1.1.1 空间向量及其线性运算-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册五维课堂同步Word教案（人教A版2019）

1．1　空间向量及其运算 1．1.1　空间向量及其线性运算 课程标准 素养解读 1.理解空间向量的概念 2．掌握空间向量的线性运算 3．掌握共线向量定理、共面向量定理的应用 　　通过学习空间向量的概念，空间向量的线性运算，共线向量定理、共面向量定理的应用，重点培养学生的逻辑推理、数学运算素养 [情境引入] 本图片展示的是一个做滑翔运动的场景，可以想象在滑翔过程中，飞行员会受到来自不同方向大小各异的力，例如绳索的拉力，风力，重力等，显然这些力不在同一个平面内，联想用平面向量解决物理问题的方法，能否把平面向量推广到空间向量，从而利用向量研究滑翔运动呢，下面我们类比平面向量研究空间向量，先从空间向量的概念和表示开始． [知识梳理] [知识点一]　空间向量的概念 1．在空间，把具有　大小　和　方向　的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的　长度　或　模　. 空间向量用有向线段表示，有向线段的　长度　表示向量的模，a的起点是A，终点是B，则a也可记作，其模记为|a|或||. 2．几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 规定长度为0的向量叫　零向量　，记为0 单位向量 　模为1　的向量叫单位向量 相反向量 与向量a长度　相等　而方向　相反　的向量，称为a的相反向量，记为－a 相等向量 方向　相同　且模　相等　的向量称为相等向量，　同向　且　等长　的有向线段表示同一向量或相等向量 1.在空间中，将所有的单位向量的起点移到同一点A，那么它们的终点构成怎样的图形？ [提示]　球面． [知识点二]　空间向量的加减运算及运算律　 1．类似于平面向量，可以定义空间向量的加法和减法运算． 如图，＝＋＝a＋b ＝－＝a－b ＝＋＝＋＝a＋b 2．空间向量加法交换律 a＋b＝b＋a 空间向量加法结合律 (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 2.空间两个向量的加减法与平面内两个向量的加减法完全一致吗？ [提示]　完全一致． [知识点三]　空间向量的数乘运算　 1．实数与向量的积 与平面向量一样，实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘运算，记作λa，其长度和方向规定如下： ①|λa|＝|λ||a|. ②当λ>0时，λa与向量a方向相同；当λ<0时，λa与向量a方向　相反　；当λ＝0时，λa＝0. 2．空间向量数乘运算满足以下运算律 ①λ(μa)＝(λμ)a； ②λ(a＋b)＝λa＋λb； ③(λ1＋λ2)a＝λ1a＋λ2a(拓展)． [知识点四]　共线向量与共面向量　 1．平行(共线)向量 定义 表示空间向量的有向线段所在的直线的位置关系：互相　平行或重合　 充要条件 对空间任意两个向量a，b(b≠0)，存在唯一实数λ，使a＝λb 点P在直 线l上的充 要条件 存在实数t满足等式＝＋ta，在直线l上取向量＝a，则＝＋t 向量a为直线的　方向向量　 2.共面向量 定义 平行于同一个　平面　的向量 三个向量 共面的充 要条件 向量p与不共线向量a，b共面的充要条件是存在　唯一　的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb 点P位于 平面ABC 内的充要 条件 存在有序实数对(x，y)，使＝x＋y 对空间任一点O，有＝＋x＋y 3.空间中任意两个向量一定是共面向量吗？ [提示]　是，空间中任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一个平面的两个向量，因此一定是共面向量． 4．若空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，满足＝＋＋，则点P与点A，B，C是否共面？ [提示]　共面，由＝＋＋得－＝(－)＋(－)， 即＝＋，因此点P与点A，B，C共面． [预习自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)零向量没有方向．( × ) (2)空间向量就是空间中的一条有向线段．( × ) (3)不相等的两个空间向量的模必不相等．( × ) (4)空间中，将单位向量起点放在一起，其终点组成的图形是球．( × ) (5) 同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小．( √ ) 2．已知空间四边形ABCD中，＝a，＝b，＝c，则等于(　　) A．a＋b－c　　　 B．－a－b＋c C．－a＋b＋c D．－a＋b－c 解析：C　[＝＋＋＝－＋＝－a＋b＋c.] 3．在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，则和＋的关系是　________　.(填“平行”，“相等”或“相反”) 解析：如图，设G是AC的中点，则＝＋＝＋＝(＋)， 所以2＝＋，从而∥(＋)． 答案：平行 　　　空间向量的概念 [例1]　给出下列命题： ①零向量没有确定的方向； ②在正方体ABCD ­A1B1C1D1中，＝； ③若向量a与向量b的模相等，则a，b的方向相同或相反； ④在四边形ABCD中，必有＋＝. 其中正确命题的序号是　________　. [思路点拨]　在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相关概念完全一致． [解析]　①正确；②正确，因为与的大小和方向均相同；③|a|＝|b|，不能确定其方向，所以a与b的方向不能确定；④中只有当四边形ABCD是平行四边形时，才有＋＝.综上可知，正确命题为①②. [答案]　①② 解答空间向量有关概念问题的关键点及注意点 (1)关键点：紧紧抓住向量的两个要素，即大小和方向． (2)注意点：注意一些特殊向量的特性． ①零向量不是没有方向，而是它的方向是任意的，且与任何向量都共线，这一点说明了共线向量不具备传递性． ②单位向量方向虽然不一定相同，但它们的长度都是1. ③两个向量模相等，不一定是相等向量；反之，若两个向量相等，则它们不仅模相等，方向也相同．若两个向量模相等，方向相反，则它们为相反向量． [变式训练] 1．(1)下列关于空间向量的命题中，正确命题的个数是(　　 ) ①长度相等、方向相同的两个向量是相等向量； ②平行且模相等的两个向量是相等向量； ③若a≠b，则|a|≠|b|； ④两个向量相等，则它们的起点与终点相同． A．0　　 B．1　 C．2　　 D．3 (2)如图所示，在平行六面体ABCD­A′B′C′D′中，连接顶点的向量中，与向量相等的向量有　_________　；与向量相反的向量有　______　.(要求写出所有符合条件的向量) 解析：(1)根据向量的定义，知长度相等、方向相同的两个向量是相等向量，①正确；平行且模相等的两个向量可能是相等向量，也可能是相反向量，②不正确；当a＝－b时，也有|a|＝|b|，③不正确；只要模相等、方向相同，两个向量就是相等向量，与向量的起点与终点无关，④不正确．综上可知只有①正确，故选B. (2) 根据相等向量的定义知，与向量相等的向量有，，. 与向量相反的向量有，，，. 答案：(1)B　(2) ，，　，，， 　　　空间向量的线性运算 [例2]　在四面体ABCD中，点F在AD上，且AF＝2FD，E为BC中点，则等于(　　) A.＝＋－ B.＝－－＋ C.＝－＋ D.＝－＋－ [思路点拨]　根据三角形法则与平行四边形法则以及空间向量的加减法进行转化， 一定要看最后是用哪些来表示． [解析]　B　[如图，在四面体ABCD中，点F在AD上，且AF＝2FD，因为E为BC的中点，所以＝＋＋＝－＋＝－－＋，即＝－－＋.] 1．空间向量加法、减法运算的两个技巧 (1)巧用相反向量：向量减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接． (2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果． 2．利用数乘运算进行向量表示的技巧 (1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量． (2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质． [变式训练] 2.在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点，若＝a，＝b，＝c，则与相等的向量是(　　) A.a＋b＋c　　 B．－a－b＋c C.a－b＋c D．－a＋b＋c 解析：D　[根据空间向量的线性运算可知＝＋＝＋＝＋(＋)＝＋(－＋)，因为＝a，＝b，＝c，则＝＋(－＋)＝－a＋b＋c，即＝－a＋b＋c.] 　　　共线问题 [例3]　(1)设e1，e2是空间两个不共线的向量，已知＝e1＋ke2，＝5e1＋4e2，＝－e1－2e2，且A，B，D三点共线，则实数k＝　________　. (2)如图，在正方体ABCD ­A1B1C1D1中，O为A1C上一点，且＝，BD与AC交于点M.求证：C1，O，M三点共线． [思路点拨]　(1)根据向量共线的充要条件求解．(2)用向量，，分别表示和. (1) [解析]　＝＋＋＝(e1＋ke2)＋(5e1＋4e2)＋(e1＋2e2)＝7e1＋(k＋6)e2. 设＝λ，则7e1＋(k＋6)e2＝λ(e1＋ke2)， 所以解得k＝1. [答案]　1 (2)[解]　设＝a，＝b，＝c， 则＝＋＝＋ ＝(＋)＋(＋) ＝＋＋(＋＋) ＝＋－－＋ ＝＋＋＝a＋b＋c， ＝＋＝＋＝(＋)＋ ＝a＋b＋c， ∴＝3，又直线MC1与直线MO有公共点M， ∴C1，O，M三点共线． 1．判断向量共线的策略 (1)熟记共线向量的充要条件：①若a∥b，b≠0，则存在唯一实数λ使a＝λb； ②若存在唯一实数λ，使a＝λb，b≠0，则a∥b. (2)判断向量共线的关键：找到实数λ. 2．证明空间三点共线的三种思路 对于空间三点P，A，B可通过证明下列结论来证明三点共线． (1)存在实数λ，使＝λ成立． (2)对空间任一点O，有＝＋t(t∈R)． (3)对空间任一点O，有＝x＋y(x＋y＝1)． [变式训练] 3.如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E在A1D1上，且＝2，F在对角线A1C上，且＝. 求证：E，F，B三点共线． 证明：设＝a，＝b，＝c， 因为＝2，＝， 所以＝，＝， 所以＝＝b， ＝(－)＝(＋－) ＝a＋b－c， 所以＝－＝a－b－c＝. 又＝＋＋＝－b－c＋a＝a－b－c， 所以＝，又与有公共点E，所以E，F，B三点共线． 　　　向量共面问题 [例4]　在下列条件中，使M与A，B，C一定共面的是(　　) A.＝－－ B．OM＝＋＋ C.＋＋＝0 D.＋＋＋＝0 [思路点拨]　M与A，B，C一定共面的充要条件是＝x＋y＋z，x＋y＋z＝1. [解析]　C　[对于A选项，由于1－1－1＝－1≠1，所以不能得出M，A，B，C共面． 对于B选项，由于＋＋≠1，所以不能得出M，A，B，C共面． 对于C选项，由于＝－－，则，，为共面向量， 所以M，A，B，C共面． 对于D选项，由＋＋＋＝0得＝－－－，而－1－1－1＝－3≠1，所以不能得出M，A，B，C共面．] 1．利用四点共面求参数 向量共面的充要条件的实质是共面的四点中所形成的两个不共线的向量一定可以表示其他向量，对于向量共面的充要条件，不仅会正用，也要能够逆用它求参数的值． 2．证明空间向量共面或四点共面的方法 (1)向量表示：设法证明其中一个向量可以表示成另两个向量的线性组合，即若p＝xa＋yb，则向量p，a，b共面． (2)若存在有序实数组(x，y，z)使得对于空间任一点O，有＝x＋y＋z，且x＋y＋z＝1成立，则P，A，B，C四点共面． (3)用平面：寻找一个平面，设法证明这些向量与该平面平行． [变式训练] 4．(1)O为空间中任意一点，A，B，C三点不共线，且＝＋＋t，若P，A，B，C四点共面，则实数t＝　________　. (2)已知平行四边形ABCD，从平面AC外一点O作向量．使＝k，＝k，＝k，＝k.求证：E，F，G，H四点共面． (1)解析：P，A，B，C四点共面，且＝＋ ＋t，＋＋t＝1，解得t＝. 答案： (2)证明：∵＝k，＝k，∴＝＝|k|， ∴EF∥AB，且EF＝|k|AB；同理HG∥DC，且HG＝|k|DC，∵AB＝DC， ∴EF∥HG，且EF＝HG，∴四边形EFGH为平行四边形； ∴四点E，F，G，H共面． [当堂达标] 1. (多选)下列命题中为假命题的是(　　) A．任意两个空间向量的模能比较大小 B．将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆 C．空间向量就是空间中的一条有向线段 D．不相等的两个空间向量的模必不相等 解析：BCD　[对于选项A，向量的模即向量的长度，是一个数量，所以任意两个向量的模可以比较大小；对于选项B，其终点构成一个球面；对于选项C，零向量不能用有向线段表示；对于选项D，向量a与向量b不相等，它们的模可以相等．] 2．在长方体ABCD ­A1B1C1D1中，＋＋＝(　　) A.　　　　 B. C. D. 解析：A　[＋＋＝＋＋＝.] 3．设e1，e2是空间中两个不共线的向量，已知＝2e1＋ke2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，且A，B，D三点共线，则k＝　________　. 解析：＝＋＝(－e1－3e2)＋(2e1－e2)＝e1－4e2， 又A，B，D三点共线，所以＝λ， 即2e1＋ke2＝λ(e1－4e2)，所以所以k＝－8. 答案：－8 4.如图，在空间四边形ABCD中，G为△BCD的重心，E，F分别为边CD和AD的中点，化简＋－，并在图中标出化简结果的向量． 解：如图，连接EF，∵G是△BCD的重心，BE是CD边上的中线， ∴＝.又＝(－) ＝－＝－＝， ∴＋－＝＋－＝(如图所示). 学科网（北京）股份有限公司 $$