专题08 图形的变化（天津专用）-【好题汇编】5年（2021-2025）中考1年模拟数学真题分类汇编

专题08 图形的变化（原卷版） 考点1 轴对称图形的识别 1．（2025·天津·中考真题）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·天津·中考真题）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 3．（2022·天津·中考真题）在一些美术字种，有的汉字是轴对称图形，下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（    ） A．爱 B．国 C．敬 D．业 4．（2023·天津·中考真题）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（    ） A．全 B．面 C．发 D．展 5．（2021·天津·中考真题）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 考点2 旋转的性质 1．（2025·天津·中考真题）如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点B，C的对应点分别为的延长线与边相交于点，连接．若，则线段的长为（   ） A． B． C．4 D． 2．（2024·天津·中考真题）如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点分别为，延长交于点，下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2023·天津·中考真题）如图，把以点A为中心逆时针旋转得到，点B，C的对应点分别是点D，E，且点E在的延长线上，连接，则下列结论一定正确的是（    ）    A． B． C． D． 4．（2022·天津·中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC，若M是BC边上任意一点，将△ABM绕点A逆时针旋转得到△ACN，点M的对应点为点N，连接MN，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 考点3 相似三角形的判定与性质 1．（2023·天津·中考真题）如图，在边长为3的正方形的外侧，作等腰三角形，．    （1）的面积为 ； （2）若F为的中点，连接并延长，与相交于点G，则的长为 ． 2．（2022·天津·中考真题）如图，已知菱形的边长为2，，E为的中点，F为的中点，与相交于点G，则的长等于 ． 考点4 特殊角的三角函数 1．（2025·天津·中考真题）的值等于（   ） A．0 B．1 C． D． 2．（2024·天津·中考真题）的值等于（    ） A． B． C． D． 3．（2023·天津·中考真题）的值等于（    ） A．1 B． C． D．2 4．（2022·天津·中考真题）的值等于（    ） A．2 B．1 C． D． 5．（2021·天津·中考真题）的值等于（    ） A． B． C．1 D．2 考点5 解直角三角形的应用 1．（2025·天津·中考真题）综合与实践活动中，要用测角仪测量天津站附近世纪钟建筑的高度（如图①）． 某学习小组设计了一个方案：如图②所示，点，，依次在同一条水平直线上，，，且．在处测得世纪钟建筑顶部的仰角为，在处测得世纪钟建筑顶部的仰角为，．根据该学习小组测得的数据，计算世纪钟建筑的高度（结果取整数）． 参考数据：，． 2．（2024·天津·中考真题）综合与实践活动中，要用测角仪测量天津海河上一座桥的桥塔的高度（如图①）．某学习小组设计了一个方案：如图②，点依次在同一条水平直线上，，垂足为．在处测得桥塔顶部的仰角（）为，测得桥塔底部的俯角（）为，又在处测得桥塔顶部的仰角（）为． (1)求线段的长（结果取整数）； (2)求桥塔的高度（结果取整数）．参考数据：． 3．（2023·天津·中考真题）综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度． 如图，塔前有一座高为的观景台，已知，点E，C，A在同一条水平直线上．    某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为． (1)求的长； (2)设塔的高度为h（单位：m）． ①用含有h的式子表示线段的长（结果保留根号）； ②求塔的高度（取0.5，取1.7，结果取整数）． 4．（2022·天津·中考真题）如图，某座山的顶部有一座通讯塔，且点A，B，C在同一条直线上，从地面P处测得塔顶C的仰角为，测得塔底B的仰角为．已知通讯塔的高度为，求这座山的高度（结果取整数）．参考数据：． 5．（2021·天津·中考真题）如图，一艘货船在灯塔C的正南方向，距离灯塔257海里的A处遇险，发出求救信号．一艘救生船位于灯塔C的南偏东方向上，同时位于A处的北偏东方向上的B处，救生船接到求救信号后，立即前往救援．求的长（结果取整数）．参考数据：，取1.73． 一、单选题 1．（2025·天津河东·模拟预测）在日常生活中，有的汉字是轴对称图形．下列4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·天津·二模）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·天津南开·三模）下列几种著名的数学曲线中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A．蝴蝶曲线 B．笛卡尔爱心曲线 C．卡西尼卵形线 D．赵爽弦图 4．（2025·天津·模拟预测）中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广．在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 5．（2025·天津和平·三模）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，不能看作是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 6．（2025·天津河东·二模）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 7．（2025·天津和平·二模）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 8．（2025·天津滨海新·一模）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是 A． B． C． D． 9．（2025·天津和平·三模）如图，将以点为中心顺时针旋转得到，点，的对应点分别为，，连接．则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 10．（2025·天津南开·三模）如图，将绕点顺时针旋转得到，点，的对应点分别为点，，连接，，若，下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 11．（2025·天津·模拟预测）如图，在中，，将以点为中心逆时针旋转得到，点在边上，交于点，则下列结论不一定正确的是（　　） A． B．平分 C． D． 12．（2025·天津红桥·二模）如图，把以点B为中心顺时针旋转得到，点A，C的对应点分别为D、E，且点D恰好在的延长线上，连接，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 13．（2025·天津河西·二模）如图，将绕点逆时针旋转得到，点的对应点分别为，且点恰好在线段上，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 14．（2025·天津·二模）如图，将绕点顺时针旋转得到，点，的对应点分别为，，连接，点恰好落在线段上，下列结论一定正确的是（   ） A． B． C．平分 D． 15．（2025·天津河北·二模）如图，把以点A为中心顺时针旋转得到，点B、C的对应点分别是点D、E，若的平分线经过点B，连接，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 16．（2025·天津南开·二模）如图，将绕点逆时针旋转得到，点的对应点分别为点，连接与相交于点，若，且．则下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 17．（2025·天津滨海新·二模）如图，在中，，，将绕点逆时针旋转得到，点的对应点分别为点，连接．则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 18．（2025·天津河西·一模）如图，，将绕点B逆时针旋转得到，点A，C的对应点分别为D，E，延长交于F，连接．下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 19．（2025·天津和平·二模）如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，点恰好落在上，点的对应点分别为与相交于点，连接，则下列结论一定正确的是（　　） A． B． C． D． 20．（2025·天津西青·一模）如图，在中，，把绕点顺时针旋转得到，点，的对应点分别为，，的延长线与相交于点，连接，则下列结论一定正确的是（   ）    A． B． C． D． 21．（2025·天津·一模）如图，在中，，为边上一点，是由旋转得到的，点的对应点分别是，下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 22．（2025·天津红桥·一模）如图，把以点A为中心顺时针旋转得到，点B，C的对应点分别是点D，E，且恰好经过点C，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 23．（2025·天津滨海新·一模）如图，在平行四边形中，为上一点，连接、，且、交于点，，则的值为（   ） A． B． C． D． 24．（2025·天津红桥·三模）的值等于（   ） A． B． C．1 D． 25．（2025·天津南开·三模）下列各式的值等于的是（    ） A． B． C． D． 26．（2025·天津和平·三模）的值等于（   ） A． B． C． D． 27．（2025·天津和平·二模）的值等于（　　） A．1 B．2 C． D． 28．（2025·天津河东·二模）计算的值等于（   ） A． B． C．1 D．2 二、填空题 29．（2025·天津·模拟预测）如图，点是正方形的对角线上一动点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，若正方形的边长为4，取的中点，连接，求的最小值 ． 30．（2025·天津·二模）如图，正方形的边长为，是上一点，且．连接，将绕点顺时针旋转，得到线段，连接． （1）线段的长为 ； （2）若是的中点，则线段的长为 ． 31．（2025·天津河东·模拟预测）如图，在矩形中，，，作等腰三角形，其中， （1）为 ； （2）连接，若P为的中点，则的长为 ． 32．（2025·天津南开·三模）如图，菱形的边长为，，为边中点，为对角线延长线上一点，连接，，，与相交于点，且． （1）线段的长为 ； （2）线段的长为 ． 33．（2025·天津滨海新·三模）如图，在正方形中，E为对角线上一点，连接，F是延长线上一点，，交于点G．正方形的边长为4 （1）若，则线段的长为 ； （2）若G为的中点，则线段的长为 ． 34．（2025·天津南开·二模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，均为格点，为的外接圆． （1）的直径长为 ； （2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点和点，使得点为的中点；使得点在线段上，且．简要说明点，点的位置是如何找到的（不要求证明） ． 35．（2025·天津红桥·一模）如图，在中，，，，点D在边上，且．过点D作，与边相交于点E，连接． （1）线段的长为 ； （2）若F为的中点，则线段的长为 ． 36．（2025·天津红桥·三模）如图，在菱形中，，，为边的中点，连接与相交于点． （1）线段的长为 ； （2）若为的中点，则线段的长为 ． 三、解答题 37．（2025·天津西青·二模）将放置在平面直角坐标系中，点，点，点，点Р是线段上一个动点，将线段绕点O逆时针旋转得到线段，点Q在y轴正半轴上，连接． (1)填空：如图①，的值是_____，的度数是_________； (2)将绕点P顺时针旋转得到，点O，Q的对应点分别是C，D，设，与重合部分面积为S． ①如图②，的边分别与相交于点E，F，即与重合部分为时，请用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围； ②当时，求S的取值范围．（直接写出结果即可） 38．（2025·天津·模拟预测）在平面直角坐标系中，为原点，是直角三角形，，点在轴的正半轴上，点，点为边上一动点（点不与点重合），过点作轴于点，将绕点逆时针旋转，得到，点的对应点分别为．设． (1)如图①，当时，求点的坐标； (2)已知旋转后点恰好落在边上，与相交于点与相交于点． ①如图②，若旋转后与的重叠部分为四边形，试用含有的式子表示线段的长，并直接写出的取值范围； ②若与重叠部分的面积为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 39．（2025·天津红桥·二模）在平面直角坐标系中，点，，．以点O为中心，逆时针旋转，得到，点A，B的对应点分别为，．      (1)填空：如图①，当点A落在边上时，点的坐标为________，点的坐标为________； (2)若直线与相交于点P． ①如图②，当点落在y轴的正半轴上时，求线段的长和的大小； ②M为边的中点，连接，求线段的长的取值范围（直接写出结果即可）． 40．（2025·天津和平·一模）在平面直角坐标系中，O为原点，，，点，点B在x轴的负半轴上，点C在y轴的正半轴上，点D是的中点，连接． (1)填空：如图，点B的坐标为______，点C的坐标为______，线段的长为_______； (2)以点A为中心，顺时针旋转，得到，点C，D的对应点分别为E，F． ①连接，当轴时，求点F的坐标： ②连接，记M为线段的中点，S为的面积，求S的最大值（直接写出结果即可）． 41．（2025·天津和平·一模）已知抛物线（b，c是常数，）的顶点为D，与x轴相交于点和点B，与y轴相交于点C，抛物线的对称轴与x轴相交于点E． (1)若， ①求点D的坐标； ②点P是线段上一点，当时，求点P的坐标； (2)若，连接，将线段绕点M逆时针旋转得到线段，连接．当取最大值时，点M恰好落在抛物线上，求c的值． 42．（2025·天津西青·一模）将一个直角三角形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点在第一象限，，，点是边的中点． (1)填空：如图①，点的坐标为 ，点的坐标为 ； (2)连接，将直角三角形纸片沿剪开，把水平向右平移得到，点，，的对应点分别是，，，设． ①如图②，当与重叠部分为五边形时，分别与，相交于点，，与相交于点，试用含有的式子表示的长，并直接写出的取值范围； ②当时，求与重叠部分的面积的取值范围．（直接写出结果即可） 43．（2025·天津河东·一模）在平面直角坐标系中，为原点，点，点在轴的正半轴上，，是等边三角形，点在第二象限． (1)填空：如图①，点的坐标为________，点的坐标为________； (2)将沿轴向右平移得到，点的对应点分别为． ①如图②，设，与重叠部分的面积为，当与重叠部分为五边形时，分别与相交于点，试用含有的式子表示，并直接写出的取值范围； ②连接、，当取得最小值时，求点的坐标（直接写出结果即可）． 44．（2025·天津南开·三模）如图，一架无人机在一条笔直的公路上方飞行，处为一辆行驶中的小汽车，为公路上的一座桥梁，当无人机飞行到处时，测得处的俯角（）为，处的俯角（）为，其中，，在一条直线上，且，此时，小明在桥梁的入口处测得无人机的仰角为．已知桥梁的总长度为． (1)求此时无人机所在位置离地面的距离； (2)处的小汽车到桥梁入口的距离的长（结果取整数）．参考数据：，．                                  45．（2025·天津·模拟预测）如图，在一次联合反潜演习中，军舰测得潜艇的俯角为；位于军舰正上方的反潜直升机测得潜艇的俯角为，设潜艇离开海平面的下潜深度为（单位：m）． (1)用含有的式子表示潜艇到的水平距离．（结果保留三角函数形式） (2)试根据以上数据求出潜艇离开海平面的下潜深度（结果保留整数） 46．（2025·天津和平·三模）综合与实践活动中，要用测角仪测量山的高度． 某学习小组设计了一个方案：如图，已知某座山的对面有一座小山，的顶部有一座通讯塔，且点，，在同一条直线上．从处测得塔底的仰角为，测得塔顶的仰角为，，又在处测得塔顶的俯角为． (1)求两座山之间水平距离的长（结果保留小数点后一位）； (2)求这座山的高度（结果保留小数点后一位）．参考数据：，． 47．（2025·天津红桥·二模）已知抛物线（b为常数，）的顶点为P，与x轴相交于点和点B，与y轴相交于点C． (1)当时，求点P的坐标； (2)直线与x轴相交于点D，当时，求b的值； (3)M为线段上的动点，若取得最小值时，求b的值． 48．（2025·天津滨海新·二模）综合与实践活动中，要测量教学楼的高度． 如图，点依次在同一条水平直线上，小明用高的测量仪测得楼顶的仰角（）为，小军在小明的前面处用高的测量仪测得楼顶的仰角（）为，求教学楼的高度（结果取整数）． 参考数据：． 49．（2025·天津河西·一模）在平面直角坐标系中，点，，抛物线（是常数）的顶点为． (1)当抛物线经过点时，求点的坐标； (2)若点在轴下方，当时，求此时的值； (3)无论取何值，该抛物线都经过定点．当时，求此时的值． 50．（2025·天津·二模）综合与实践活动中，要用测角仪测量某学校凉亭的高度（如图①）． 某小组设计了一个方案：图②是凉亭侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是凉亭的高所在的直线，在地面上F点测得凉亭顶部C的仰角（）为，此时地面上F点，凉亭外檐上A点，顶部C点三点共线，继续向凉亭方向走到达G点处，又测得A点的仰角（）为，凉亭的顶层横梁，，交于点E（点F，G，D在同一水平线上）．    (1)求凉亭顶部到横梁的距离（结果取整数）． (2)求凉亭的高（结果取整数）．（参考数据：，） 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 图形的变化（解析版） 考点1 轴对称图形的识别 1．（2025·天津·中考真题）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要查了轴对称图形．根据轴对称图形得定义，逐项判断，即可求解． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B、是轴对称图形，故本选项符合题意； C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：B 2．（2024·天津·中考真题）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查轴对称图形，掌握轴对称图形的定义：如果一个图形沿某一条直线对折,对折后的两部分是完全重合的,那么就称这样的图形为轴对称图形是解题的关键． 【详解】解：A.不是轴对称图形； B.不是轴对称图形； C.是轴对称图形； D.不是轴对称图形； 故选C． 3．（2022·天津·中考真题）在一些美术字种，有的汉字是轴对称图形，下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（    ） A．爱 B．国 C．敬 D．业 【答案】D 【分析】根据轴对称图形的定义，逐个进行判断即可．轴对称图形：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形． 【详解】解：A、B、C均不能找到一条直线，使A、B、C沿着该直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合， 故A、B、C不是轴对称图形，不符合题意； D能找到一条直线，使D沿着该直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，故D是轴对称图形，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了轴对称图形的定义，解题的关键是掌握轴对称图形：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形． 4．（2023·天津·中考真题）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（    ） A．全 B．面 C．发 D．展 【答案】A 【分析】根据轴对称的定义判断即可； 【详解】解：全面发展四个字中，可以看作是轴对称图形的是全； 故选A． 【点睛】本题考查了轴对称图形：如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴；掌握定义是解题关键． 5．（2021·天津·中考真题）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据轴对称图形的概念对各项分析判断即可得解． 【详解】A．是轴对称图形，故本选项符合题意； B．不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C．不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D．不是轴对称图形，故本选项不符合题意． 故选A． 【点睛】本题考查判断轴对称图形，理解轴对称图形的概念是解答的关键． 考点2 旋转的性质 1．（2025·天津·中考真题）如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点B，C的对应点分别为的延长线与边相交于点，连接．若，则线段的长为（   ） A． B． C．4 D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、线段垂直平分线的判定、旋转的性质、勾股定理等知识，熟练掌握旋转的性质是解题关键．连接，交于点，先证出，根据全等三角形的性质可得，再证出垂直平分，则可得，，然后利用勾股定理和三角形的面积公式求出的长，由此即可得． 【详解】解：如图，连接，交于点， 由旋转的性质得：，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴，， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选：D． 2．（2024·天津·中考真题）如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点分别为，延长交于点，下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转性质以及两个锐角互余的三角形是直角三角形，平行线的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据旋转性质得，结合，即可得证，再根据同旁内角互补证明两直线平行，来分析不一定成立；根据图形性质以及角的运算或线段的运算得出A和C选项是错误的． 【详解】解：记与相交于一点H，如图所示： ∵中，将绕点顺时针旋转得到， ∴ ∵ ∴在中， ∴ 故D选项是正确的，符合题意； 设 ∴ ∵ ∴ ∴ ∵不一定等于 ∴不一定等于 ∴不一定成立， 故B选项不正确，不符合题意； ∵不一定等于 ∴不一定成立， 故A选项不正确，不符合题意； ∵将绕点顺时针旋转得到， ∴ ∴ 故C选项不正确，不符合题意； 故选：D 3．（2023·天津·中考真题）如图，把以点A为中心逆时针旋转得到，点B，C的对应点分别是点D，E，且点E在的延长线上，连接，则下列结论一定正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据旋转的性质即可解答． 【详解】根据题意，由旋转的性质， 可得，，， 无法证明，，故B选项和D选项不符合题意， ，故C选项不符合题意， ，故A选项符合题意， 故选：A． 【点睛】本题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质和三角形外角运用是解题的关键． 4．（2022·天津·中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC，若M是BC边上任意一点，将△ABM绕点A逆时针旋转得到△ACN，点M的对应点为点N，连接MN，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据旋转的性质，对每个选项逐一判断即可． 【详解】解：∵将△ABM绕点A逆时针旋转得到△ACN，∴△ABM≌△ACN， ∴AB=AC，AM=AN， ∴AB不一定等于AN，故选项A不符合题意； ∵△ABM≌△ACN， ∴∠ACN=∠B， 而∠CAB不一定等于∠B， ∴∠ACN不一定等于∠CAB， ∴AB与CN不一定平行，故选项B不符合题意； ∵△ABM≌△ACN， ∴∠BAM=∠CAN，∠ACN=∠B， ∴∠BAC=∠MAN， ∵AM=AN，AB=AC， ∴△ABC和△AMN都是等腰三角形，且顶角相等， ∴∠B=∠AMN， ∴∠AMN=∠ACN，故选项C符合题意； ∵AM=AN， 而AC不一定平分∠MAN， ∴AC与MN不一定垂直，故选项D不符合题意； 故选：C． 考点3 相似三角形的判定与性质 1．（2023·天津·中考真题）如图，在边长为3的正方形的外侧，作等腰三角形，．    （1）的面积为 ； （2）若F为的中点，连接并延长，与相交于点G，则的长为 ． 【答案】 3 【分析】（1）过点E作，根据正方形和等腰三角形的性质，得到的长，再利用勾股定理，求出的长，即可得到的面积； （2）延长交于点K，利用正方形和平行线的性质，证明，得到的长，进而得到的长，再证明，得到，进而求出的长，最后利用勾股定理，即可求出的长． 【详解】解：（1）过点E作，   正方形的边长为3， ， 是等腰三角形，，， ， 在中，， , 故答案为：3； （2）延长交于点K， 正方形的边长为3， ，， ，， ， ， ， F为的中点， ， 在和中， ， ， ， 由（1）可知，，， ， ， ， ， ， 在中，， 故答案为：．    【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，作辅助线构造全等三角形和相似三角形是解题关键． 2．（2022·天津·中考真题）如图，已知菱形的边长为2，，E为的中点，F为的中点，与相交于点G，则的长等于 ． 【答案】 【分析】连接，作交的延长线于点G．由菱形的性质得出，，解直角求出，，推出为的中位线，进而求出，利用勾股定理求出AF，再证明，得出． 【详解】解：如图，连接，作交AB的延长线于点H． ∴ ∵四边形是边长为2的菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ， ∵E为的中点， ∴， ∴，即点B为线段EH的中点， 又∵F为的中点， ∴为的中位线， ∴，， ∴, ∴，即是直角三角形， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 考点4 特殊角的三角函数 1．（2025·天津·中考真题）的值等于（   ） A．0 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查特殊角的三角函数值的计算，代入各特殊角的三角函数值后按运算顺序计算，即可求解． 【详解】解： 故选：A． 2．（2024·天津·中考真题）的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，熟记特殊的三角函数值是解题的关键；根据代入即可求解. 【详解】， 故选：A. 3．（2023·天津·中考真题）的值等于（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】先根据特殊角的三角函数值进行化简，再进行二次根式的加法运算即可． 【详解】解 ：， 故选：B． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值和二次根式的加法运算，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 4．（2022·天津·中考真题）的值等于（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】根据三角函数定义：正切=对边与邻边之比，进行求解． 【详解】作一个直角三角形，∠C=90°，∠A=45°，如图： ∴∠B=90°-45°=45°， ∴△ABC是等腰三角形，AC=BC， ∴根据正切定义，， ∵∠A=45°， ∴， 故选 B． 【点睛】本题考查了三角函数，熟练理解三角函数的定义是解题关键． 5．（2021·天津·中考真题）的值等于（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】根据30°的正切值直接求解即可． 【详解】解：由题意可知，， 故选：A． 【点睛】本题考查30°的三角函数，属于基础题，熟记其正切值即可． 考点5 解直角三角形的应用 1．（2025·天津·中考真题）综合与实践活动中，要用测角仪测量天津站附近世纪钟建筑的高度（如图①）． 某学习小组设计了一个方案：如图②所示，点，，依次在同一条水平直线上，，，且．在处测得世纪钟建筑顶部的仰角为，在处测得世纪钟建筑顶部的仰角为，．根据该学习小组测得的数据，计算世纪钟建筑的高度（结果取整数）． 参考数据：，． 【答案】世纪钟建筑的高度约为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用．延长与相交于点，在Rt和中，分别求得和，再根据，列式计算求解即可． 【详解】解：如图，延长与相交于点， 根据题意，可得， 有，，，，， 在Rt中，， ， 在中，， ． ， ． ． ． 答：世纪钟建筑的高度约为． 2．（2024·天津·中考真题）综合与实践活动中，要用测角仪测量天津海河上一座桥的桥塔的高度（如图①）．某学习小组设计了一个方案：如图②，点依次在同一条水平直线上，，垂足为．在处测得桥塔顶部的仰角（）为，测得桥塔底部的俯角（）为，又在处测得桥塔顶部的仰角（）为． (1)求线段的长（结果取整数）； (2)求桥塔的高度（结果取整数）．参考数据：． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解直角三角形的应用，数形结合是解题的关键． （1）设，在中，．在中，．则．解方程即可； （2）求出，根据即可得到答案． 【详解】（1）解：设，由，得． ，垂足为， ． 在中，， ． 在中，， ． ． 得． 答：线段的长约为． （2）在中，， ． ． 答：桥塔的高度约为． 3．（2023·天津·中考真题）综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度． 如图，塔前有一座高为的观景台，已知，点E，C，A在同一条水平直线上．    某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为． (1)求的长； (2)设塔的高度为h（单位：m）． ①用含有h的式子表示线段的长（结果保留根号）； ②求塔的高度（取0.5，取1.7，结果取整数）． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）根据含30度角的直角三角形的性质求解即可； （2）①分别在和中，利用锐角三角函数定义求得，，进而可求解； ②过点作，垂足为．可证明四边形是矩形，得到，．在中，利用锐角三角函数定义得到，然后求解即可． 【详解】（1）解：在中，， ∴． 即的长为． （2）解：①在中，， ∴． 在中，由，，， 则. ∴． 即的长为． ②如图，过点作，垂足为． 根据题意，， ∴四边形是矩形． ∴，． 可得． 在中，，， ∴．即． ∴． 答：塔的高度约为． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，涉及含30度角的直角三角形的性质、矩形判定与性质、锐角三角函数，理解题意，掌握作辅助线构造直角三角形解决问题是解答的关键． 4．（2022·天津·中考真题）如图，某座山的顶部有一座通讯塔，且点A，B，C在同一条直线上，从地面P处测得塔顶C的仰角为，测得塔底B的仰角为．已知通讯塔的高度为，求这座山的高度（结果取整数）．参考数据：． 【答案】这座山的高度约为 【分析】在中，，在中，，利用，即可列出等式求解． 【详解】解：如图，根据题意，． 在中，， ∴． 在中，， ∴． ∵， ∴． ∴． 答：这座山的高度约为． 【点睛】本题考查三角函数测高，解题的关键在运用三角函数的定义表示出未知边，列出方程． 5．（2021·天津·中考真题）如图，一艘货船在灯塔C的正南方向，距离灯塔257海里的A处遇险，发出求救信号．一艘救生船位于灯塔C的南偏东方向上，同时位于A处的北偏东方向上的B处，救生船接到求救信号后，立即前往救援．求的长（结果取整数）．参考数据：，取1.73． 【答案】的长约为168海里． 【分析】如图，过点B作BH⊥CA，垂足为H,解直角三角形即可 【详解】如图，过点B作BH⊥CA，垂足为H． 根据题意，． ∵在中，，， ∴． ∵在中，， ∴． 又， ∴． 可得． ∴． 答：的长约为168海里． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，构造高线构造出直角三角形，并灵活解之是解题的关键． 一、单选题 1．（2025·天津河东·模拟预测）在日常生活中，有的汉字是轴对称图形．下列4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 利用轴对称图形的定义进行解答即可． 【详解】A、是轴对称图形，故此选项符合题意； B、不是轴对称图形，故此选项不合题意； C、不是轴对称图形，故此选项不合题意； D、不是轴对称图形，故此选项不合题意； 故选：A． 2．（2025·天津·二模）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了轴对称图形的概念，根据概念即可，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C、是轴对称图形，故本选项符合题意； D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：C． 3．（2025·天津南开·三模）下列几种著名的数学曲线中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A．蝴蝶曲线 B．笛卡尔爱心曲线 C．卡西尼卵形线 D．赵爽弦图 【答案】C 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形，一个图形绕着某固定点旋转后能够与原来的图形重合，则称这个图形是中心对称图形，这个固定点叫做对称中心；如果一个图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够重合，则称这个图形是轴对称图形，这条直线叫做对称轴；根据这两个概念判断即可． 【详解】解：A、蝴蝶曲线是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B、笛卡尔爱心曲线是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C、卡西尼卵形线既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； D、赵爽弦图不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； 故选：C． 4．（2025·天津·模拟预测）中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广．在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，据此进行判断即可． 【详解】解：A.选项中的美术字不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B. 选项中的美术字不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C. 选项中的美术字是轴对称图形，故此选项符合题意； D. 选项中的美术字不是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：C． 5．（2025·天津和平·三模）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，不能看作是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查轴对称图形的概念，要注意：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；根据轴对称图形的概念逐个判断即可． 【详解】解：A、该图形是轴对称图形，不符合题意； B、该图形是轴对称图形，不符合题意； C、该图形是轴对称图形，不符合题意； D、该图形不是轴对称图形，符合题意； 故选：D． 6．（2025·天津河东·二模）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形． 根据轴对称图形的定义即可求解． 【详解】解：A、不是轴对称图形，不符合题意； B、不是轴对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形，符合题意； D、不是轴对称图形，不符合题意； 故选：C． 7．（2025·天津和平·二模）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿某一条直线对折，对折后的两部分是完全重合的，那么就称这样的图形为轴对称图形判断即可． 【详解】解：．不是轴对称图形，故该选项不符合题意； ．不是轴对称图形，故该选项不符合题意； ．不是轴对称图形，故该选项不符合题意； ．是轴对称图形，故该选项符合题意； 故选：D． 8．（2025·天津滨海新·一模）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称图形的定义，如果沿某一条直线对折，左右两边能完全重合，则这个图形就是轴对称图形． 根据轴对称图形的定义即可解答． 【详解】解：根据轴对称图形的定义可得：选项A、B、C不是轴对称图形，选项D是轴对称图形． 故选D． 9．（2025·天津和平·三模）如图，将以点为中心顺时针旋转得到，点，的对应点分别为，，连接．则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质，三角形内角和，根据旋转得到，，，，再逐个判断即可． 【详解】解：∵将以点为中心顺时针旋转得到， ∴， ∴，，，， 当时， 才成立，故选项A不一定正确； 现有条件无法证明，，故选项B，C不一定正确； 如图，与交于点， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 故选项D一定正确； 故选：D． 10．（2025·天津南开·三模）如图，将绕点顺时针旋转得到，点，的对应点分别为点，，连接，，若，下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，三角形内角和，全等三角形的判定与性质，平行线的判定等知识，掌握这些知识是解题的关键；由旋转得是等边三角形，从而有，由三角形内角和即可判断A；由可判断B，由 可判断C；的大小关系可判断D． 【详解】解：∵绕点顺时针旋转得到， ∴，，， ∴是等边三角形， ∴； ∵， ∴； 又∵，， ∴， ∴；故A正确； ∵， ∴当时，，否则不正确；故B不正确； ∵， ∴不平行；故C错误； ∵， 当时，则有，从而有， ∴； 否则；故D错误； 故选：A． 11．（2025·天津·模拟预测）如图，在中，，将以点为中心逆时针旋转得到，点在边上，交于点，则下列结论不一定正确的是（　　） A． B．平分 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质、等边对等角、三角形的外角的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．通过以上知识点，逐个选项进行分析判断即可求解． 【详解】解：将以点为旋转中心逆时针旋转得到， ， ，，，， ，， ，故A正确； ， ， ， ， 平分，故B正确； ， ， 由上可知，， ，故C正确； 选项D无法判断； 故选：D． 12．（2025·天津红桥·二模）如图，把以点B为中心顺时针旋转得到，点A，C的对应点分别为D、E，且点D恰好在的延长线上，连接，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 根据旋转的性质、等边三角形的判定以及全等三角形的判定与性质逐项判定即可． 【详解】解：A．由旋转可知，而不一定成立，故该选项错误，不符合题意； B．∵把以点B为中心顺时针旋转得到， ∴， ∴是等边三角形，，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即B选项正确，符合题意； C．∵， ∴，故该选项错误，不符合题意； D．由不能证明平分，即不能证明，故该选项错误，不符合题意． 故选B． 13．（2025·天津河西·二模）如图，将绕点逆时针旋转得到，点的对应点分别为，且点恰好在线段上，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 由旋转的性质可得，，，，，，进而可得，可判断A选项正确；根据为直角三角形，可判断B选项错误；，无法求出具体角度，可判断C选项不一定正确；在直角中无法证明是直角的中线，可判断D选项不一定正确． 【详解】解：∵绕点逆时针旋转得到，点的对应点分别为， ∴，，，，，， ∴，， ∴，，故A选项正确； ∴， ∴为直角三角形， ∴，故B选项错误； ∵， 无法求出具体角度， ∴无法证明，故C选项不一定正确； ∵，为直角三角形的斜边， 如果，即，则是直角的中线， ∵无法证明是直角的中线，即， ∴不一定等于，故D选项不一定正确； 故选：A． 14．（2025·天津·二模）如图，将绕点顺时针旋转得到，点，的对应点分别为，，连接，点恰好落在线段上，下列结论一定正确的是（   ） A． B． C．平分 D． 【答案】C 【分析】根据旋转的性质可判断选项A；根据旋转的性质及三角形内角和定理得，可判断选项B；根据旋转的性质及等边对等角可推出，可判断选项C；根据旋转的性质及勾股定理可推出，可判断选项D． 【详解】解：∵将绕点顺时针旋转得到，点，的对应点分别为，， ∴，，，，，， 故选项A不符合题意； ∴， 故选项B不符合题意； ∵，， ∴， ∴， ∴平分，故选项C符合题意； ∵连接，点恰好落在线段上，，， ∴，， ∴，故选项D不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查旋转的性质，三角形内角和定理，等边对等角，角平分线的定义，勾股定理等知识点，掌握旋转的性质及勾股定理是解题的关键． 15．（2025·天津河北·二模）如图，把以点A为中心顺时针旋转得到，点B、C的对应点分别是点D、E，若的平分线经过点B，连接，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，掌握相关知识点是解题关键．根据旋转的性质可判断A选项；根据旋转的性质证明，推出，可判断B选项；根据等腰三角形三线合一的性质，可判断C 选项；根据等腰三角形的性质和角平分线的定义，可判断D选项． 【详解】解：由旋转的性质可知，，， 若，则， 而已知条件没有说明，即A选项错误； 由旋转的性质可知，，，， ， ， ， 与不平行，即B选项错误； ， 若，则平分， 而已知条件没有说明旋转角度，无法判断，即C选项错误； ， ， ， 的平分线经过点B， ， ，即D选项正确， 故选：D． 16．（2025·天津南开·二模）如图，将绕点逆时针旋转得到，点的对应点分别为点，连接与相交于点，若，且．则下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理．利用旋转的性质结合等边对等角，求得相关角的度数，再逐一判断即可． 【详解】解：∵，， ∴， 由旋转的性质得， ∴，，， 故选项A、B结论正确，不符合题意； ∵旋转角为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故选项C结论正确，不符合题意； ∵，， ∴， ∴， 在中，∵， ∴， ∴， 故选项D结论错误，符合题意； 故选：D． 17．（2025·天津滨海新·二模）如图，在中，，，将绕点逆时针旋转得到，点的对应点分别为点，连接．则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此本题考查了旋转性质的应用，等腰三角形的性质、平行线的判定等知识．根据旋转的性质可得，，，，再根据旋转角的度数为，通过推理证明对四个结论进行判断即可． 【详解】解：∵绕A点逆时针旋转得到， ∴，故A结论正确，不符合题意； ∵， ∴． ∴． ∴．故B结论正确，不符合题意； 在中，， ∴． ∴． ∴与不垂直．故C结论错误，符合题意； 在中，， ∴． ∴．故D结论正确，不符合题意． 故选：C． 18．（2025·天津河西·一模）如图，，将绕点B逆时针旋转得到，点A，C的对应点分别为D，E，延长交于F，连接．下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质，正方形的判定和性质；由旋转的性质可得，可证四边形是正方形，可得．掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：∵将绕点B逆时针旋转得到， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， 故B选项正确，A、C、D不正确， 故选：B． 19．（2025·天津和平·二模）如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，点恰好落在上，点的对应点分别为与相交于点，连接，则下列结论一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理等知识点，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 根据旋转可得，而，则由等边对等角以及三角形内角和定理得到，等量代换得到，即可判断A，对于B、C、D，现有条件不足以证明． 【详解】解：如图： ∵， ∴， ∴ 由旋转得，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故A正确，符合题意；但B、C、D，现有条件不足以证明，故不符合题意； 故选：A． 20．（2025·天津西青·一模）如图，在中，，把绕点顺时针旋转得到，点，的对应点分别为，，的延长线与相交于点，连接，则下列结论一定正确的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查旋转的性质以及全等三角形的性质，熟练掌握相关的性质，是解题的关键．本题可通过旋转的性质得出，，，，然后逐项进行判断即可． 【详解】解：由已知得：，则， ∵，并没有必然的相等关系，找不到能证明两边相等的依据， ∴故A错误； ∵绕点顺时针旋转得到，， 但与并没有必然的相等关系，找不到能证明两角相等的依据， ∴故B错误； 由已知得：，则，， ∴， 故C错误； ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴，故D正确． 故选：D． 21．（2025·天津·一模）如图，在中，，为边上一点，是由旋转得到的，点的对应点分别是，下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的性质，等腰三角形与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 根据旋转的性质，全等三角形的性质，等腰三角形的性质逐项判断即可． 【详解】解：、∵是由旋转得到的， ∴， ∴， ∵为边上一点，， ∴，故选项不符合题意； 、∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故选项不符合题意； 、∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故选项符合题意； 、∵， ∴， ∵不一定平分， ∴与不一定相等，故选项不符合题意； 故选：． 22．（2025·天津红桥·一模）如图，把以点A为中心顺时针旋转得到，点B，C的对应点分别是点D，E，且恰好经过点C，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 根据旋转的性质得到，，，得出是等边三角形，得到，即可证明；不一定能得到，，，即可得到答案 【详解】解：∵以点A为中心顺时针旋转得到，点B，C的对应点分别是点D，E，且恰好经过点C， ，， ∴是等边三角形， ∴ ∴， ∴ ∴ 故选项D正确，符合题意； 不一定能得到，，， 故选：D 23．（2025·天津滨海新·一模）如图，在平行四边形中，为上一点，连接、，且、交于点，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是相似三角形的判定与性质及平行四边形的性质，先根据平行四边形的性质及相似三角形的判定定理得出，再根据即可得出其相似比，由相似三角形的性质即可求出的值，由即可得出结论． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 24．（2025·天津红桥·三模）的值等于（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查了特殊角三角函数值，解题的关键是熟知特殊角的三角函数值，将特殊三角函数值代入计算即可． 【详解】解：， 故选：A． 25．（2025·天津南开·三模）下列各式的值等于的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了特殊角三角函数的混合运算，熟记特殊角三角函数值是解题的关键；根据特殊角三角函数值求解即可． 【详解】解：，， ，； 故选项B正确，其它选项错误； 故选：B． 26．（2025·天津和平·三模）的值等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了特殊三角函数值的混合运算，先代入特殊角的三角函数值，再根据实数的混合运算法则计算即可． 【详解】解： ． 故选：D． 27．（2025·天津和平·二模）的值等于（　　） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了特殊角的三角函数值混合运算．代入特殊角的三角函数值进行计算即可． 【详解】解：， 故选：B 28．（2025·天津河东·二模）计算的值等于（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】本题主要考查了含特殊角的三角形函数运算，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题关键．根据特殊角的三角函数值求解即可． 【详解】解：原式． 故选：D． 二、填空题 29．（2025·天津·模拟预测）如图，点是正方形的对角线上一动点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，若正方形的边长为4，取的中点，连接，求的最小值 ． 【答案】2 【分析】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，图形与坐标，解题关键是建立平面直角坐标系． 以为坐标原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立直角坐标系，可得出，，，先求出直线的解析式，再设出点的坐标为，然后证明，从而可得出点的坐标，再求出点的坐标，然后利用两点间的距离求出用表示出，再求出最小值即可． 【详解】解：以为坐标原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立直角坐标系，则，，， 设直线的解析式为， 则，解得：， 所以直线的解析式为， 设点的坐标为，其中， ∵将绕点顺时针旋转得到， ∴， 过点作于点，过点作的延长于点，过点作， 则四边形是矩形，，， 所以，又， 所以， 所以，， 因为四边形是矩形， 所以，， 因为四边形是正方形，是对角线， 所以平分， 所以点到的距离等于它到的距离为， 所以到轴的距离为，即点的横坐标为， 所以，所以到的距离为，即点的纵坐标为， 所以点的坐标为， 因为点是的中点， 所以点的横坐标为， 所以，当时，有最小值2， 故答案为：2． 30．（2025·天津·二模）如图，正方形的边长为，是上一点，且．连接，将绕点顺时针旋转，得到线段，连接． （1）线段的长为 ； （2）若是的中点，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题是四边形综合题，考查正方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质等知识，添加恰当辅助线是解题的关键． （1）由勾股定理求出，进而即可求出答案； （2）通过证明点，点，点，点四点共圆，可得，由等腰直角三角形的性质斜边中线是斜边的一半可得答案． 【详解】解：（1）∵是正方形， ∴, ∵， ∴， ∵将线段绕点顺时针旋转至线段， ∴，， ∴； 故答案为：； （2）连接，， ∵四边形是正方形， ∴， ∵点，点，点，点四点共圆， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴． 故答案为：． 31．（2025·天津河东·模拟预测）如图，在矩形中，，，作等腰三角形，其中， （1）为 ； （2）连接，若P为的中点，则的长为 ． 【答案】 / 【分析】（1）先利用勾股定理求得，再利用余弦函数的定义求解即可； （2）过点作的垂线，垂足为点，交于点，作于点，作于点，利用等腰三角形的性质结合余弦函数的定义求得，，，证明，求得，，，，由勾股定理求得，利用等积法求得，在中，利用勾股定理求得，再利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：∵在矩形中，，， ∴，，， ∴； 故答案为：； （2）解：过点作的垂线，垂足为点，交于点，作于点，作于点， ∵矩形， ∴四边形和四边形都是矩形， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在中，∴， ∵P为的中点， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 32．（2025·天津南开·三模）如图，菱形的边长为，，为边中点，为对角线延长线上一点，连接，，，与相交于点，且． （1）线段的长为 ； （2）线段的长为 ． 【答案】 【分析】（1）先证明为等边三角形，可得，再证明，推出，再由全等三角形的性质得出结论； （2）先得出是等边三角形，可得，，可得，证明，可得，再利用相似三角形的性质得出结论． 【详解】解：（1）菱形的边长为，为边中点， ， 在菱形中，， ，，， 为等边三角形， ， ， ， ， 在和中， ， 故答案为：； （2）由（1）知，， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，证明全等三角形或相似三角形是解题的关键． 33．（2025·天津滨海新·三模）如图，在正方形中，E为对角线上一点，连接，F是延长线上一点，，交于点G．正方形的边长为4 （1）若，则线段的长为 ； （2）若G为的中点，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】（）证明，得，进而利用余角性质和对顶角的性质可得，得到即可； （）过点作于，利用等腰三角形的性质可得，再证明，可得，最后利用勾股定理计算即可求解． 【详解】解：（1）∵四边形是正方形，为对角线上一点， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：； （2）过点作于， 则， ∵，为中点，正方形的边长为， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， 解得， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，余角性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 34．（2025·天津南开·二模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，均为格点，为的外接圆． （1）的直径长为 ； （2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点和点，使得点为的中点；使得点在线段上，且．简要说明点，点的位置是如何找到的（不要求证明） ． 【答案】 分别取与格线的交点E、O，连接并延长交圆与点P，则点P即为所求；取格点G、H，连接交于Q，连接，则点Q即为所求． 【分析】本题主要考查了垂径定理，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，90度的圆周角所对的弦是直径等等，熟知圆的相关知识是解题的关键． （1）根据勾股定理分别求出的长，根据勾股定理的逆定理可得，从而得到的直径为； （2）分别取与格线的交点E、O，连接并延长交圆与点P，则点P即为所求；取格点G、H，连接交于Q，连接，则点Q即为所求． 【详解】解：（1）根据题意得：，，， ∴， ∴， ∴的直径为， 即的直径长为． 故答案为：； （2）如图所示，分别取与格线的交点E、O，连接并延长交圆与点P，则点P即为所求； 根据网格的特点可得分别是的中点，则点O是圆心，由垂径定理可得点为的中点； 如图所示，取格点G、H，连接交于Q，连接，则点Q即为所求； 可证明，则；则； 过点C作于T，由（1）可得， 则，则， 则，则有； 故答案为：分别取与格线的交点E、O，连接并延长交圆与点P，则点P即为所求；取格点G、H，连接交于Q，连接，则点Q即为所求． 35．（2025·天津红桥·一模）如图，在中，，，，点D在边上，且．过点D作，与边相交于点E，连接． （1）线段的长为 ； （2）若F为的中点，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】（1）由相似三角形的判定与性质，推出，即可求出的长． （2）过作于，由相似三角形的判定与性质得到，求出，由三角形中位线定理得到，由勾股定理即可求出的长． 【详解】解（1）， ， ， ， ． 故答案为：； （2）过作于， ， ， ， ， ， 为的中点， ， ， ， ，， 是的中位线， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查平行线的性质，相似三角形的判定与性质，三角形中位线的性质及勾股定理，关键是由相似三角形的判定与性质推出；由勾股定理求出的长． 36．（2025·天津红桥·三模）如图，在菱形中，，，为边的中点，连接与相交于点． （1）线段的长为 ； （2）若为的中点，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的性质与判定，解直角三角形，勾股定理等等，熟知菱形的性质是解题的关键． （1）连接，根据菱形的性质可推出，，则可证明是等边三角形，得到，据此解直角三角形即可得到答案； （2）连接，可证明，得到，解得到，再证明，求出，则． 【详解】解：（1）如图所示，连接 ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∵为边的中点， ∴， ∴， 故答案为：； （2）如图所示，连接， 由（1）可得是等边三角形，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题 37．（2025·天津西青·二模）将放置在平面直角坐标系中，点，点，点，点Р是线段上一个动点，将线段绕点O逆时针旋转得到线段，点Q在y轴正半轴上，连接． (1)填空：如图①，的值是_____，的度数是_________； (2)将绕点P顺时针旋转得到，点O，Q的对应点分别是C，D，设，与重合部分面积为S． ①如图②，的边分别与相交于点E，F，即与重合部分为时，请用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围； ②当时，求S的取值范围．（直接写出结果即可） 【答案】(1)，45度 (2)①；② 【分析】（1）根据可得答案，再根据得出； （2）①作，则，可得，再设，结合，得出，然后根据表示，可得，即可得； ②如图3-1所示，当时，过点D作轴于T，连接， 由旋转的性质可得，可证明，则，解直角三角形可证明，则点D此时刚好在上，此时；如图3-2所示，时，设与分别交于点H和F，过点F作于点G，延长交于J，由①得，则．求出直线的关系式为．则，由，得到，则，据此可得，根据二次函数的性质可得；再根据（2）①所求求出当时，S的取值范围即可得到答案． 【详解】（1）解：∵点，点， ∴． 在中，． 由旋转可得． ∵， ∴； 故答案为：； （2）解：①如图所示，∵点，点， ∴． 在中，． 由旋转可得， ∴． ∵， ∴， ∴． 过点F作于G，则， ∴， ∴． 设，在中，． ∴， 同理，． ∵， ∴， 即， ∴， 即， ∴， ∴； 当点C与点E重合时，则，解得， ∴； ②如图3-1所示，当时，过点D作轴于T，连接， ∵， ∴， 由旋转的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴中，， ∴， ∴点D此时刚好在上， ∴ 如图3-2所示，时，设与分别交于点H和F，过点F作于点G，延长交于J， 由①得，则． 设直线关系式，则， 解得， ∴直线的关系式为． 在中，当时，则，解得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，， ∴， 当时，， ∴当，S随t增大而增大， 当时，； 当时，． ∴； 综上所述，S的取值范围是． 【点睛】本题主要考查了二次函数与几何图形的综合问题，解直角三角形，等腰三角形的性质，平面直角坐标系内的动点问题，旋转的性质，画出图形分情况讨论是解题的关键． 38．（2025·天津·模拟预测）在平面直角坐标系中，为原点，是直角三角形，，点在轴的正半轴上，点，点为边上一动点（点不与点重合），过点作轴于点，将绕点逆时针旋转，得到，点的对应点分别为．设． (1)如图①，当时，求点的坐标； (2)已知旋转后点恰好落在边上，与相交于点与相交于点． ①如图②，若旋转后与的重叠部分为四边形，试用含有的式子表示线段的长，并直接写出的取值范围； ②若与重叠部分的面积为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1) (2)①，；② 【分析】（1）先证明，列出比例式，再根据求出，，，代入比例式求出，，从而可得出点的坐标； （2）①先用表示出，，再根据旋转的性质用表示出，然后可以利用正切用表示出，再根据旋转后与的重叠部分为四边形，求出的范围； ②分别求出当时，当时，重叠部分为四边形的面积即可． 【详解】（1）解：∵，轴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 又， ∴，，， ∵，当时， ∴， ∴，解得：，， ∴点的坐标为； （2）①∵，，，，， ∴，解得：，， ∵是由绕点逆时针旋转得到， ∴，，， ∴，， 在中，∵，，∴，∴， ∴， 当在边上时，如图， ∵，， ∴， 又， ∴， 此时， ∵是上一动点，从点出发， ∴当与重合时，最大，此时， ∴的取值范围是； ②当时， 当时，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴，解得：， ∴， 又， ∴， ∴， ∴ = 当时，， ， ∵， ∴，解得：， ∴， , ∴ = 综上所述，与重叠部分的面积为，． 【点睛】本题考查了解直角三角形，相似三角形的判定与性质，含有30度角的直角三角形的性质等知识点，解题关键是熟悉上述知识，并能熟练运用求解． 39．（2025·天津红桥·二模）在平面直角坐标系中，点，，．以点O为中心，逆时针旋转，得到，点A，B的对应点分别为，．      (1)填空：如图①，当点A落在边上时，点的坐标为________，点的坐标为________； (2)若直线与相交于点P． ①如图②，当点落在y轴的正半轴上时，求线段的长和的大小； ②M为边的中点，连接，求线段的长的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1)， (2)①；② 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值、旋转的性质、等边对等角、勾股定理等知识点，掌握运用辅助圆求线段的取值范围成为解题的关键． （1）先根据勾股定理、特殊角的三角函数得到、，再根据旋转的性质结合题意可得，如图：过作轴，过作轴，然后通过解直角三角形即可完成解答； （2）①如图：由（1）可得，，点落在y轴的正半轴上时，，，再运用勾股定理即可求得，再根据旋转的性质、等边对等角、三角形内角和的定理可得、，最后根据三角形外角的性质即可求得的大小；②如图：当旋转角为时，即，先根据①说明恒为．点P的轨迹为以为弦，圆心角为的圆．然后根据等边三角形以及圆的性质即可解答． 【详解】（1）解：∵点，，， ∴， ∴，， ∴， ∵以点O为中心，逆时针旋转，得到，点A，B的对应点分别为，，点A落在边上， ∴， ∴， 如图：过作轴，过作轴， ∴，即； ，即． 故答案为：，． （2）解：①如图：由（1）可得，， ∵点落在y轴的正半轴上时， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴； ②如图：当旋转角为时，即， 由（1）可得，，， ∴，，，， ∴， ∴， ∵， ∴，即恒为． ∴如图：点P的轨迹为以为弦，圆心角为的圆． ∴是等边三角形，即圆的半径为2， ∵M为边的中点， ∴， ∴， ∴当点P在时，有最大值；当点P在时，有最小值． ∴线段的长的取值范围为． 40．（2025·天津和平·一模）在平面直角坐标系中，O为原点，，，点，点B在x轴的负半轴上，点C在y轴的正半轴上，点D是的中点，连接． (1)填空：如图，点B的坐标为______，点C的坐标为______，线段的长为_______； (2)以点A为中心，顺时针旋转，得到，点C，D的对应点分别为E，F． ①连接，当轴时，求点F的坐标： ②连接，记M为线段的中点，S为的面积，求S的最大值（直接写出结果即可）． 【答案】(1) (2)①或；② 【分析】（1）根据等腰三角形和直角三角形的性质求出即可求出各点的坐标； （2）①分点在左侧、右侧两种情况，结合勾股定理分别求解即可；②作于，作于，连接，证明，得，进而得，得出当旋转至轴，且在右侧时，即共线，最大　，即可求出最大值． 【详解】（1）解：点， ， O为原点，，，且， ， ，， 点D是的中点， ， ， 故答案为：； （2）①解：如图所示：当旋转到时，此时轴， 作于， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， ， 中，， ， ； 如图所示：当旋转到时，此时轴， 作于作于， ， 四边形是矩形， ， ， 中，， ， ； 综上所述，当轴时，点的坐标为或 ②作于，作于，连接， ， ， ， 顺时针旋转，得到， ， ， ， 在旋转过程中，，， 当旋转至轴，且在右侧时，即共线，最大　， 如图所示： ， ， ． 【点睛】本题主要考查坐标与图形，等腰直角三角形的性质(等边对等角)，旋转的性质，矩形、正方形的性质与判定，三角形中位线的性质及平行线分线段成比例定理、勾股定理等，理解坐标与图形的特点，掌握相关性质，数形结合分析思想是解题的关键． 41．（2025·天津和平·一模）已知抛物线（b，c是常数，）的顶点为D，与x轴相交于点和点B，与y轴相交于点C，抛物线的对称轴与x轴相交于点E． (1)若， ①求点D的坐标； ②点P是线段上一点，当时，求点P的坐标； (2)若，连接，将线段绕点M逆时针旋转得到线段，连接．当取最大值时，点M恰好落在抛物线上，求c的值． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①由题意得，抛物线解析式为，代入求出的值，再将抛物线解析式化为顶点式，即可求出点D的坐标；②利用抛物线的解析式求出点的坐标，进而得到直线的解析式为，设，利用列出方程，解出的值即可解答； （2）代入得到，得出抛物线的解析式为，得出点的坐标，过点作，使得，连接、、，通过证明得到，利用线段的性质可得当三点共线时，取得最大值，此时，过点作轴于点，作于点，通过证明，得出，，进而求出点的坐标，再代入到抛物线的解析式，即可求出c的值． 【详解】（1）解：①由题意得，抛物线解析式为， 代入，则， 解得：， 抛物线的解析式为， 抛物线的顶点为D， 点D的坐标为； ②令，则， 解得：，， ， 令，则， ， 抛物线的对称轴为， ， 设直线的解析式为， 代入，得，， 解得：， 直线的解析式为， 点P是线段上一点， 设， ， ， ， 解得：， 点P的坐标为． （2）解：代入，则， ， 抛物线的解析式为， 抛物线的对称轴为， ， 令，则， 解得：，， ， ， 如图，过点作，使得，连接、、， 将线段绕点M逆时针旋转得到线段， ，， 是等腰直角三角形，，， ，， 是等腰直角三角形，，， ，， ，即， ， ， ， ， ，即， 当三点共线时，取得最大值，此时， 过点作轴于点，作于点， 轴，， ， ， ， ，即， 又， ， ，， 设，， 由坐标系可得， 解得：， ， 又点M恰好落在抛物线上， ， 整理得：， 解得：，（舍去）， 的值为． 【点睛】本题主要考查了二次函数与几何综合、待定系数法求函数解析式、旋转的性质、线段最值问题、相似三角形的性质与判定、全等三角形的性质与判定，学会结合图形构造相似三角形和全等三角形是解题的关键．本题属于函数与几何综合题，需要较强的数形结合和辅助线构造能力，适合有能力解决压轴难题的学生． 42．（2025·天津西青·一模）将一个直角三角形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点在第一象限，，，点是边的中点． (1)填空：如图①，点的坐标为 ，点的坐标为 ； (2)连接，将直角三角形纸片沿剪开，把水平向右平移得到，点，，的对应点分别是，，，设． ①如图②，当与重叠部分为五边形时，分别与，相交于点，，与相交于点，试用含有的式子表示的长，并直接写出的取值范围； ②当时，求与重叠部分的面积的取值范围．（直接写出结果即可） 【答案】(1)，； (2)①；②． 【分析】（1）由点，得到，根据点是边的中点，得到，从而得出点坐标，连接，过点作于点，证明为等边三角形，求出，即可得出点坐标； （2）①由平移可知，，，有，得到，再得到，根据解直角三角形可得答案； ②分两种情况：当时，重叠部分为五边形，当时，重叠部分为直角三角形，分别求解即可得出答案． 【详解】（1）解：∵点， ∴， ∵点是边的中点， ∴， ∴点， 如图，连接，过点作于点， ∵，， ∴ ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点， 故答案为：，； （2）解：①由（1）可知，为等边三角形， 由平移可知，，，有， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴； ② 当时，重叠部分为五边形， ∴， 由平移可得，， ∴， ∴为等边三角形， 同理，， 在中， ， ， ∵， ∴时，时，， ， 当时，重叠部分为直角三角形， 在中， ∵， ∴， ， ∵， ∴时，时，， ∴综上所述，取值范围为：． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，平移的性质，勾股定理等知识，掌握相关知识是解题的关键． 43．（2025·天津河东·一模）在平面直角坐标系中，为原点，点，点在轴的正半轴上，，是等边三角形，点在第二象限． (1)填空：如图①，点的坐标为________，点的坐标为________； (2)将沿轴向右平移得到，点的对应点分别为． ①如图②，设，与重叠部分的面积为，当与重叠部分为五边形时，分别与相交于点，试用含有的式子表示，并直接写出的取值范围； ②连接、，当取得最小值时，求点的坐标（直接写出结果即可）． 【答案】(1)，； (2)①，；②． 【分析】（1）利用含角直角三角形的性质求出，然后勾股定理求出，即可得到；如图所示，过点C作轴，由等边三角形得到，，同理求出，，即可得到； （2）①由平移的性质得，，，，，然后解直角三角形得到，，，，，然后利用代数求解即可； ②如图所示，连接、，作点关于x轴的对称点D，将点D向右平移6个单位到达点M，连接，，首先得到四边形是平行四边形，证明出，得到，如图所示，当点，A，M三点共线时，取得最小值，过点C作轴，过点M作轴，根据勾股定理求出，然后证明出，得到，然后得到，求出，进而求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点在轴的正半轴上， ∴； 如图所示，过点C作轴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵点在第二象限， ∴ 故答案为：，； （2）解：①由平移的性质得，，，，， ∴，， ∴， ∴在中，， ∴， ∴在中，，， ∴， ∴在中，，， ∴， ， ， 其中t的取值范围是； ②如图所示，连接、，作点关于x轴的对称点D，将点D向右平移6个单位到达点M，连接，， 由对称的性质得，， 由作图得，，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴如图所示，当点，A，M三点共线时，取得最小值， 过点C作轴，过点M作轴， ∴，， ∴， 由平移的性质得，， 由对称得，， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了坐标与图形综合，等边三角形的性质，解直角三角形，勾股定理，相似三角形的性质和判定等知识，解题的关键是正确作出辅助线． 44．（2025·天津南开·三模）如图，一架无人机在一条笔直的公路上方飞行，处为一辆行驶中的小汽车，为公路上的一座桥梁，当无人机飞行到处时，测得处的俯角（）为，处的俯角（）为，其中，，在一条直线上，且，此时，小明在桥梁的入口处测得无人机的仰角为．已知桥梁的总长度为． (1)求此时无人机所在位置离地面的距离； (2)处的小汽车到桥梁入口的距离的长（结果取整数）．参考数据：，． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解直角三角形，做出合理的辅助线是解题的关键． （1）要想求高度需要先做出来高度，作出辅助线，在中设出未知数，根据得到各边的值，在中，根据三角函数关系计算出结果即可； （2）由（1）中的结果，在中，根据三角函数关系计算出结果即可； 【详解】（1）解：如图所示，过点作于点，由题意可知， ，，，设，     在中，， ，              ∵， ，       在中，，，， 即，            ，            ， 答：此时无人机所在位置离地面的距离为； （2）解：∵， 在中，，， ，             ， 小汽车到桥梁入口的距离的长约为． 45．（2025·天津·模拟预测）如图，在一次联合反潜演习中，军舰测得潜艇的俯角为；位于军舰正上方的反潜直升机测得潜艇的俯角为，设潜艇离开海平面的下潜深度为（单位：m）． (1)用含有的式子表示潜艇到的水平距离．（结果保留三角函数形式） (2)试根据以上数据求出潜艇离开海平面的下潜深度（结果保留整数） 【答案】(1) (2)米 【分析】本题考查了解直三角形的应用——仰角与俯角问题，解题关键是通过作垂线构造直角三角形求解． （1）利用线段利用正切 求得； （2）分别在，中，用含的式子表示，再利用等量代换列出关于的方程，即可求出的值，即潜艇C离开海平面的下潜深度． 【详解】（1）解：过点C作，交的延长线于点D， 设潜艇离开海平面的下潜深度为（单位：m）， 即为潜艇C的下潜深度， 在中，，， ∴=； （2）在中，，， ∴， ∴ ∴ 答：潜艇C离开海平面的下潜深度为． 46．（2025·天津和平·三模）综合与实践活动中，要用测角仪测量山的高度． 某学习小组设计了一个方案：如图，已知某座山的对面有一座小山，的顶部有一座通讯塔，且点，，在同一条直线上．从处测得塔底的仰角为，测得塔顶的仰角为，，又在处测得塔顶的俯角为． (1)求两座山之间水平距离的长（结果保留小数点后一位）； (2)求这座山的高度（结果保留小数点后一位）．参考数据：，． 【答案】(1)两座山之间水平距离约为 (2)这座山的高度为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）在中，由解直角三角形的知识得，，又，解出的长度即可； （2）过点作，垂足为点，证明四边形是矩形得，，由解直角三角形的知识得，最后根据即可得解． 【详解】（1）解：由题意知，，，，， 在中，，， ， 在中，，， ， ， 解得：， 两座山之间水平距离约为； （2）解：过点作，垂足为点， ， ， 四边形是矩形， ，， 由题意可知， 在中，， ， ， 答：这座山的高度为． 47．（2025·天津红桥·二模）已知抛物线（b为常数，）的顶点为P，与x轴相交于点和点B，与y轴相交于点C． (1)当时，求点P的坐标； (2)直线与x轴相交于点D，当时，求b的值； (3)M为线段上的动点，若取得最小值时，求b的值． 【答案】(1) (2)2 (3) 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、等腰三角形的性质、正切的定义、含30度直角三角形的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）将、代入解析式，然后运用配方法化成顶点式即可解答； （2）将代入解析式可得，再求得对称轴为，即顶点P的横坐标为，然后代入解析式求得横坐标即可解答； （3）由（2）可得、，则，即；如图，过点B作直线与y轴的正半轴相交于点E，且．易得；如图：过点M作垂足为Q．可得，易得，即当点P，M，Q共线时，取得最小值；再说明，由正切函数可得，即，再求出b的值即可． 【详解】（1）解：当时，抛物线的解析式为：， 将点代入可得：，解得：， 所以抛物线解析式为：， ∴． ∴点P的坐标为． （2）解：将代入抛物线可得：， ∴， ∴抛物线解析式为：， 当时，，即， ∵， ∴或， ∴， ∴该抛物线的对称轴为，即顶点P的横坐标为， ∴顶点P的纵坐标坐标为， ∴； 设直线的表达式为， 则，解得：， ∴直线的表达式为． 当时，，解得：， ∴， ∴， ∵， ∴，解得：． （3）解：∵，， ∴，即 如图，过点B作直线与y轴的正半轴相交于点E，且． ∴． 如图：过点M作垂足为Q．可得．， ∴， ∴当点P，M，Q共线时，取得最小值， ∵， ∴． ∵， ∴ ， 在中，，得， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴． 48．（2025·天津滨海新·二模）综合与实践活动中，要测量教学楼的高度． 如图，点依次在同一条水平直线上，小明用高的测量仪测得楼顶的仰角（）为，小军在小明的前面处用高的测量仪测得楼顶的仰角（）为，求教学楼的高度（结果取整数）． 参考数据：． 【答案】 【分析】根据，得到，设，根据题意，得，，解直角三角形得到的长，根据计算解答即可． 本题考查了仰角的计算，矩形的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握解直角三角形的仰角计算是解题的关键． 【详解】解：∵点依次在同一条水平直线上，小明用高的测量仪测得楼顶的仰角（）为，小军在小明的前面处用高的测量仪测得楼顶的仰角（）为， ∴，，，，， ∴，四边形，四边形都是矩形， 设， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， 答：楼高约为． 49．（2025·天津河西·一模）在平面直角坐标系中，点，，抛物线（是常数）的顶点为． (1)当抛物线经过点时，求点的坐标； (2)若点在轴下方，当时，求此时的值； (3)无论取何值，该抛物线都经过定点．当时，求此时的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）把点代入求出m的值，从而确定二次函数解析式，进而求出顶点P的坐标； （2）先由函数解析式得出顶点坐标为．再结合已知条件可知，可得：再建立方程求解即可； （3）由可知，定点H的坐标为，过点作，交射线于点，分别过点，作轴的垂线，垂足分别为，，则可证．得点的坐标为或．然后进行分类讨论即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴， 解得． ∴抛物线的解析式为． ∵， ∴顶点的坐标为． （2）解：抛物线的顶点的坐标为． 由点在轴正半轴上，点在轴下方，，知点在第四象限． 记抛物线的对称轴与轴的交点为， 则， ∵顶点的坐标为， ∴， 解得：，（舍去） ； （3）解：由可知， 当时，无论取何值，， 得点的坐标为． 过点作，交射线于点，分别过点，作轴的垂线，垂足分别为，，则． ∵， ， ∴， ∴， ∵ ， ∴． ∴． ∴，． ∴点的坐标为， 设直线为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为． ∵点在直线上， ∴， 整理得：， 解得：，， 当时，点与点不共线，舍去， ∴． 如图，同理可得：， 同理可得直线的解析式为． ∵点在直线上， ∴， 整理得：， 解得（舍），． ∴． 综上，或． 【点睛】本题属于二次函数的综合题．涉及全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，锐角三角函数的应用，一元二次方程的解法，计算量特别大，难度大，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题． 50．（2025·天津·二模）综合与实践活动中，要用测角仪测量某学校凉亭的高度（如图①）． 某小组设计了一个方案：图②是凉亭侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是凉亭的高所在的直线，在地面上F点测得凉亭顶部C的仰角（）为，此时地面上F点，凉亭外檐上A点，顶部C点三点共线，继续向凉亭方向走到达G点处，又测得A点的仰角（）为，凉亭的顶层横梁，，交于点E（点F，G，D在同一水平线上）．    (1)求凉亭顶部到横梁的距离（结果取整数）． (2)求凉亭的高（结果取整数）．（参考数据：，） 【答案】(1)凉亭顶部到横梁的距离约为 (2)凉亭的高约为 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定等等，熟知锐角三角函数是解题的关键。 （1）根据题意可得，，由平行线的性质得到，再解求出的长即可得到答案； （2）过A作于点H，则四边形AHDE为矩形，则，设，解得到，则，再解可得，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意可知，直线为的对称轴，． ，． ，，点C，A，F三点共线， ． 在中，． ． 答：凉亭顶部到横梁的距离约为； （2）解：如图，过A作于点H，则四边形AHDE为矩形， ∴ 根据题意可知，，． 设． 在中，． ． ． 在中，． ． 解得（已检验）． ， ． 答：凉亭的高约为．    1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$