2.2.2 直线的两点式方程-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册五维课堂同步Word教案（人教A版2019）

2．2.2　直线的两点式方程 课程标准 素养解读 1.掌握直线方程两点式的形式、特点及适用范围 2．了解直线方程截距式的形式、特点及适用范围 3．会用中点坐标公式求两点的中点坐标 1.通过直线两点式方程的推导，提升逻辑推理的数学素养 2．通过直线的两点式方程和截距式方程的学习，培养直观想象和数学运算的数学素养 [情境引入] 我们知道，在平面直角坐标系内确定一条直线的几何要素：点和倾斜角(斜率)，即已知直线上的一点和直线的斜率可以确定一条直线，或已知两点也可以确定一条直线．这样，在平面直角坐标系中，给定一个点P0(x0，y0)和斜率k，可得出直线方程．若给定直线上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，你能否得出直线的方程呢？ [知识梳理] [知识点一]　直线的两点式方程　 名称 已知条件 示意图 方程 使用范围 两 点 式 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)， 其中x1≠x2，y1≠y2 ＝ 斜率存在 且不为0 1.过点(1,3)和(1,5)的直线能用两点式表示吗？为什么？过点(2,3)，(5,3)的直线呢？ [提示]　不能，因为1－1＝0，而0不能做分母．过点(2,3)，(5,3)的直线也不能用两点式表示． [知识点二]　直线的截距式方程　 名称 已知条件 示意图 方程 使用范围 截 距 式 在x轴，y轴上的截距分别为a，b且a≠0，b≠0 ＋＝1 斜率存在且不为0，不过原点 2.方程－＝1和＋＝－1都是直线的截距式方程吗？ [提示]　都不是直线的截距式方程．截距式方程的特点有两个，一是中间必须用“＋”号连接，二是等号右边为1. [知识点三]　线段的中点坐标公式　 　若点P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，设P(x，y)是线段P1P2的中点， 则 [预习自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)不经过原点的直线都可以用方程＋＝1表示．( × ) (2)能用两点式方程表示的直线也可用点斜式方程表示．( √ ) (3)能用截距式方程表示的直线都能用两点式表示．( √ ) (4)直线y＝x在x轴和y轴上的截距均为0.( √ ) 2．过P1(2,0)，P2(0,3)两点的直线方程是(　　) A.＋＝0　　　　 B.＋＝0 C.＋＝1 D．－＝1 解析：C　[由截距式得，所求直线的方程为＋＝1.] 3．过两点(－1,1)和(3,9)的直线在x轴上的截距为　________　. 解析：直线方程为＝，化为截距式为＋＝1，则在x轴上的截距为－. 答案：－ 　　　直线的两点式方程 [例1]　已知三角形的三个顶点A(－4,0)，B(0，－3)，C(－2，1)，求： (1)BC边所在的直线方程； (2)BC边上中线所在的直线方程． [思路点拨]　已知直线上两个点的坐标，可以利用两点式写出直线的方程． [解]　(1)直线BC过点B(0，－3)，C(－2,1)，由两点式方程得＝，化简得2x＋y＋3＝0. (2)由中点坐标公式，得BC的中点D的坐标为，即D(－1，－1)． 又直线AD过点A(－4,0)，由两点式方程得＝，化简得x＋3y＋4＝0. 　两点式方程的应用 用两点式方程写出直线的方程时，要特别注意横坐标相等或纵坐标相等时，不能用两点式．已知直线上的两点坐标，也可先求出斜率，再利用点斜式写出直线方程． [变式训练] 1．已知A(1,2)，B(－1,4)，C(5,2)． ①求线段AB中点D的坐标； ②求△ABC的边AB上的中线所在的直线方程． 解：①因为A(1,2)，B(－1,4)，所以线段AB中点D的坐标为，即D(0,3)． ②△ABC的边AB上的中线即线段CD，因为C(5,2)，D(0,3)，所以线段CD所在的直线方程为＝，化简可得x＋5y－15＝0. 　 　　直线的截距式方程 [例2]　求过点(4，－3)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线l的方程． [思路点拨] [解]　法一：设直线在x轴、y轴上的截距分别为a，b. ①当a≠0，b≠0时，设l的方程为＋＝1. ∵点(4，－3)在直线上，∴＋＝1， 若a＝b，则a＝b＝1，直线方程为x＋y－1＝0. 若a＝－b，则a＝7，b＝－7，此时直线的方程为x－y－7＝0. ②当a＝b＝0时，直线过原点，且过点(4，－3)， ∴直线的方程为3x＋4y＝0. 综上可知，所求直线方程为x＋y－1＝0或x－y－7＝0或3x＋4y＝0. 法二：设直线l的方程为y＋3＝k(x－4)， 令x＝0，得y＝－4k－3；令y＝0，得x＝. ∵直线在两坐标轴上的截距的绝对值相等， ∴|－4k－3|＝，解得k＝1或k＝－1或k＝－.∴所求直线方程为x－y－7＝0或x＋y－1＝0或3x＋4y＝0. 　截距式方程应用的注意事项 (1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式方程，用待定系数法确定其系数即可． (2)选用截距式方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直． (3)要注意截距式方程的逆向应用． [变式训练] 2．求过点A(5,2)且在x轴上的截距是在y轴上截距的2倍的直线l的方程． 解：由题意知，当直线l在坐标轴上的截距均为零时，直线l的方程为y＝x； 当直线l在坐标轴上的截距不为零时，设直线l的方程为＋＝1， 将点(5,2)的坐标代入方程得＋＝1，解得a＝， 所以直线l的方程为x＋2y－9＝0. 综上可知，所求直线l的方程为y＝x或x＋2y－9＝0. 　　　直线方程的灵活运用 [例3]　已知A(－3,2)，B(5，－4)，C(0，－2)，在△ABC中， (1)求BC边的方程； (2)求BC边上的中线所在直线的方程． [思路点拨] (1)B，C两点坐标求方程 (2)求中点坐标求直线方程 [解]　(1)BC边过两点B(5，－4)，C(0，－2)， 由两点式，得＝，即2x＋5y＋10＝0，故BC边的方程是2x＋5y＋10＝0(0≤x≤5)． (2)设BC的中点为M(a，b)， 则a＝＝，b＝＝－3，所以M，又BC边的中线过点A(－3,2)， 所以＝，即10x＋11y＋8＝0， 所以BC边上的中线所在直线的方程为10x＋11y＋8＝0. 　直线方程的选择技巧 (1)已知一点的坐标，求过该点的直线方程，一般选取点斜式方程，再由其他条件确定直线的斜率． (2)若已知直线的斜率，一般选用直线的斜截式方程，再由其他条件确定直线的一个点或者截距． (3)若已知两点坐标，一般选用直线的两点式方程，若两点是其与坐标轴的交点，就用截距式方程． (4)不论选用怎样的直线方程，都要注意各自方程的限制条件，对特殊情况下的直线要单独讨论解决． [变式训练] 3．已知直线l经过点(1,6)和点(8，－8)． (1)求直线l的两点式方程，并化为截距式方程； (2)求直线l与两坐标轴围成的图形的面积． 解：(1)由已知得直线l的两点式方程为＝，所以＝，即＝x－1， 所以y－6＝－2x＋2，即2x＋y＝8.所以＋＝1. 故所求截距式方程为＋＝1. (2)如图，直线l与两坐标轴围成的图形是直角三角形AOB，且OA⊥OB，|OA|＝4，|OB|＝8， 故S△AOB＝·|OA|·|OB|＝×4×8＝16. [当堂达标] 1．在x轴，y轴上的截距分别是－3,4的直线方程是(　　 ) A.＋＝1　　 B.＋＝1 C.－＝1 D．＋＝1 解析：A　[利用截距式求直线方程得＋＝1.] 2．直线l经过点P(4，－3)，在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，且a，b满足logab＝2，则直线l的斜率为(　　) A．2 B．－1 C．－3 D．－1或－3 解析：C　[由题意知ab≠0，可设直线l的方程为＋＝1，则＋＝1①，又logab＝2，∴b＝a2②. 由①②解得a＝3，b＝9或a＝1，b＝1. 又由logab＝2知a＞0，a≠1，b＞0， 则a＝3，b＝9，则直线l的斜率为－＝－3.] 3．经过A(1,2)，B(3,4)两点的直线方程是　___________　. 解析：直线方程为＝，即x－y＋1＝0. 答案：x－y＋1＝0 4．求过点P(6，－2)，且在x轴上的截距比在y轴上的截距大1的直线方程． 解：设直线方程的截距式为＋＝1，则＋＝1，解得a＝2或a＝1， 则直线方程是＋＝1或＋＝1， 即2x＋3y－6＝0或x＋2y－2＝0. 学科网（北京）股份有限公司 $$