2.5.1 直线与圆的位置关系-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册五维课堂Word课时作业（人教A版2019）

[基础达标练] 1．(多选)直线l与圆C有公共点，则直线l与圆C的位置关系可能是(　　) A．相交　 B．相切 C．相离　 D．不能确定 解析：AB　[根据直线与圆位置关系的确定，有一个公共点时相切，有两个公共点时相交．] 2．直线x－y＋m＝0与圆x2＋y2－2x－2＝0相切，则实数m等于(　　) A.或－ B．－或3 C．－3或 D．－3或3 解析：C　[圆的方程为(x－1)2＋y2＝3，圆心(1,0)到直线的距离等于半径⇒＝⇒|＋m|＝2⇒m＝或m＝－3，故选C.] 3．已知圆C：x2＋y2－2x＋4y＝0关于直线3x－ay－11＝0对称，则圆C中以为中点的弦长为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：D　[依题意可知，直线过圆心(1，－2)，即3＋2a－11＝0，a＝4.故＝(1，－1)．圆的方程配方得(x－1)2＋(y＋2)2＝5，(1，－1)与圆心的距离为1，故弦长为2＝4.] 4．(2023·新课标Ⅰ卷，6)过点(0，－2)与圆x2＋y2－4x－1＝0相切的两条直线的夹角为α，则sin α＝(　　) A．1 B. C. D． 解析：B　[由题可知，圆的方程可化为(x－2)2＋y2＝5，故圆心B(2,0)，A(0，－2)，如图，设切点为M，N，AB＝2，BM＝，故AM＝，sin∠MBA＝＝，cos∠MBA＝，sin α＝sin(π－α)＝sin∠NBM＝sin 2∠MBA＝2××＝.] 5．(多选)若过点A(3,0)的直线l与圆(x－1)2＋y2＝1有公共点，则直线l的斜率可能是(　　) A．－1 B．－ C. D． 解析：BC　[由题意知直线l的斜率必存在，设为k，则l的方程为y＝k(x－3)，即kx－y－3k＝0，圆心C(1,0)．半径r＝1.直线与圆有公共点，需≤1，所以|2k|≤，得k2≤，所以－≤k≤，知B，C正确．] 6．过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2＋y2－4y＝0所截得的弦长为　________　. 解析：直线方程为y＝x，圆的方程为x2＋(y－2)2＝4，圆心(0,2)到直线的距离d＝＝1，弦长l＝2＝2. 答案：2 7．直线x－y＋1＝0与直线2x－2y－1＝0是圆C的两条切线，则圆C的面积是　________　. 解析：易知直线x－y＋1＝0与直线2x－2y－1＝0平行，若两条平行直线是圆C的两条切线，则两直线之间的距离为圆的直径．直线x－y＋1＝0，即2x－2y＋2＝0，与直线2x－2y－1＝0间的距离d＝＝，则圆C的半径r＝，圆C的面积S＝πr2＝π. 答案：π 8．已知两点O(0,0)，A(6,0)，圆C以线段OA为直径． (1)求圆C的方程； (2)若直线l1的方程为x－2y＋4＝0，直线l2平行于l1，且被圆C截得的弦MN的长是4，求直线l2的方程． 解：(1)依题意知圆C的半径r＝＝3， 圆心坐标为(3,0)，故圆C的方程为(x－3)2＋y2＝9. (2)∵直线l2平行于l1，直线l1的方程为x－2y＋4＝0， ∴设直线l2的方程为x－2y＋C＝0. 又∵ 弦长|MN|＝4，圆的半径为3，故圆心C到直线l2的距离d＝＝＝， ∴|3＋C|＝5，得C＝2或C＝－8， ∴直线l2的方程为x－2y＋2＝0或x－2y－8＝0. [能力提升练] 9．已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：mx－y－3m＋1＝0与圆C相交于A，B两点，则|AB|的最小值为(　　) A．4 B．2 C．4 D．2 解析：A　[由圆C的方程可得圆心C(1,2)，半径r＝5，直线l的方程可整理为m(x－3)－y＋1＝0， 令解得所以直线l恒过定点D(3,1)． 由题意知，当AB与CD垂直时，弦长|AB|最小，又kCD＝＝－，kAB＝m，所以此时m＝2， 直线l：2x－y－5＝0， 点C到直线l的距离d＝＝， 所以|AB|min＝2＝2＝4.] 10．过点(1,2)总可以作两条直线与圆x2＋y2＋kx＋2y＋k2－15＝0相切，则实数k的取值范围是(　　) A．(－∞，－3)∪(2，＋∞) B．(－∞，－3)∪ C.∪(2，＋∞) D.∪ 解析：D　[把圆的方程化为标准方程得2＋(y＋1)2＝16－k2.由16－k2＞0，解得－＜k＜.由题意得点(1,2)应在已知圆的外部， 把点(1,2)的坐标代入圆的方程得1＋4＋k＋4＋k2－15＞0，即(k－2)(k＋3)＞0，解得k＜－3或k＞2. 综上所述，实数k的取值范围是∪.] 11．已知圆C的圆心在直线x＋y＝0上，圆C与直线x－y＝0相切，且在直线x－y－3＝0上截得的弦长为，则圆C的方程为　______________　. 解析：所求圆的圆心在直线x＋y＝0上， 设所求圆的圆心为(a，－a)．又因为所求圆与直线x－y＝0相切， 所以半径r＝＝|a|.又所求圆在直线x－y－3＝0上截得的弦长为， 圆心(a，－a)到直线x－y－3＝0的距离d＝， 所以d2＋2＝r2，即＋＝2a2， 解得a＝1，所以圆C的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2. 答案：(x－1)2＋(y＋1)2＝2 12.某圆弧形山体隧道的示意图如图，其中底面AB的长为16米，最大高度CD的长为4米，以C为坐标原点，AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系． (1)求该圆弧所在圆的方程． (2)若某种汽车的宽约为2.5米，高约为1.6米，车辆行驶时两车的间距要求不小于0.5米以保证安全，同时车顶不能与隧道有剐蹭，则该隧道最多可以并排通过多少辆该种汽车？(将汽车看作长方体) 解：(1)由圆的对称性可知，该圆弧所在圆的圆心在y轴上，设圆心为(0，b)． 设该圆的半径为r米，则r2＝82＋(r－4)2，解得r＝10， 因此b＝－(10－4)＝－6， 故该圆弧所在圆的方程为x2＋(y＋6)2＝100. (2)设与该种汽车等高且能通过该隧道的最大宽度为d米，则2＋(6＋1.6)2＝102，解得d＝2. 若并排通过5辆该种汽车，则安全通行的宽度应为5×2.5＋4×0.5＝14.5＞2，故该隧道不能并排通过5辆该种汽车． 若并排通过4辆该种汽车，则安全通行的宽度应为4×2.5＋3×0.5＝11.5＜2，则隧道能并排通过4辆该种汽车． 综上所述，该隧道最多可以并排通过4辆该种汽车． [素养培优练] 13．(多选)瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上．这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．在平面直角坐标系中作△ABC，|AB|＝|AC|＝4，点B(－1,3)，点C(4，－2)，且其“欧拉线”与圆M：(x－3)2＋y2＝r2相切，则下列结论正确的是(　　) A．圆M上点到直线x－y＋3＝0的最小距离为2 B．圆M上点到直线x－y＋3＝0的最大距离为3 C．若点(x，y)在圆M上，则x＋y的最小值是3－2 D．圆(x－a－1)2＋(y－a)2＝8与圆M有公共点，则a的取值范围是[1－2，1＋2 ] 解析：ACD　[由|AB|＝|AC|可得△ABC的外心、重心、垂心均在线段BC的垂直平分线上，即△ABC的“欧拉线”即为线段BC的垂直平分线，由点B(－1，3)，点C(4，－2)可得线段BC的中点为，且直线BC的斜率kBC＝＝－1，所以线段BC的垂直平分线的斜率k＝1，所以线段BC的垂直平分线的方程为y－＝x－，即x－y－1＝0，又圆M：(x－3)2＋y2＝r2的圆心为(3,0)，半径为r，所以点(3,0)到直线x－y－1＝0的距离为＝＝r，所以圆M：(x－3)2＋y2＝2，对于A、B，圆M的圆心(3,0)到直线x－y＋3＝0的距离d＝＝3，所以圆上的点到直线x－y＋3＝0的最小距离为3－＝2，最大距离为3＋＝4，故A正确，B错误；对于C，令z＝x＋y即x＋y－z＝0，当直线x＋y－z＝0与圆M相切时，圆心(3,0)到直线的距离为＝，解得z＝3＋2或z＝3－2，则x＋y的最小值是3－2，故C正确；对于D，圆(x－a－1)2＋(y－a)2＝8的圆心为(a＋1，a)，半径为2，若该圆与圆M有公共点，则2－≤≤2＋，即2≤(a－2)2＋a2≤18，解得1－2≤a≤1＋2，故D正确．故选ACD.] 14.如图，正方形ABCD的边长为20米，圆O的半径为1米，圆心是正方形的中心，点P、Q分别在线段AD、CB上，若线段PQ与圆O有公共点，则称点Q在点P的“盲区”中，已知点P以1.5米/秒的速度从A出发向D移动，同时，点Q以1米/秒的速度从C出发向B移动，则在点P从A移动到D的过程中，点Q在点P的盲区中的时长约　________　秒(精确到0.1). 解析：以点O为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，可设点P(－10，－10＋1.5t)， Q(10,10－t)， 可得出直线PQ的方程y－10＋t＝(x－10)， 圆O的方程为x2＋y2＝1，由直线PQ与圆O有公共点，可得≤1，化为3t2＋16t－128≤0，解得0≤t≤，而≈4.4，因此，点Q在点P的盲区中的时长约为4.4秒． 答案：4.4 学科网（北京）股份有限公司 $$