1.4.1 第1课时 空间中点、直线和平面的向量表示及空间中直线、平面的平行-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册五维课堂同步Word教案（人教A版2019）

1．4　空间向量的应用 1．4.1　用空间向量研究直线、平面的位置关系 第1课时　空间中点、直线和平面的向量表示及空间中直线、平面的平行 课程标准 素养解读 1.能用向量语言描述直线和平面，理解直线的方向向量与平面的法向量 2．能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系 3．会用向量方法证明线线、线面、面面平行 1.通过学习直线的方向向量与平面的法向量，培养学生的数学抽象素养 2．利用向量法证明线线、线面、面面平行，提升学生的逻辑推理素养 [情境引入] 牌楼与牌坊类似，是中国传统建筑之一，最早见于周朝．在园林、寺观、宫苑、陵墓和街道常有建造．旧时牌楼主要有木、石、木石、砖木、琉璃几种，多设于要道口．牌楼中有一种柱门形构筑物，一般较高大．如图，牌楼的柱子与地面是垂直的，如果牌楼上部的下边线与柱子垂直，我们就能知道下边线与地面平行．这是为什么呢？ [知识梳理] [知识点一]　空间中点、直线和平面的向量表示　 (1)点的向量表示 在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示．我们把向量称为点P的位置向量． (2)直线的向量表示 条件 直线l上一点A 表示直线l方向的向量a(即直线的方向向量) 形式 在直线l上取＝a，那么对于直线l上任意一点P，一定存在实数t，使得＝t (3)平面的向量表示 通过平面α上的一个定点A和法向量来确定： 平面的法向量 直线l⊥α，直线l的方向向量，叫做平面α的法向量 确定平面位置 过点A，以向量a为法向量的平面是完全确定的 　直线的方向向量(平面的法向量)是否唯一？ [提示]　不唯一，直线的方向向量(平面的法向量) 有无数个，它们分别是共线向量． [知识点二]　平面的法向量及其求法　 　在空间直角坐标系中，求平面的法向量的一般步骤： (1)设平面的法向量为n＝(x，y，z)； (2)找出(求出)平面内的两个不共线的向量a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)； (3)根据法向量的定义建立关于x，y，z的方程组 (4)解方程组，取其中的一组解，即得平面的一个法向量． [知识点三]　空间中直线、平面的平行　 　设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为μ，v，则 线线平行 l∥m⇔ a∥b ⇔a＝kb(k∈R) 线面平行 l∥α⇔a⊥μ⇔ a·μ＝0 面面平行 α∥β⇔μ∥v⇔μ＝kv(k∈R) [预习自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)若平面外的一条直线的方向向量与平面的法向量垂直，则该直线与平面平行．( √ ) (2)平面α的法向量是唯一的，即一个平面不可能存在两个不同的法向量．( × ) (3)若两条直线平行，则它们的方向向量的方向相同或相反．( √ ) (4)若向量a是直线l的一个方向向量，则向量ka也是直线l的一个方向向量．( × ) 2．(多选)如图，在空间直角坐标系中，ABCD­A1B1C1D1为单位正方体，则下列结论中正确的有(　　) A．直线DD1的一个方向向量为(0,0,1) B．直线BC1的一个方向向量为(0,1,1) C．平面ABB1A1的一个法向量为(0,1,0) D．平面B1CD的一个法向量为(1,1,1) 解析：ABC　[∵DD1綊AA1，∴＝＝(0,0,1)，A正确；连接AD1， ∵BC1綊AD1，∴BC1＝＝(0,1,1)，B正确；∵直线AD⊥平面ABB1A1，且＝(0,1,0)，∴平面ABB1A1的一个法向量为(0,1,0)，C正确；点C1的坐标为(1,1,1)，∴AC1＝(1,1,1)，＝＝(1,0,0)，则AC1·＝1≠0，∴与不垂直，∵与平面B1CD不垂直，D错误．] 3．若直线l的方向向量a＝(2,2，－1)，平面α的法向量μ＝(－6,8,4)，则直线l与平面α的位置关系是　________　. 解析：∵μ·a＝－12＋16－4＝0，∴μ⊥a，∴l⊂α或l∥α. 答案：l⊂α或l∥α 　 　　求平面的法向量 [例1]　如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC＝1，E是PC的中点，求平面EDB的一个法向量． [思路点拨]　首先建立空间直角坐标系，然后利用待定系数法按照平面法向量的求解步骤进行求解． [解]　如图所示建立空间直角坐标系．依题意可得D(0,0,0)，P(0,0,1)，E，B(1,1,0)， 于是＝， ＝(1,1,0)． 设平面EDB的法向量为n＝(x，y，z)， 则n⊥，n⊥，于是 取x＝1，则y＝－1，z＝1，故平面EDB的一个法向量为n＝(1，－1,1)． 　利用待定系数法求平面法向量的步骤 (1)设平面的法向量为n＝(x，y，z)． (2)找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)． (3)根据法向量的定义建立关于x，y，z的方程组 (4)解方程组，取其中的一个解，即得法向量. [变式训练] 1.如图所示，已知四边形ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝，试建立适当的坐标系． (1)求平面ABCD的一个法向量； (2)求平面SAB的一个法向量； (3)求平面SCD的一个法向量． 解：以点A为原点，AD、AB、AS所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(0,0,0)，B(0,1,0)，C(1,1,0)，D，S(0,0,1)． (1)∵SA⊥平面ABCD， ∴＝(0,0,1)是平面ABCD的一个法向量． (2)∵AD⊥AB，AD⊥SA，∴AD⊥平面SAB， ∴＝是平面SAB的一个法向量． (3)在平面SCD中，＝，＝(1,1，－1)． 设平面SCD的法向量是n＝(x，y，z)，则n⊥，n⊥，∴ 得方程组∴ 令y＝－1，得x＝2，z＝1，∴n＝(2，－1,1)． 即平面SCD的一个法向量为n＝(2，－1,1)． 　 　　利用空间向量证明线线平行 [例2]　在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝3，AA1＝2，点P，Q，R，S分别是AA1，D1C1，AB，CC1的中点． 求证：PQ∥RS. [证明]　(方法1)以点D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系D ­xyz， 则P(3,0,1)，Q(0,2,2)，R(3,2,0)，S(0,4,1)， ＝(－3,2,1)， ＝(－3,2,1)， ∴＝，∴∥， 即PQ∥RS. (方法2)＝＋ ＝－＋， ＝＋＝＋－， ∴＝，∴∥，即RS∥PQ. 利用空间向量证明线与线平行的方法 要证明两直线平行，可先求出两直线的方向向量，然后证明两直线的方向向量共线，从而证明两直线平行． [变式训练] 2.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在线段A1D上，点Q在线段AC上，线段PQ与直线A1D和AC都垂直，求证：PQ∥BD1. 证明：以点D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则D(0,0,0)，A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，A1(1,0,1)，D1(0，0,1)， ∴＝(1,0,1)，＝(－1,1,0)，设＝(a，b，c)， 则 即 取＝(1,1，－1)．易知＝(－1，－1,1)， ∴＝－， ∴∥，即PQ∥BD1. 　　　利用空间向量证明线面、面面平行 [例3]　在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是CC1，B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD. [思路点拨] [证明]　法一：如图，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则D(0，0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，M，N，于是＝(1,0,1)，＝(1,1,0), ＝. 设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，则即取x＝1，则y＝－1，z＝－1，则平面A1BD的一个法向量为n＝(1，－1，－1)． 又·n＝·(1，－1，－1)＝0，∴⊥n.又MN⊄平面A1BD，∴MN∥平面A1BD. 法二：＝－＝－＝(－)＝，∴∥，又MN⊄平面A1BD，DA1⊂平面A1BD， ∴MN∥平面A1BD. 法三：＝－＝－＝－ ＝(＋)－(＋) ＝－. 即可用与线性表示，故与，是共面向量，又MN⊄平面A1BD， 故MN∥平面A1BD. 1．向量法证明线面平行的三个思路 (1)设直线l的方向向量是a，平面α的法向量是u，则要证明l∥α，只需证明a⊥u，即a·u＝0. (2)根据线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行，要证明一条直线和一个平面平行，在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可． (3)根据共面向量定理可知，如果一个向量和两个不共线的向量是共面向量，那么这个向量与这两个不共线的向量确定的平面必定平行，因此要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可． 2．证明面面平行的方法 设平面α的法向量为μ，平面β的法向量为v，则α∥β⇔μ∥v. [变式训练] 3．在四棱锥P­ABCD中，四边形ABCD是正方形，侧棱PD垂直于底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点．证明：PA∥平面EDB. 证明：如图所示，建立空间直角坐标系，D是坐标原点，设PD＝DC＝a. 连接AC交BD于点G，连接EG，依题意得D(0,0,0)， A(a,0,0)，B(a，a,0)，P(0,0，a)，E. 因为四边形ABCD是正方形，所以G是此正方形的中心，故点G的坐标为，所以＝.又＝(a,0，－a)，所以＝2，这表明PA∥EG. 而EG⊂平面EDB，且PA⊄平面EDB，所以PA∥平面EDB. [当堂达标] 1．(多选)若A(－1,0,1)，B(1,4,7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为(　　) A．(1,2,3)　　　　　 B．(1,3,2) C．(－1，－2，－3) D．(－1，－3，－2) 解析：AC　[＝(2,4,6)＝2(1,2,3)＝－2(－1，－2，－3)，故直线l的一个方向向量为(1,2,3)或(－1，－2，－3)．] 2．若平面α∥β，则下面可以是这两个平面法向量的是(　　) A．n1＝(1,2,3)，n2＝(－3,2,1) B．n1＝(1,2,2)，n2＝(－2,2,1) C．n1＝(1,1,1)，n2＝(－2,2,1) D．n1＝(1,1,1)，n2＝(－2，－2，－2) 解析：D　[因为平面α∥β，所以两个平面的法向量应该平行，只有D项符合．] 3．已知l∥α，且l的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为， 则m＝　__________　. 解析：设a＝(2，m,1)，b＝.因为l∥α，所以a⊥b.于是2＋m＋2＝0，则m＝－8. 答案：－8 4.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的中点． 求证：(1)FC1∥平面ADE. (2)平面ADE∥平面B1C1F. 证明：如图，建立空间直角坐标系D－xyz，则D(0,0,0)，A(2，0,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)，E(2,2,1)，F(0,0,1)，B1(2，2,2)， 所以＝(0,2,1)，＝(2,0,0)，＝(0,2,1)． (1)设n1＝(x1，y1，z1)是平面ADE的法向量，则n1⊥，n1⊥， 即得 令z1＝2，则y1＝－1， 所以n1＝(0，－1,2)．因为·n1＝－2＋2＝0， 所以⊥n1. 又因为FC1⊄平面ADE，所以FC1∥平面ADE. (2)＝(2,0,0)． 设n2＝(x2，y2，z2)是平面B1C1F的一个法向量．由n2⊥，n2⊥C1B1， 得得 令z2＝2，则y2＝－1，所以n2＝(0，－1,2)． 因为n1＝n2，所以平面ADE∥平面B1C1F. 学科网（北京）股份有限公司 $$