专题05 三角形（天津专用）-【好题汇编】5年（2021-2025）中考1年模拟数学真题分类汇编

专题05 三角形（解析版） 考点1 与三角形有关的角 1．（2025·天津·中考真题）如图，是的角平分线．按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，与边相交于点，与边相交于点；②以点为圆心，长为半径画弧，与边相交于点；③以点为圆心，长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点；④作射线，与相交于点，与边相交于点．则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要查了尺规作图，等腰三角形的判定，三角形外角的性质．由作法可得：，再结合三角形外角的性质，等腰三角形的判定解答，即可． 【详解】解：由作法得：， 根据题意无法得到与的大小关系， 所以无法确定与的大小关系，故A选项错误； ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴，故D选项正确； 题干中没有说明的大小关系， ∴无法判断的大小关系，则无法得到的度数，故B选项错误； 根据题意无法得到的大小关系，故C选项错误； 故选：D 2．（2024·天津·中考真题）如图，中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点；再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在的内部相交于点；画射线，与相交于点，则的大小为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查基本作图，直角三角形两锐角互余以及三角形外角的性质，由直角三角形两锐角互余可求出，由作图得，由三角形的外角的性质可得，故可得答案 【详解】解：∵， ∴， 由作图知，平分， ∴， 又 ∴ 故选：B 3．（2023·天津·中考真题）如图，把以点A为中心逆时针旋转得到，点B，C的对应点分别是点D，E，且点E在的延长线上，连接，则下列结论一定正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据旋转的性质即可解答． 【详解】根据题意，由旋转的性质， 可得，，， 无法证明，，故B选项和D选项不符合题意， ，故C选项不符合题意， ，故A选项符合题意， 故选：A． 【点睛】本题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质和三角形外角运用是解题的关键． 考点2 三角形全等的判定 一、单选题 1．（2025·天津·中考真题）如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点B，C的对应点分别为的延长线与边相交于点，连接．若，则线段的长为（   ） A． B． C．4 D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、线段垂直平分线的判定、旋转的性质、勾股定理等知识，熟练掌握旋转的性质是解题关键．连接，交于点，先证出，根据全等三角形的性质可得，再证出垂直平分，则可得，，然后利用勾股定理和三角形的面积公式求出的长，由此即可得． 【详解】解：如图，连接，交于点， 由旋转的性质得：，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴，， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选：D． 2．（2022·天津·中考真题）如图，△OAB的顶点O(0，0)，顶点A，B分别在第一、四象限，且AB⊥x轴，若AB=6，OA=OB=5，则点A的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用HL证明△ACO≌△BCO，利用勾股定理得到OC=4，即可求解． 【详解】解：∵AB⊥x轴， ∴∠ACO=∠BCO=90°， ∵OA=OB，OC=OC， ∴△ACO≌△BCO(HL)， ∴AC=BC=AB=3， ∵OA=5， ∴OC=4， ∴点A的坐标是（4，3）， 故选：D． 【点睛】本题考查了坐标与图形，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 二、填空题 3．（2025·天津·中考真题）如图，在矩形中，，，点在边上，且． （1）线段的长为 ； （2）为的中点，为的中点，为上一点，若，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，解直角三角形，全等三角形的性质与判定等等，熟知矩形的性质与勾股定理是解题的关键． （1）求出，再利用勾股定理即可求出答案； （2）过点M作于H，由矩形的性质得到，，证明，得到，，则可证明，可得，则；由勾股定理得，则，解直角三角形求出的长，进而可求出的长． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 故答案为：； （2）如图所示，过点M作于H， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； 在中，由勾股定理得， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（2023·天津·中考真题）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，等边三角形内接于圆，且顶点A，B均在格点上．    （1）线段的长为 ； （2）若点D在圆上，与相交于点P．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点Q，使为等边三角形，并简要说明点Q的位置是如何找到的（不要求证明） ． 【答案】(1) (2)画图见解析；如图，取与网格线的交点E，F，连接并延长与网格线相交于点G；连接与网格线相交于点H，连接并延长与网格线相交于点I，连接并延长与圆相交于点K，连接并延长与的延长线相交于点Q，则点Q即为所求 【分析】（1）在网格中用勾股定理求解即可； （2）取与网格线的交点E，F，连接并延长与网格线相交于点M，连接；连接与网格线相交于点G，连接并延长与网格线相交于点H，连接并延长与圆相交于点I，连接并延长与的延长线相交于点Q，则点Q即为所求，连接，，过点E作网格线，过点G作网格线，由图可得，根据全等三角形的性质可得和，根据同弧所对圆周角相等可得，进而得到和，再通过证明即可得到结论． 【详解】（1）解：； 故答案为：． （2）解：如图，取与网格线的交点E，F，连接并延长与网格线相交于点G；连接与网格线相交于点H，连接并延长与网格线相交于点I，连接并延长与圆相交于点K，连接并延长与的延长线相交于点Q，则点Q即为所求； 连接，，过点E作网格线，过点G作网格线，      由图可得：∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴，即， ∴，即， ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形，此时点Q即为所求； 故答案为：如图，取与网格线的交点E，F，连接并延长与网格线相交于点G；连接与网格线相交于点H，连接并延长与网格线相交于点I，连接并延长与圆相交于点K，连接并延长与的延长线相交于点Q，则点Q即为所求． 【点睛】本题考查作图—复杂作图，勾股定理、等边三角形的判定、全等三角形的判定与性质等知识，解题关键是理解题意，灵活运用所学知识是关键． 5．（2023·天津·中考真题）如图，在边长为3的正方形的外侧，作等腰三角形，．    （1）的面积为 ； （2）若F为的中点，连接并延长，与相交于点G，则的长为 ． 【答案】 3 【分析】（1）过点E作，根据正方形和等腰三角形的性质，得到的长，再利用勾股定理，求出的长，即可得到的面积； （2）延长交于点K，利用正方形和平行线的性质，证明，得到的长，进而得到的长，再证明，得到，进而求出的长，最后利用勾股定理，即可求出的长． 【详解】解：（1）过点E作，   正方形的边长为3， ， 是等腰三角形，，， ， 在中，， , 故答案为：3； （2）延长交于点K， 正方形的边长为3， ，， ，， ， ， ， F为的中点， ， 在和中， ， ， ， 由（1）可知，，， ， ， ， ， ， 在中，， 故答案为：．    【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，作辅助线构造全等三角形和相似三角形是解题关键． 6．（2022·天津·中考真题）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，圆上的点A，B，C及的一边上的点E，F均在格点上． （Ⅰ）线段的长等于 ； （Ⅱ）若点M，N分别在射线上，满足且．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点M，N，并简要说明点M，N的位置是如何找到的（不要求证明） ． 【答案】 见解析 【分析】（Ⅰ）根据勾股定理，从图中找出EF所在直角三角形的直角边的长进行计算； （Ⅱ）由图可找到点Q，，即四边形EFBQ是正方形，因为，所以，点M在EQ上，BM、BN与圆的交点为直径端点，所以EQ与PD交点为M，通过BM与圆的交点G和圆心O连线与圆相交于H，所以H在BN上，则延长BH与PF相交点即为N． 【详解】解：（Ⅰ）从图中可知：点E、F水平方向距离为3，竖直方向距离为1， 所以， 故答案为：； （Ⅱ）连接，与竖网格线相交于点O，O即为圆心；取格点Q（E点向右1格，向上3格），连接与射线相交于点M；连接与相交于点G；连接并延长，与相交于点H；连接并延长，与射线相交于点N，则点M，N即为所求， 理由如下：连接 由勾股定理算出， 由题意得， 四边形为正方形， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 从而确定了点的位置． 【点睛】本题考查作图，锐角三角函数、圆周角定理，三角形全等的判定及性质，解题的关键是掌握圆周角的定理． 7．（2021·天津·中考真题）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点A，C均落在格点上，点B在网格线上． （Ⅰ）线段的长等于 ； （Ⅱ）以为直径的半圆的圆心为O，在线段上有一点P，满足，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明） ． 【答案】 见解析 【分析】（Ⅰ）根据勾股定理计算即可； （Ⅱ）先将补成等腰三角形，然后构建全等三角形即可． 【详解】解：（Ⅰ）∵每个小正方形的边长为1， ∴， 故答案为：； （Ⅱ）如图，取与网格线的交点D，则点D为BC中点，连接并延长，与半圆相交于点E，连接并延长，与的延长线相交于点F，则OE为中位线，且，连接交于点G，连接并延长，与相交于点P，因为，则点P即为所求． 考点3 等腰三角形 一、单选题 1．（2022·天津·中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC，若M是BC边上任意一点，将△ABM绕点A逆时针旋转得到△ACN，点M的对应点为点N，连接MN，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据旋转的性质，对每个选项逐一判断即可． 【详解】解：∵将△ABM绕点A逆时针旋转得到△ACN，∴△ABM≌△ACN， ∴AB=AC，AM=AN， ∴AB不一定等于AN，故选项A不符合题意； ∵△ABM≌△ACN， ∴∠ACN=∠B， 而∠CAB不一定等于∠B， ∴∠ACN不一定等于∠CAB， ∴AB与CN不一定平行，故选项B不符合题意； ∵△ABM≌△ACN， ∴∠BAM=∠CAN，∠ACN=∠B， ∴∠BAC=∠MAN， ∵AM=AN，AB=AC， ∴△ABC和△AMN都是等腰三角形，且顶角相等， ∴∠B=∠AMN， ∴∠AMN=∠ACN，故选项C符合题意； ∵AM=AN， 而AC不一定平分∠MAN， ∴AC与MN不一定垂直，故选项D不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定与性质．旋转变换是全等变换，利用旋转不变性是解题的关键． 2．（2021·天津·中考真题）如图，在中，，将绕点C逆时针旋转得到，点A，B的对应点分别为D，E，连接．当点A，D，E在同一条直线上时，下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由旋转可知，即可求出，由于，则可判断，即A选项错误；由旋转可知，由于，即推出，即B选项错误；由三角形三边关系可知，即可推出，即C选项错误；由旋转可知，再由，即可证明为等边三角形，即推出．即可求出，即证明 ，即D选项正确； 【详解】由旋转可知， ∵点A，D，E在同一条直线上， ∴， ∵， ∴，故A选项错误，不符合题意； 由旋转可知， ∵为钝角， ∴， ∴，故B选项错误，不符合题意； ∵， ∴，故C选项错误，不符合题意； 由旋转可知， ∵， ∴为等边三角形， ∴． ∴， ∴，故D选项正确，符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查旋转的性质，三角形三边关系，等边三角形的判定和性质以及平行线的判定．利用数形结合的思想是解答本题的关键． 二、填空题 3．（2025·天津·中考真题）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点P，A均在格点上． （1）线段的长为 ； （2）直线与的外接圆相切于点．点在射线上，点在线段的延长线上，满足，且与射线垂直．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点M，N，并简要说明点M，N的位置是如何找到的（不要求证明） ． 【答案】 见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理，圆周角定理的推论，等腰三角形的性质，正方形的性质，三角形中位线的判定和性质等内容，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． （1）利用勾股定理进行求解即可； （2）利用圆周角定理的推论，正方形的性质确定圆心，再根据全等三角形和等腰三角形的三线合一确定线段的中点，利用网格确定点为线段的中点，则为三角形的中位线，利用一组平行线确定点为线段的中点，证明和，得出，即，最后利用切线的性质和等腰三角形的性质，得出为等腰三角形，再利用等腰三角形的性质得出． 【详解】解：（1）由勾股定理得， 故答案为：； （2）如图所示，点即为所求， 作法：直线PA与射线BC的交点为；取圆与网格线的交点和，连接；取格点，连接，与相交于点；连接并延长，与相交于点，与直线相交于点；连接并延长，与网格线相交于点，连接，与网格线相交于点；连接，与线段的延长线相交于点，则点M，N即为所求． 理由：∵， ∴为圆的直径， ∵为正方形的对角线， ∴, ∴垂直平分线段， ∴点为圆的圆心， ∴， 又， ， ， 平分， ∴点为线段的中点， 由网格可知点为线段的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴点为线段的中点， ∵， ， ， ∴， 又， ∴， , 即， 延长交于点， ∵， ∴, ， ∴ ∵为圆的切线， ∴， ， , ∴， 即， ∵， ， ∴为等腰三角形， ∴， ∴点即为所求． 三、解答题 4．（2024·天津·中考真题）已知中，为的弦，直线与相切于点． (1)如图①，若，直径与相交于点，求和的大小； (2)如图②，若，垂足为与相交于点，求线段的长． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查等腰三角形的性质，切线的性质，解直角三角形，灵活运用相关性质定理是解答本题的关键． （1）根据等边对等角得到，然后利用三角形的内角和得到，然后利用平行线的性质结合圆周角定理解题即可； （2）连接，求出，再在中运用三角函数解题即可． 【详解】（1）为的弦， ．得． 中，， 又， ． 直线与相切于点为的直径， ．即． 又， ． 在中，． ， ． （2）如图，连接． ∵ 直线 与 相切于点 ， ∴ ∵ ∴． ，得． 在中，由， 得． ． 在中，， ． 考点4 直角三角形 一、单选题 1．（2024·天津·中考真题）如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点分别为，延长交于点，下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转性质以及两个锐角互余的三角形是直角三角形，平行线的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据旋转性质得，结合，即可得证，再根据同旁内角互补证明两直线平行，来分析不一定成立；根据图形性质以及角的运算或线段的运算得出A和C选项是错误的． 【详解】解：记与相交于一点H，如图所示： ∵中，将绕点顺时针旋转得到， ∴ ∵ ∴在中， ∴ 故D选项是正确的，符合题意； 设 ∴ ∵ ∴ ∴ ∵不一定等于 ∴不一定等于 ∴不一定成立， 故B选项不正确，不符合题意； ∵不一定等于 ∴不一定成立， 故A选项不正确，不符合题意； ∵将绕点顺时针旋转得到， ∴ ∴ 故C选项不正确，不符合题意； 故选：D 二、解答题 2．（2023·天津·中考真题）综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度． 如图，塔前有一座高为的观景台，已知，点E，C，A在同一条水平直线上．    某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为． (1)求的长； (2)设塔的高度为h（单位：m）． ①用含有h的式子表示线段的长（结果保留根号）； ②求塔的高度（取0.5，取1.7，结果取整数）． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）根据含30度角的直角三角形的性质求解即可； （2）①分别在和中，利用锐角三角函数定义求得，，进而可求解； ②过点作，垂足为．可证明四边形是矩形，得到，．在中，利用锐角三角函数定义得到，然后求解即可． 【详解】（1）解：在中，， ∴． 即的长为． （2）解：①在中，， ∴． 在中，由，，， 则. ∴． 即的长为． ②如图，过点作，垂足为． 根据题意，， ∴四边形是矩形． ∴，． 可得． 在中，，， ∴．即． ∴． 答：塔的高度约为． 一、单选题 1．（2025·天津南开·三模）如图1，在中，，．按照如下尺规作图的步骤进行操作（如图2所示）： ①以点为圆心，以为半径画弧，与相交于点； ②分别以，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点； ③连接，与相交于点． 则下列结论一定正确的是（    ） A．垂直平分 B． C．平分 D． 【答案】B 【分析】本题考查了尺规作图—作线段的垂直平分线，线段垂直平分线的性质等知识；由作图及线段垂直平分线的性质知，B选项正确，其它选项错误． 【详解】解：由作图知，是线段的垂直平分线，则有，即选项B正确，其它选项错误． 故选：B． 2．（2025·天津南开·二模）如图，正三角形的边长为1，是线段上一点，过作边的垂线，垂足为点． 有下列结论： ①当点在线段上时，的长可以为； ②当点为线段中点时，的面积达到最大值，最大值为； ③点在线段上有两个位置满足的面积为． 其中，正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题主要考查等边三角形的性质、勾股定理、解直角三角形和二次函数的性质，根据等边三角形的性质的，①若的长为，则可求、、和的长，进一步求得，结合点D的位置判断AD是否在其范围内即可；②设的长度为x，则的长度为，，即的面积，结合二次函数的性质即可知当时，的面积有最大值为，故②错误；③若的面积为，求得x即可． 【详解】解：∵正三角形的边长为1， ∴， ①若的长为，则的长为，的长为，的长为，的长为， 那么，， ∵是线段上一点， ∴ ， ∵， ∴的长可以为，故①正确； ②设的长度为x，则的长度为， ∵， ∴， ∴的面积， ∵是线段上一点， ∴ ∴当时，的面积有最大值为：，故②错误； ③若的面积为，则，解得（负值已舍），故③错误； 故选：B． 3．（2025·天津红桥·二模）如图，在中，，．以点A为圆心，适当长为半径画弧，交AB于点D，交AC于点E；再分别以点D，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）相交于点P，作射线AP，与边BC相交于点F，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了角平分线的作法、三角形内角和定理等知识点，掌握角平分线的尺规作图法成为解题的关键． 由三角形内角和可得，再根据作图过程可得平分，即，然后根据三角形内角和定理即可解答． 【详解】解：∵在中，，， ∴， 由作图过程可得：平分， ∴， ∴． 故选D． 4．（2025·天津河东·二模）如图，在中，，，，动点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，动点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发，设出发时间为．有下列结论：①当时，；②的面积可以为；③时的四边形的面积大于时的四边形的面积．其中，正确结论的是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，勾股定理，根据题意可得，，据此求出时，的长，再利用勾股定理求出此时的长即可判断①；根据三角形面积计算公式得到，则可建立方程，解方程即可判断②；求出时和时，的面积即可判断③． 【详解】解：由题意得，， ∴， 当时，则， ∵， ∴，故①说法正确； ， 当的面积为时，则， 整理得，解得或， ∵， ∴的面积可以为，故②符合题意； 当时，， 当时，， ∴当时和当时，的面积相等， 又∵四边形的面积， ∴当时和当时，四边形的面积相等，故③错误； 故选：C． 5．（2025·天津·二模）如图，中，已知，，，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于M，N两点，直线分别与边相交于点D，E，连接．则线段的长为（   ） A．1 B． C． D．3 【答案】C 【分析】本题主要考查了尺规作图—作垂线、垂直平分线的性质、勾股定理等知识，熟练掌握垂直平分线的作法和性质是解题关键．首先根据勾股定理解得的值，由作图可知，垂直平分，易得；设，则，在中，利用勾股定理解得的值，即可获得答案． 【详解】解：∵，，， ∴， 由作图可知，垂直平分， ∴， 设，则， 在中，可有， ∴，解得， ∴． 故选：C． 6．（2025·天津河北·二模）如图，在中，，以点C为圆心，大于点C到边的距离为半径画弧交边于D点，E点，分别以点D，点E为圆心，大于长为半径画弧交于点G，点F．作直线交于点H，则点C和点H两点间的距离为（   ） A．2 B． C．3 D．5 【答案】B 【分析】本题考查尺规作图—作垂线，勾股定理，等积法求线段的长，根据作图得到，勾股定理求出的长，等积法求出的长即可． 【详解】解：∵， ∴， 由作图可知， ∴，即：， ∴，即：点C和点H两点间的距离为； 故选B． 7．（2025·天津南开·二模）如图，在中，，．按照如下尺规作图的步骤进行操作： ①以点为圆心，以适当长为半径画弧，圆弧与，分别相交于两点； ②分别以点为圆心；以大于的长为半径画弧，两弧相交于点： ③作射线与相交于点； ④分别以为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点； ⑤作直线．在直线上任意取点，连接． 则周长的最小值为（　　） A．14 B．10 C．8 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了垂线和角平分线的尺规作图，线段垂直平分线的性质等知识，熟练掌握尺规作图的方法和步骤是解题的关键． 由作图方法得平分，垂直平分，利用三角形面积公式得到，再由线段垂直平分线的性质得到，根据周长，得到当点A，P，G共线时，有最小值，即周长最小，，进而可以解决问题． 【详解】解：连接，由作图方法得平分，垂直平分， ∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴周长， ∴当点A，P，G共线时，有最小值，即周长最小， 此时， ∴周长的最小值为， 故选：A． 8．（2025·天津滨海新·二模）如图，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，交射线于点，交射线于点，再分别以点和点为圆心，的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在的内部交于点，画射线，连接，若，则线段的长为（    ） A． B．4.8 C．6 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据题意，得出，且平分，进而用勾股定理求解． 【详解】解：由题意可得，为的角平分线，且， ∵，平分， ∴，且平分， 设与交于点， ∵，， ∴， 在中，，， ∴， ∴． 故选：D． 9．（2025·天津西青·二模）如图，在中，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交，于M，N两点，分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，画射线交于点D，则线段的长为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查作图-基本作图，角平分线的性质，勾股定理的逆定理，如图，过点D作于点H．利用勾股定理的逆定理证明，再证明，利用面积法求解即可． 【详解】解：如图，过点D作于点H． ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 10．（2025·天津河西·一模）如图，中，，，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）相交于E，F两点，连接，与交于点O，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的尺规作图，等边对等角和线段垂直平分线的定义，直角三角形的性质等等，由作图方法可得垂直平分，则点是的中点，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半推出，则，据此可得答案． 【详解】解；由作图方法可得垂直平分， ∴点是的中点， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 11．（2025·天津西青·一模）如图，已知，点在边上，，以点为圆心，的长为半径画弧交于点，连接；分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别交于点，，作直线交于点，则的长为（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】本题考查了尺规作垂直平分线，含直角三角形的性质，勾股定理． 由作图知是的垂直平分线，可得，然后证明，根据含直角三角形的性质和勾股定理求出即可得出答案． 【详解】解：由作图知，，， ∴， ∴， 由作图知是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴， ∴，（负值不合题意舍去） ∴． 故选：B． 12．（2025·天津·一模）已知，用尺规作图在上确定一点，使，则一定符合要求的作图痕迹是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了尺规作图，垂直平分线判定，准确理解题意是解题的关键． 在上找一点使得，必须使得，所以作线段的垂直平分线． 【详解】解：∵， ∴， ∴点在垂直平分线上， ∴作线段的垂直平分线， ∴选项符合题意， 故选：． 13．（2025·天津北辰·一模）如图，是等边三角形，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交于点E，F．再分别以E，F为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点D，连接交于点G，则下列结论中一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，垂直平分线的尺规作图，灵活运用所学知识是解题的关键． 由作图方法可知，是的垂直平分线，则根据等边三角形的性质只能得到． 【详解】解：由作图方法可知，是的垂直平分线， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 故A正确，对于B、C、D条件不足，不能证明成立，不符合题意， 故选：A． 14．（2025·天津河东·一模）如图，中，若，，按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点；②分别以点为圆心．大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在的内部相交于点；③作射线，与相交于点，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查基本作图，直角三角形两锐角互余以及三角形外角的性质，由直角三角形两锐角互余可求出，由作图得，由三角形的外角的性质可得，故可得答案． 【详解】解：∵，， ， 由作图知，平分， ， 又， ， 故选：C． 15．（2025·天津河北·一模）如图，在中，，点D在边上，以点C为圆心，小于线段长为半径画弧分别交线段于E点，F点，连接，以点D为圆心，线段长为半径画弧交线段于G点，以点G为圆心线段长为半径画弧，该弧交以点D为圆心线段长为半径所画弧于H点，作射线交于点I，则的大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了尺规作图，三角形内角和定理的应用，全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，得到是解题的关键． 由作图可证明，则可证明，再由平行线得到同位角相等，结合三角形内角和定理求解． 【详解】解：由作图可知， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 16．（2025·天津·模拟预测）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于、两点，连接，交于点，以点为圆心，的长为半径作的弧恰好经过点，以点为圆心，的长为半径作弧交于点，连接，若， 则（    ） A．64° B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，作图基本作图，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的判定，正确的理解题意是解题的关键． 连接，根据线段垂直平分线的性质得到，推出，根据等腰三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：连接， 由题意得，直线是线段的垂直平分线， ， ， ， ∴ ∵ ， ∵， ， ， ， ， 故选：B． 17．（2025·天津红桥·一模）如图，在中，，，分别以点B，C为圆心，大于为半径画弧，两弧（弧所在圆的半径相等）相交于D，E两点，画直线与边相交于点F，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，三角形内角和性质，等边对等角，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先运用三角形内角和性质得，分析作图过程得是线段的垂直平分线，则，即可作答． 【详解】解：∵在中，，， ∴， 依题意，是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， 故选：C 18．（2025·天津·模拟预测）如图，在中，，，按如下步骤作图：①以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点D，E；②分别以点D，E为圆心，大于长为半径画弧，两弧在的内部相交于点F，作射线交于点G．则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的尺规作法，熟练掌握等腰三角形的性质和角平分线的尺规作法是解题的关键．根据，，由等边对等角，结合三角形内角和定理，可得，由尺规作图过程可知为的角平分线，由此可得． 【详解】解： ，， ， 根据尺规作图过程，可知为的角平分线， ， 故， 故选：C． 二、填空题 19．（2025·天津南开·二模）如图，在中，，点为边的中点，，，过点作，垂足为点，与相交于点． （1）线段的长为 ； （2）延长到点，使平分，则线段的长为 ． 【答案】 4 【分析】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，解直角三角形，等边对等角． （1）根据直角三角形斜边中线的性质求得，再利用勾股定理列式计算即可求解； （2）根据直角三角形斜边中线的性质求得，得到，推出，据此列式计算即可求解． 【详解】解：（1）∵，点为边的中点，， ∴， ∵， ∴设，则， 由勾股定理得，即， 解得， ∴，； 故答案为：4； （2）∵，点为边的中点， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴， 故答案为：． 20．（2025·天津河西·一模）如图，是等腰直角三角形，，平分，，垂足在的延长线上，． （Ⅰ）的长为 ； （Ⅱ）线段长度的平方为 ． 【答案】 【分析】（Ⅰ）作于点H，由是等腰直角三角形，，得，，则，因为平分，所以，求得，则，于是得到问题的答案； （Ⅱ）延长、交于点F，可证明，得，再证明，则，因为，所以，于是得到问题的答案．此题重点考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、勾股定理等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 【详解】解：（Ⅰ）作于点H， 则， ∵是等腰直角三角形，， ∴，， ∴， ∵平分，，， ∴， ∴ ∴， ∴的长为， 故答案为：． （Ⅱ）延长、交于点F，则， ∵交的延长线于点E， ∴， ∴ ∴ 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴ 故答案为：． 21．（2025·天津河东·一模）如图，在中，，，点在边上，点在外，连接，若，则： （1）线段的长等于 ； （2）线段的长等于 ． 【答案】 / ## 【分析】（1）根据勾股定理得到，再由，即可得到 （2）设交于点M，由，得到，在根据三角形内角和定理得到，，，再由等角对等边得到，，即可解答． 【详解】（1）∵在中，，， ∴， ∵， ∴． （2）设交于点M， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴，， 即， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，垂直定理，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键． 三、解答题 22．（2025·天津和平·三模）将一个直角三角形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点，，点在轴正半轴上，点在边上，且，沿直线折叠该纸片，折叠后点的对应点为，设．    (1)填空：如图①，当时，点的坐标为          ，点的坐标为          ； (2)如图②，若折叠该纸片后与重叠部分为四边形，点的对应点为，与边相交于点，与边相交于点．试用含有的式子表示线段的长，并直接写出的取值范围； (3)若折叠该纸片后与重叠部分的面积为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）延长交轴于，由正切函数得，可得， ，，即可求解； （2）由正切函数得，由直角三角形的特征得，即可求解； （3）①当时，此时折叠该纸片后与重叠部分为，由直角三角形的特征，由三角形的面积得； ②当时，由三角形面积得，，由二次函数的性质，即可求解；③当时，由等边三角形面积得，由二次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：延长交轴于， ，， ，， ， ， ， ， 由翻折得：， ， ， ， ， ， ，， 故答案为：，； （2）解：由折叠得 ，， ， ， 由（1）得， ， ， ， ， ， ， ， 故（）； （3）解：①当时，如图， 此时折叠该纸片后与重叠部分为， ， ， ， ， ， ， ， ； ②当时，如图， ， ， ， ， ， ， ，， ， 当时，， ； ③当时，如图， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ； 综上所述：． 【点睛】本题考查了折叠的性质，二次函数的综合应用，特殊三角形的特征，等腰三角形的判定及性质，等边三角形的判定及性质，三角函数等；掌握折叠的性质，特殊三角形的特征，等腰三角形的判定及性质，等边三角形的判定及性质，能熟练利用三角函数进行求解，并能根据点的不同位置进行分类讨论是解题的关键． 23．（2025·天津河东·二模）“桥园公园”简称桥园，是天津市最大的人造生态湿地公园，也是中国城市公园在世界建筑节上第一次获“全球最佳景观奖”的生态创意型公园．为了生态可持续发展，某园林设计公司为桥园一处湿地提供了一份景观提升设计．如图，距A地东北方向处是亲水平台（B地），距亲水平台（B地）北偏东方向处是观景台（C地），从观景台（C地）沿长廊向正南方向走可以到达凉亭（E地），从亲水平台（B地）向正东方向走可以到达长廊（F地）． (1)请求出的长度； (2)从A地出发后，先沿正东方向走可到达凉亭（E地），再沿北偏东方向走可到达小广场（D地），小广场（D地）在观景台（C地）的南偏东方向．请求出的长度．（结果取整数，参考数据） 【答案】(1) (2)50米 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，等角对等边，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键： （1）过点B作于H，分别解，，求出的长，根据线段的和差关系求出的长即可； （2）过点D作于G，在上取点，使得，连接，得，设，解，求出，根据，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，，，， 过点B作于H，由题意，可得：，， 在中， ∵， ∴， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， 又， ∴的长为； （2）过点D作于G，在上取点，使得，连接， 由题意得，， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则：， 在中， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， 答：的长约为50米． 24．（2025·天津河东·二模）将一个直角三角形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点．P是边上的一点（点P不与点A，O重合），沿着折叠该纸片，得点O的对应点C． (1)填空：如图①，当点C在边上时，点P的坐标为________，的面积为________； (2)如图②，当轴时，与交于点D，求点D的坐标； (3)设点A到直线的距离为d，在折叠过程中，当时，求的长（直接写出结果即可）． 【答案】(1)，； (2) (3)或8 【分析】（1）根据折叠的性质，得，，设，则，结合，得到，得到，解答即可． （2）根据折叠的性质，结合轴，证明四边形是正方形，再利用三角形的中位线定理，解答即可． （3）解答时，分轴和不平行x轴两种情况解答即可． 【详解】（1）解：∵点，点， ∴， 根据折叠的性质，得， 设， 则 ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴点， 故答案为：； ∵， ∴， 故答案为：． （2）解：∵点，点， ∴， 根据折叠的性质，得， 设， 则， ∵轴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． （3）解：当轴时， ∵点，点， ∴， 根据折叠的性质，得， 设， 则， ∵轴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形，此时； ∴； 当不平行x轴时，如图所示， 过点A作于点G，根据题意，得， 设的交点为M， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 根据勾股定理，得， 解得， 此时， 故或8． 【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，三角函数的应用，正方形的判定和性质，矩形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，三角形中位线定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 25．（2025·天津·二模）已知抛物线（a，b，c为常数，）的顶点为P，与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且，是抛物线上的动点，且位于第四象限． (1)若，． ①求抛物线解析式及顶点P的坐标； ②过点M分别作x轴和y轴的平行线，分别交直线于点E，F，当时，求点M的坐标； (2)若，N是y轴负半轴上的动点，过点N作抛物线对称轴l的垂线，垂足为G，连接，，，且，当的最小值为时，求点M的坐标． 【答案】(1)①，顶点P的坐标为；② (2) 【分析】（1）①首先利用待定系数法求出解析式，然后然后配方成顶点式求出顶点坐标； ②首先求出，，然后得到，都是等腰直角三角形，得到，求出，然后求出直线的解析式为，然后得到，进而求解即可； （2）首先得到，，表示出顶点P的坐标为，作点B关于y轴的对称点，将向右平移1个单位（的长度），得到点，连接，，得到四边形为平行四边形，得到当，G，M三点共线时，的值最小，最小值为的长，过M作于点Q，得到，得到，然后代入表示出，过点M作，垂足为R，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：（1）①当，时，抛物线解析式为， 将代入抛物线，得． ． 抛物线解析式为． ， 抛物线顶点P的坐标为． ②如图所示，过点M分别作x轴和y轴的平行线，分别交直线于点E，F， 将代入，得或． ． 将代入，得． ． ． ． 轴，轴， ． ，都是等腰直角三角形． ，． ， ． ． 设直线的解析式为：，把，代入上式， 得 ． ，把代入，得， ． ． ． ． 或． ， ． （2）解：把代入抛物线，得． ， ． 将代入，得或． ． 将代入， ． 抛物线的对称轴． 顶点P的坐标为． ， ． 作点B关于y轴的对称点，将向右平移1个单位（的长度）， 得到点，连接，． 且， 四边形为平行四边形． ． ． 当，G，M三点共线时，的值最小，最小值为的长． ，把代入，得， ． 过M作于点Q， ． ， ∴． ． ． ，， ， 或． ， ． ． 过点M作，垂足为R， 在中，， ． ， ． ． 【点睛】本题考查了二次函数的几何应用，等腰直角三角形的性质，勾股定理，两点之间线段最短，解直角三角形，平行四边形的性质和判定等知识，正确作出辅助线是解题的关键． 26．（2025·天津南开·二模）在平面直角坐标系中，为坐标原点，的顶点，的顶点，且．    (1)填空：如图，点的坐标为 ，点的坐标为 ； (2)将沿水平方向向右平移，得到，点的对应点分别为，设与重叠部分的面积为． ①如图，当边与相交于点，边与相交于点，且与重叠部分为五边形时，用含有的式子表示，并直接写出的取值范围； ②当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1)，； (2)①；②． 【分析】（1）利用三角函数可得，可得，如图，过作于，进而利用三角形函数求得和，即可得解； （2）①如图，过作于，过作，则，，得即，，再根聚即可得解；②分，和时三种情形，利用数形相结合，根据二次函数的图像及性质求解即可． 【详解】（1）解：∵点， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴； 如图，过作于，    ∵ ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）解：①如图，过作于，过作，则    ∴，， 由（）可得，，， 当边与相交于点，边与相交于点，且与重叠部分为五边形时，在点的右侧，在点的左侧， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴即， ∴， 由平移可得，， ∴， ∴， ∵，，，， ∴，， ∴ ∴， ∴ ∴； ②如图所示，当时，设分别交于S、L，过点S作于T， 由题意得，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，S随t增大而增大， 当时，；    当时，重叠部分的面积如图所示；    由（）①得， ∴当时，， 当时，， 当时，重叠部分的面积如图所示，过点作于点，    由（）①得，，， ∴， ∴ ∴ ， 当时，随的增大而减小， 当时，， 当时，， ∵ ∴； 综上：； 【点睛】本题考查的动态几何，勾股定理的应用，锐角三角函数的应用，二次函数的应用，相似三角形的判定与性质，本题难度大，清晰的分类讨论是解本题的关键． 27．（2025·天津河西·一模）在平面直角坐标系中，O为原点，有四边形，顶点． (1)填空：的长是______，的长是______； (2)点M，N分别为四边形边上的动点，动点M从点O开始，以每秒1个单位长度的速度沿路线向终点B匀速运动，动点N从O点开始，以每秒2个单位长度的速度沿路线向终点A匀速运动，点M，N同时从O点出发，当其中一点到达终点后，另一点也随之停止运动．设动点运动的时间为t秒，的面积为S． ①当时，求S的值； ②当点M在线段上，且点N在线段上时，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围； (3)若，请直接写出此时t的值．（直接写出结果即可） 【答案】(1)10，6 (2)①；② (3)或8或 【分析】（1）利用勾股定理即可解决问题； （2）①如图中， 作轴于，连接，当时，点与重合，求的面积； ②如图中， 当时，点在线段上，，作于， 于，则，由， 推出 即，可得，由此即可解决问题； （3）分三种情形①当点在边长上，点在上时；②如图中，当、在线段上相遇之前，作于， 则，列出方程即可解决问题；③同法当、在线段上相遇之后，列出方程即可； 【详解】（1）解：在中， ， ， ∴， 故答案为： ， ； （2）①解：如图， 作轴于，连接， ， ， 在中，， 当时，点与重合，， ，即， ②如图中，设点的纵坐标为，当点在线段上，，作于， 于，则， ， ， ∵， ， ， ∵点在线段上， ， ； （3）解：①当点在边上， 点在上时， ， 解得(负根已经舍弃)； ②如图3中，当、在线段上，相遇之前， 作于E， 则， 由题意得， 解得 同法当、在线段上，相遇之后， 由题意得， 解得 ， 综上所述，若，此时的值或或 【点睛】本题考查四边形综合题、平行线分线段成比例定理、勾股定理、解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题. 28．（2025·天津和平·二模）在平面直角坐标系中，为原点，是等腰直角三角形，，，点在第一象限，等腰直角三角形，点在轴正半轴，点在轴负半轴，． (1)填空：如图①，点的坐标________，点的坐标________； (2)将沿轴向右平移，得到，点，，的对应点分别为．设与重叠部分的面积为． ①如图②，当点在轴正半轴上，且与重叠部分为四边形时，与分别相交于点，试用含有的式子表示，并直接写出的取值范围； ②当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1)， (2)①，；② 【分析】本题考查平移，等腰直角三角形，三角函数，二次函数的性质，掌握分类讨论思想是解题的关键． （1）过点B作于点E，正确判断是等腰直角三角形，利用特殊角的三角函数值即可解答． （2）①过点E作于点M，准确表示出重叠部分的四边形面积，即可解答； ②根据t的取值范围，分类讨论求解，即可解答． 【详解】（1）解：过点B作于点E，如图①， 有， ∵是等腰直角三角形，，，等腰直角三角形， ∴，，， ∴是等腰直角三角形， ， ∴， ∴点的坐标为，点的坐标． （2）①由题意及（1），可知，，，， ∴是等腰直角三角形， ， ∴， 过点E作于点M，如图②，则 ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴，其中． ②当点时，有随t的增大而增大，如图 ∴当时，，符合题意． 当时， 由，，抛物线开口向下，得 ∴当时，有随t的增大而增大． ∴当时，， 当时，， ∴当时，，符合题意． 当时，，， ， ∴当，随t的增大而减小， ∴当时，， 当时， ∴当时，，符合题意． 当时，，为等腰直角三角形， ∴ ， 由，，抛物线开口向上，得 当，随t的增大而增大， ∴当时，， 当时，， 解得，（不合题意，舍去）． ∴当时，，符合题意． 综上所述，当时，． 29．（2025·天津·一模）已知抛物线（为常数，）的顶点为，且与轴交于点（点在点的左侧），与轴交于点，为抛物线上一点，点横坐标为，且． (1)若． ①求点和点的坐标； ②过点作，交于点，若时，求点的坐标； (2)若点的坐标为，点在轴负半轴上，且点的坐标为，，点分别在上，且，当取得最小值为时，求点的坐标． 【答案】(1)①，；②或 (2) 【分析】（）①把，代入函数解析式得，即得点坐标，再把代入函数解析式求出可得点的坐标；②过点作轴，垂足为，交于点，可得，即得，得到，即得，进而得，又由是等腰直角三角形得，即可得，解方程即可求解； （）由点的坐标为得，即得，又由得，即得，过点作，垂足为， 则，由可得，过点作，使，连接，可证，可得，即得，可知当点共线时，有最小值，最小值为，即，即得到，进而由得，即，解方程求出即可求解． 【详解】（1）解：①∵，， ∴抛物线解析式为， ∴, 当时，， 解得，， ∵点在点的左侧， ∴； ②过点作轴，垂足为，交于点， 由①知， 当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴， ∵点横坐标为， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴, ∴， 解得或， ∴或； （2）解：∵点的坐标为， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为， ∵，，， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， 过点作，垂足为， 则， ∴， 解得，， ∴， 过点作，使，连接， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴当点共线时，有最小值，最小值为，即， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得，， ∵， ∴， ∴． 30．（2025·天津和平·一模）综合与实践活动中，要用测角仪测量桥墩的高度．某学习小组设计了一个方案：如图，直线在同一平面内，，．在处测得桥墩顶部处的仰角为和桥墩底部处的俯角为，已知在处测得桥墩顶部处的仰角为，求桥墩的高度（结果取整数）．参考数据：，，， 【答案】桥墩的高度为 【分析】本题考查了解直角三角形-俯角、仰角问题，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，正确添加辅助线构造直角三角形是解题的关键． 延长交于点，求出，得到，求出，得到，，计算即可． 【详解】解：如图，延长交于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 桥墩的高度为． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 三角形（原卷版） 考点1 与三角形有关的角 1．（2025·天津·中考真题）如图，是的角平分线．按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，与边相交于点，与边相交于点；②以点为圆心，长为半径画弧，与边相交于点；③以点为圆心，长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点；④作射线，与相交于点，与边相交于点．则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·天津·中考真题）如图，中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点；再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在的内部相交于点；画射线，与相交于点，则的大小为（    ）    A． B． C． D． 3．（2023·天津·中考真题）如图，把以点A为中心逆时针旋转得到，点B，C的对应点分别是点D，E，且点E在的延长线上，连接，则下列结论一定正确的是（    ）    A． B． C． D． 考点2 三角形全等的判定 一、单选题 1．（2025·天津·中考真题）如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点B，C的对应点分别为的延长线与边相交于点，连接．若，则线段的长为（   ） A． B． C．4 D． 2．（2022·天津·中考真题）如图，△OAB的顶点O(0，0)，顶点A，B分别在第一、四象限，且AB⊥x轴，若AB=6，OA=OB=5，则点A的坐标是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 3．（2025·天津·中考真题）如图，在矩形中，，，点在边上，且． （1）线段的长为 ； （2）为的中点，为的中点，为上一点，若，则线段的长为 ． 4．（2023·天津·中考真题）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，等边三角形内接于圆，且顶点A，B均在格点上．    （1）线段的长为 ； （2）若点D在圆上，与相交于点P．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点Q，使为等边三角形，并简要说明点Q的位置是如何找到的（不要求证明） ． 5．（2023·天津·中考真题）如图，在边长为3的正方形的外侧，作等腰三角形，．    （1）的面积为 ； （2）若F为的中点，连接并延长，与相交于点G，则的长为 ． 6．（2022·天津·中考真题）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，圆上的点A，B，C及的一边上的点E，F均在格点上． （Ⅰ）线段的长等于 ； （Ⅱ）若点M，N分别在射线上，满足且．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点M，N，并简要说明点M，N的位置是如何找到的（不要求证明） ． 7．（2021·天津·中考真题）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点A，C均落在格点上，点B在网格线上． （Ⅰ）线段的长等于 ； （Ⅱ）以为直径的半圆的圆心为O，在线段上有一点P，满足，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明） ． 考点3 等腰三角形 一、单选题 1．（2022·天津·中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC，若M是BC边上任意一点，将△ABM绕点A逆时针旋转得到△ACN，点M的对应点为点N，连接MN，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2021·天津·中考真题）如图，在中，，将绕点C逆时针旋转得到，点A，B的对应点分别为D，E，连接．当点A，D，E在同一条直线上时，下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 3．（2025·天津·中考真题）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点P，A均在格点上． （1）线段的长为 ； （2）直线与的外接圆相切于点．点在射线上，点在线段的延长线上，满足，且与射线垂直．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点M，N，并简要说明点M，N的位置是如何找到的（不要求证明） ． 三、解答题 4．（2024·天津·中考真题）已知中，为的弦，直线与相切于点． (1)如图①，若，直径与相交于点，求和的大小； (2)如图②，若，垂足为与相交于点，求线段的长． 考点4 直角三角形 一、单选题 1．（2024·天津·中考真题）如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点分别为，延长交于点，下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 二、解答题 2．（2023·天津·中考真题）综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度． 如图，塔前有一座高为的观景台，已知，点E，C，A在同一条水平直线上．    某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为． (1)求的长； (2)设塔的高度为h（单位：m）． ①用含有h的式子表示线段的长（结果保留根号）； ②求塔的高度（取0.5，取1.7，结果取整数）． 一、单选题 1．（2025·天津南开·三模）如图1，在中，，．按照如下尺规作图的步骤进行操作（如图2所示）： ①以点为圆心，以为半径画弧，与相交于点； ②分别以，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点； ③连接，与相交于点． 则下列结论一定正确的是（    ） A．垂直平分 B． C．平分 D． 2．（2025·天津南开·二模）如图，正三角形的边长为1，是线段上一点，过作边的垂线，垂足为点． 有下列结论： ①当点在线段上时，的长可以为； ②当点为线段中点时，的面积达到最大值，最大值为； ③点在线段上有两个位置满足的面积为． 其中，正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 3．（2025·天津红桥·二模）如图，在中，，．以点A为圆心，适当长为半径画弧，交AB于点D，交AC于点E；再分别以点D，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）相交于点P，作射线AP，与边BC相交于点F，则的大小为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·天津河东·二模）如图，在中，，，，动点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，动点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发，设出发时间为．有下列结论：①当时，；②的面积可以为；③时的四边形的面积大于时的四边形的面积．其中，正确结论的是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 5．（2025·天津·二模）如图，中，已知，，，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于M，N两点，直线分别与边相交于点D，E，连接．则线段的长为（   ） A．1 B． C． D．3 6．（2025·天津河北·二模）如图，在中，，以点C为圆心，大于点C到边的距离为半径画弧交边于D点，E点，分别以点D，点E为圆心，大于长为半径画弧交于点G，点F．作直线交于点H，则点C和点H两点间的距离为（   ） A．2 B． C．3 D．5 7．（2025·天津南开·二模）如图，在中，，．按照如下尺规作图的步骤进行操作： ①以点为圆心，以适当长为半径画弧，圆弧与，分别相交于两点； ②分别以点为圆心；以大于的长为半径画弧，两弧相交于点： ③作射线与相交于点； ④分别以为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点； ⑤作直线．在直线上任意取点，连接． 则周长的最小值为（　　） A．14 B．10 C．8 D．6 8．（2025·天津滨海新·二模）如图，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，交射线于点，交射线于点，再分别以点和点为圆心，的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在的内部交于点，画射线，连接，若，则线段的长为（    ） A． B．4.8 C．6 D．8 9．（2025·天津西青·二模）如图，在中，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交，于M，N两点，分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，画射线交于点D，则线段的长为（    ） A．1 B． C．2 D． 10．（2025·天津河西·一模）如图，中，，，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）相交于E，F两点，连接，与交于点O，则的大小为（   ） A． B． C． D． 11．（2025·天津西青·一模）如图，已知，点在边上，，以点为圆心，的长为半径画弧交于点，连接；分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别交于点，，作直线交于点，则的长为（   ） A．2 B． C．4 D． 12．（2025·天津·一模）已知，用尺规作图在上确定一点，使，则一定符合要求的作图痕迹是（    ） A． B． C． D． 13．（2025·天津北辰·一模）如图，是等边三角形，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交于点E，F．再分别以E，F为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点D，连接交于点G，则下列结论中一定正确的是（   ） A． B． C． D． 14．（2025·天津河东·一模）如图，中，若，，按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点；②分别以点为圆心．大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在的内部相交于点；③作射线，与相交于点，则的大小为（   ） A． B． C． D． 15．（2025·天津河北·一模）如图，在中，，点D在边上，以点C为圆心，小于线段长为半径画弧分别交线段于E点，F点，连接，以点D为圆心，线段长为半径画弧交线段于G点，以点G为圆心线段长为半径画弧，该弧交以点D为圆心线段长为半径所画弧于H点，作射线交于点I，则的大小为（　　） A． B． C． D． 16．（2025·天津·模拟预测）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于、两点，连接，交于点，以点为圆心，的长为半径作的弧恰好经过点，以点为圆心，的长为半径作弧交于点，连接，若， 则（    ） A．64° B． C． D． 17．（2025·天津红桥·一模）如图，在中，，，分别以点B，C为圆心，大于为半径画弧，两弧（弧所在圆的半径相等）相交于D，E两点，画直线与边相交于点F，则的大小为（   ） A． B． C． D． 18．（2025·天津·模拟预测）如图，在中，，，按如下步骤作图：①以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点D，E；②分别以点D，E为圆心，大于长为半径画弧，两弧在的内部相交于点F，作射线交于点G．则的大小为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 19．（2025·天津南开·二模）如图，在中，，点为边的中点，，，过点作，垂足为点，与相交于点． （1）线段的长为 ； （2）延长到点，使平分，则线段的长为 ． 20．（2025·天津河西·一模）如图，是等腰直角三角形，，平分，，垂足在的延长线上，． （Ⅰ）的长为 ； （Ⅱ）线段长度的平方为 ． 21．（2025·天津河东·一模）如图，在中，，，点在边上，点在外，连接，若，则： （1）线段的长等于 ； （2）线段的长等于 ． 三、解答题 22．（2025·天津和平·三模）将一个直角三角形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点，，点在轴正半轴上，点在边上，且，沿直线折叠该纸片，折叠后点的对应点为，设．    (1)填空：如图①，当时，点的坐标为          ，点的坐标为          ； (2)如图②，若折叠该纸片后与重叠部分为四边形，点的对应点为，与边相交于点，与边相交于点．试用含有的式子表示线段的长，并直接写出的取值范围； (3)若折叠该纸片后与重叠部分的面积为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 23．（2025·天津河东·二模）“桥园公园”简称桥园，是天津市最大的人造生态湿地公园，也是中国城市公园在世界建筑节上第一次获“全球最佳景观奖”的生态创意型公园．为了生态可持续发展，某园林设计公司为桥园一处湿地提供了一份景观提升设计．如图，距A地东北方向处是亲水平台（B地），距亲水平台（B地）北偏东方向处是观景台（C地），从观景台（C地）沿长廊向正南方向走可以到达凉亭（E地），从亲水平台（B地）向正东方向走可以到达长廊（F地）． (1)请求出的长度； (2)从A地出发后，先沿正东方向走可到达凉亭（E地），再沿北偏东方向走可到达小广场（D地），小广场（D地）在观景台（C地）的南偏东方向．请求出的长度．（结果取整数，参考数据） 24．（2025·天津河东·二模）将一个直角三角形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点．P是边上的一点（点P不与点A，O重合），沿着折叠该纸片，得点O的对应点C． (1)填空：如图①，当点C在边上时，点P的坐标为________，的面积为________； (2)如图②，当轴时，与交于点D，求点D的坐标； (3)设点A到直线的距离为d，在折叠过程中，当时，求的长（直接写出结果即可）． 25．（2025·天津·二模）已知抛物线（a，b，c为常数，）的顶点为P，与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且，是抛物线上的动点，且位于第四象限． (1)若，． ①求抛物线解析式及顶点P的坐标； ②过点M分别作x轴和y轴的平行线，分别交直线于点E，F，当时，求点M的坐标； (2)若，N是y轴负半轴上的动点，过点N作抛物线对称轴l的垂线，垂足为G，连接，，，且，当的最小值为时，求点M的坐标． 26．（2025·天津南开·二模）在平面直角坐标系中，为坐标原点，的顶点，的顶点，且．    (1)填空：如图，点的坐标为 ，点的坐标为 ； (2)将沿水平方向向右平移，得到，点的对应点分别为，设与重叠部分的面积为． ①如图，当边与相交于点，边与相交于点，且与重叠部分为五边形时，用含有的式子表示，并直接写出的取值范围； ②当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 27．（2025·天津河西·一模）在平面直角坐标系中，O为原点，有四边形，顶点． (1)填空：的长是______，的长是______； (2)点M，N分别为四边形边上的动点，动点M从点O开始，以每秒1个单位长度的速度沿路线向终点B匀速运动，动点N从O点开始，以每秒2个单位长度的速度沿路线向终点A匀速运动，点M，N同时从O点出发，当其中一点到达终点后，另一点也随之停止运动．设动点运动的时间为t秒，的面积为S． ①当时，求S的值； ②当点M在线段上，且点N在线段上时，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围； (3)若，请直接写出此时t的值．（直接写出结果即可） 28．（2025·天津和平·二模）在平面直角坐标系中，为原点，是等腰直角三角形，，，点在第一象限，等腰直角三角形，点在轴正半轴，点在轴负半轴，． (1)填空：如图①，点的坐标________，点的坐标________； (2)将沿轴向右平移，得到，点，，的对应点分别为．设与重叠部分的面积为． ①如图②，当点在轴正半轴上，且与重叠部分为四边形时，与分别相交于点，试用含有的式子表示，并直接写出的取值范围； ②当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 29．（2025·天津·一模）已知抛物线（为常数，）的顶点为，且与轴交于点（点在点的左侧），与轴交于点，为抛物线上一点，点横坐标为，且． (1)若． ①求点和点的坐标； ②过点作，交于点，若时，求点的坐标； (2)若点的坐标为，点在轴负半轴上，且点的坐标为，，点分别在上，且，当取得最小值为时，求点的坐标． 30．（2025·天津和平·一模）综合与实践活动中，要用测角仪测量桥墩的高度．某学习小组设计了一个方案：如图，直线在同一平面内，，．在处测得桥墩顶部处的仰角为和桥墩底部处的俯角为，已知在处测得桥墩顶部处的仰角为，求桥墩的高度（结果取整数）．参考数据：，，， 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$