第一章 勾股定理（优质类型）考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练-2025-2026学年八年级数学上册（北师大版2024新教材）

第一章 勾股定理思维导图 【类型覆盖】 类型一、勾股定理的几何最值 【解惑】如图，在中，有一点P在边上移动，若，，则的最小值为（    ）   A．5 B．6 C．8 D．10 【融会贯通】 1．如图，是的角平分线，，，，分别是和上的任意一点，连结，，则的最小值是（    ） A． B． C．10 D．12 2．如图，，，垂足为M、N，，，，P是上任意一点，则的最小值是 ． 3．如图，在中，，如果点D，E分别为上的动点，那么的最小值是 ． 类型二、折叠问题 【解惑】如图，在中，，点为边上一点，将沿翻折得到，若点在边上，，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【融会贯通】 1．有一块直角三角形纸片，如图所示，两直角边，，现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，则等于（   ） A． B． C． D． 2．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边，．现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，则的长等于 ． 3．如图，在中，，是边上的高，，，E为AC上一点，将沿过点E的直线折叠，使得点A与点B重合，折痕交于点H，连接，则 ． 类型三、蚂蚁爬行问题 【解惑】如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为．在杯内离杯底的点C处有滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜C点的最短距离为（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，有一个长方体．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要（　　） A． B． C． D． 2．2025年中国轮滑（滑板）公开赛于5月2日在江西崇义站举行，标志着我国乡村体育发展的新突破．如图是一名滑板选手训练的U型池的示意图，该U型池可以看成是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为米的半圆，其边缘米，点E在上，米，该选手从A点滑到E点，则他滑行的最短距离为 米． 3．在一个长6米，宽为6米的正方形草地上，如图堆放着一根三棱柱的木块，它的侧棱长平行且大于场地宽，木块的主视图的高是米的正三角形，一只昆虫从点A处到C处需要走的最短路程是 米． 类型四、无刻度尺作图 【解惑】如图，在正方形网格中，的三个顶点都在格点（网格线的交点）上，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹，不写作法）． (1)在图1中，过点B作的高线． (2)在图2中，过点C作的高线． 【融会贯通】 1．如图是边长为1个单位长度的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．已知、、均为格点，仅用无刻度的直尺作出符合下列问题的图形．    (1)在图1中，线段___________，___________度； (2)在图1中，在线段上作出点，使得； (3)在图2中，线段交其中一条网格线于点，在线段上作一个点，使得； (4)在图3中，点是格点，点在网格线上，将线段向右平移三个单位再向下平移1个单位得线段，且与对应． 2．如图是由的小正方形构成的网格，每个小正方形的边长均为1，点A、B均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不写画法，所画图形用实线表示． (1)在图①中，在格点上找到点C，作直角三角形，使其面积为4． (2)在图②中，在格点上找到点D，作钝角三角形，使其面积为4． (3)在图③中，在格点上找到点E，作等腰直角三角形，使其面积为5． 3．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，三个顶点均在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．画图过程用虚线表示． (1)如图中，点是线段上一点，先画出的高；再在上画出一点，使． (2)如图中，先在边上画出一点，使；再在内画出一点，使． 类型五、勾股定理中的线段平方关系 【解惑】【问题提出】 如图1，在中，，为边上一点（不与点，重合），以为直角边在右侧做等腰直角，连接． （1）的度数为______； （2）线段，，之间有怎样的数量关系，写出并说明理由； 【类比探究】 如图2，若点在边的延长线上，其他条件不变， （3）试探究线段，，之间满足的数量关系，并说明理由． 【融会贯通】 1．如图，，M，N分别是，的中点． (1)猜想与的位置关系？并证明你的猜想． (2)直接写出、、三者之间的数量关系：_______ 2．【问题背景】 如图1，在四边形中，，E、F分别是上的点，且，试探究图1中线段之间的数量关系． 【初步探索】 （1）小亮同学认为解决此题可以用如下方式：如图2，延长到点G，使，连接，先证明，再证明，则可以得到线段之间的数量关系 ． （2）如图3，在等腰直角中，，点E、F在边上，且，请写出之间的关系，并说明理由． 【结论应用】 （3）如图4，在四边形中，，在边和分别有一点E和点F，使的周长恰好是长的2倍，求此时的度数． 3．我们定义：如果两个等腰三角形顶角相等，且顶角顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”．因为顶点相连的四条边，形象的可以看作两双手，所以通常称为“手拉手全等模型”． (1)例如，如图1，与都是等腰三角形，其中，则________（________）； (2)类比：如图2，已知与都是等腰三角形，，，且，求证：； (3)拓展：如图3，，，，试探索线段，，之间满足的等量关系，并证明结论． 类型六、勾股定理中的直角三角形动点求t 【解惑】如图，在中，，，，点P从点A出发，沿着射线以的速度运动，运动时间为． (1)若，则t的值为_____； (2)当时，求t的值； (3)当是直角三角形时，求t的值． 【融会贯通】 1．【问题提出】 勾股定理是直角三角形一个非常重要的性质，有着及其广泛的应用，搭建起了几何图形和数量关系之间的一座桥梁．因此勾股定理与动点、方程、几何图形等结合就可以进行相应的数量计算． 在中，， 【新知初探】 （1）如图1，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿方向向点运动，连接．当点运动 秒时，． 【类比分析】 （2）如图2，当点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线方向运动，设运动的时间为． ①当为等腰三角形时，求的值； ②当为直角三角形时，求的值； 【学以致用】 （3）如图2，当点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿方向运动，设运动的时间为．若点恰好在的平分线上，求的值． 2．如图1，在中，，，，．动点P从点A出发，沿边以每秒2个单位长的速度运动到点B，动点Q同时从点B出发，沿边以每秒1个单位长的速度运动到点C，设点P，Q运动时间为t（s）． (1)求的度数； (2)当是等边三角形时，求t的值； (3)在点P，Q的运动过程中，求当是直角三角形时t的值； (4)如图2，若D是边的中点，连接，，请直接写出的最小值． 3．如图，在中，，，，动点P从点B出发沿射线以的速度运动，设运动的时间为（）． (1)求边的长； (2)当为直角三角形时，求t的值． 类型七、勾股定理中的等腰三角形动点求t 【解惑】如图，已知在中，，，，点D是上的一点，，点P从B点出发沿射线方向以每秒2个单位的速度向右运动，设点P的运动时间为连接． (1)当平分的面积，求满足条件的t的值． (2)当是以为底的等腰三角形，求满足条件的t的值． (3)过点D作于点在点P的运动过程中，当t为何值时，能使 【融会贯通】 1．如图，在△ABC中，，，，点M从点A出发沿A→C方向运动，速度为每秒，同时，点N从点C出发沿C→B→A方向运动，速度为每秒，设运动的时间为t秒． (1)当第一次形成等腰三角形时， 秒； (2)当点N运动到上时，是等腰三角形，且是其中的一条腰长，求出此时点N的运动时间t的值．（提示：分两种情况，，） 2．如图，中，，若点P从点A出发，以每秒的速度沿折线运动，设运动时间为． (1)若点P恰好在的平分线上，求t的值； (2)若点P在边上运动，则当t为何值时，为等腰三角形？ 3．如图，中，，于点D，且，动点M从点B出发以的速度沿线段向点A运动，同时动点N从点A出发以相同速度沿线段向点C运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止．设点M运动的时间为． (1)当的边与平行时，求t的值； (2)在点N运动的过程中，能否成为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由． 类型八、勾股数组 【解惑】《九章算术》是世界上较早给出勾股数公式的著作，掌握确定勾股数组的方法对研究直角三角形具有重要意义．若直角三角形的三边长，，都是正整数，则，，为一组“勾股数”．下表中的每一组数都是勾股数． 3，4，5 7，24，25 11，60，61 15，112，113 19，180，181 4，3，5 8，15，17 12，35，37 16，63，65 20，21，29 5，12，13 9，12，15 13，84，85 17，144，145 21，28，35 6，8，10 10，___，26 14，48，50 18，80，82 22，120，122 (1)请补全上表中的勾股数． (2)根据上表中数据规律，用含字母（均为正整数）的代数式分别表示，，，使该组代数式能表示上表中所有的勾股数，并证明． (3)某校计划在一块绿地上种花，使之构成如图所示的图案，该图案是由四个全等的直角三角形组成．种花要求：仅在三角形边上种花，每个三角形顶点处都种一株花，各边上相邻两株花之间的距离均为．如果每个三角形最短边都种21株花，那么这块绿地最少需要种植多少株花？ 【融会贯通】 1．阅读材料：勾股定理本身就是一个关于、、的方程，我们知道这个方程有无数组解，满足该方程的正整数解通常叫做勾股数组，我国古籍《周髀算经》中记载的“勾三股四弦五”中的“3，4，5”就是一组最简单的勾股数．为了进一步了解勾股数的奥秘，数学刘老师给出下面的两个表格．（以下，，为的三边，且） 表1               表2 (1)请你根据上述表格的规律写出勾股数：11、________、________； (2)当（为奇数，且）时，若________，________时可以构造出勾股数（用含的代数式表示）；并证明你的猜想； (3)构造勾股数的方法很多，请你寻找当或时，________．（写出所有满足条件的）． 2．已知：满足的三个正整数，，称为一组勾股数，很多勾股数组具有规律： (1)设，观察提供的组勾股数的规律，完成第组勾股数：当为奇数时，如，，；，，；，，；，，，，____，____；当为偶数时，如，，；，，；，，；，，，， ____，____； (2)若，，，为正整数，且，求证：不论为何值，，，都是勾股数组． 3．已知：满足的三个正整数a，b，c称为一组勾股数，很多勾股数组具有规律： (1)设，观察提供的4组勾股数的规律，完成第⑤组勾股数； 当a为奇数时如①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41，⑤11， ， ； 当a为偶数时，如①16，8，10；②8，15，17；③10，24，26；④12，35，37，⑤14， ， ； (2)猜想：三个整数中，若最小的数为奇数n，另外两个数分别为 ， ，则这三个数为勾股数，请你补充完整的猜想并验证这一猜想是否正确． 类型九、勾股定理中的半圆问题 【解惑】阅读下列材料，并按要求完成相应任务． 勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理，在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国古代数学家赵爽为了验证勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图①），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今，在这幅“弦图”中，以c为边长的正方形是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，每个直角三角形的面积为，中间的小正方形的边长为，则其面积为．由面积关系可． 任务一：（1）请利用图②中的数据验证勾股定理． （2）如图③④⑤．以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有_______个． 任务二：（3）如图⑥所示，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为，直角三角形的面积为，请判断的关系，并说明理由． 【融会贯通】 1．问题再现：数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观，从而可以帮助我们快速解题，初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形积的方法进行直观推导和解释． (1)如图1，在中，，以的三边长向外作正方形，其面积分别为，直接写出之间存在的等量关系：______ (2)如图2，在中，，以的三边长为直径向外作半圆，其面积分别为，那么第（1）问的结论是否成立？请说明理由． 2．小林同学是一名剪纸爱好者，喜欢运用数学知识对自己的剪纸作品进行分析思考，下面是他利用勾股定理对部分剪纸作品的数量关系进行探究思考的过程，请你帮助他一起完成． (1)如图①是以的三条边为直径，向外作半圆，其面积分别记为，，，请写出，，之间的数量关系：___________； (2)如图②是由四个全等的直角三角形紧密地拼接形成的飞镖状图案，测得外围轮廓（实线）的周长为，，求该飞镖状图案的面积； (3)如图③是由八个全等的直角三角形紧密地拼接形成的大正方形，记图中正方形，正方形，正方形MNKT的面积分别为，，．若，则 ___________． 3．勾股定理是几何学中的重要定理，它描述了直角三角形三边之间的关系．我们可以从不同的角度对勾股定理进行探索．如图1，在直角三角形中，．分别以为边长向外作正方形、正方形和正方形，其面积分别记作． (1)图1中，与之间的数量关系为______，直角三角形的三边之间的数量关系为________． (2)如图2，若用半圆代替正方形，请求出三个半圆面积之间的数量关系． 类型十、勾股定理的新定义 【解惑】定义：为正整数，若，则称为“完美勾股数”，为的“伴侣勾股数”．如，则13是“完美勾股数”，5，12是13的“伴侣勾股数”． (1)判断填空：数__________“完美勾股数”（填“是”或“不是”）； (2)已知的三边满足．求证：是“完美勾股数”． 【融会贯通】 1．定义：在中，，，，若，则称为“类直角三角形”．请根据以上定义解决下列问题： (1)如1图，为等边三角形，请判断该三角形是否为“类直角三角形”，并说明理由； (2)如2图，等腰三角形为“类直角三角形”，其中，，请求出的大小． 2．（1）问题背景：在中，分别以为边在外作等边，等边．求证：； （2）变式迁移：我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形．在（1）中，若，请判断四边形是否为勾股四边形？并说明理由； （3）拓展应用：如图2，在四边形中，，，直接写出的长为______． 3．我们定义：在一个图形上画一条直线，若这条直线既平分该图形的面积，又平分该图形的周长，我们称这条直线为这个图形的“等分积周线”． (1)如图1，在中，，且，请你在图1中作出的一条“等分积周线”； (2)在图1中，过点C能否画出一条“等分积周线”？若能，说出确定的方法；若不能，请说明理由． (3)如图2，四边形中，，垂直平分，垂足为F，交于点E，已知，，．求证：直线为四边形的“等分积周线”； (4)如图3，在中，，，请你不过的顶点，画出的一条“等分积周线”，并说明理由． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 勾股定理思维导图 【类型覆盖】 类型一、勾股定理的几何最值 【解惑】如图，在中，有一点P在边上移动，若，，则的最小值为（    ）   A．5 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【分析】本题考查的是垂线段最短，等腰三角形的性质，勾股定理的应用，掌握“点到直线的距离，垂线段最短”是解题的关键． 在边上移动，由点到直线的距离，垂线段最短，可得当时，最短，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，在边上移动，当时，最短， ， ， ， ∴的最小值是5， 故选：A． 【融会贯通】 1．如图，是的角平分线，，，，分别是和上的任意一点，连结，，则的最小值是（    ） A． B． C．10 D．12 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理， 先根据等腰三角形的性质得出是的垂直平分线，可得，作，此时最小，最小值为，再根据三角形的面积相等求出即可． 【详解】∵，平分， ∴是的垂直平分线， ∴，， 根据勾股定理，得． 连接，过点A作，交于点Q，交于点P，此时最小，最小值为， ∵， 即， ∴． 故选：B． 2．如图，，，垂足为M、N，，，，P是上任意一点，则的最小值是 ． 【答案】15 【分析】作点A关于得对称点G，连接与的交点P就是取得最小值的位置点，过点G作，交的延长线于点H，则四边形是矩形，构造直角三角形，利用勾股定理解决即可． 本题考查了将军饮马原理，矩形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握轴对称的性质，勾股定理是解题的关键． 【详解】解：作点A关于得对称点G，连接与的交点P就是取得最小值的位置点， 过点G作，交的延长线于点H， 则四边形是矩形， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， 故答案为：15． 3．如图，在中，，如果点D，E分别为上的动点，那么的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了轴对称最短路径问题，勾股定理，作点A关于直线的对称点，连接，由轴对称的性质可得，由勾股定理可得，根据，可得当H、D、E三点共线，且时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长，据此利用等面积法求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，作点A关于直线的对称点，连接， 由轴对称的性质可得， ∵在中，， ∴； ∵， ∴当H、D、E三点共线，且时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长， ∴此时有， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 类型二、折叠问题 【解惑】如图，在中，，点为边上一点，将沿翻折得到，若点在边上，，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，图形的翻折变换，掌握相关知识点是解题的关键． 先在中由勾股定理求出，再利用翻折的性质求出，再求的长． 【详解】在中，，，， ， 由翻折的性质知，， ． 故选：B． 【融会贯通】 1．有一块直角三角形纸片，如图所示，两直角边，，现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考勾股定理与折叠问题，勾股定理求出的长，折叠，得到，设，在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵折叠， ∴， ∴，， 设， 则， 由勾股定理，得：， 解得：； ∴； 故选：D． 2．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边，．现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，则的长等于 ． 【答案】3 【分析】本题考查了勾股定理与折叠，根据勾股定理求得的长，再根据折叠的性质求得，的长，从而利用勾股定理可求得的长． 【详解】解∶∵，，， ∴， ∵折叠， ∴，，， ∴，， ∴，即， 解得， 故答案为：3． 3．如图，在中，，是边上的高，，，E为AC上一点，将沿过点E的直线折叠，使得点A与点B重合，折痕交于点H，连接，则 ． 【答案】10 【分析】本题考查折叠问题，勾股定理，关键是由勾股定理列出关于的方程． 连接，由线段垂直平分线的性质推出，设，由勾股定理得到，求出，得到，由三角形面积公式即可求出． 【详解】连接， 将沿过点的直线折叠，点与点重合，是折痕， 垂直平分， ， 是边上的高，，， ， 设，则， ， 是边上的高， ， ， ， ， ． 故答案为：10． 类型三、蚂蚁爬行问题 【解惑】如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为．在杯内离杯底的点C处有滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜C点的最短距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆柱的展开图，轴对称，勾股定理，熟练掌握轴对称，勾股定理是解题的关键．利用展开图，轴对称，勾股定理计算即可． 【详解】解：如图，将圆柱的侧面展开，    根据题意，， ∴ 作点Ａ关于直线的对称点G，连接，则为所求最短距离， 则， 过点作，交的延长线于点E， 则四边形是矩形， 故， 故， 故， ∴蚂蚁到达蜂蜜C点的最短距离为． 故选：C 【融会贯通】 1．如图，有一个长方体．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的应用．要求所用细线的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果． 【详解】解：如图，将长方体的侧面展开，根据两点之间线段最短，连结， 则，． 在中，． 故选C． 2．2025年中国轮滑（滑板）公开赛于5月2日在江西崇义站举行，标志着我国乡村体育发展的新突破．如图是一名滑板选手训练的U型池的示意图，该U型池可以看成是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为米的半圆，其边缘米，点E在上，米，该选手从A点滑到E点，则他滑行的最短距离为 米． 【答案】50 【分析】本题考查了平面展开最短路径问题、勾股定理，要求滑行的最短距离，需将该型池的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，由与型池的侧面展开图是一个长方形，此长方形的宽等于半径为的半圆的弧长，长方形的长等于，进而求解即可． 【详解】解：如图是其侧面展开图，则的长为滑行最短距离， （米），（米），（米）， 在中，， ∴， 解得（负值舍去）， 故他滑行的最短距离约为50（米）． 故答案为：50． 3．在一个长6米，宽为6米的正方形草地上，如图堆放着一根三棱柱的木块，它的侧棱长平行且大于场地宽，木块的主视图的高是米的正三角形，一只昆虫从点A处到C处需要走的最短路程是 米． 【答案】10 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，将木块表面展开，然后根据两点之间线段最短，用勾股定理计算解答即可． 【详解】解：设正三角形的边长为x， ∵正三角形的高是， ∴由三线合一和勾股定理，得：， ∴， ∴正三角形的边长为2， 如图，将木块展开，得到如图的长方形， 如图长方形的相当于是米，宽米． 在中， 米， ∴昆虫从点A处到C处需要走的最短路程是 10米． 故答案为：10． 类型四、无刻度尺作图 【解惑】如图，在正方形网格中，的三个顶点都在格点（网格线的交点）上，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹，不写作法）． (1)在图1中，过点B作的高线． (2)在图2中，过点C作的高线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查勾股定理与网格问题、全等三角形的性质与判定、等腰三角形的性质，根据题意正确作图是解题的关键． （1）根据勾股定理可得，取的中点D，连接，根据等腰三角形的性质，可知是的高线； （2）构造，与交点即为，可得高线． 【详解】（1）解：如图，取的中点，连接， 设正方形网格中每个小正方形的边长为1， 则，， ∴， 又∵点是的中点， ∴， ∴的高线即为所求； （2）解：如图，取格点，，，连接交于点， 由图可得，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的高线即为所求． 【融会贯通】 1．如图是边长为1个单位长度的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．已知、、均为格点，仅用无刻度的直尺作出符合下列问题的图形．    (1)在图1中，线段___________，___________度； (2)在图1中，在线段上作出点，使得； (3)在图2中，线段交其中一条网格线于点，在线段上作一个点，使得； (4)在图3中，点是格点，点在网格线上，将线段向右平移三个单位再向下平移1个单位得线段，且与对应． 【答案】(1)； (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】（1）根据勾股定理，得线段，利用勾股定理逆定理计算解得即可； （2）根据正方形的性质，线段的垂直平分线的判定，画图即可； （3）根据网格特点，将平移，使得点C与点E重合，交于点Q，即可解答； （4）根据平移的性质，三角形全等的判定和性质，平行四边形的判定和性质解答即可． 【详解】（1）解：根据勾股定理，得线段，，， 故， 故， 故答案为：；． （2）解：根据正方形的性质，线段的垂直平分线的判定和性质，画图如下：    则点G即为所求． （3）解：如图，点Q为所求． 如图，取格点M，N，作线段，交网格线于点F，取格点K，H， 则，，， ∴， ∴， 取格点H，N， ∵，， ∴， ∴， 连接，交于点Q， ∵， ∴平移得到， ∴， ∵， ∴， ∴，即点Q为所求． （4）解：先将点M向右平移3个单位，再向下平移1个单位得到点D， 连接，与交于点O，根据格点特点，得到点O是得中点； 作，连接交横格线于点P，得到点P是得中点； 作直线与经过点M的横格线交于点G，根据中位线定理，得，于是得到了， 作直线与经过点P的横格线交于点F， 连接，，由题意得，    故， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， 则点F即为所求， 连接即为所求． 【点睛】本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理，垂直平分线的性质，平移的性质，平行四边形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，学会运用勾股定理，平行四边形的判定和性质是解题的关键． 2．如图是由的小正方形构成的网格，每个小正方形的边长均为1，点A、B均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不写画法，所画图形用实线表示． (1)在图①中，在格点上找到点C，作直角三角形，使其面积为4． (2)在图②中，在格点上找到点D，作钝角三角形，使其面积为4． (3)在图③中，在格点上找到点E，作等腰直角三角形，使其面积为5． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了三角形的面积，三角形的分类，勾股定理，熟读题意，按照要求画图是解题的关键． （1）按照题目要求画出图形即可； （2）按照题目要求画出图形即可； （2）按照题目要求画出图形即可． 【详解】（1）解：如图，的面积为， ； （2）解：如图，钝角三角形的面积为， （3）解：如图， ， ， 为等腰直角三角形，面积为． 3．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，三个顶点均在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．画图过程用虚线表示． (1)如图中，点是线段上一点，先画出的高；再在上画出一点，使． (2)如图中，先在边上画出一点，使；再在内画出一点，使． 【答案】(1)见解析； (2)见解析 【分析】（1）取格点，连接，即为的高，连接交于点，作射线交于点，点即为所求； （2）取点、、、、，连接，，交于，交于点，连接交于点，则点即为所求． 【详解】（1）解：如图，，点即为所求； 理由如下：如图， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴是的高， ∵，，， ∴（）， ∴， ∵，， ∴（）， ∴； （2）解：如图，点，点即为所求． 理由如下：连接、， 同（）可证，由（）得，， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴垂直平分， ∴． 【点睛】本题考查无刻度直尺格点作图．涉及等腰三角形的判定和性质，勾股定理及其逆定理，全等三角形的判定和性质．熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 类型五、勾股定理中的线段平方关系 【解惑】【问题提出】 如图1，在中，，为边上一点（不与点，重合），以为直角边在右侧做等腰直角，连接． （1）的度数为______； （2）线段，，之间有怎样的数量关系，写出并说明理由； 【类比探究】 如图2，若点在边的延长线上，其他条件不变， （3）试探究线段，，之间满足的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3），理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理： （1）证明，得到，利用角的和差关系进行求解即可； （2）根据全等三角形的性质，结合线段的和差关系即可得出结论； （3）证明，求出为直角三角形，利用全等三角形的性质和勾股定理即可得出结论． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2），理由如下： 由（1）知：， ∴， ∵， ∴； （3），理由如下： ∵， ∴， ∴，， ∴； ∴， 在中，由勾股定理，得：， ∴． 【融会贯通】 1．如图，，M，N分别是，的中点． (1)猜想与的位置关系？并证明你的猜想． (2)直接写出、、三者之间的数量关系：_______ 【答案】(1)且平分，证明过程见详解； (2)． 【分析】本题考查了等腰三角形性质和直角三角形斜边上中线的应用及勾股定理，关键是求出，题目比较典型，主要考查学生运用性质进行推理的能力． （1）连接、，根据直角三角形斜边上中线性质推出，，推出，在中，根据三线合一定理求出即可； （2）根据勾股定理及直角三角形斜边上中线等于斜边的一半即可得． 【详解】（1）解：与的位置关系是垂直且平分， 证明∶连接， ，，M为中点， ，， ， 为中点， ，， 即与的位置关系是垂直且平分； （2）解：， ， ，， ， 即． 2．【问题背景】 如图1，在四边形中，，E、F分别是上的点，且，试探究图1中线段之间的数量关系． 【初步探索】 （1）小亮同学认为解决此题可以用如下方式：如图2，延长到点G，使，连接，先证明，再证明，则可以得到线段之间的数量关系 ． （2）如图3，在等腰直角中，，点E、F在边上，且，请写出之间的关系，并说明理由． 【结论应用】 （3）如图4，在四边形中，，在边和分别有一点E和点F，使的周长恰好是长的2倍，求此时的度数． 【答案】（1）（2），理由见解析（3） 【分析】（1）延长到点，使，连接，即可证明，可得，再证明，可得，即可得到线段，，之间的数量关系； （2）过点作，取，连接，，即可证明，可得，再证明，可得，又可证明为直角三角形，则利用勾股定理即可得出，，之间的关系． （3）连接，延长至点，使，连接，证明，，，从而最终得出的度数． 【详解】解：（1），理由如下： 如图，延长到点，使，连接， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （2），，之间的关系是：，理由如下： 如图，过点作，取，连接，， ， ， ， 即， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． （3）如图，连接，延长至点，使，连接， 在和中， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 的周长恰好是长的倍， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 且，， ， ， 所以，的度数是． 【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了全等三角形的性质和判定，四边形的内角和定理，勾股定理，等腰直角三角形的性质等知识点，运用类比的方法作辅助线构建全等三角形是解题的关键． 3．我们定义：如果两个等腰三角形顶角相等，且顶角顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”．因为顶点相连的四条边，形象的可以看作两双手，所以通常称为“手拉手全等模型”． (1)例如，如图1，与都是等腰三角形，其中，则________（________）； (2)类比：如图2，已知与都是等腰三角形，，，且，求证：； (3)拓展：如图3，，，，试探索线段，，之间满足的等量关系，并证明结论． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)，见解析 【分析】（1）先证，再根据即可证明； （2）先证，再根据即可证明； （3）连接，先证，则可得，，进而可得． 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，以及勾股定理．熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】（1）解：∵与都是等腰三角形， ∴， 又∵ ∴，即， 在和中，， ∴． 故答案为： ， （2）证明：∵， ∴，即， 在和中，， ∴， ∴； （3）解：，理由如下： 连接，如图所示： ∵，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴． 类型六、勾股定理中的直角三角形动点求t 【解惑】如图，在中，，，，点P从点A出发，沿着射线以的速度运动，运动时间为． (1)若，则t的值为_____； (2)当时，求t的值； (3)当是直角三角形时，求t的值． 【答案】(1)2或14 (2) (3)t的值为8或 【分析】本题考查了勾股定理、一元一次方程的应用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）由勾股定理可得，由题意可得，分两种情况：当点P在点C的左侧时，；当点P在点C的右侧时，；分别列出一元一次方程，解方程即可得解； （2）根据勾股定理计算即可得解； （3）分两种情况：当时，点P与点C重合，当，分别求解即可得解． 【详解】（1）解：在中，，，，， ∴， 依题意，， 当点P在点C的左侧时，， 当点P在点C的右侧时，， ∵， ∴或， 解得：或； 故答案为：2或14； （2）解：当时，如图， ，，， 在中，， ∴， 解得； （3）解：∵，，， ∴， 动点P从点A出发，沿射线以的速度运动， ∴， ①当时，如图，点P与点C重合， ， ∴； ②当，如图，，，， 在中，， 在中，， ∴， 解得， 综上所述，t的值为8或． 【融会贯通】 1．【问题提出】 勾股定理是直角三角形一个非常重要的性质，有着及其广泛的应用，搭建起了几何图形和数量关系之间的一座桥梁．因此勾股定理与动点、方程、几何图形等结合就可以进行相应的数量计算． 在中，， 【新知初探】 （1）如图1，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿方向向点运动，连接．当点运动 秒时，． 【类比分析】 （2）如图2，当点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线方向运动，设运动的时间为． ①当为等腰三角形时，求的值； ②当为直角三角形时，求的值； 【学以致用】 （3）如图2，当点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿方向运动，设运动的时间为．若点恰好在的平分线上，求的值． 【答案】（1）；（2）①当为等腰三角形时，的值为5或8或；②当为直角三角形时，的值为或4；（3）的值为或． 【分析】（1）利用勾股定理求得，设，在中，由勾股定理列式计算即可求解； （2）①分三种情况讨论，分别列式计算即可求解；②分两种情况讨论，利用勾股定理列式计算即可求解； （3）分两种情况讨论，利用勾股定理结合角平分线的性质列式计算即可求解． 【详解】解：（1）∵在中，， ∴， 设， ∴， 在中，由勾股定理得，即， 解得， ∴， ∴点运动秒时，． 故答案为：； （2）①当时，则， 解得； 当时，则， 解得，； 当时，由（1）得， ∴， 解得； 综上，当为等腰三角形时，的值为5或8或； ②当，，， 在中，由勾股定理得， 在中，， ∴， 即， 解得； 当，则P与C重合，则， 解得； 综上，当为直角三角形时，的值为或4； （3）如图，作， ∵点P恰好在的平分线上，， ∴， ∴， ∴，， 由题意得，， 由勾股定理得，解得； 当点P运动到点A时，也在角平分线上，此时，． 综上，的值为或． 【点睛】本题考查了勾股定理，角平分线的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质．解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题． 2．如图1，在中，，，，．动点P从点A出发，沿边以每秒2个单位长的速度运动到点B，动点Q同时从点B出发，沿边以每秒1个单位长的速度运动到点C，设点P，Q运动时间为t（s）． (1)求的度数； (2)当是等边三角形时，求t的值； (3)在点P，Q的运动过程中，求当是直角三角形时t的值； (4)如图2，若D是边的中点，连接，，请直接写出的最小值． 【答案】(1) (2) (3)t的值为5或8 (4)15． 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理得是直角三角形，从而可得的度数； （2）依题意得， ， ，再根据得当时，是等边三角形，则，由此解出t即可得出答案； （3）当是直角三角形时，有以下两种情况：①当时，则，进而得，则，由此解得；②当时，则，进而得，则，由此解得，综上所述即可得出答案； （4）过点C作于点F，在的延长线上取一点E，使，连接，，，则，，进而得是等腰三角形，，证明得是等边三角形，再由勾股定理求出，继而根据“两点之间线段最短”得，则的最小值为15，由此即可得出的最小值． 【详解】（1）∵，， ∴， ∴是直角三角形， ∴； （2）依题意得：， ， ∴， ∵， ∴当时，是等边三角形， ∴， 解得：， ∴当是等边三角形时，t的值为； （3）当是直角三角形时，有以下两种情况： ①当时，如图1所示： ∵， ∴， 在中，， ∴， 解得：； ②当时，如图2所示： ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， 综上所述：当是直角三角形时，t的值为5或8； （4）过点C作于点F，在的延长线上取一点E，使，连接，，，如图3所示： ∴是线段的垂直平分线， ∴，， ∴是等腰三角形，， ∴， 由（1）可知：， 又∵， ∴， ∴， ∴等腰三角形是等边三角形， ∴， ∵点D是的中点， ∴，， 在中，由勾股定理得：， 根据“两点之间线段最短”得：， ∴， ∴的最小值为15， ∵， ∴的最小值为15． 【点睛】此题主要考查了含有30°角的直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理及其逆定理，线段的性质，熟练掌握含有30°角的直角三角形的性质，勾股定理的逆定理，理解两点之间线段最短是解决问题的关键． 3．如图，在中，，，，动点P从点B出发沿射线以的速度运动，设运动的时间为（）． (1)求边的长； (2)当为直角三角形时，求t的值． 【答案】(1)边的长为 (2)或 【分析】本题考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）根据勾股定理直接求解； （2）分两种情况讨论：①当为直角，②当为直角，根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：在中， ∴边的长为． （2）解：由题意知， ①当为直角时，如图1， 点P与点C重合，， 即； ②当为直角时，如图2，，，． 在中，， 在中，， 即，解得． 综上所述，当为直角三角形时，或． 类型七、勾股定理中的等腰三角形动点求t 【解惑】如图，已知在中，，，，点D是上的一点，，点P从B点出发沿射线方向以每秒2个单位的速度向右运动，设点P的运动时间为连接． (1)当平分的面积，求满足条件的t的值． (2)当是以为底的等腰三角形，求满足条件的t的值． (3)过点D作于点在点P的运动过程中，当t为何值时，能使 【答案】(1) (2) (3)当t的值为5或11时，能使 【分析】本题考查了勾股定理的应用，三角形全等的判定和性质，一元一次方程，等腰三角形的定义，分类思想，三角形面积的性质，熟练掌握勾股定理和三角形全等的判定是解题的关键． （1）根据题意，，由平分的面积，得结合，解答即可； （2）当是以为底的等腰三角形，，然后对运用勾股定理建立方程求解； （3）根据勾股定理，得，分点P在上和在的延长线上，两种情况解答即可． 【详解】（1）解：根据题意，，，， 由平分的面积， 得， ∴， ∵， ∴， 解得； （2）解：当是以为底的等腰三角形，， 根据题意得， ， ， ∵， ∴， ， 解得； （3）解：连接， ∵，，，，， ∴， 根据勾股定理，得， 当点P在上时， ∵ ∴， ∴， 设， ∵，， ∴， 解得， ∴， ∴， 解得． 当点P在的延长线上， ∵ ∴， ∴， 设， ∵，， ∴， 解得， ∴， ∴， 解得． ∴， 解得． 故当或时，． 【融会贯通】 1．如图，在△ABC中，，，，点M从点A出发沿A→C方向运动，速度为每秒，同时，点N从点C出发沿C→B→A方向运动，速度为每秒，设运动的时间为t秒． (1)当第一次形成等腰三角形时， 秒； (2)当点N运动到上时，是等腰三角形，且是其中的一条腰长，求出此时点N的运动时间t的值．（提示：分两种情况，，） 【答案】(1) (2)点N的运动时间t的值是6秒或6.6秒． 【分析】本题考查勾股定理，等腰三角形的判定和性质，关键是要分两种情况讨论． （1）求出，，得到，由，得到，求出答案即可； （2）当时，N运动的路程是，即可求出N运动的时间；当时，过C作于H，得到，由勾股定理求出，由三角形的面积公式结合勾股定理求出，得到N运动的路程，据此计算即可得到答案． 【详解】（1）解：∵M、N运动的速度分别是每秒，每秒， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当第一次形成等腰三角形时，秒； 故答案为：； （2）解：如图，当时， ∴N运动的路程是， ∴N运动的时间（秒）； 如图，当时， 过C作于H， ∴， ∵，，， ∴， ∵的面积， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴N运动的路程是， ∴N运动的时间（秒）， ∴点N的运动时间t的值是6秒或6.6秒． 2．如图，中，，若点P从点A出发，以每秒的速度沿折线运动，设运动时间为． (1)若点P恰好在的平分线上，求t的值； (2)若点P在边上运动，则当t为何值时，为等腰三角形？ 【答案】(1) (2)或5或 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，角平分线的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）连接，作于点D，由勾股定理可得，由角平分线的性质可得，证明，得到，则，由题意得：，则，由勾股定理得，解方程即可得到答案； （2）分当时，当时，当时，三种情况画出对应的示意图讨论求解即可． 【详解】（1）解：如图，当P点在的平分线上时，连接，作于点D， ∵， ∴， ∵P点在的平分线上，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 由题意得：， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得； （2）解：当时，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得； 当时， ∴， 解得． 当时，作于点F， ∴， ∵， ∴， 解得． 在中，根据勾股定理得， ∴， ∴ ， 解得． 综上所述，当t的值为或5或时，为等腰三角形． 3．如图，中，，于点D，且，动点M从点B出发以的速度沿线段向点A运动，同时动点N从点A出发以相同速度沿线段向点C运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止．设点M运动的时间为． (1)当的边与平行时，求t的值； (2)在点N运动的过程中，能否成为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)5或6 (2)能，5或6或 【分析】（1）设，根据三角形的面积公式求出x，再根据等腰三角形的性质求出t； （2）分、、三种情况，根据等腰三角形的概念和性质计算即可．本题是三角形综合题目，考查了等腰三角形的判定与性质、勾股定理、平行线的性质、三角形面积以及分类讨论等知识，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键，属于中考常考题型． 【详解】（1）解：设，，， 则， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴是等腰三角形； ∵，， ∴， ∴，，，． ∵， ∴， ①当时，，， ∴， ∴，即， ∴； ②当时，， ∴； 综上所述，若的边与BC平行时，t值为5或6． （2）能成为等腰三角形，分三种情况： ①当时，； ②当时，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； ③当时， 过D作于点G， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，能成为等腰三角形，t的值为5或6或． 类型八、勾股数组 【解惑】《九章算术》是世界上较早给出勾股数公式的著作，掌握确定勾股数组的方法对研究直角三角形具有重要意义．若直角三角形的三边长，，都是正整数，则，，为一组“勾股数”．下表中的每一组数都是勾股数． 3，4，5 7，24，25 11，60，61 15，112，113 19，180，181 4，3，5 8，15，17 12，35，37 16，63，65 20，21，29 5，12，13 9，12，15 13，84，85 17，144，145 21，28，35 6，8，10 10，___，26 14，48，50 18，80，82 22，120，122 (1)请补全上表中的勾股数． (2)根据上表中数据规律，用含字母（均为正整数）的代数式分别表示，，，使该组代数式能表示上表中所有的勾股数，并证明． (3)某校计划在一块绿地上种花，使之构成如图所示的图案，该图案是由四个全等的直角三角形组成．种花要求：仅在三角形边上种花，每个三角形顶点处都种一株花，各边上相邻两株花之间的距离均为．如果每个三角形最短边都种21株花，那么这块绿地最少需要种植多少株花？ 【答案】(1) (2)，，，其中、、都是正整数，，证明见解析 (3)280 【分析】（1）先由表中勾股数规律，令，，，由勾股数定义列方程求解即可得到答案； （2）由表中数据，分别用代数式表示出，，，再由整式混合运算求证即可得证明； （3）由于该图案是由四个全等的直角三角形组成，下面只需要解决其中一个直角三角形的种植情况即可，根据题意可知，最短边为20，另一个直角边为21，然后根据勾股定理求得斜边，即可得到答案． 【详解】（1）解：由表中勾股数的规律可知，令，，， 则由勾股数定义可知， 即， ， 解得或（舍去）； 故答案为：24． （2）解：由题意，，，，其中、、都是正整数，，证明过程如下： ，，， ， ， ， ， ； （3）解：由于该图案是由四个全等的直角三角形组成，下面只需要解决其中一个直角三角形的种植情况即可，如图所示： 设，即直角三角形中最短边为， 仅在三角形边上种花，三角形顶点处都种一株花，各边上相邻两株花之间的距离均为，三角形最短边种株花， ， 由题意可知，最小为， 那么 ， 那么这块绿地最少需要种植株花． 【点睛】本题考查由勾股数涉及的数字规律问题，难度中等偏上，涉及勾股数定义、整式加减乘法混合运算、平方差公式等知识，观察分析所给表中勾股数，分类找准规律并灵活运算解决实际问题是关键． 【融会贯通】 1．阅读材料：勾股定理本身就是一个关于、、的方程，我们知道这个方程有无数组解，满足该方程的正整数解通常叫做勾股数组，我国古籍《周髀算经》中记载的“勾三股四弦五”中的“3，4，5”就是一组最简单的勾股数．为了进一步了解勾股数的奥秘，数学刘老师给出下面的两个表格．（以下，，为的三边，且） 表1               表2 (1)请你根据上述表格的规律写出勾股数：11、________、________； (2)当（为奇数，且）时，若________，________时可以构造出勾股数（用含的代数式表示）；并证明你的猜想； (3)构造勾股数的方法很多，请你寻找当或时，________．（写出所有满足条件的）． 【答案】(1)， (2)，，证明见解析 (3)，， 【分析】本题考查了勾股数，整式的乘法； （1）根据表格找到规律，即可求解； （2）根据勾股定理可以写乘，根据平方差公式因式分解，即可求解． （3）根据（2）的方法，得出，结合，解方程组，即可求解． 【详解】（1）解：∵ ∴勾股数：，， （2）解：根据表，，，，…… ∴，且， ∴当时，又， ∴，， 故答案为：，． 证明：∵，， ∴ ∴ ∴； （3）解：当时，∵， ∵， ∴，，，，…… ∴，，，（舍去）， 当时， 同理可得，，， 故答案为：，，． 2．已知：满足的三个正整数，，称为一组勾股数，很多勾股数组具有规律： (1)设，观察提供的组勾股数的规律，完成第组勾股数：当为奇数时，如，，；，，；，，；，，，，____，____；当为偶数时，如，，；，，；，，；，，，， ____，____； (2)若，，，为正整数，且，求证：不论为何值，，，都是勾股数组． 【答案】(1)，；，； (2)证明见解析． 【分析】本题主要考查了勾股数的定义，勾股定理的逆定理，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据所提供的几组勾股数的规律即可求解； （）根据勾股定理的逆定理即可求解． 【详解】（1）解：当为奇数时，如，，；，，；，，；，，，，，； 当为偶数时，如，，；，，；，，；，，，，，； 故答案为：，；，； （2）证明：∵，，， ∴，，， ∴， ∴不论为何值，，，都是勾股数组． 3．已知：满足的三个正整数a，b，c称为一组勾股数，很多勾股数组具有规律： (1)设，观察提供的4组勾股数的规律，完成第⑤组勾股数； 当a为奇数时如①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41，⑤11， ， ； 当a为偶数时，如①16，8，10；②8，15，17；③10，24，26；④12，35，37，⑤14， ， ； (2)猜想：三个整数中，若最小的数为奇数n，另外两个数分别为 ， ，则这三个数为勾股数，请你补充完整的猜想并验证这一猜想是否正确． 【答案】(1)60，61；48，50 (2) 【分析】本题考查了勾股数的定义及勾股定理的逆定理，解题的关键是根据所提供的几组勾股数找出规律，难度不大． （1）根据所提供的几组勾股数的规律即可求解； （2）根据勾股定理的逆定理即可求解． 【详解】（1）设，观察提供的4组勾股数的规律，完成第（5）组勾股数： 当为奇数时，如（1）3，4，5；（2）5，12，13；（3）7，24，25；（4）9，40，41；（5）11，60，61； 当为偶数时，如17，8，10；（2）8，15，17；（3）10，24，26；（4）12，35，37；（5）14，48，50； 故答案为：60，61；48，50； （2）猜想：三个整数中，若最小的数为奇数，另外两个数分别为，则这三个数为勾股数． 证明： 又∵n为奇数， ∴为整数， ∴这三个数为勾股数． 故答案为：． 类型九、勾股定理中的半圆问题 【解惑】阅读下列材料，并按要求完成相应任务． 勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理，在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国古代数学家赵爽为了验证勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图①），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今，在这幅“弦图”中，以c为边长的正方形是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，每个直角三角形的面积为，中间的小正方形的边长为，则其面积为．由面积关系可． 任务一：（1）请利用图②中的数据验证勾股定理． （2）如图③④⑤．以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有_______个． 任务二：（3）如图⑥所示，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为，直角三角形的面积为，请判断的关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）；（3），理由见解析 【分析】本题考查勾股定理的证明，勾股定理与图形的面积，等边三角形的性质： （1）用两种方法表示出大正方形的面积，即可得证； （2）设直角三角形的两条直角边分别为，斜边为，分别求出，利用勾股定理进行判断即可； （3）用两种方法表示出整个图形的面积，结合勾股定理即可得出结论． 【详解】解：（1）由图可知：大正方形的面积， ∴， ∴， （2）设直角三角形的两条直角边分别为，斜边为，则：； 对于③：， ∴； 对于④：， ∴ 对于⑤：如图，过点作，则：， ∴， ∴， 同理：， ∴； 故面积关系满足的有3个； （3），理由如下： 由图可知：， ， ∵ ， ∴． 【融会贯通】 1．问题再现：数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观，从而可以帮助我们快速解题，初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形积的方法进行直观推导和解释． (1)如图1，在中，，以的三边长向外作正方形，其面积分别为，直接写出之间存在的等量关系：______ (2)如图2，在中，，以的三边长为直径向外作半圆，其面积分别为，那么第（1）问的结论是否成立？请说明理由． 【答案】(1) (2)成立，理由见解析 【分析】此题考查了运用勾股定理解决几何问题的能力，关键是能准确理解题意并列式，运用勾股定理进行推理、求解． （1）先根据正方形的面积分别列式表示出，再运用勾股定理可得； （2）先根据半圆的面积分别列式表示出，再运用勾股定理可得． 【详解】（1）解：在中，， ∴， 由题意得，，， ∴； 故答案为：； （2）解：成立，理由如下： 在中，， ∴，即， ∴，，， ∵， ∴． 2．小林同学是一名剪纸爱好者，喜欢运用数学知识对自己的剪纸作品进行分析思考，下面是他利用勾股定理对部分剪纸作品的数量关系进行探究思考的过程，请你帮助他一起完成． (1)如图①是以的三条边为直径，向外作半圆，其面积分别记为，，，请写出，，之间的数量关系：___________； (2)如图②是由四个全等的直角三角形紧密地拼接形成的飞镖状图案，测得外围轮廓（实线）的周长为，，求该飞镖状图案的面积； (3)如图③是由八个全等的直角三角形紧密地拼接形成的大正方形，记图中正方形，正方形，正方形MNKT的面积分别为，，．若，则 ___________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理和圆的面积公式是解题的关键， （1）根据勾股定理和圆的面积公式计算即可得到答案； （2）设，，则，由题可得，再由勾股定理可得，从而求出，进而求得飞镖的面积； （3）设直角三角形的长直角边为，短直角边为，斜边为，由勾股定理得， 再根据题意，代入可求得，从而得到答案． 【详解】（1）解：由题可得：，，， ∴， 故答案为：； （2）解：设，，由题可得：， ∴，， ∴， ∴， 解：， ∴飞镖状图案的面积为， （3）解：设直角三角形的长直角边为，短直角边为，斜边为，则：， 由题意得：，，， ∴ ∴， ∴， 故答案为：． 3．勾股定理是几何学中的重要定理，它描述了直角三角形三边之间的关系．我们可以从不同的角度对勾股定理进行探索．如图1，在直角三角形中，．分别以为边长向外作正方形、正方形和正方形，其面积分别记作． (1)图1中，与之间的数量关系为______，直角三角形的三边之间的数量关系为________． (2)如图2，若用半圆代替正方形，请求出三个半圆面积之间的数量关系． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键， （1）根据勾股定理与正方形的面积公式即可得到，与之间的数量关系，也从而得到之间的数量关系； （2）根据圆的面积公式即可得到答案． 【详解】（1）解：由勾股定理可得：， ∵，，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：，． （2）解：以为直径的半圆的面积为． 以为直径的半圆的面积为． 以为直径的半圆的面积为． 根据勾股定理得， ∴． ∴以为直径的半圆的面积与以为直径的半圆的面积之和等于以为直径的半圆的面积． 类型十、勾股定理的新定义 【解惑】定义：为正整数，若，则称为“完美勾股数”，为的“伴侣勾股数”．如，则13是“完美勾股数”，5，12是13的“伴侣勾股数”． (1)判断填空：数__________“完美勾股数”（填“是”或“不是”）； (2)已知的三边满足．求证：是“完美勾股数”． 【答案】(1)是 (2)见解析 【分析】本题考查了勾股数，完全平方公式． （1）根据“完美勾股数”的定义判断即可； （2）根据完全平方公式求出的值，再根据“完美勾股数”的定义判断即可． 【详解】（1）解：∵， ∴数是“完美勾股数” 故答案为：是 （2）证明： 是“完美勾股数” 【融会贯通】 1．定义：在中，，，，若，则称为“类直角三角形”．请根据以上定义解决下列问题： (1)如1图，为等边三角形，请判断该三角形是否为“类直角三角形”，并说明理由； (2)如2图，等腰三角形为“类直角三角形”，其中，，请求出的大小． 【答案】(1)等边三角形不是“类直角三角形”，理由见解析； (2)的度数为． 【分析】本题是三角形综合题，考查等腰三角形的判定、等边三角形的性质、勾股定理、“类勾股三角形”的定义等知识． （1）设等边三角形的三边长分别为a，b，c，则，根据题意得到，即可判断； （2）根据题意得到，根据“类勾股三角形”的定义得到，得到是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的定义求出． 【详解】（1）等边三角形不是“类直角三角形”，理由如下： 设等边三角形的三边长分别为a，b，c，则， ∴， ∴等边三角形不是“类直角三角形”； （2）∵等腰三角形是“类直角三角形”，，， ∴，且． ∴． ∴是直角三角形，且． 又∵， ∴是等腰直角三角形． ∴的度数为． 2．（1）问题背景：在中，分别以为边在外作等边，等边．求证：； （2）变式迁移：我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形．在（1）中，若，请判断四边形是否为勾股四边形？并说明理由； （3）拓展应用：如图2，在四边形中，，，直接写出的长为______． 【答案】（1）证明见解析；（2）四边形为勾股四边形，理由见解析；（3）8 【分析】（1）根据等边三角形的性质得到，，，则，再根据三角形全等的判定方法可证得，根据全等的性质得出； （2）根据等边三角形的性质得到，，求得，根据勾股定理即可得到结论； （3）在的左侧作等边，连接，过点作交的延长线于点，则，，易证是等边三角形，再求得，根据含30度角的直角三角形可得，由勾股定理得，由（1）知，，根据勾股定理可得，根据线段的和差即可得到结论． 【详解】解：（1）∵与均为等边三角形， ， ， ， ； （2）四边形为勾股四边形，理由如下： 为等边三角形， ， ， ， ， ， ， 四边形为勾股四边形； （3），解答如下， 在的左侧作等边，连接， 过点作交的延长线于点，则，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ，， ， ， ， ，， 由（1）知，， ， ， ， 故答案为：8． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理，含30度角的直角三角形，勾股四边形，正确地周长辅助线是解题的关键． 3．我们定义：在一个图形上画一条直线，若这条直线既平分该图形的面积，又平分该图形的周长，我们称这条直线为这个图形的“等分积周线”． (1)如图1，在中，，且，请你在图1中作出的一条“等分积周线”； (2)在图1中，过点C能否画出一条“等分积周线”？若能，说出确定的方法；若不能，请说明理由． (3)如图2，四边形中，，垂直平分，垂足为F，交于点E，已知，，．求证：直线为四边形的“等分积周线”； (4)如图3，在中，，，请你不过的顶点，画出的一条“等分积周线”，并说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)不能，理由见解析； (3)见解析； (4)见解析． 【分析】（1）根据等腰三角形的性质作出的中垂线所在的直线即可求解． （2）若直线平分的面积，那么，得出，则，进而可求解． （3）根据勾股定理得：，求得，，进而得出，，进而可求证结论． （4）在上取一点F，使得，在上取一点E，使得，作直线，利用全等三角形的判定及性质可推出结论，，则可说明是的“等分积周线”． 【详解】（1）解：， 为等腰三角形， 则由等腰三角形的“三线合一”可得，作线段的中垂线， ， ，， 如图所示，所在的直线即为所求：    （2）解：不能， 理由：如图2，    若直线平分的面积，那么， ， ， ， ∴过点C不能画出一条“等分积周线”． （3）证明：连接、，设，如图：   垂直平分， ，，， ，，，， 和中，根据勾股定理可得出： ，即， 解得：， ，， ，， ， ， ， ， ∴直线为四边形的“等分积周线”． （4）解：如图4，在上取一点F，使得，在上取一点E，使得，作直线，则是的“等分积周线”，    理由：由作图可得：， 在上取一点G，使得，则有， ， ， 在和中 ， ， ，， ∴ ， ， ， ， 是的“等分积周线”． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、应用与设计作图、全等三角形的判定及性质、勾股定理，根据题意正确分割出“等分积周线”是解题的关键． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$