专题07 圆（天津专用）-【好题汇编】5年（2021-2025）中考1年模拟数学真题分类汇编

专题07 圆（原卷版） 考点1 利用垂径定理求值 1．（2023·天津·中考真题）在中，半径垂直于弦，垂足为D，，E为弦所对的优弧上一点．    (1)如图①，求和的大小； (2)如图②，与相交于点F，，过点E作的切线，与的延长线相交于点G，若，求的长． 2．（2022·天津·中考真题）已知为的直径，，C为上一点，连接． (1)如图①，若C为的中点，求的大小和的长； (2)如图②，若为的半径，且，垂足为E，过点D作的切线，与的延长线相交于点F，求的长． 考点2 圆周角 一、单选题 1．（2023·天津·中考真题）如图，在中，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于M，N两点，直线分别与边相交于点D，E，连接．若，则的长为（    ）    A．9 B．8 C．7 D．6 二、填空题 2．（2025·天津·中考真题）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点P，A均在格点上． （1）线段的长为 ； （2）直线与的外接圆相切于点．点在射线上，点在线段的延长线上，满足，且与射线垂直．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点M，N，并简要说明点M，N的位置是如何找到的（不要求证明） ． 3．（2022·天津·中考真题）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，圆上的点A，B，C及的一边上的点E，F均在格点上． （Ⅰ）线段的长等于 ； （Ⅱ）若点M，N分别在射线上，满足且．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点M，N，并简要说明点M，N的位置是如何找到的（不要求证明） ． 三、解答题 4．（2025·天津·中考真题）已知与相切于点与相交于点D，E为上一点． (1)如图①，求的大小； (2)如图②，当时，与相交于点，延长与相交于点，若的半径为3，求和的长． 5．（2023·天津·中考真题）在中，半径垂直于弦，垂足为D，，E为弦所对的优弧上一点．    (1)如图①，求和的大小； (2)如图②，与相交于点F，，过点E作的切线，与的延长线相交于点G，若，求的长． 考点3 切线的性质定理 一、填空题 1．（2024·天津·中考真题）如图，在每个小正方形的边长为的网格中，点，，均在格点上．    （1）线段的长为 ； （2）点在水平网格线上，过点，，作圆，经过圆与水平网格线的交点作切线，分别与，的延长线相交于点，，中，点在边上，点在边上，点在边上．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，，，使的周长最短，并简要说明点，，的位置是如何找到的（不要求证明） ． 二、解答题 2．（2024·天津·中考真题）已知中，为的弦，直线与相切于点． (1)如图①，若，直径与相交于点，求和的大小； (2)如图②，若，垂足为与相交于点，求线段的长． 3．（2022·天津·中考真题）已知为的直径，，C为上一点，连接． (1)如图①，若C为的中点，求的大小和的长； (2)如图②，若为的半径，且，垂足为E，过点D作的切线，与的延长线相交于点F，求的长． 一、单选题 1．（2025·天津河西·一模）如图，为半圆O的直径，点C为半圆上一点，且．①以点B为圆心，适当长为半径作弧，交于D，E；②分别以为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点P；③作射线，与交于点F，则的度数为（　　） A． B． C． D． 2．（2025·天津红桥·一模）如图，以为直径的经过点C，D为的中点，连接，，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 3．（2025·天津南开·三模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，，，，，均为格点，以为直径作半圆，半圆的圆心为点． （1）半圆的半径长为 ； （2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出圆心，在线段上画出点，使得．要求所作直线不多于5条，并简要说明点，点的位置是如何找到的（不要求证明） 4．（2025·天津河北·二模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，中，顶点A是圆与格线的交点，顶点B在格线上，顶点C是格点，点D是格点，连接． （Ⅰ）线段的长为 ； （Ⅱ）线段交圆于点E，线段交圆于格线上一点F，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，作出的内心I（所作直线、射线及线段的总数不得大于6条），并简要说明点I的位置是如何找到的（不要求证明） ． 5．（2025·天津·模拟预测）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，圆上的点，及点均在格点上． （Ⅰ）线段的长等于 ； （Ⅱ）为上一点，连接．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，使为等腰直角三角形，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明） ． 6．（2025·天津和平·三模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点，，均在格点上． ①线段的长为 ； ②过点，，作圆，经过圆与水平网格线的交点作圆的切线，与水平网格线相交于点，点在圆上．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点（不与点重合），使，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明） ． 7．（2025·天津河东·二模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，圆上点A，B，C均是格点． （Ⅰ）线段的长等于 ； （Ⅱ）请用无刻度的直尺，在线段上画出点S，使，并简要说明点S的位置是如何找到的（不要求证明） ． 8．（2025·天津·二模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C在同一个圆上，且均在格点上，的边上的点F，G均在格点上． （1）线段的长为 ； （2）若点M，N分别在射线上，满足且，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中画出点M，N，并简要说明点M，N的位置是如何找到的（不要求证明）． 9．（2025·天津西青·二模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，E，F均在格点上．    （Ⅰ）线段的长为 ． （Ⅱ）点D在竖直网格线上，过点A，D，E作圆，经过圆与竖直网格线的交点作切线，分别与的延长线相交于点B，C，中，点G在边上，点H在边上，点P在边上．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点G，H，P，使的周长最短，并简要说明点G，H，P的位置是如何找到的（不要求证明） ．   10．（2025·天津河西·一模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点B，C均落在格线上，点A在格点上． （Ⅰ）当C为小正方形一边的中点时，线段的长为 ； （Ⅱ）以为直径作半圆，在线段上有一点P，满足，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明） ． 11．（2025·天津西青·一模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，线段的两个端点均落在格点上． （1）线段的长等于 ； （2）经过点，作圆，若所对的圆心角是，请在圆上找一点，使是等边三角形：再过点作圆的切线．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点和切线，并简要说明它们的位置是如何找到的（不要求证明，画图时所有添加的线不超过10条） ． 12．（2025·天津和平·一模）我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，以“圆的内接正多边形的面积”来无限逼近“圆面积”．并指出在圆的内接正多边形边数加倍的过程中“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．刘徽将极限思想和无穷小分割引入了数学证明，并运用“割圆术”计算出圆周率．如图①，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计的面积，可得的估计值为． （1）如图②，在圆内接正十二边形中， （度）； （2）用圆内接正十二边形作近似估计，可得的估计值为 ． 13．（2025·天津河北·一模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A和点B是格点，点C在格线上，点M是弧的中点，为所在半圆的直径． （1）点A和点B的距离为 ； （2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，在半圆上画出弧的中点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明） ． 14．（2025·天津南开·一模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点均在格点上，以点为圆心作圆，经过点，且与网格线交于点． （I）的半径等于 ； （II）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，在上画出点，使得为的切线，且．请简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明） 15．（2025·天津河西·一模）如图，在每个小正方形边长为1的网格中，有点，，三个点，以为直径作圆，点恰为圆上一点． （I）的度数为 ； （II）在这个圆上另有一点，满足，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明） ． 16．（2025·天津·一模）如图，交于点切于点点在上，若，则为 ．    17．（2025·天津北辰·一模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，内接于圆，且顶点A，B均在格点上，顶点C是圆与网格线的交点． （1）线段的长为 ； （2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出圆心O及上的一点P使得．，并简要说明圆心O和点P的位置是如何找到的（不要求证明）： ． 三、解答题 18．（2025·天津河东·模拟预测）如图，已知是的外接圆，于，且点是的中点． (1)如图①，若，求和的大小； (2)如图②，若过点作的切线，与的延长线交于点，且，，求的半径． 19．（2025·天津红桥·三模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，内接于圆，点均在格点上，且． （I）线段的长等于 ； （II）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出一个点，使，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明） ． 20．（2025·天津南开·三模）在等腰中，，以为直径的分别与边，交于，两点，，垂足为点，与相交于点．连接． (1)如图①，若，求和大小； (2)如图②，若点恰在线段上，过点作的切线，切点为，与相交于点．若．求弦和线段的长． 21．（2025·天津·模拟预测）已知是的直径，是的一条弦，，连接． (1)如图①，若，求的大小； (2)如图②，过点作的切线，连接并延长交于点，若，的半径为2，求的长． 22．（2025·天津河北·二模）在中，弦与半径互相垂直，垂足为点E，连接，点D在上，连接． (1)如图①，若是的直径，，弦交半径于点F，交弦于点G，求∠和的大小； (2)如图②，若直线与相切，切点为点D，且，求的长． 23．（2025·天津红桥·三模）已知为的直径，切于点，过点作于点，交于点，连接． (1)如图①，若，求的大小； (2)如图②，若为的中点，，求线段的长． 24．（2025·天津河西·二模）已知，为以为直径的半圆上一点，且半径于，是的中点． (1)如图①，过点作弦，连接，求和的大小； (2)如图②，连接并延长交半圆于点，过点作的切线，与的延长线交于点，若，求线段的长． 25．（2025·天津和平·三模）已知：中，，以为直径的分别交，于点，．    (1)如图①，若点为的中点，连接，求和的大小； (2)如图②，过点作的切线与相交于点，且，若，求半径的长． 26．（2025·天津河东·二模）已知点O为边上一点，以点O为圆心，为半径作圆与相切于点A，与边交于点D． (1)如图①，过点O作，交于点E，交延长线于点G，若，，求的长； (2)如图②，与切于点M，连接，与直径交于点H，若，且，求的长． 27．（2025·天津·二模）已知是的直径，C，D是上的点，． (1)如图①，若D为的中点，求和的大小； (2)如图②，若，过点D作的切线，交的延长线于点F，，求的长． 28．（2025·天津南开·二模）点在⊙O上，切⊙O于点与⊙O相交于点，，弦． (1)如图1，若为直径，求的大小和线段的长； (2)如图2，若，求线段和的长． 29．（2025·天津滨海新·二模）在中，为直径，与相切于点，交延长线于点，连接，，且，点为中点． (1)如图①，求和的大小； (2)如图②，过点作，垂足为点，延长交于点．若，求的长． 30．（2025·天津河西·一模）已知内接于，，为的直径，连接． (1)如图①，若，求和的度数； (2)如图②，过点B作的切线，与的延长线交于点E，若，，求的半径． 31．（2025·天津红桥·二模）已知四边形内接于，为的中点，过点作的切线，与的延长线相交于点．      (1)如图①，若经过点，，求的大小； (2)如图②，若经过点，，求的长． 32．（2025·天津和平·二模）已知为的直径，为的弦，弦的长为5． (1)如图①，若直径的长为10，求的大小； (2)如图②，过点作的切线与的延长线相交于点，若，线段的长为3，求直径的长． 33．（2025·天津西青·一模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，内接于圆，且顶点均在格点上，顶点B在网格线上． (1)线段的长等于_______； (2)请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中， ①画出圆心O ②画出一个以为边的矩形，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）． 34．（2025·天津滨海新·一模）已知，为的直径，弦，连接，，． (1)如图①，求和的度数； (2)如图②，过点D作的切线，与的延长线交于点G，的半径为4，求线段的长． 35．（2025·安徽芜湖·一模）如图，已知，是圆内的两条弦，延长，相交于点P． (1)如图1，请写出之间的数量关系，并说明理由； (2)如图2，若点C是优弧的中点，点D是劣弧的中点，求证：． 36．（2025·天津红桥·一模）已知内接于，是的直径，过点B作的切线，与的延长线相交于点D，点E在上，，与相交于点F． (1)如图①，若，求和的大小； (2)如图②，若，，求的长． 37．（2025·天津西青·一模）已知是的直径，点，在上，位于两侧，且，连接，，与交于点． (1)如图，若，连接，求和的大小． (2)如图，过点作的切线，与的延长线交于点，若，，求的长． 38．（2025·天津·一模）已知是的直径，为的中点，连接． (1)如图①，若，求和的大小； (2)如图②，过点作的切线，交的延长线于点，弦与交于点，若，求的直径． 39．（2025·天津河东·一模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，圆上点，，，均是格点． (1)线段的长等于___________； (2)点在线段上，连接，点是点关于的对称点，射线与射线相交于点．当的面积最大时，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，，并简要说明点与点的位置是如何找到的（不要求证明）__________． 40．（2025·天津和平·一模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，以为直径的圆与竖直网格线相交于点和，点为圆上的点． （1）∠ACB= （度）； （2）点P在圆上，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，使平分，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明，完成任务的画线不超过3条） ． 41．（2025·天津河东·一模）已知，，过点，且与边，分别交于点，． (1)如图①，若过点，且，连接，求的大小； (2)如图②，若点在上，与切于点，过上点作交于点，连接，若，，求的长． 42．（2025·天津和平·一模）已知是的直径；，点C和点D为圆上的点，，，连接． (1)如图①，求和的大小； (2)如图②，过点C和点D分别作的切线相交于点P，连接，求的长． 43．（2025·天津河北·一模）在中，，，点A在上，线段分别交于点E，点D，连接． (1)如图①，若点B在上，，求的大小与线段的长； (2)如图②，若点B在内，点O在线段上，直线l切于点D，交于点H，连接，若，求的长． 44．（2025·天津南开·一模）是的外接圆，是的直径，点为上一点，过点作与的延长线交于点，连接与交于点． (1)如图①，若，求和大小； (2)如图②，若恰好切于点，且，求的半径和的长． 45．（2025·天津河西·一模）已知是的直径，是的弦，半径，与交于点． (1)如图①，若，求和的大小； (2)如图②，过点作的切线，与的延长线相交于点，与交点为．，．求的面积． 46．（2025·天津滨海新·模拟预测）如图，是的两条直径，过点C的的切线交的延长线于点E，B是中点，连接，．求的半径． 47．（2025·天津·一模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，三角形内接于圆，且顶点均在格点上． (1)线段的长为 ； (2)若点D在圆上，在上有一点P，满足，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明）． 48．（2025·天津红桥·一模）已知，与相切于点A，B．连接并延长，交的延长线于点C．连接，交于点D． (1)如图①，若，求的大小； (2)如图②，连接，若，，求的长． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 圆（解析版） 考点1 利用垂径定理求值 1．（2023·天津·中考真题）在中，半径垂直于弦，垂足为D，，E为弦所对的优弧上一点．    (1)如图①，求和的大小； (2)如图②，与相交于点F，，过点E作的切线，与的延长线相交于点G，若，求的长． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据半径垂直于弦，可以得到，从而得到，结合已知条件即可得到，根据即可求出； （2）根据，结合，推算出，进一步推算出，在中，，再根据即可得到答案． 【详解】（1）解：在中，半径垂直于弦，    ∴，得． ∵， ∴． ∵， ∴． （2）解：如图，连接． 同（1）得． ∵在中，， ∴． ∴． 又， ∴． ∵与相切于点E， ∴，即． 在中，， ∴． 【点睛】本题考查圆周角定理、切线的性质和直角三角函数，解题的关键是灵活运用相关知识． 2．（2022·天津·中考真题）已知为的直径，，C为上一点，连接． (1)如图①，若C为的中点，求的大小和的长； (2)如图②，若为的半径，且，垂足为E，过点D作的切线，与的延长线相交于点F，求的长． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由圆周角定理得，由C为的中点，得，从而，即可求得的度数，通过勾股定理即可求得AC的长度； （2）证明四边形为矩形，FD=CE= CB，由勾股定理求得BC的长，即可得出答案． 【详解】（1）∵为的直径， ∴， 由C为的中点，得， ∴，得， 在中，， ∴； 根据勾股定理，有， 又，得， ∴； （2）∵是的切线， ∴，即， ∵，垂足为E， ∴， 同（1）可得，有， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，于是， 在中，由，得， ∴． 考点2 圆周角 一、单选题 1．（2023·天津·中考真题）如图，在中，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于M，N两点，直线分别与边相交于点D，E，连接．若，则的长为（    ）    A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】D 【分析】由作图可知直线为边的垂直平分线，再由得到，则可知三点在以为圆心直径的圆上，进而得到，由勾股定理求出即可． 【详解】解：由作图可知，直线为边的垂直平分线， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴三点在以为圆心直径的圆上， ∴， ∵， ∴ ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的尺规作图和性质，圆的基本性质和勾股定理，解答关键是熟练掌握常用尺规作图的作图痕迹，由作图过程得到新的结论． 二、填空题 2．（2025·天津·中考真题）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点P，A均在格点上． （1）线段的长为 ； （2）直线与的外接圆相切于点．点在射线上，点在线段的延长线上，满足，且与射线垂直．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点M，N，并简要说明点M，N的位置是如何找到的（不要求证明） ． 【答案】 见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理，圆周角定理的推论，等腰三角形的性质，正方形的性质，三角形中位线的判定和性质等内容，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． （1）利用勾股定理进行求解即可； （2）利用圆周角定理的推论，正方形的性质确定圆心，再根据全等三角形和等腰三角形的三线合一确定线段的中点，利用网格确定点为线段的中点，则为三角形的中位线，利用一组平行线确定点为线段的中点，证明和，得出，即，最后利用切线的性质和等腰三角形的性质，得出为等腰三角形，再利用等腰三角形的性质得出． 【详解】解：（1）由勾股定理得， 故答案为：； （2）如图所示，点即为所求， 作法：直线PA与射线BC的交点为；取圆与网格线的交点和，连接；取格点，连接，与相交于点；连接并延长，与相交于点，与直线相交于点；连接并延长，与网格线相交于点，连接，与网格线相交于点；连接，与线段的延长线相交于点，则点M，N即为所求． 理由：∵， ∴为圆的直径， ∵为正方形的对角线， ∴, ∴垂直平分线段， ∴点为圆的圆心， ∴， 又， ， ， 平分， ∴点为线段的中点， 由网格可知点为线段的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴点为线段的中点， ∵， ， ， ∴， 又， ∴， , 即， 延长交于点， ∵， ∴, ， ∴ ∵为圆的切线， ∴， ， , ∴， 即， ∵， ， ∴为等腰三角形， ∴， ∴点即为所求． 3．（2022·天津·中考真题）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，圆上的点A，B，C及的一边上的点E，F均在格点上． （Ⅰ）线段的长等于 ； （Ⅱ）若点M，N分别在射线上，满足且．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点M，N，并简要说明点M，N的位置是如何找到的（不要求证明） ． 【答案】 见解析 【分析】（Ⅰ）根据勾股定理，从图中找出EF所在直角三角形的直角边的长进行计算； （Ⅱ）由图可找到点Q，，即四边形EFBQ是正方形，因为，所以，点M在EQ上，BM、BN与圆的交点为直径端点，所以EQ与PD交点为M，通过BM与圆的交点G和圆心O连线与圆相交于H，所以H在BN上，则延长BH与PF相交点即为N． 【详解】解：（Ⅰ）从图中可知：点E、F水平方向距离为3，竖直方向距离为1， 所以， 故答案为：； （Ⅱ）连接，与竖网格线相交于点O，O即为圆心；取格点Q（E点向右1格，向上3格），连接与射线相交于点M；连接与相交于点G；连接并延长，与相交于点H；连接并延长，与射线相交于点N，则点M，N即为所求， 理由如下：连接 由勾股定理算出， 由题意得， 四边形为正方形， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 从而确定了点的位置． 【点睛】本题考查作图，锐角三角函数、圆周角定理，三角形全等的判定及性质，解题的关键是掌握圆周角的定理． 三、解答题 4．（2025·天津·中考真题）已知与相切于点与相交于点D，E为上一点． (1)如图①，求的大小； (2)如图②，当时，与相交于点，延长与相交于点，若的半径为3，求和的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，解直角三角形，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）连接，切线的性质得到，三线合一，求出的度数，圆周角定理求出的度数即可； （2）平行线的性质，结合三角形的外角的性质，得到，直径得到，解，进行求解即可． 【详解】（1）解：连接． 与相切于点， ．又， 平分． ∴． ， ． 在中，， ． （2）由（1）知：． ， ． 为的一个外角， ． 由题意，为的直径， ． 又的半径为3，则：． 在中，， ． 5．（2023·天津·中考真题）在中，半径垂直于弦，垂足为D，，E为弦所对的优弧上一点．    (1)如图①，求和的大小； (2)如图②，与相交于点F，，过点E作的切线，与的延长线相交于点G，若，求的长． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据半径垂直于弦，可以得到，从而得到，结合已知条件即可得到，根据即可求出； （2）根据，结合，推算出，进一步推算出，在中，，再根据即可得到答案． 【详解】（1）解：在中，半径垂直于弦，    ∴，得． ∵， ∴． ∵， ∴． （2）解：如图，连接． 同（1）得． ∵在中，， ∴． ∴． 又， ∴． ∵与相切于点E， ∴，即． 在中，， ∴． 考点3 切线的性质定理 一、填空题 1．（2024·天津·中考真题）如图，在每个小正方形的边长为的网格中，点，，均在格点上．    （1）线段的长为 ； （2）点在水平网格线上，过点，，作圆，经过圆与水平网格线的交点作切线，分别与，的延长线相交于点，，中，点在边上，点在边上，点在边上．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，，，使的周长最短，并简要说明点，，的位置是如何找到的（不要求证明） ． 【答案】 图见解析，说明见解析 【分析】此题考查了勾股定理、切线的性质等知识，根据题意正确作图是解题的关键． （1）利用勾股定理即可求解； （2）作点关于、的对称点、，连接、，分别与、相交于点、，的周长等于的长，等腰三角形的腰长为，当的值最小时，的值最小，此时是切点，由此作图即可． 【详解】（1）由勾股定理可知，， 故答案为： （2）如图，根据题意，切点为；连接并延长，与网格线相交于点；取圆与网格线的交点和格点，连接并延长，与网格线相交于点；连接，分别与，相交于点，，则点，，即为所求．    二、解答题 2．（2024·天津·中考真题）已知中，为的弦，直线与相切于点． (1)如图①，若，直径与相交于点，求和的大小； (2)如图②，若，垂足为与相交于点，求线段的长． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查等腰三角形的性质，切线的性质，解直角三角形，灵活运用相关性质定理是解答本题的关键． （1）根据等边对等角得到，然后利用三角形的内角和得到，然后利用平行线的性质结合圆周角定理解题即可； （2）连接，求出，再在中运用三角函数解题即可． 【详解】（1）为的弦， ．得． 中，， 又， ． 直线与相切于点为的直径， ．即． 又， ． 在中，． ， ． （2）如图，连接． ∵ 直线 与 相切于点 ， ∴ ∵ ∴． ，得． 在中，由， 得． ． 在中，， ． 3．（2022·天津·中考真题）已知为的直径，，C为上一点，连接． (1)如图①，若C为的中点，求的大小和的长； (2)如图②，若为的半径，且，垂足为E，过点D作的切线，与的延长线相交于点F，求的长． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由圆周角定理得，由C为的中点，得，从而，即可求得的度数，通过勾股定理即可求得AC的长度； （2）证明四边形为矩形，FD=CE= CB，由勾股定理求得BC的长，即可得出答案． 【详解】（1）∵为的直径， ∴， 由C为的中点，得， ∴，得， 在中，， ∴； 根据勾股定理，有， 又，得， ∴； （2）∵是的切线， ∴，即， ∵，垂足为E， ∴， 同（1）可得，有， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，于是， 在中，由，得， ∴． 一、单选题 1．（2025·天津河西·一模）如图，为半圆O的直径，点C为半圆上一点，且．①以点B为圆心，适当长为半径作弧，交于D，E；②分别以为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点P；③作射线，与交于点F，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查圆周角定理，三角形的外角定理和直角三角形的性质，以及角平分线定义．根据直径所对的圆周角是直角可求出，根据作图可得是的角平分线，从而得到，再由三角形的外角性质可得答案． 【详解】解：∵为半圆O的直径， ∴， ∵， ∴， 由作图知，是的角平分线， ∴， ∴． 故选：D 2．（2025·天津红桥·一模）如图，以为直径的经过点C，D为的中点，连接，，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，得到，即可求得，根据D为的中点，可得，即可解答，关键是掌握并运用圆周角定理． 【详解】解：为直径， ， ， ， D为的中点， ， ， ， ， ． 故选：B． 二、填空题 3．（2025·天津南开·三模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，，，，，均为格点，以为直径作半圆，半圆的圆心为点． （1）半圆的半径长为 ； （2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出圆心，在线段上画出点，使得．要求所作直线不多于5条，并简要说明点，点的位置是如何找到的（不要求证明） 【答案】 取格点，，连接，与格线（横）相交于点，连接并延长，直线与相交于点；取格点，连接并延长，直线与相交于点，点，即为所求． 【分析】本题主要考查了格点作图，圆的基本性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，等腰三角形的性质与判定等等，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据是的直径，且即可得到答案； （2）取格点，，连接，与格线（横）相交于点，连接并延长，直线与相交于点；取格点，连接并延长，直线与相交于点，点，即为所求． 【详解】解：（1）∵是的直径，且， ∴半圆的半径长为， 故答案为：； （2）取格点，，连接，与格线（横）相交于点，连接并延长，直线与相交于点；取格点，连接并延长，直线与相交于点，点，即为所求． 如图所示，连接， 可证明，则可证明，则有； 取格点W、S，可证明，则，则； 可证明，且点R为的中点，则， 则． 4．（2025·天津河北·二模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，中，顶点A是圆与格线的交点，顶点B在格线上，顶点C是格点，点D是格点，连接． （Ⅰ）线段的长为 ； （Ⅱ）线段交圆于点E，线段交圆于格线上一点F，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，作出的内心I（所作直线、射线及线段的总数不得大于6条），并简要说明点I的位置是如何找到的（不要求证明） ． 【答案】 取格点G，作射线交圆于点K，连接，取圆与格线交点J，连接交于点O，连接交格线于点H，作射线交于点M，连接交于点I 【分析】本题考查勾股定理，圆周角定理，三角形内心，正确理解题意，灵活运用知识点是解题的关键． （1）利用勾股定理即可求解； （2）先利用网格的特征结合圆周角定理找到圆心，再利用圆周角定理结合网格的特征找到的角平分线，两条角平分线的交点即为内心． 【详解】解：（Ⅰ）， 故答案为：； （Ⅱ）取格点G，作射线交圆于点K，连接，取圆与格线交点J，连接交于点O，连接交格线于点H，作射线交于点M，连接交于点I，点I即为所求． 由作图得，即点为圆心，为直径， 由网格的特征得点为中点，即， ∴， ∴，即是的角平分线， ∵，即是的角平分线， ∴点I为的内心． 故答案为：取格点G，作射线交圆于点K，连接，取圆与格线交点J，连接交于点O，连接交格线于点H，作射线交于点M，连接交于点I． 5．（2025·天津·模拟预测）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，圆上的点，及点均在格点上． （Ⅰ）线段的长等于 ； （Ⅱ）为上一点，连接．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，使为等腰直角三角形，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明） ． 【答案】 见解析 【分析】（Ⅰ）利用勾股定理直接求解； （Ⅱ）先取圆与网格线的交点和，再连接与网格线相交于点，然后延长与圆交于点，最后取格点，连接，连接并延长与相交于点，点即为所求． 【详解】（Ⅰ）解：， 故答案为：； （Ⅱ）取圆与网格线的交点和，连接与网格线相交于点；延长与圆交于点，连接并延长与圆相交于点；取格点，连接，连接并延长与相交于点，点即为所求． 理由：， 是圆的直径． 是圆的直径． ， 点是圆心． 是圆的直径， ． ， 又， ， ， ， ， ． ． ， ∵是直径， ∴， 又， ， ， 在与中， ， ． ． 是等腰直角三角形． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定，勾股定理，圆周角定理的推论，解题关键是在于确定圆心，利用直径所对的圆周角是直角，得到圆周角是直角． 6．（2025·天津和平·三模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点，，均在格点上． ①线段的长为 ； ②过点，，作圆，经过圆与水平网格线的交点作圆的切线，与水平网格线相交于点，点在圆上．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点（不与点重合），使，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明） ． 【答案】 见解析 【分析】①利用勾股定理求解即可； ②连接与网格线相交于点和点，点即为圆心：连接并延长与网格线相交于点，连接与圆相交于点，连接并延长与圆相交于点，则点即为所求，连接，由作图可知，易证四边形是平行四边形，推出，证明，得到是的切线，即可证明． 【详解】解：①； ②解：如图所示为所求： 连接与网格线相交于点和点，点即为圆心连接， ∵， ∴是圆的直径， 由网格知点的中点，即点O是圆心， 由作图可知， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵是的直径， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ∵是的切线， ， ∴是的切线， ∴． 【点睛】本题主要考查了尺规作图-作切线，圆周角定理，切线的判定与性质，平行四边形的判定与性质，垂径定理，勾股定理，熟练掌握切线的性质，垂径定理，是解题的关键． 7．（2025·天津河东·二模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，圆上点A，B，C均是格点． （Ⅰ）线段的长等于 ； （Ⅱ）请用无刻度的直尺，在线段上画出点S，使，并简要说明点S的位置是如何找到的（不要求证明） ． 【答案】 画图见解析，如图，取圆与网格线交点D，连接交网格线于E，取与网格线交点F，连接交圆于点G；取格点H，K，连接交网格线于点I，连接并延长交网格线于点L；取圆与网格线交点M，P，连接，交于点N，连接并延长交圆于点Q，连接交于点S． 【分析】本题考查的是矩形的判定与性质，圆周角定理的应用，弧，弦，圆心角之间的关系，熟练的画图是解本题的关键. （Ⅰ）利用勾股定理计算，结合图形可得，即可得到答案； （Ⅱ）如图，取圆与网格线交点D，连接交网格线于E，取与网格线交点F，连接交圆于点G；取格点H，K，连接交网格线于点I，连接并延长交网格线于点L；取圆与网格线交点M，P，连接，交于点N，连接并延长交圆于点Q，连接交于点S，则即为所求． 【详解】解：（Ⅰ）由勾股定理可得：，而， ∴； （Ⅱ）如图，取圆与网格线交点D，连接交网格线于E，取与网格线交点F，连接交圆于点G；取格点H，K，连接交网格线于点I，连接并延长交网格线于点L；取圆与网格线交点M，P，连接，交于点N，连接并延长交圆于点Q，连接交于点S，则即为所求． 理由如下：∵， ∴为直径， 而格线是弦的垂直平分线， ∴为圆心， 由网格特点可得为弦的中点， ∴， 由网格特点可得：四边形为矩形， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 标注格点， ∵，， ∴， ∴， ∴等于， ∴之间的距离， ∴， ∴， ∴，即即为所求. 故答案为：（Ⅰ）（Ⅱ）如图，取圆与网格线交点D，连接交网格线于E，取与网格线交点F，连接交圆于点G；取格点H，K，连接交网格线于点I，连接并延长交网格线于点L；取圆与网格线交点M，P，连接，交于点N，连接并延长交圆于点Q，连接交于点S． 8．（2025·天津·二模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C在同一个圆上，且均在格点上，的边上的点F，G均在格点上． （1）线段的长为 ； （2）若点M，N分别在射线上，满足且，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中画出点M，N，并简要说明点M，N的位置是如何找到的（不要求证明）． 【答案】 见解析 【分析】本题考查了作图-复杂作图，勾股定理等，垂径定理知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据网格与勾股定理即可求解； （2）连接，与网格线相交于点O，取格点H，连接与射线相交于点M，连接与圆O交于点I，连接并延长，与圆O交于点J，连接并延长，与射线相交于点N，则点M，N即为所求． 【详解】解：（1）由网格可得：， 故答案为：； （2）连接，与网格线相交于点O，取格点H，连接与射线相交于点M，连接与圆O交于点I，连接并延长，与圆O交于点J，连接并延长，与射线相交于点N，则点M，N即为所求，如图： 9．（2025·天津西青·二模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，E，F均在格点上．    （Ⅰ）线段的长为 ． （Ⅱ）点D在竖直网格线上，过点A，D，E作圆，经过圆与竖直网格线的交点作切线，分别与的延长线相交于点B，C，中，点G在边上，点H在边上，点P在边上．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点G，H，P，使的周长最短，并简要说明点G，H，P的位置是如何找到的（不要求证明） ． 【答案】 图见解析，说明见解析 【分析】本题考查勾股定理、切线的性质等知识，根据题意正确作图是解题的关键． （Ⅰ）直接根据勾股定理进行求解即可； （Ⅱ）作点关于的对称点，连接，分别与交于点H，P，的周长等于的长，等腰三角形的的腰长为的长，故当最小时，的长最短，故点为切点，据此作图即可． 【详解】解：（Ⅰ）由勾股定理，得：； 故答案为：； （Ⅱ）如图，根据题意，切点为点G；连接并延长与网格线交于点：取圆与网格线的交点M与格点N，连接并延长，与网格线交于点：连接，分别与交于点H，P，则点G，H，P即为所求．    10．（2025·天津河西·一模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点B，C均落在格线上，点A在格点上． （Ⅰ）当C为小正方形一边的中点时，线段的长为 ； （Ⅱ）以为直径作半圆，在线段上有一点P，满足，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明） ． 【答案】 画法见解析 【分析】（1）由勾股定理即可求解； （2）取格点，连接交于点，连接交于点，连接，与交点即为圆心，因为由正方形的轴对称性可知为中点，故，则，取与格线交点为点，则为中点，因为，连接并延长交于点，连接交于点，则，那么，则，由于为中位线，则，则，即平分，连接并延长与延长线交于点，则，那么，连接并延长与交点即为点，由于点为等腰三角形中线上一点，由轴对称性可得． 【详解】解：（1）如图： 由题意得：，， ∴， 故答案为：； （2）如图：点即为所作： 【点睛】本题考查了使用无刻度直尺作图，涉及勾股定理，圆周角定理，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，正方形的性质等知识点，难度大． 11．（2025·天津西青·一模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，线段的两个端点均落在格点上． （1）线段的长等于 ； （2）经过点，作圆，若所对的圆心角是，请在圆上找一点，使是等边三角形：再过点作圆的切线．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点和切线，并简要说明它们的位置是如何找到的（不要求证明，画图时所有添加的线不超过10条） ． 【答案】 见解析 【分析】本题考查考查了复杂作图，圆周角定理，等边三角形的判定和性质，切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练运用上述性质画图是解题的关键． （1）利用勾股定理即可解答； （2）取格点，，连接与格线交于点，取与格线的交点，连接与圆交于点；连接，取与格线的交点，连接并延长，与格线交于点，作直线，则点与直线即为所求． 【详解】（1）； （2）如图，取格点，，连接与格线交于点，取与格线的交点，连接与圆交于点；连接，取与格线的交点，连接并延长，与格线交于点，作直线，则点与直线即为所求． 证明：如图，取格点，连接，设圆的圆心为，连接， ， 根据图形可得， ， ， ， ， 由作图可得且，点分别为的中点， ， 四边形为平行四边形， ， 四边形为矩形， ， 为的垂直平分线， ， 所对的圆心角是， ， 为等边三角形； 由作图可得， ， ， , ， ， ， ， 即， 为圆的切线． 12．（2025·天津和平·一模）我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，以“圆的内接正多边形的面积”来无限逼近“圆面积”．并指出在圆的内接正多边形边数加倍的过程中“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．刘徽将极限思想和无穷小分割引入了数学证明，并运用“割圆术”计算出圆周率．如图①，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计的面积，可得的估计值为． （1）如图②，在圆内接正十二边形中， （度）； （2）用圆内接正十二边形作近似估计，可得的估计值为 ． 【答案】 30 3 【分析】本题考查了正多边形与圆，三角形的面积的计算，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）根据正多边形与圆的关系可进行求解； （2）过A作于M，根据直角三角形的性质得到，根据三角形的面积公式得到，于是得到正十二边形的面积为，根据圆的面积公式即可得到结论． 【详解】解：（1）如图，是正十二边形的一条边，点O是正十二边形的中心， ∴； 故答案为30； （2）过A作于M，如图所示： 在正十二边形中，， ∴， ∴， ∴正十二边形的面积为， ∴， ∴， ∴的近似值为3， 故答案为3． 13．（2025·天津河北·一模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A和点B是格点，点C在格线上，点M是弧的中点，为所在半圆的直径． （1）点A和点B的距离为 ； （2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，在半圆上画出弧的中点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明） ． 【答案】 见解析 【分析】①由勾股定理即可求解； ②连接交格线于点N，作射线交直径于点O，由网格知点C到点N的铅锤距离与点A到点N的铅锤距离相等，结合全等三角形可得点为中点，由垂径定理推论可得点为圆心，连接交格线于点，同上可得点为的中点，取格点F，作射线，连接交线段于点G，作射线交于点，则，分解图形，延长至点，连接，则四边形为平行四边形，则，，，则，，那么，则，结合对顶角相等，即可证明，继而导角得到，然后作直线交格线于点J，K，同上可得为中点，最后作射线交于点H，连接交于点，由得到相似三角形，继而，则，故点为的中点，作射线交于点P，由垂径定理得到点P即为所求． 【详解】解：①由网格可得：， 故答案为：； ②连接交格线于点N，作射线交直径于点O，连接交格线于点，取格点F，作射线，连接交线段于点G，作射线交于点，作直线交格线于点J，K，作射线交于点H，连接交于点，作射线交于点P，点P即为所求． 【点睛】本题考查了使用无刻度直尺作图，涉及垂径定理及其推论，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理，难度很大，熟练掌握知识点是解题的关键． 14．（2025·天津南开·一模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点均在格点上，以点为圆心作圆，经过点，且与网格线交于点． （I）的半径等于 ； （II）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，在上画出点，使得为的切线，且．请简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明） 【答案】 根据网格，找出即可确定点，连接交于点L，连接并延长交为点P即为所求 【分析】题目主要考查利用网格作切线及平行线，熟练掌握全等三角形的性质及圆的性质是解题关键． （I）连接，利用网格及勾股定理即可求解； （II）根据网格，找出即可确定点，连接交于点L，连接并延长交为点P即为所求． 【详解】解：（I）连接，如图所示： ∴， 故答案为：； （II）如图所示：点得位置即为所求； 根据网格，找出即可确定点，连接交于点L，连接并延长交为点P即为所求， 故答案为：根据网格，找出即可确定点，连接交于点L，连接并延长交为点P即为所求． 15．（2025·天津河西·一模）如图，在每个小正方形边长为1的网格中，有点，，三个点，以为直径作圆，点恰为圆上一点． （I）的度数为 ； （II）在这个圆上另有一点，满足，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明） ． 【答案】 见解析 【分析】（I）根据直径所对的圆周角为直角，即可获得答案； （II）延长交正方形网格于点T，连接交圆于点D，连接交于点E，则，因此点E为两条高的交点，连接并延长交圆于点，，则，由垂径定理得是的垂直平分线，连接交于点K，连接并延长交圆即为点C，则，那么，则，由垂径定理得，所以． 【详解】解：（I）∵为直径作圆，点恰为圆上一点， ∴； （II）如图：点即为所作： 延长交正方形网格于点T，连接交圆于点D，连接交于点E，连接并延长交圆于点，，连接交于点K，连接并延长交圆即为点C． 【点睛】本题考查了使用无刻度直尺作图，圆周角定理，垂径定理，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质等知识点，难度大，熟练掌握知识点是解题的关键． 16．（2025·天津·一模）如图，交于点切于点点在上，若，则为 ．    【答案】/38度 【分析】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，三角形内角和定理，利用圆周角定理求出是解题的关键．先由圆周角定理得到，由切线的性质得到，即可利用三角形内角和定理求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵切于点C， ∴， ∴， 故答案为：． 17．（2025·天津北辰·一模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，内接于圆，且顶点A，B均在格点上，顶点C是圆与网格线的交点． （1）线段的长为 ； （2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出圆心O及上的一点P使得．，并简要说明圆心O和点P的位置是如何找到的（不要求证明）： ． 【答案】 见解析 【分析】（1）由勾股定理即可求得线段的长； （2）根据同圆中，直角所对的弦是直径即可得出圆心；根据中位线的性质得出是的中点；根据平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧可得，根据圆周角即可得出． 【详解】（1）解：由勾股定理可得：， 故答案为：． （2）解：如图：取圆与网格线的交点，，，，连接，，与交于点，点即为所求圆心； 取格点，，，，连接，，与网格线分别相交于点，，连接并延长与相交于点，连接并延长与相交于点，即为所求． 根据点与点在格点上，借助格点确定圆与网格线的交点，，，，使得， ∴，均为直径， ∴与交点即为所求圆心； 取格点，，，，连接，，与网格线分别相交于点，，连接， 则点为的中点， 连接并延长与相交于点，取格点，则为的中点， 由于，则是的中点； 连接并延长与相交于点， ∴垂直平分， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了复杂作图，勾股定理与网格问题，圆周角定理，垂径定理，平行线分线段成比例定理等，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识． 三、解答题 18．（2025·天津河东·模拟预测）如图，已知是的外接圆，于，且点是的中点． (1)如图①，若，求和的大小； (2)如图②，若过点作的切线，与的延长线交于点，且，，求的半径． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查平行线的判定和性质，圆周角定理，勾股定理，平行四边形的判断和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键； （1）根据题意，可得，结合垂直平分线的性质得到，进而判定是的中位线，进而求解即可； （2）连接，根据是的切线得到，判定，四边形是平行四边形，结合勾股定理，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴； （2）解：连接， ∵是的切线， ∴， ∵于， ∴， ∴， ∴， 由（1）知， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴的半径是． 19．（2025·天津红桥·三模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，内接于圆，点均在格点上，且． （I）线段的长等于 ； （II）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出一个点，使，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明） ． 【答案】 图见解析，取圆与网格线的交点，连接相交于点；取圆与网格线的交点，连接，，分别与网格线相交于点；连接并延长，与圆分别相交于点；连接相交于点，则点即为所求 【分析】本题主要考查网格与勾股定理，圆周角定理，垂径定理等知识的综合，掌握以上知识，数形结合分析是关键． （I）根据网格，运用勾股定理即可求解； （II）根据圆与格点，确定圆心，再运用垂径定理，四边形的内角和得到，根据圆周角定理，三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：（I）； （II）如图， 取圆与网格线的交点，连接相交于点，即为圆心； 取圆与网格线的交点，连接，，分别与网格线相交于点，如图所示，取格点矩形，，连接，分别与交于点，连接并延长，与圆分别相交于点， ∴点是弦的中点， ∴； 连接相交于点，如图所示，连接， ∵， ∴， ∴， 在四边形中，，即， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 则点即为所求． 20．（2025·天津南开·三模）在等腰中，，以为直径的分别与边，交于，两点，，垂足为点，与相交于点．连接． (1)如图①，若，求和大小； (2)如图②，若点恰在线段上，过点作的切线，切点为，与相交于点．若．求弦和线段的长． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查的是圆周角定理、等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，解直角三角形等知识点，掌握圆的有关性质解题的关键． （1）由等腰三角形的性质可得， 再由，可得出 ， 再由，且为直径，可得出，且， 得出； （2）由等腰三角形的性质可得，而由（1）可知，且，得出，从而得出为等边三角形，由等边三角形的性质可得，且圆的半径，连接半径，可证得于点，即，再得出为等边三角形，得出，且，从而得出，，可计算出，，则可得出答案． 【详解】（1）解：如图①， ， ， ，即， ， ，且为直径， ，且， ； （2）解：如图②， ， ， 而由（1）可知，且， ， 为等边三角形， ，且圆的半径， 如图③，连接半径， 切于点，且为半径， 于点，即， ，且， 为等边三角形， ，且， ，， ， ， 在中，，，如图④所示， ， 由（1）， 在中，，， ． 21．（2025·天津·模拟预测）已知是的直径，是的一条弦，，连接． (1)如图①，若，求的大小； (2)如图②，过点作的切线，连接并延长交于点，若，的半径为2，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要查了圆周角定理，垂径定理，切线的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识： （1）连接，根据圆周角定理可得，再由垂径定理可得，即可求解； （2）过作交于点，结合切线的性质可证明四边形是矩形，可得到，再证明是等边三角形，可得到，然后在中，根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接， ， ． 是的直径，， ． ． （2）解：如图，过作交于点， ． 直线为的切线， ，即． ， ． 四边形是矩形． ． ． ． ． ， ． ． 是等边三角形． ． ． 在中， ， ． 22．（2025·天津河北·二模）在中，弦与半径互相垂直，垂足为点E，连接，点D在上，连接． (1)如图①，若是的直径，，弦交半径于点F，交弦于点G，求∠和的大小； (2)如图②，若直线与相切，切点为点D，且，求的长． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】（1）根据弧、弦、圆心角的关系可得，再由圆周角定理可得，从而得到，即可求解； （2）连接，根据切线的性质可得，根据，可得，再证得为等边三角形，可得，结合，可得，然后在中，利用勾股定理解得即可． 【详解】（1）解：在中，弦于点E， ， ∴， ， ， 是的直径， ∴， ； ， ， 又弦于点E，即， ． （2）解：连接， 直线切于点D， ，即， ， ， ， 同（1）得， 又， 为等边三角形， ， ， ， ， 在中，， ． 【点睛】本题主要查了弧、弦、圆心角的关系，圆周角定理，切线的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 23．（2025·天津红桥·三模）已知为的直径，切于点，过点作于点，交于点，连接． (1)如图①，若，求的大小； (2)如图②，若为的中点，，求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，由切线的性质结合，即可得到，再根据等边对等角得到，即，即可求出； （2）连接，与相交于点，先证明，由题意可得，推出，易证为等边三角形，解直角三角形即可． 【详解】（1）解：连接． 切于点， ， ， ， ， ， ； （2）解：连接，与相交于点， ∵，， ∴， ， 为的中点， ， ， ， ， ， 为等边三角形， ， ， ． 【点睛】本题为圆的综合题．考查圆的基本性质，切线的性质，垂径定理，等边三角形的判定和性质，解直角三角形．正确的作出辅助线是解答本题的关键． 24．（2025·天津河西·二模）已知，为以为直径的半圆上一点，且半径于，是的中点． (1)如图①，过点作弦，连接，求和的大小； (2)如图②，连接并延长交半圆于点，过点作的切线，与的延长线交于点，若，求线段的长． 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）证明垂直平分，得出，根据等腰三角形的性质证明．证明为等边三角形，得出，即可求出结果； （2）连接，根据切线的性质得出，证明，根据等腰三角形的判定得出，设，则，，根据勾股定理得出，求出x的值，即可得出答案． 【详解】（1）解：， ． ， ，即． 为中点，即垂直平分． ． ． ， ． 为等边三角形． ． ． （2）解：连接，如图所示： 为的切线， ， ， ， ． ． 又， ． ， ． ． 设，则，，， 在中，， ． 解得（舍），． ． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是数形结合，熟练掌握相关的判定和性质． 25．（2025·天津和平·三模）已知：中，，以为直径的分别交，于点，．    (1)如图①，若点为的中点，连接，求和的大小； (2)如图②，过点作的切线与相交于点，且，若，求半径的长． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题考查了切线的性质、垂径定理、圆周角定理、相似三角形的判定与性质，解直角三角形． （1）连接，根据点为的中点，推出，由圆周角定理得到，即可求出，根据四边形是圆内接四边形，即可推出，即可求解； （2）连接，过点作，根据切线的性质得到，易证四边形是矩形，推出，易证，在中，解直角三角形求出，证明，推出，根据即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接， 点为的中点， ， ， 是的直径， ， ， ， ， 四边形是圆内接四边形， ， ， ； （2）解：如图，连接，过点作， ， 为的切线， ，即， ， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ，， 在中，， ， ， ， ， ， ， ， 解得，即半径的长为． 26．（2025·天津河东·二模）已知点O为边上一点，以点O为圆心，为半径作圆与相切于点A，与边交于点D． (1)如图①，过点O作，交于点E，交延长线于点G，若，，求的长； (2)如图②，与切于点M，连接，与直径交于点H，若，且，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查切线的性质，解直角三角形，切线长定理，垂径定理，熟练掌握相关性质和定理，是解题的关键． （1）切线得到，等边对等角，结合三角形的内角和定理以及角的和差关系求出，解，即可； （2）证明四边形是菱形，得到，垂径定理结合勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）解：∵与相切于点A， ∴，， 在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在中，． （2）∵与切于点M， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵与切于点M，与相切于点A， ∴， ∴四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴． 27．（2025·天津·二模）已知是的直径，C，D是上的点，． (1)如图①，若D为的中点，求和的大小； (2)如图②，若，过点D作的切线，交的延长线于点F，，求的长． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查了圆周角定理，解三角形，等边三角形的判定和性质，理解题意，结合图形，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据圆周角定理得出，确定，再由圆周角定理确定，结合图形及各角之间的关系即可求解； （2）连接，根据切线的性质得出，再由等边三角形的判定和性质得出是等边三角形．结合图形，利用三角函数求解即可． 【详解】（1）解：是的直径， ． ， ． D为的中点，． ． ， ． ． （2）解：如图，连接． 是的切线， ． 由（1）知，． ， ． ， 是等边三角形． ． ． ． 在中，，， ． ． ． 在中， ． ． ． 28．（2025·天津南开·二模）点在⊙O上，切⊙O于点与⊙O相交于点，，弦． (1)如图1，若为直径，求的大小和线段的长； (2)如图2，若，求线段和的长． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查圆的基本性质、切线性质、垂径定理、锐角三角函数、矩形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的性质等知识，涉及知识点较多，难度一般，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． （1）利用切线性质和平行线的性质得到，利用等腰三角形的性质求得，，在中，解直角三角形即可求解； （2）如图2，延长交于H，根据切线性质和平行线的性质得到，进而证明四边形是矩形得到，，，利用垂径定理得到，在中，解直角三角形求得，，进而可求解． 【详解】（1）解：∵切⊙O于点，为直径， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， 在中，，， ∴； （2）解：如图2，延长交于H， ∵切⊙O于点， ∴, ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∴， 在中，，， ∴，， ∴，． 29．（2025·天津滨海新·二模）在中，为直径，与相切于点，交延长线于点，连接，，且，点为中点． (1)如图①，求和的大小； (2)如图②，过点作，垂足为点，延长交于点．若，求的长． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）连接，根据切线的性质可得，求出，然后根据圆周角定理求出；然后根据直径得到，然后根据同弧或等弧所对的圆周角相等得到解题即可； （2）连接，，设直线交于点，根据勾股定理求出，然后推理得到，然后根据正弦的定义求出长，再根据，得到，然后代入数值计算解题． 【详解】（1）解：连接， ∵与相切于点， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵为直径， ∴， 又∵点为中点， ∴； （2）解：连接，，设直线交于点， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 又∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， 又∵是直径， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 解得：． 【点睛】本题考查切线的性质，圆周角定理，勾股定理，角的直角三角形的性质，平行线分线段成比例，解直角三角形，作辅助线构造直角三角形是解题的关键． 30．（2025·天津河西·一模）已知内接于，，为的直径，连接． (1)如图①，若，求和的度数； (2)如图②，过点B作的切线，与的延长线交于点E，若，，求的半径． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了圆周角定理、切线的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由圆周角定理可得，再由等边对等角结合三角形内角和定理可得可得，求出，即可得解； （2）连接并延长交于点H，连接，由题意可得是的垂直平分线．即，由切线的性质可得，由圆周角定理可得，证明四边形为矩形，得出，，由勾股定理可得，设的半径为r，则，，再由勾股定理计算即可得解． 【详解】（1）证明：∵是的直径， ． ， ，由三角形内角和， 得． ． ， ． （2）解：连接并延长交于点H，连接， ，， ∴是的垂直平分线．即 又∵为的切线， ． 又∵为的直径， ， ∴四边形为矩形， ，， ， ∴在中，． 设的半径为r，则：，， 在中，由勾股定理，得：， ∵， ∴； ∴的半径为． 31．（2025·天津红桥·二模）已知四边形内接于，为的中点，过点作的切线，与的延长线相交于点．      (1)如图①，若经过点，，求的大小； (2)如图②，若经过点，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（）利用圆周角定理可得，进而由切线的性质得，再根据圆内接四边形的性质可得，最后根据弧、圆心角、弦的关系和等腰三角形的性质即可求解； （）连接，利用等腰三角形的性质和余角性质可得，进而可得，再根据直角三角形的性质和勾股定理求出即可求解． 【详解】（1）解：∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∵是的切线，点是切点， ∴， ∴， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴； （2）解：连接， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵是的切线，点是切点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，切线的性质，圆内接四边形的性质，弧圆心角弦的关系，直角三角形的性质，勾股定理等，掌握以上知识点是解题的关键． 32．（2025·天津和平·二模）已知为的直径，为的弦，弦的长为5． (1)如图①，若直径的长为10，求的大小； (2)如图②，过点作的切线与的延长线相交于点，若，线段的长为3，求直径的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）证明是等边三角形，再利用圆周角定理即可求出答案； （2）连接，过点作．求出．证明四边形是矩形．得到．在中，，设，则．利用勾股定理列方程解得即可求出答案． 【详解】（1）解：如图，连接． 为的直径，， ． ， ． 是等边三角形． ． ， . （2）如图，连接，过点作． ． 为的切线， ．即． ， ． 在Rt中，． ， 四边形是矩形． ． 在中，， 设，则． 可得方程． 解得． . 【点睛】此题考查了圆周角定理、勾股定理、切线的性质、矩形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，熟练掌握切线的性质和勾股定理是解题的关键． 33．（2025·天津西青·一模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，内接于圆，且顶点均在格点上，顶点B在网格线上． (1)线段的长等于_______； (2)请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中， ①画出圆心O ②画出一个以为边的矩形，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）． 【答案】(1) (2)①画图见解析；②画图见解析 【分析】（1）直接利用勾股定理计算即可； （2）①如图， 取格点 D， 连接与圆相交于点 P，连接； 取圆与网格线的交点E，F，连接，与相交于点O，则为圆心； ②连接并延长，与圆相交于点Q； 连接， ， ， 则四边形 即为所求． 【详解】（1）解：由勾股定理可得：； （2）解：①如图， 取格点 D， 连接与圆相交于点 P，连接； 取圆与网格线的交点E，F，连接，与相交于点O，则为圆心； 理由：∵， ∴为直径， ∵，，， ∴， ∴， ∴为直径， ∴为圆心； ②连接并延长，与圆相交于点Q； 连接， ， ， 则四边形 即为所求． 理由：∵为直径， ∴， ∵为直径， ∴， ∴四边形为矩形； 【点睛】本题考查作图—复杂作图，勾股定理以及勾股定理的逆定理、矩形的判定，圆周角定理的应用，解题关键是理解题意，灵活运用所学知识是关键． 34．（2025·天津滨海新·一模）已知，为的直径，弦，连接，，． (1)如图①，求和的度数； (2)如图②，过点D作的切线，与的延长线交于点G，的半径为4，求线段的长． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查垂径定理，切线的性质，特殊角的三角函数值的计算，掌握以上知识，数形结合分析是关键． （1）在中，为直径，，则，，由三角形外角的性质得到，再根据直角三角形两锐角互余即可求解； （2）连接，可得，，在中，，由此即可求解． 【详解】（1）解：在中，为直径，， ∴， ， ， ， ， ， ． （2）解：如图②，连接， 由（1）得，， 为的切线， ， ， 为的直径， 在中，， ， 在中，， ， ． 35．（2025·安徽芜湖·一模）如图，已知，是圆内的两条弦，延长，相交于点P． (1)如图1，请写出之间的数量关系，并说明理由； (2)如图2，若点C是优弧的中点，点D是劣弧的中点，求证：． 【答案】(1)，理由见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）如图，连接，先证明，再结合等腰三角形的性质证明，进一步可得答案； （2）如图，连接，结合（1）可得：，证明，可得，再进一步结合三角形的外角的性质可得结论． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ， ∴ ， ∴， ∴； （2）证明：如图，连接， 由（1）可得：， ∵点C是优弧的中点，点D是劣弧的中点， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，等腰三角形的性质，圆周角定理的应用，弧，弦，圆心角之间的关系，三角形的外角的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 36．（2025·天津红桥·一模）已知内接于，是的直径，过点B作的切线，与的延长线相交于点D，点E在上，，与相交于点F． (1)如图①，若，求和的大小； (2)如图②，若，，求的长． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用切线性质得出，结合直径所对圆周角是直角得，根据同角的余角相等求出 ． 由同弧所对圆周角相等得 ，再根据得出 ，最后利用三角形内角和定理求出 ，进而由算出的度数． （2）连接、，根据圆周角定理及推出 ，通过全等三角形判定证明，得到垂直平分，从而得出，结合判定为等边三角形，得出 ，在中求出的长 ．算出的度数，在中利用正切函数求出的长． 【详解】（1）解：是的切线， ， ， 又为直径，， ， ， ， ∵，， ， ， ； （2）解：连接，， ，， ， ， ，， ， ∴， 垂直平分， 即垂直平分， ， 又， ， 为等边三角形， ∴， 在中，， ， ∵， ∴， ， 在中，， ， 长为． 【点睛】本题考查圆的切线性质、圆周角定理、等腰三角形性质、三角形内角和定理、全等三角形判定与性质、等边三角形判定与性质以及解直角三角形等知识 ．解题关键是熟练运用上述性质定理，通过角度和线段关系的转化来求解角度和边长． 37．（2025·天津西青·一模）已知是的直径，点，在上，位于两侧，且，连接，，与交于点． (1)如图，若，连接，求和的大小． (2)如图，过点作的切线，与的延长线交于点，若，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由得，由圆周角定理得，进而得，由是的直径得，最后根据，即可求解； （2）连接，由切线的性质得，设的半径为，在中，由勾股定理得，即，解出，由（1）知，有，因为，再结合得，所以，最后根据，即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， ，， ， ， 是的直径， ， ； （2）解：连接， 切于点， ，即， 设的半径为， 在中，， ， 由，得， 解得， ，， ， ， 由（1）知，有， ， ， ， 又， ， ， ． 【点睛】本题考查了圆周角定理，直径所对的圆周角等于，切线的性质定理，勾股定理，等边对等角，等角对等边，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 38．（2025·天津·一模）已知是的直径，为的中点，连接． (1)如图①，若，求和的大小； (2)如图②，过点作的切线，交的延长线于点，弦与交于点，若，求的直径． 【答案】(1)， (2) 【分析】（）由圆周角定理得，即得，进而根据等腰三角形的性质得，即可得，最后根据即可求解； （）由切线的性质得，进而得，即得，由三角函数可得，即得，即可求解． 【详解】（1）解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴； （2）解：∵切于点， ∴， 即， 又∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（）知， ∵， ∴ ， ∵， ∴， 即的直径为． 【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，切线的性质，解直角三角形，直角三角形的性质等，掌握以上知识点是解题的关键． 39．（2025·天津河东·一模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，圆上点，，，均是格点． (1)线段的长等于___________； (2)点在线段上，连接，点是点关于的对称点，射线与射线相交于点．当的面积最大时，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，，并简要说明点与点的位置是如何找到的（不要求证明）__________． 【答案】(1)； (2)见解析． 【分析】（1）根据勾股定理计算即可求得； （2）取格点，连接，交于点，连接与网格线相交于点，连接与圆交于点；连接分别交网格线于点，点；取格点，连接交网格线于点，连接交网格线于点，分别连接并延长，交于点．即可推得． 本题考查了勾股定理，圆的综合应用，解题的关键是熟练掌握圆的相关性质．勾股定理的应用． 【详解】（1）解：在方格中找到以为斜边的直角三角形， 用勾股定理求解为：， （2）解：如图，取格点，连接，交于点，连接与网格线相交于点，连接与圆交于点；连接分别交网格线于点，点；取格点，连接交网格线于点，连接交网格线于点，分别连接并延长，交于点． 40．（2025·天津和平·一模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，以为直径的圆与竖直网格线相交于点和，点为圆上的点． （1）∠ACB= （度）； （2）点P在圆上，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，使平分，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明，完成任务的画线不超过3条） ． 【答案】 ． 取点，是与竖直网格线的交点，连接，取的中点，取的中点，作射线，交圆于，连接，即平分， 【分析】本题考查了圆周角，中位线，格点作图等知识点，熟练运用这些知识点是解题的关键． （1）由直径所对圆周角等于即可得出结论； （2）通过构造平行线和等腰三角形得到相等的角即可解答． 【详解】解：（1）∵是直径， ∴， （2）如图，取点，是与竖直网格线的交点，连接，取的中点，取的中点，作射线，交圆于，连接，即平分， 证明：由网格的特点，根据平行线分线段成比例可知：，， ∴， ∴， 又∵点是的中点，为直径，即点是圆心， ∴， ∴， ∴，即平分． 41．（2025·天津河东·一模）已知，，过点，且与边，分别交于点，． (1)如图①，若过点，且，连接，求的大小； (2)如图②，若点在上，与切于点，过上点作交于点，连接，若，，求的长． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）连接，根据，得出为直径，根据等边对顶角得出，圆周角定理即可得出． （2）连接，，设半径为，根据切线的性质得出．结合，得出，是等腰直角三角形，勾股定理求出，即可得，求出．根据，即可求出，在中，勾股定理求出，在中，勾股定理即可求出． 【详解】（1）解：连接， 过点，， 为直径， ， ， ． （2）解：连接，，设半径为， 与切于点， ． ， ，是等腰直角三角形， ， ， ． ， ， 在中，， 在中，． 【点睛】该题考查了圆周角定理，等腰直角三角形的性质和判定，勾股定理，切线的性质等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 42．（2025·天津和平·一模）已知是的直径；，点C和点D为圆上的点，，，连接． (1)如图①，求和的大小； (2)如图②，过点C和点D分别作的切线相交于点P，连接，求的长． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查圆周角的性质、三角函数、切线长定理及圆内接四边形的性质，熟练掌握圆周角的性质、三角函数、切线长定理及圆内接四边形的性质是解题的关键； （1）由题意易得，则有，然后根据圆内接四边形的性质可进行求解； （2）连接，由题意易得，，则有，然后根据三角函数可进行求解． 【详解】（1）解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴ （2）解：连接，如图所示： ∵过点C和点D分别作的切线相交于点P， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 43．（2025·天津河北·一模）在中，，，点A在上，线段分别交于点E，点D，连接． (1)如图①，若点B在上，，求的大小与线段的长； (2)如图②，若点B在内，点O在线段上，直线l切于点D，交于点H，连接，若，求的长． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了园内接四边形，解直角三角形，切线的性质，熟练用上述性质解题是关键． （1）利用圆内接四边形可得，再解直角三角形即可解答； （2）设半径为，根据，可得，则，解方程即可得到的值，则可计算，再利用切线的性质，得到，即可求得． 【详解】（1）解：， ， ， 四边形为圆内接四边形， ， ， ， ； （2）解：， ， ， 设半径为，即， ， 则可得， 解得， ， ， ， 直线l切于点D， ， ， ， ． 44．（2025·天津南开·一模）是的外接圆，是的直径，点为上一点，过点作与的延长线交于点，连接与交于点． (1)如图①，若，求和大小； (2)如图②，若恰好切于点，且，求的半径和的长． 【答案】(1)， (2)的半径为5， 【分析】（1）根据圆周角定理得，再结合，得出，运用圆周角定理得，即可作答． （2）先由切线的性质得，再证明四边形是矩形，则，运用勾股定理算出，再设的半径为，则，解得，在中，则，即可作答． 【详解】（1）解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． （2）解：连接，并延长交于一点H，如图所示： ∵恰好切于点， ∴， 由（1）得， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， 设的半径为， 则， ∴， 解得， 在中，则 ∴． 【点睛】本题考查了切线的性质，垂径定理，矩形的判定与性质，圆周角定理，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 45．（2025·天津河西·一模）已知是的直径，是的弦，半径，与交于点． (1)如图①，若，求和的大小； (2)如图②，过点作的切线，与的延长线相交于点，与交点为．，．求的面积． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据垂径定理求出，根据圆心角与弧的关系得出，根据圆周角定理得出，根据三角形外角的性质求出即可； （2）根据为的切线，求出，根据勾股定理求出，求出，根据，求出结果即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴； （2）解：∵，， ∴，， ∵为的切线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，同弧或等弧所对的圆周角相等，三角形面积计算，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． 46．（2025·天津滨海新·模拟预测）如图，是的两条直径，过点C的的切线交的延长线于点E，B是中点，连接，．求的半径． 【答案】的半径为 【分析】连接，由切线的性质，圆周角定理得到，由斜边上的中线得到，进而得到为等边三角形，利用锐角三角函数求出的长，即可得出结果． 【详解】解：连接， ∵是的切线， ∴， ∴， ∵B是中点， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， ∴，即：的半径为． 【点睛】本题考查圆周角定理，切线的性质，斜边上的中线，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握切线的性质，斜边上的中线是斜边的一半，是解题的关键． 47．（2025·天津·一模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，三角形内接于圆，且顶点均在格点上． (1)线段的长为 ； (2)若点D在圆上，在上有一点P，满足，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明）． 【答案】(1) (2)图见详解，理由见详解 【分析】本题考查作图—复杂作图、勾股定理、圆心角、弧、弦的关系，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据勾股定理可直接进行求解； （2）结合圆心角、弧、弦的关系，连接与网格线相交于点F，取与网格线的交点E，连接并延长与网格线相交于点G，连接并延长，与圆的交点即为点P． 【详解】（1）解：由题意得：； 故答案为； （2）解：如图，点P即为所求． 作图方法：连接与网格线相交于点F，取与网格线的交点E，连接并延长与网格线相交于点G，连接AG并延长与圆相交于点P，由图可知点E是线段的中点，然后可证，进而可得四边形是平行四边形，进而可得点P即为所求． 48．（2025·天津红桥·一模）已知，与相切于点A，B．连接并延长，交的延长线于点C．连接，交于点D． (1)如图①，若，求的大小； (2)如图②，连接，若，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据切线的性质得，再结合外角性质，列式计算，即可作答． （2）连接，先利用，说明是等边三角形，运用正切的性质列式计算吗，即可作答． 【详解】（1）解：连接，如图所示： ∵，与相切于点A，B． ∴，， ∴， ∴； （2）解：连接，设， ∵是的切线， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 在中， ∴ ∴ 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$