1.2 空间向量基本定理-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册五维课堂同步Word教案（人教A版2019）

1．2　空间向量基本定理 课程标准 素养解读 1.掌握空间向量基本定理 2．了解空间向量正交分解的含义 3．会用空间向量基本定理解决有关问题 1.通过基底概念的学习，培养学生数学抽象的核心素养 2．借助基底的判断及应用提升逻辑推理、直观想象及数学运算的核心素养 [情境引入] 我们所在的教室即是一个三维立体图，如果以教室的一个墙角为始点，沿着三条墙缝作向量可以得到三个空间向量．这三个空间向量是不共面的，那么是否可以用这三个向量表示空间中任意的向量呢？ [知识梳理] [知识点一]　空间向量基本定理　 1．如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c叫做基向量，空间中任何三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底． 1.零向量能不能作为一个基向量？ [提示]　不能．因为0与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面． 2．构成空间的基底是唯一的吗？ [提示]　不唯一，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底． 2．基底选定后，空间所有向量均可由基底唯一表示，构成基底的三个向量a，b，c中，没有零向量． [知识点二]　空间向量的正交分解　 　单位正交基底：如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}表示． 由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk， 使a＝xi＋yj＋zk，像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解． [预习自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)空间向量的基底是唯一的．( × ) (2)若a，b，c是空间向量的一个基底，则a，b，c均为非零向量．( √ ) (3)已知A，B，M，N是空间四点，若，，不能构成空间的一个基底，则A，B，M，N共面．( √ ) 2．(多选)设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基底，给出下列向量组，其中可以作为空间一个基底的向量组有(　　) A．{a，b，x}　　 B．{x，y，z} C．{b，c，z} D．{x，y，a＋b＋c}. 解析：BCD　[如图所示，令a＝，b＝，c＝，则x＝，y＝，z＝，a＋b＋c＝. 由于A，B1，C，D1四点不共面，可知向量x，y，z也不共面，同理b，c，z和x，y，a＋b＋c也不共面，故选BCD.] 3．若{a，b，c}是空间的一个基底，且存在实数x，y，z使得xa＋yb＋zc＝0，则x，y，z满足的条件是　______________　. 解析：若x≠0，则a＝－b－c，即a与b，c共面．由{a，b，c}是空间向量的一个基底，知a，b，c不共面，故x＝0，同理y＝z＝0. 答案：x＝y＝z＝0 　　　基底的判断 [例1]　已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且＝e1＋2e2－e3，＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋e2－e3，试判断{，，}能否作为空间的一个基底． [思路点拨]　假设，，共面，利用＝x＋y是否有解求解． [解]　假设，，共面，由向量共面的充要条件知，存在实数x，y使＝x＋y成立， ∴e1＋2e2－e3＝x(－3e1＋e2＋2e3)＋y(e1＋e2－e3)， 即e1＋2e2－e3＝(y－3x)e1＋(x＋y)e2＋(2x－y)e3， ∴此方程组无解． 即不存在实数x，y使得＝x＋y，所以，，不共面． 所以{，，}能作为空间的一个基底． 基底判断的基本思路及方法 (1)基本思路：判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成基底；若不共面，则能构成基底． (2)方法：①如果向量中存在零向量，则不能作为基底；如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示，则不能构成基底． ②假设a＝λb＋μc，运用空间向量基本定理，建立λ，μ的方程组，若有解，则共面，不能作为基底；若无解，则不共面，能作为基底． [变式训练] 1．在空间四点O，A，B，C中，若{，，}是空间的一个基底，则下列说法不正确的是(　　) A．O，A，B，C四点不共线 B．O，A，B，C四点共面，但不共线 C．O，A，B，C四点不共面 D．O，A，B，C四点中任意三点不共线 解析：B　[选项A对应的说法是正确的，若四点共线，则向量，，共面，构不成基底；选项B对应的说法是错误的，若四点共面，则，，共面，构不成基底；选项C对应的说法是正确的，若四点共面，则，，共面，构不成基底；选项D对应的说法是正确的，若有三点共线，则这四点共面，故向量，，构不成基底．] 　　　用基底表示向量 [例2]　如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是正方形，E是PD的中点，点F满足＝2.若＝a，＝b，＝c，则＝(　　) A.a－b＋c B.a－b－c C.a－b＋c D.a－b－c [思路点拨]　借助图形寻找待求向量与a，b，c的关系，利用向量运算进行分析，直至向量用a，b，c表示出来． [解析]　由题意知＝－＝－(＋) ＝(＋)－－＝(＋)－－(－)＝(＋)－－＝(－＋－)－－ ＝－＋ ＝a－b＋c. [答案]　C 用基底表示向量的步骤 1．定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底． 2．找目标：用确定的基底或已知基底表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果． 3．下结论：利用空间向量的一个基底{a，b，c}可以表示出空间所有向量．表示要彻底，结果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量． 提醒：利用三角形法则或平行四边形法则，把所求向量用已知基向量表示出来． [变式训练] 2.如图，在三棱锥P－ABC中，点D，E，F分别是AB，PA，CD的中点，设＝a，＝b，＝c，则＝(　　) A.a－b－c B.a－b＋c C.a＋b－c D．－a＋b＋c 解析：D　[如图，连接DE ∵D，E分别为AB，PA的中点， ∴＝＝－b ∴＝－＝－ ＝－－ ＝(－)－－ ＝(－)－(－)－DE ＝c－a－b＋a＋b＝－a＋b＋c.] 　 　　基本定理的运用 [例3]　在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是DD1，BD的中点，点G在棱CD上，且CG＝CD. (1)证明：EF⊥B1C； (2)求EF与C1G所成角的余弦值． [思路点拨]　选择一个空间基底，将，，用基向量表示．(1)证明·＝0即可；(2)求与夹角的余弦值即可． [解]　(1)证明：设＝i，＝j，＝k， 则{i，j，k}构成空间的一个正交基底． 所以＝＋＝－k＋(＋)＝i＋j－k，＝＋＝－i－k， 所以·＝(i＋j－k)·(－i－k)＝－|i|2＋|k|2＝0，所以EF⊥B1C. (2)＝i＋j－k，＝＋ ＝－k－j， ||2＝2＝|i|2＋|j|2＋|k|2＝3， ||＝，||2＝2＝|k|2＋|j|2＝4＋＝，||＝， ∴cos〈，〉＝ ＝＝＝. ∴EF与C1G所成角的余弦值为. 应用空间向量基本定理可以证明空间的线线垂直、线线平行，可求两条异面直线所成的角等． 首先根据几何体的特点，选择一个基底，把题目中涉及的两条直线所在的向量用基向量表示． (1)若证明线线垂直，只需证明两向量数量积为0； (2)若证明线线平行，只需证明两向量共线； (3)若要求异面直线所成的角，则转化为两向量的夹角(或其补角)． [变式训练] 3.如图所示，在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，AB＝4，AD＝3，AA′＝5，∠BAD＝90°，∠BAA′＝∠DAA′＝60°. (1)求AC′的长； (2)求与的夹角的余弦值． 解：(1)∵ ＝＋＋， ∴||2＝(＋＋)2＝||2＋||2＋||2＋2(·＋·＋·)＝42＋32＋52＋2×(0＋10＋7.5)＝85.∴||＝ ，即AC′＝. (2)设与的夹角为θ，＝a，＝b，＝c，依题意得·＝(a＋b＋c)·(a＋b) ＝a2＋2a·b＋b2＋a·c＋b·c ＝16＋0＋9＋4×5×cos 60°＋3×5×cos 60° ＝16＋9＋10＋＝， ||＝ ＝＝5， ∴cos θ＝＝＝， 即与的夹角的余弦值为. [当堂达标] 1．若向量{a，b，c}是空间的一个基底，则一定可以与向量p＝2a＋b，q＝2a－b构成空间的另一个基底的向量是(　　 ) A．a　　 B．b C．c　　 D．a＋b 解析：C　[由p＝2a＋b，q＝2a－b得a＝p＋q，所以a、p、q共面，故a、p、q不能构成空间的一个基底，排除A；因为b＝p－q，所以b、p、q共面，故b、p、q不能构成空间的一个基底，排除B；因为a＋b＝p－q，所以a＋b、p、q共面，故a＋b、p、q不能构成空间的一个基底，排除D.] 2．(多选)下列说法正确的是(　　) A．任何三个不共面的向量可构成空间向量的一个基底 B．空间的基底有且仅有一个 C．两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底 D．基底{a，b，c}中基向量与基底{e，f，g}中基向量对应相等 解析：AC　[A正确； B项，空间基底有无数个，错； D项中因为基底不唯一，所以D错； C正确．] 3．已知点O，A，B，C为空间不共面的四点，且向量a＝＋＋，向量b＝＋－，则与a，b不能构成空间基底的向量是(　　) A.　　　 B. C. D.或 解析：C　[∵＝a－b且a，b不共线，∴a，b，共面，∴与a，b不能构成一组空间基底．对于选项A，由＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)⇔M，A，B，C四点共面知，，，共面；对于选项B，D，可知，，共面，故选C.] 4.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，点O为空间任一点，设＝a，＝b，＝c，则向量用a，b，c表示为　________　. 解析：∵＝－2， ∴－＝－2(－)，∴b－a＝－2(－c)， ∴＝a－b＋c. 答案：a－b＋c 5.如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，＝－，＝，设＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示. 解：如图，连接AN，则＝＋. 由已知可得四边形ABCD是平行四边形，从而可得 ＝＋＝a＋b, ＝－＝－(a＋b)，又＝－＝b－c，故＝＋＝－＝－＝b－(b－c)，所以＝＋＝－(a＋b)＋b－(b－c)＝(－a＋b＋c). 学科网（北京）股份有限公司 $$