后三分之二位移所用时间之比为（    ） A． B． C． D． 【解析】将匀减速运动至停下可以看成倒过来的初速度为零的匀加速运动，初速度为零的匀加速直线运动相邻相等位移内的时间之比为则匀减速运动前三分之一位移与后三分之二位移所用时间之比为故选A。 【变式2-2】(多选)如图所示，一个滑块从斜面顶端A由静止开始沿斜面向下做匀加速直线运动到达底端C，已知AB＝BC，则下列说法正确的是(　　) A．滑块到达B、C两点的速度之比为1∶2 B．滑块到达B、C两点的速度之比为1∶ C．滑块通过AB、BC两段的时间之比为1∶ D．滑块通过AB、BC两段的时间之比为(＋1)∶1 答案　BD 【解析】方法一　根据匀变速直线运动的速度位移公式：v2＝2ax，解得：v＝，因为经过B、C两点的位移之比为1∶2，则通过B、C两点的速度之比为1∶，故B正确，A错误；设AB段、BC段的长度均为L，所经历的时间分别为t1、t2，根据匀变速直线运动的位移时间公式：L＝at12和2L＝a(t1＋t2)2，联立可得：＝，故D正确，C错误． 方法二　比例关系： 初速度为零的匀变速直线运动通过连续相等的位移所用时间之比为1∶(－1)∶(－)∶…∶(－)，所以滑块通过AB、BC两段的时间之比为1∶(－1)＝(＋1)∶1，D正确，C错误；通过前x、前2x、前3x、…、前nx的位移时的瞬时速度之比为1∶∶∶…∶，所以滑块到达B、C两点的速度之比为1∶，A错误，B正确． 【变式2-3】商场中的无轨小火车是由若干节相同的车厢组成，车厢间的空隙不计，现有一小朋友站在地面上保持静止，且与第一节车厢头部对齐，火车从静止开始启动做匀加速直线运动，下列说法正确的是( ) A．第1、2、3节车厢经过小朋友的时间之比是1∶∶ B．第1、2、3节车厢经过小朋友的时间之比是1∶(－1)∶(－1) C．第1、2、3节车厢尾经过小朋友的时间之比是1∶∶ D．第1、2、3节车厢尾经过小朋友瞬间的速度之比是1∶2∶3 【解析】由匀加速直线运动经过相等位移的时间关系可得，第1、2、3节车厢经过小朋友的时间之比为1∶∶，故A、B错误；由匀加速直线运动经过相等位移的时间关系可得，第1、2、3节车厢尾经过小朋友的时间之比为1∶∶，故C正确；由v2＝2al可得，第1、2、3节车厢尾经过小朋友瞬间的速度之比为∶∶＝1∶∶，故D错误。 跟踪训练-考点拓展 1．一个物体从静止开始做匀加速直线运动，它在第1 s内与第2 s内的位移之比为x1∶x2，在走完第1 m时与走完第2 m时的速度之比为v1∶v2。以下说法正确的是( ) A．x1∶x2＝1∶3，v1∶v2＝1∶2 B．x1∶x2＝1∶3，v1∶v2＝1∶ C．x1∶x2＝1∶4，v1∶v2＝1∶2 D．x1∶x2＝1∶4，v1∶v2＝1∶ 【解析】由初速度为零的匀变速直线运动的比例关系知x1∶x2＝1∶3，由x＝at2知，走完1 m与走完2 m所用时间之比为t1∶t2＝1∶，又v＝at，可得v1∶v2＝1∶，B正确。 2．如图所示，相同的木块A、B、C固定在水平地面上，一子弹(视为质点)以水平速度v0击中并恰好穿过木块A、B、C，子弹在木块做匀减速直线运动，子弹射穿木块A所用的时间为t，则子弹射穿木块C所用的时间约为( ) A．t B．2t C．3t D．4t 【解析】子弹做匀减速直线运动，由于恰好穿过木块A、B、C，表明穿过C时速度恰好为0，根据逆向思维，初速度为0的匀加速直线运动，在连续相邻相等位移内的时间之比为tC∶tB∶tA＝1∶(－1)：(－)，根据题意有tA＝t，解得tC＝t≈3t，故选C。 3．（多选）一辆汽车刹车后做匀减速直线运动，经后停止，发生位移，对这一运动过程，下列说法正确的有（　　） A．第内，第内，第内的位移之比为 B．第内，第内，第内的平均速度之比为 C．第内，第内，第内的速度改变量之比为 D．第，第，第所用时间之比为 【解析】A．初速度为零的匀加速直线运动，连续相等时间内的位移比为，正向的匀减速直线运动可以看成是反向的匀加速直线运动，故第内，第内，第内的位移之比为，A正确；B．由可知，时间相等的前提下平均速度与位移成正比，故第内，第内，第内的平均速度之比为，B错误；C．由可知，第内，第内，第内的速度改变量之比为，C正确；D．初速度为零的匀加速直线运动，连续相等位移内的时间比为，正向的匀减速直线运动可以当成反向的匀加速直线运动，故第，第，第所用时间之比为，D错误。故选AC。 4．如图，篮球架下的运动员原地垂直起跳扣篮，离地后重心上升的最大高度为H.上升第一个所用的时间为t1，第四个所用的时间为t2.不计空气阻力，则满足(　　) A．1<<2 B．2<<3 C．3<<4 D．4<<5 答案　C 【解析】本题应用逆向思维求解，即运动员的竖直上抛运动可等同于从一定高度处开始的自由落体运动的逆运动，所以第四个所用的时间为t2＝，第一个所用的时间为t1＝－，因此有＝＝2＋，即3<<4，选项C正确． 5．小球从竖直砖墙某位置由静止释放，用频闪照相机在同一底片上多次曝光，得到了如图中1、2、3、4、5所示的小球在运动过程中每次曝光的位置．连续两次曝光的时间间隔均为T，每块砖的厚度均为d.根据图中的信息，下列判断正确的是(　　) A．位置1是小球释放的初始位置 B．小球做匀加速直线运动 C．小球下落的加速度为 D．小球在位置3的速度为 答案　BCD 【解析】小球做自由落体运动，从静止开始运动的连续相等时间内的位移之比为1∶3∶5∶7…，而题图中位移之比为2∶3∶4∶5…，故位置1不是小球释放的初始位置，选项A错误，B正确．由a＝得a＝，选项C正确．小球在位置3的速度v3＝＝，选项D正确． 6．如图为某海湾大桥上四段长度均为110 m的等跨连续桥梁，汽车从a处开始做匀减速直线运动，恰好行驶到e处停下。设汽车通过ab段的平均速度为v1，汽车通过de段的平均速度为v2，则满足(　 　) A．2＜＜3 B．3＜＜4 C．4＜＜5 D．5＜＜6 【解析】设等跨连续桥梁的长度为L，将汽车从a到e的匀减速直线运动，看作反向初速度为零的匀加速直线运动，设汽车通过ab段和通过de段所用时间分别为t1、t2，根据初速度为零的匀变速直线运动的规律可得，t2∶t1＝1∶(2－)，又根据平均速度定义有，v1＝，v2＝，所以汽车通过ab段的平均速度与通过de段的平均速度之比为＝＝＝2＋，则3<<4，故选B。 7．(多选)如图所示，光滑斜面AE被分为四个相等的部分，一物体从A点由静止释放，它沿斜面向下做匀加速运动，依次通过B、C、D点，最后到达底端E点．下列说法正确的是(　　) A．物体通过各点的瞬时速度之比为vB∶vC∶vD∶vE＝1∶∶∶2 B．通过各段所用的时间之比tAB∶tBC∶tCD＝1∶∶ C．物体由A点到各点所经历的时间之比为tB∶tC∶tD∶tE＝1∶∶∶2 D．下滑全程的平均速度＝vB 答案　ACD 【解析】物体做初速度为零的匀加速直线运动．由v2＝2ax得v∝，A正确；通过各段所用时间之比为1∶(－1)∶(－)，故B错误；由v＝at知tB∶tC∶tD∶tE＝vB∶vC∶vD∶vE＝1∶∶∶2，C正确；因tB∶tE＝1∶2，即tAB＝tBE，vB为AE段的中间时刻的速度，故＝vB，D正确． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第4讲 等分运动的规律——比例法 一、 考点精讲练本讲要点 考点1：时间等分规律（必备知识+1例+3变式） 考点2：位移等分规律（必备知识+1例+3变式） 二、 跟踪训练-考点拓展（精选7道题） 　考点1：时间等分规律 初速度为0的匀加速直线运动，按时间等分(设相等的时间间隔为T)，则： 1. T末、2T末、3T末、…、nT末的瞬时速度之比为：v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶2∶3∶…∶n. 2. T内、2T内、3T内、…、nT内的位移之比为：x1∶x2∶x3∶…∶xn＝12∶22∶32∶…∶n2. 3. 第一个T内、第二个T内、第三个T内、…、第n个T内的位移之比为： x1′∶x2′∶x3′∶…∶xn′＝1∶3∶5∶…∶(2n－1)． 【例题】质点从O点由静止开始做匀加速直线运动，依次通过A、B、C三点，已知通过OA、AB、BC所用时间之比为1∶2∶3，则OA、AB、BC的距离之比为(　　) A．1∶4∶9 B．1∶3∶5 C．1∶8∶27 D．1∶2∶3 【变式1-1】在某次跳水比赛中，若将运动员入水后向下的运动视为匀减速直线运动，该运动过程的时间为8t。设运动员入水后向下运动的过程中，第一个t时间内的位移大小为x1，最后两个t时间内的总位移大小为x2，则x1∶x2为(　　) A．17∶4 B．13∶4 C．15∶4 D．15∶8 【变式1-2】一平直公路旁等间距竖立5根电线杆，相邻两电线杆间距为d，如图所示。一小车车头与第1根电线杆对齐，从静止开始做匀加速直线运动，测得小车车头从第1根电线杆到第2根电线杆历时t，下列说法正确的是(　　) A．车头到第2根电线杆时，速度大小为 B．车头从第1根电线杆到第5根电线杆历时为t C．车头到第5根电线杆时，速度大小为 D．车头到第5根电线杆时，速度大小为 【变式1-3】如图所示，、、、为光滑斜面上的四个点。一小滑块自点由静止开始下滑，通过、、各段所用时间均为。现让该滑块自点由静止开始下滑，则该滑块（　　）    A．通过、段的时间均等于 B．通过、点的速度之比为 C．通过、段的时间之比为 D．通过点的速度大于通过段的平均速度 考点2：位移等分规律 按位移等分(设相等的位移为x)的比例式 1．通过前x、前2x、前3x、…前nx的位移时的瞬时速度之比为：v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶∶∶…∶. 2．通过前x、前2x、前3x、…、前nx的位移所用时间之比为：t1∶t2∶t3∶…∶tn＝1∶∶∶…∶. 3．通过连续相同的位移所用时间之比为： t1′∶t2′∶t3′∶…∶tn′＝1∶(－1)∶(－)∶…∶(－)． 【例题】(多选)水球可以挡住高速运动的子弹．实验证实：如图所示，用极薄的塑料膜片制成三个完全相同的水球紧挨在一起水平排列，子弹在水球中沿水平方向做匀变速直线运动，恰好能穿出第三个水球，则可以判定(忽略薄塑料膜片对子弹的作用，子弹视为质点)(　　) A．子弹穿过每个水球的时间之比为t1∶t2∶t3＝1∶1∶1 B．子弹穿过每个水球的时间之比t1∶t2∶t3＝(－)∶(－1)∶1 C．子弹在穿入每个水球时的速度之比为v1∶v2∶v3＝3∶2∶1 D．子弹在穿入每个水球时的速度之比为v1∶v2∶v3＝∶∶1 【变式2-1】一列火车进站后做匀减速直线运动直至停下，则匀减速运动前三分之一位移与后三分之二位移所用时间之比为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】(多选)如图所示，一个滑块从斜面顶端A由静止开始沿斜面向下做匀加速直线运动到达底端C，已知AB＝BC，则下列说法正确的是(　　) A．滑块到达B、C两点的速度之比为1∶2 B．滑块到达B、C两点的速度之比为1∶ C．滑块通过AB、BC两段的时间之比为1∶ D．滑块通过AB、BC两段的时间之比为(＋1)∶1 【变式2-3】商场中的无轨小火车是由若干节相同的车厢组成，车厢间的空隙不计，现有一小朋友站在地面上保持静止，且与第一节车厢头部对齐，火车从静止开始启动做匀加速直线运动，下列说法正确的是( ) A．第1、2、3节车厢经过小朋友的时间之比是1∶∶ B．第1、2、3节车厢经过小朋友的时间之比是1∶(－1)∶(－1) C．第1、2、3节车厢尾经过小朋友的时间之比是1∶∶ D．第1、2、3节车厢尾经过小朋友瞬间的速度之比是1∶2∶3 跟踪训练-考点拓展 1．一个物体从静止开始做匀加速直线运动，它在第1 s内与第2 s内的位移之比为x1∶x2，在走完第1 m时与走完第2 m时的速度之比为v1∶v2。以下说法正确的是( ) A．x1∶x2＝1∶3，v1∶v2＝1∶2 B．x1∶x2＝1∶3，v1∶v2＝1∶ C．x1∶x2＝1∶4，v1∶v2＝1∶2 D．x1∶x2＝1∶4，v1∶v2＝1∶ 2．如图所示，相同的木块A、B、C固定在水平地面上，一子弹(视为质点)以水平速度v0击中并恰好穿过木块A、B、C，子弹在木块做匀减速直线运动，子弹射穿木块A所用的时间为t，则子弹射穿木块C所用的时间约为( ) A．t B．2t C．3t D．4t 3．（多选）一辆汽车刹车后做匀减速直线运动，经后停止，发生位移，对这一运动过程，下列说法正确的有（　　） A．第内，第内，第内的位移之比为 B．第内，第内，第内的平均速度之比为 C．第内，第内，第内的速度改变量之比为 D．第，第，第所用时间之比为 4．如图，篮球架下的运动员原地垂直起跳扣篮，离地后重心上升的最大高度为H.上升第一个所用的时间为t1，第四个所用的时间为t2.不计空气阻力，则满足(　　) A．1<<2 B．2<<3 C．3<<4 D．4<<5 5．小球从竖直砖墙某位置由静止释放，用频闪照相机在同一底片上多次曝光，得到了如图中1、2、3、4、5所示的小球在运动过程中每次曝光的位置．连续两次曝光的时间间隔均为T，每块砖的厚度均为d.根据图中的信息，下列判断正确的是(　　) A．位置1是小球释放的初始位置 B．小球做匀加速直线运动 C．小球下落的加速度为 D．小球在位置3的速度为 6．如图为某海湾大桥上四段长度均为110 m的等跨连续桥梁，汽车从a处开始做匀减速直线运动，恰好行驶到e处停下。设汽车通过ab段的平均速度为v1，汽车通过de段的平均速度为v2，则满足(　 　) A．2＜＜3 B．3＜＜4 C．4＜＜5 D．5＜＜6 7．(多选)如图所示，光滑斜面AE被分为四个相等的部分，一物体从A点由静止释放，它沿斜面向下做匀加速运动，依次通过B、C、D点，最后到达底端E点．下列说法正确的是(　　) A．物体通过各点的瞬时速度之比为vB∶vC∶vD∶vE＝1∶∶∶2 B．通过各段所用的时间之比tAB∶tBC∶tCD＝1∶∶ C．物体由A点到各点所经历的时间之比为tB∶tC∶tD∶tE＝1∶∶∶2 D．下滑全程的平均速度＝vB 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$