2.4.1 圆的标准方程-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册五维课堂Word课时作业（人教A版2019）

[基础达标练] 1．圆(x＋2)2＋y2＝5关于原点O(0,0)对称的圆的方程为(　　) A．(x－2)2＋y2＝5 B．x2＋(y－2)2＝5 C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝5 D．x2＋(y＋2)2＝5 解析：A　[(－2,0)关于原点O(0,0)对称的点为(2,0)．故满足题意的圆的方程为(x－2)2＋y2＝5.] 2．若圆C经过点A(2,5)，B(4,3)，且圆心在直线l：3x－y－3＝0上，则圆C的方程为(　　) A．(x－2)2＋(y－3)2＝4 B．(x－2)2＋(y－3)2＝8 C．(x－3)2＋(y－6)2＝2 D．(x－3)2＋(y－6)2＝10 解析：A　[圆C经过点A(2,5)，B(4,3)，可得线段AB的中点为(3,4)，又kAB＝＝－1，所以线段AB的中垂线的方程为y－4＝x－3，即x－y＋1＝0.由解得即C(2,3)，圆C的半径r＝|CA|＝＝2，所以圆C的方程为(x－2)2＋(y－3)2＝4.] 3．点(2a，a－1)在圆x2＋(y－1)2＝5的内部，则a的取值范围是(　　) A．(－1,1)　　　　　 B．(0,1) C. D． 解析：D　[因为点(2a，a－1)在圆x2＋(y－1)2＝5的内部，所以(2a)2＋(a－1－1)2<5，整理得5a2－4a－1<0，解得－<a<1.] 4．方程y＝表示的曲线是(　　) A．一个圆 B．两条射线 C．半个圆 D．一条射线 解析：C　[将y＝两边平方可化为x2＋y2＝36(y≥0)，故方程表示的曲线为圆x2＋y2＝36在x轴上方的半圆．] 5．(多选)已知圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝4，圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则(　　) A．圆心C1到直线x－y－1＝0的距离为 B．圆心C1到直线x－y－1＝0的距离为 C．圆C2的方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝4 D．圆C2的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝4 解析：AD　[根据题意，设圆C2的圆心为(a，b)， 圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝4的圆心为(－1,1)，半径为2，所以圆心C1到直线x－y－1＝0的距离d＝＝.若圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则圆C1与圆C2的圆心关于直线x－y－1＝0对称，且圆C2的半径为2，则有解得则圆C2的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝4.] 6．已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，设点P是圆C上的动点．记d＝|PB|2＋|PA|2，其中A(0,1)，B(0，－1)，则d的最大值为　________　. 解析：设P(x0，y0)，d＝|PB|2＋|PA|2＝x＋(y0＋1)2＋x＋(y0－1)2＝2(x＋y)＋2.x＋y为圆上任一点到原点距离的平方，所以(x＋y)max＝(5＋1)2＝36，所以dmax＝74. 答案：74 7．已知圆C：(x－2)2＋(y＋m－4)2＝1，当m变化时，圆C上的点到原点的最短距离是　________　. 解析：由题意可得，圆C的圆心坐标为(2,4－m)，半径为1，圆C上的点到原点的最短距离是圆心到原点的距离减去半径1，即dmin＝－1，当m＝4时，dmin最小，此时dmin＝1. 答案：1 8．已知某圆圆心在x轴上，半径长为5，且截y轴所得线段长为8，求该圆的标准方程． 解：(方法一)如图所示，由题意设|AC|＝r＝5，|AB|＝8， 所以|AO|＝4.在Rt△AOC中， |OC|＝＝3. 设点C坐标为(a,0)，则|OC|＝|a|＝3，所以a＝±3. 故所求圆的方程为(x＋3)2＋y2＝25或(x－3)2＋y2＝25. (方法二)由题意设所求圆的标准方程为(x－a)2＋y2＝25. 因为圆截y轴所得线段长为8，所以圆过点A(0,4)．代入方程得a2＋16＝25，所以a＝±3. 故所求圆的方程为(x＋3)2＋y2＝25或(x－3)2＋y2＝25. [能力提升练] 9．已知某圆圆心C在x轴上，半径为5，且在y轴上截得线段AB的长为8，则圆的标准方程为(　　) A．(x＋3)2＋y2＝25 B．x2＋(y±3)2＝25 C．(x±3)2＋y2＝5 D．(x±3)2＋y2＝25 解析：D　[由题意得|AC|＝5，|AB|＝8，所以|AO|＝4，在Rt△AOC中，|OC|＝＝＝3.如图所示，有两种情况： 故圆心C的坐标为(－3,0)或(3,0)， 故所求圆的标准方程为(x±3)2＋y2＝25.] 10．(多选)以直线2x＋y－4＝0与两坐标轴的一个交点为圆心，过另一个交点的圆的方程可能为(　　) A．x2＋(y－4)2＝20 B．(x－4)2＋y2＝20 C．x2＋(y－2)2＝20 D．(x－2)2＋y2＝20 解析：AD　[令x＝0，则y＝4；令y＝0，则x＝2.所以设直线2x＋y－4＝0与两坐标轴的交点分别为A(0,4)．B(2,0)．|AB|＝＝2，以A为圆心，过B点的圆的方程为x2＋(y－4)2＝20.以B为圆心，过A点的圆的方程为(x－2)2＋y2＝20.故选AD.] 11．已知点P(2,1)和圆C：2＋(y－1)2＝1，若点P在圆C上，则实数a＝ 　________　；若点P在圆C外，则实数a的取值范围为　________　. 解析：由题意，2＋(y－1)2＝1，当点P在圆C上时，2＋(1－1)2＝1，解得a＝－2或－6. 当点P在圆C外时，2＋(1－1)2>1，解得a<－6或a>－2. 答案：－2或－6　a<－6或a>－2 12．已知直线l1过原点，且与直线l2：3x－2y－1＝0平行． (1)求直线l1的方程； (2)求l1与l2间的距离； (3)若圆C经过点A(1,3)，B(2,2)，并且被直线l1平分，求圆C的方程． 解：(1)根据题意，直线l1与l2：3x－2y－1＝0平行， 则直线l1的斜率为，又直线l1过原点，所以直线l1的方程为3x－2y＝0. (2)直线l1的方程为3x－2y＝0，直线l2：3x－2y－1＝0，所以l1与l2间的距离为＝＝. (3)设圆心C(a，b)． 由于直线l1：3x－2y＝0平分圆C，所以圆心在直线l1上，即3a－2b＝0.① 又|CA|＝|CB|， 所以有＝.② 联立①②，解得a＝2，b＝3. 所以|CA|＝＝1. 所以圆C的方程为(x－2)2＋(y－3)2＝1. [素养培优练] 13．(多选)古希腊著名数学家阿波罗尼斯(约公元前262年—公元前190年)发现：平面内到两个定点A，B的距离之比为定值λ(λ≠1)的点的轨迹是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．在平面直角坐标系xOy中，已知A(－1,0)，B(2,0)，动点P满足＝，直线l：mx－y＋m＋1＝0，则(　　) A．直线l过定点(－1,1) B．动点P的轨迹方程为(x＋2)2＋y2＝4 C．动点P到直线l的距离的最大值为＋1 D．若点D的坐标为(－1,1)，则|PD|＋2|PA|的最小值为 解析：ABD　[对于A，直线l：mx－y＋m＋1＝0，即m(x＋1)－y＋1＝0，所以直线l过定点M(－1,1)，A正确；对于B，设P(x，y)，因为动点P满足＝，所以＝，整理可得x2＋y2＋4x＝0， 即(x＋2)2＋y2＝4，所以动点P的轨迹是以C(－2,0)为圆心，r＝2为半径的圆，因此动点P的轨迹方程为圆C：(x＋2)2＋y2＝4，B正确； 对于C，当直线l与MC垂直时，动点P到直线l的距离最大，且最大值为|MC|＋r＝＋2＝＋2，C错误； 对于D，由＝，得2|PA|＝|PB|，所以|PD|＋2|PA|＝|PD|＋|PB|，又因为点D在圆C内，点B在圆C外，所以|PD|＋2|PA|＝|PD|＋|PB|≥|BD|＝，当且仅当点P为线段DB与圆C的交点时取等号，D正确．] 14．瑞士数学家欧拉(LeonhardEuler)1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知△ABC的顶点A(－4,0)，B(0，4)，其欧拉线方程为x－y＋2＝0，则顶点C的坐标可以是　_________　. 解析：设C(x，y)，AB的垂直平分线为y＝－x，△ABC的外心为欧拉线方程x－y＋2＝0与直线y＝－x的交点M(－1,1)，∴|MC|＝|MA|＝，∴(x＋1)2＋(y－1)2＝10，　① 由A(－4,0)，B(0,4)，得△ABC的重心为，代入欧拉线方程x－y＋2＝0，得x－y－2＝0，　② 由①②可得x＝2，y＝0或x＝0，y＝－2. 答案：(2,0)或(0，－2) 学科网（北京）股份有限公司 $$