精品解析：四川省成都市邛崃市2024-2025学年七年级下学期期末考试数学试题

七年级质量监测数学 考试时间120分钟，满分150分 注意事项： 1．答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“条码粘贴处”． 2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效． 3．考试结束后由监考老师将答题卡收回． A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1. 许多高校的校徽设计都蕴含着数学的美感，下列四所高校校徽主体图案是轴对称图形的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形判断，根据定义逐项判断即可，将一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够重合，这样的图形叫做轴对称图形． 【详解】解：因为最左边图是轴对称图形，所以符合题意； 因为左边数第2个图不是轴对称图形，所以不符合题意； 因为左边数第3个图是轴对称图形，所以符合题意； 因为左边数第4个图是轴对称图形，所以不符合题意． 综上分析可知：轴对称图形的有2个． 故选：B． 2. 下列事件中，说法正确的是（ ） A. 打开电视，正在播放动画片是必然事件 B. 两直线平行，同旁内角相等 C. 三条线段的长分别是3，4，7，正好能构成三角形 D. 同位角相等，两直线平行 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质和判定，事件的判断，三角形的三边关系，逐一分析各选项是否符合数学定义或定理，解答即可． 【详解】解：因为打开电视播放动画片是随机事件，结果不确定，所以A错误； 因为两直线平行时，同旁内角互补（和为），而非相等，所以B错误； 因为三角形需满足任意两边之和大于第三边，而，不满足“大于”，无法构成三角形，所以C错误； 因为同位角相等是平行线的判定定理，可直接推出两直线平行，所以D正确． 故选：D． 3. 如图，将木条与钉在一起，，，要使木条与平行，木条需顺时针旋转的度数是（ ） A. B. 15° C. 17° D. 19° 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的判定， 根据“同位角相等两直线平行”解答即可． 【详解】解：由，木条a需顺时针转动的度数为， 当时，即， 解得， ∴． 故选：C． 4. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据合并同类项可判断A，根据完全平方公式可判断B，根据单项式除以单项式可判断C，根据积的乘方与幂的乘方运算可判断D，从而可得答案． 【详解】解：，不是同类项，不能合并，故A不符合题意； ，故B不符合题意； ，故C不符合题意； ，故D符合题意； 故选D 【点睛】本题考查的是合并同类项，完全平方公式的应用，单项式除以单项式，积的乘方与幂的乘方运算的含义，熟记基础运算法则是解本题的关键． 5. 如图，若，则下列结论中不成立的是（ ） A. B. C. 平分 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，根据全等三角形的对应边相等，对应角相等解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即， 所以不是的平分线； ∵， ∴， ∴． 则A，B，D正确，C不正确． 故选：C． 6. 通过实验发现凸透镜能使与主光轴平行的光线聚在主光轴上一点．如图，箭头所画的是光线的方向，点是凸透镜的焦点，，若，，则的度数是（ ） A. B. 10° C. 11° D. 12° 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据“两直线平行，同旁内角互补”求出，再根据得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 7. “儿子学成今日返，儿子已到父未到，父亲到后细端详，父子高兴把家还．”如图，用轴表示父亲与儿子行进中离家的距离，用轴表示父亲离家的时间，那么下列图象与上述诗的含义大致相吻合的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了函数图象的识别，先弄清横纵坐标的含义，再由两人的运动过程得出对应的函数图象，即可解答． 【详解】解：由题意可知父亲离开家去接儿子，离家越来越远，儿子从学校返回家，离家越来越近，途中儿子先到等父亲，离家距离不变，父亲到后聊了一会，此时两人离家距离相等，然后两人一同回家，离家越来越近，可知图象A符合题意． 故选：A． 8. 我国南宋数学家杨辉在所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形给出了（为正整数）的展开式（按的次数由大到小的顺序）的系数规律，例如：此三角形中第3行的3个数1、2、1，恰好对应着展开式中的各项的系数，则的展开式所有项的系数和是（ ） A. 4050 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查数字类规律探究，根据前几个等式中的系数变化规律可得结论．根据题意得到展开式的所有项的系数和为，即可得到答案． 详解】解：根据图中所给等式， 展开式的第二项为 ， 展开式的第二项为， 展开式的第二项为， ……， 根据变化规律，展开式的所有项的系数和为， ∴则的展开式所有项的系数和是， 故选：D． 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 9. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查积的乘方，单项式除以单项式，根据积的乘方，单项式除以单项式计算即可． 【详解】解：． 故答案： 10. 已知方程，用含的代数式表示的形式为_______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了解二元一次方程；通过移项可直接得出答案． 【详解】解：移项得：， 即， 故答案为：． 11. 在直角三角形中，较小锐角的度数是较大锐角的度数的，较大锐角的度数为_____． 【答案】##60度 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形两锐角互余，一元一次方程的应用．设较大锐角的度数为x，则较小锐角的度数，根据“直角三角形两锐角互余”，列出方程，即可求解． 【详解】解：设较大锐角的度数为x，则较小锐角的度数，根据题意得： ， 解得：， 即较大锐角的度数为． 故答案为： 12. 和两个纸箱中装有苹果和梨．中苹果有个，梨8个，中苹果有10个，梨个，从两个纸箱中摸出苹果的概率均为，则______． 【答案】18 【解析】 【分析】本题考查概率公式，熟练掌握概率公式是解答本题的关键． 结合概率公式可列方程为，求出m，n的值，即可得出答案． 【详解】解：∵从两个纸箱中摸出苹果的概率均为， ∴， 解得， 经检验，是原方程的解且符合题意， ∴． 故答案为：18． 13. 如图，在中，，以点为圆心，任意长为半径画弧分别交，于点和，再以点为圆心，线段为半径画弧，两弧交于点，连接并延长，交的延长线于点．如果，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用尺规作图-作等角，三角形内角和定理．由三角内角和定理可求，由作图可知：，进而可求的度数，根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意得，， 由作图可知：， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上） 14. 计算下列各题： （1）； （2）． 【答案】（1）2029 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算，整式的混合运算，解题的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂． （1）根据负整数指数幂和零指数幂的运算法则和绝对值的性质进行计算即可； （2）根据平方差公式和多项式乘以多项式法则进行计算即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 15. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算与化简求值，掌握乘法公式是解题的关键． 先根据整式的混合运算化简，再把，代入化简的结果中计算即可． 【详解】 ， 当，时， 原式． 16. 如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，的三个顶点A，B，C都在格点上． （1）画出关于直线成轴对称的； （2）求的面积； （3）在直线上找一点使得的值最小，并标出点位置． 【答案】（1）见解析 （2）6.5 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查画轴对称图形，借助网格求三角形的面积，熟练掌握轴对称的性质，是解题的关键： （1）根据成轴对称的性质，找点，描点，连线，画出即可； （2）借助网格求三角形的面积即可； （3）与直线的交点即为点． 【小问1详解】 解：如图所示，为所求作的图形： 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 如图所示，点为所求作的点． 取与直线l的交点P，此时，为最小值． 17. 某校在劳动手工课上需要给作品添加花边，学生将长为，宽为的长方形彩纸按图所示的方法黏合起来，黏合部分的宽为． （1）根据题意，将表格补充完整； 彩纸张数/张 1 2 3 4 5 … 纸条长度/ 20 ______ 56 74 _______ … （2）设张彩纸黏合后的总长度为厘米，写出与之间的关系式，并求出50张彩纸黏合后的总长度； （3）若彩纸黏合后的总长度为，请问需要多少张彩纸？ 【答案】（1）38，92 （2）， （3）150张 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，图形的变化规律∶图形的变化类，找出规律，列出函数解析式是解题的关键． (1)根据图形可知每增加一张白纸，长度就增加可求空格； (2) x张白纸粘合起来时，纸条长度y () 在的基础上增加了个的长度，依此可得y与x的关系式； (3)把代入(2) 的结论，列方程求得x的值即可． 【小问1详解】 解：根据图形可知每增加一张白纸，长度就增加，则 ；． 故答案为∶ 38； 92； 【小问2详解】 根据题意和所给图形可得出 ， 当时，， 张彩纸黏合后的总长度为； 【小问3详解】 当时，，， 需要150张彩纸． 18. 如图，在等腰中，，点在的延长线上，，交于于点． （1）证明：； （2）若，求的度数； （3）若为等腰三角形，求度数． 【答案】（1）见解析 （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的判定与性质、三角形的内角和定理及其外角性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，分类讨论是解答的关键． （1）先根据三角形的内角和定理，结合已知得到，再根据等边对等角和等量代换得到，然后根据等角对等边可得结论； 另解：利用三角形的外角性质可证得，再根据三角形的判定与性质可得结论； （2）先根据等腰三角形的性质得，在中，利用三角形的内角和定理可求解； （3）分①当时，②当时，③当时，三种情况，根据等腰三角形的性质，结合三角形的内角和定理和解一元一次方程即可求解． 【小问1详解】 证明：在与中， ，， ， ， ， ， ， ； 另解： 是的一个外角， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：由（1）可得， 又，， ， ， ， 在中，， 则， ； 【小问3详解】 解：①当时，， 设， 在中，， 在中，，又， ∵， 在中，， ， 由（1）可知， ， ，即； ②当时，， 设， ， ， ，是的外角， ， ， ， 即，解得，即； ③当时，此时与题意不符； 综上所述，的度数为或． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 19. 已知，，，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查同底数幂得乘除法的逆运算，根据同底数幂得乘除法的运算法则，求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， 故答案为：2． 20. 若，则的值为__________． 【答案】##0.125 【解析】 【分析】根据多项式乘以多项式的计算法则把等式左边去括号得到m、n的值即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即 ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了多项式乘以多项式，正确计算出是解题的关键． 21. 如图，在正方形中，取四条边的中点E，F，G，H，并依次连接形成四边形．若随机向正方形内投掷一枚小针，则针尖落在四边形内的概率为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了几何概率； 设正方形的边长为2，先求出正方形的面积和四边形的面积，再根据几何概率的意义计算即可． 【详解】解：设正方形的边长为2， ∵点E，F，G，H是四条边的中点， ∴， ∴， 同理：， ∵正方形的面积为， ∴四边形的面积为：， ∴针尖落在四边形内的概率为 故答案为：． 22. 如图，正方形和正方形的面积之和为，若，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、一元二次方程的解法，设正方形的边长为，则正方形的边长为，根据正方形和正方形的面积之和为，可列方程，解方程求出正方形的边长为，正方形的边长为，根据边之间的关系求出的长度即可． 【详解】解：四边形是正方形， ， 设， ， ， 四边形是正方形， ， 正方形的面积为，正方形的面积为， 又正方形和正方形的面积之和为， ， 整理得：， 解得：，(不符合题意，舍去)， 正方形的边长为，正方形的边长为， ，， ． 故答案：． 23. 如图，在“问题解决策略：特殊化”课中，小茗同学拿了两块相同的含的三角尺，即等腰直角和等腰直角做了一个探究活动：将的直角顶点放在的斜边的中点处，设，此时重叠部分四边形的面积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质．连接，证明，可得，从而得到重叠部分四边形的面积，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵和均是等腰直角三角形， ∴，， ∵点M是斜边的中点， ∴，， ∴，，， ∴， 在和中， ∵，， ∴， ∴， ∴重叠部分四边形的面积． 故答案为： 二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上） 24. 阅读：若满足，求的值． 解：设，， 则，， ． 请仿照上述例子解决下列问题： （1）若满足，求的值； （2）若满足，求的值； （3）如图，正方形的边长为，，长方形的面积是600，四边形和都是正方形，四边形是长方形，求图中阴影部分的面积（用具体的数值表示）． 【答案】（1）120 （2）1012 （3）2625 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式的应用知识，解题的关键是学会利用换元法解决问题，熟练掌握完全平方公式． （1）根据举例，利用换元法进行解答即可； （2）设，，则，，可得，代入可求得，即可求得结果； （3）根据已知可得，，可表示出构成阴影部分的四个图形的边长，进而表示出这四个图形的面积，由长方形的面积是600，得到，设，，从而得到，，根据举例求出，即可求出阴影部分的面积． 【小问1详解】 解：设，， ∴，， ∴ ； 【小问2详解】 解：设，， ∴，， ∵， ∴， 解得：，即； 小问3详解】 解：正方形的边长为x，，， ∴，， ∵和都是正方形，是长方形，长方形的面积是600， ∴，， ∴， ， ， ， 设，，则，， ∴阴影部分的面积 ∵，即， 解得：， ∴，即阴影部分的面积为2625． 25. 如图1，在四边形中，，，一点从点出发沿着的方向以每秒2个单位的速度运动，其中长为10．在运动过程中，的面积与时间的关系如图2所示． （1）直接写出_______，______； （2）求出与的值； （3）在点的整个运动过程中，若设的面积为，请求出与时间的函数关系式，并写出自变量的取值范围． 【答案】（1）6，8 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了从函数图象获取信息，求函数解析式． （1）根据路程=速度×时间求解即可； （2）根据当点运动到点时，的面积达到最大可求出m的值，根据时间＝路程÷速度可求出n的值； （3）分三种情况求解：①当时，②当时，③当时． 【小问1详解】 由图象可知，，． 故答案为：6，8； 【小问2详解】 当点运动到点时，的面积达到最大，即为的值， 根据三角形面积公式有，可得， 点从点出发沿运动，，，， ∴总路程， ， 综上所述，； 【小问3详解】 ①当时，点在上运动， 以为底边，为高，， 根据三角形面积公式有， ； ②当时，点在上运动， ，， ， ， ， ， ； ③当时，点在上运动， ， ， ； 综上，与的函数关系式为 26. 如图，是等边三角形，为平面内一点，连接，将绕点逆时针旋转度得到线段，连接，． （1）如图1，若，求和的数量关系； （2）如图2，若，连接，，已知是的中点，试判断与的位置关系并证明； （3）如图3，在（2）的条件下，，分别是，上的动点，且，是线段的中点，连接，求当取最小值时的度数． 【答案】（1） （2），证明见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质及几何最值问题，解题的关键是通过构造辅助线（如延长线段构造全等三角形）转化线段和角的关系，利用全等三角形和特殊三角形的性质解决问题． （1）由推出是等边三角形，得；结合等边的性质，证；用证，得出． （2）延长至H使，证，得；证，得；由，推出． （3）延长至Q使，证，得且；结合，证是等腰直角三角形，得，利用（2）的结论分析角度关系，求出． 【小问1详解】 解：， ， 为等边三角形， ，， 为等边三角形， ，， ， ， ， 在和中， ， ； 【小问2详解】 解：；证明如下： 由旋转的性质得： 如图，延长至点，使，连接， ∵， ∴， ，， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， 在四边形中，， ∴ ， ∴， 在和中， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：延长至点，使，连接， 因，则， ，， ， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， 由（2）得，， ， ， 为等边三角形， ， ， ， ， 当时， 取最小值，即取最小值，此时． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 七年级质量监测数学 考试时间120分钟，满分150分 注意事项： 1．答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“条码粘贴处”． 2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效． 3．考试结束后由监考老师将答题卡收回． A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1. 许多高校的校徽设计都蕴含着数学的美感，下列四所高校校徽主体图案是轴对称图形的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 下列事件中，说法正确的是（ ） A. 打开电视，正在播放动画片是必然事件 B. 两直线平行，同旁内角相等 C. 三条线段的长分别是3，4，7，正好能构成三角形 D. 同位角相等，两直线平行 3. 如图，将木条与钉在一起，，，要使木条与平行，木条需顺时针旋转度数是（ ） A. B. 15° C. 17° D. 19° 4. 下列运算中，正确是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，若，则下列结论中不成立的是（ ） A. B. C. 平分 D. 6. 通过实验发现凸透镜能使与主光轴平行的光线聚在主光轴上一点．如图，箭头所画的是光线的方向，点是凸透镜的焦点，，若，，则的度数是（ ） A. B. 10° C. 11° D. 12° 7. “儿子学成今日返，儿子已到父未到，父亲到后细端详，父子高兴把家还．”如图，用轴表示父亲与儿子行进中离家的距离，用轴表示父亲离家的时间，那么下列图象与上述诗的含义大致相吻合的是（ ） A. B. C. D. 8. 我国南宋数学家杨辉在所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形给出了（为正整数）的展开式（按的次数由大到小的顺序）的系数规律，例如：此三角形中第3行的3个数1、2、1，恰好对应着展开式中的各项的系数，则的展开式所有项的系数和是（ ） A. 4050 B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 9. 计算：______． 10. 已知方程，用含的代数式表示的形式为_______． 11. 在直角三角形中，较小锐角的度数是较大锐角的度数的，较大锐角的度数为_____． 12. 和两个纸箱中装有苹果和梨．中苹果有个，梨8个，中苹果有10个，梨个，从两个纸箱中摸出苹果的概率均为，则______． 13. 如图，在中，，以点为圆心，任意长为半径画弧分别交，于点和，再以点为圆心，线段为半径画弧，两弧交于点，连接并延长，交的延长线于点．如果，则______． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上） 14. 计算下列各题： （1）； （2）． 15. 先化简，再求值：，其中，． 16. 如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，的三个顶点A，B，C都在格点上． （1）画出关于直线成轴对称的； （2）求的面积； （3）在直线上找一点使得的值最小，并标出点位置． 17. 某校在劳动手工课上需要给作品添加花边，学生将长为，宽为长方形彩纸按图所示的方法黏合起来，黏合部分的宽为． （1）根据题意，将表格补充完整； 彩纸张数/张 1 2 3 4 5 … 纸条长度/ 20 ______ 56 74 _______ … （2）设张彩纸黏合后总长度为厘米，写出与之间的关系式，并求出50张彩纸黏合后的总长度； （3）若彩纸黏合后的总长度为，请问需要多少张彩纸？ 18. 如图，在等腰中，，点在的延长线上，，交于于点． （1）证明：； （2）若，求的度数； （3）若为等腰三角形，求度数． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 19. 已知，，，则______． 20. 若，则的值为__________． 21. 如图，在正方形中，取四条边中点E，F，G，H，并依次连接形成四边形．若随机向正方形内投掷一枚小针，则针尖落在四边形内的概率为_______． 22. 如图，正方形和正方形的面积之和为，若，则_______． 23. 如图，在“问题解决策略：特殊化”课中，小茗同学拿了两块相同的含的三角尺，即等腰直角和等腰直角做了一个探究活动：将的直角顶点放在的斜边的中点处，设，此时重叠部分四边形的面积为_______． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上） 24. 阅读：若满足，求的值． 解：设，， 则，， ． 请仿照上述例子解决下列问题： （1）若满足，求的值； （2）若满足，求的值； （3）如图，正方形的边长为，，长方形的面积是600，四边形和都是正方形，四边形是长方形，求图中阴影部分的面积（用具体的数值表示）． 25. 如图1，在四边形中，，，一点从点出发沿着的方向以每秒2个单位的速度运动，其中长为10．在运动过程中，的面积与时间的关系如图2所示． （1）直接写出_______，______； （2）求出与的值； （3）在点的整个运动过程中，若设的面积为，请求出与时间的函数关系式，并写出自变量的取值范围． 26. 如图，是等边三角形，为平面内一点，连接，将绕点逆时针旋转度得到线段，连接，． （1）如图1，若，求和的数量关系； （2）如图2，若，连接，，已知是的中点，试判断与的位置关系并证明； （3）如图3，在（2）的条件下，，分别是，上的动点，且，是线段的中点，连接，求当取最小值时的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $