5.2二元一次方程组的解法（分层作业）数学北师大版2024八年级上册

5.2二元一次方程组的解法 8大知识点（基础）+能力提升题（14道）+拓展培优练（4道） 一、代入消元法 1．（24-25七年级下·福建泉州·期末）用代入消元法解方程组，将①代入②可得（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·湖北孝感·期末）对于二元一次方程组，将①式代入②式，消去y可以得到（    ） A． B． C． D． 3．（2025·浙江衢州·二模）由方程组可以得出与的关系是（　　） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·浙江丽水·期末）将变形，用含的代数式表示，那么 ． 5．（24-25七年级下·浙江台州·期末）解方程组： 6．（24-25七年级下·陕西榆林·期末）解方程组： 二、加减消元法 1．（24-25七年级下·湖北荆州·期末）方程组的解是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·湖北襄阳·期末）用加减法解二元一次方程组时，下列方法中无法消元的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·浙江金华·期末）解方程组中，下列步骤能消元的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·浙江台州·期末）已知，则 ． 5．（24-25七年级下·陕西西安·期末）解方程组：． 三、二元一次方程组中错解复原问题 1．（24-25七年级下·山东济宁·阶段练习）已知：甲、乙两人同解方程组时，甲看错了方程（1）中的a，解得，乙看错了（2）中的b，解得，则的平方根为（   ） A．1和 B．2和 C．3和 D．4和 2．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）两位同学在解方程组时，甲同学正确地解出，乙同学因把抄错了解得，则，，正确的值应为（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．（24-25七年级下·河南安阳·阶段练习）小文、小博二人解方程组，由于小文看错了方程②中的的值，得到方程组的解为，而小博看错了方程①中的的值，得到方程组的解为． (1)求和的值； (2)求原方程组正确的解． 4．（24-25七年级下·江西上饶·阶段练习）一一和九九同解一个关于，的二元一次方程组一一把方程①抄错，求得方程组的解为，九九把方程②抄错，求得方程组的解为，求，的值． 四、已知二元一次方程组的解的情况求参数 1．（24-25七年级下·江苏无锡·阶段练习）已知关于x、y的方程组，则下列结论中正确的是（　　） ①当时，；②当时，方程组的解也是方程的解；③不论a取何值，的值始终不变；④若不论x取何值，的值都为常数，则该常数为． A．①② B．②③ C．①③ D．①②④ 2．（24-25七年级下·福建福州·期末）如果关于的二元一次方程组的解满足，那么的值是 ． 3．（24-25七年级下·吉林长春·期中）若方程组的解满足，则 ． 4．（23-24七年级上·湖南湘潭·期中）在解方程组时，哥哥正确地解得弟弟因把c写错而解得，求的值． 5．（24-25七年级下·山西临汾·期末）已知关于x，y的二元一次方程组，根据下列条件，求的值． (1)方程组的解为． (2)方程组的解和互为相反数． 6．（24-25七年级下·江苏连云港·期末）已知实数，满足，且满足关于，的二元一次方程组，求的值． 五、二元一次方程组的同解问题 1．（24-25七年级下·山西吕梁·阶段练习）已知关于x，y的二元一次方程组和关于x，y的二元一次方程组有相同的解，则的算术平方根是（   ） A． B． C．2 D． 2．（24-25七年级下·广东汕头·期末）若关于、的方程组和有相同的解，则的值为（　　） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·江苏连云港·期末）如果方程组和的解相同，则 ． 4．（22-23七年级下·四川广安·期中）若方程组和方程组的解相同，则的值为 ． 5．（24-25七年级下·全国·期中）关于x，y的方程组与方程组有相同的解，求的值． 六、二元一次方程组无解问题 1．（24-25七年级下·河南南阳·阶段练习）已知关于的二元一次方程组，给出下列3个结论：①当时，此方程组无解；②若此方程组的解也是方程的解，则；③无论整数取何值，此方程组一定无整数解（均为整数），其中正确的有（   ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 2．（24-25七年级下·河南驻马店·阶段练习）二元一次方程组有可能无解，例如，方程组无解，原因是：将①×2，得，由于，所以它与②式存在矛盾，导致原方程组无解．若关于，y的方程组，无解，则a，b分别满足的条件是 ． 3．（24-25七年级下·广东广州·期中）已知关于，的方程组 (1)若方程组的解满足，求的值． (2)为何整数时，原方程组的解为正整数？ (3)小聪发现，无论取何值，方程总有同一个解；小明发现，存在一个实数，使得原方程组无解，求的平方根． 七、二元一次方程组的特殊解法 1．（24-25八年级下·河南许昌·期中）对于有理数x，y，定义新运算：，，其中a，b是常数．已知，． (1)直接写出a，b的值； (2)若关于x，y的方程组的解也满足方程，求m的值； (3)若关于x，y的方程组的解为，直接写出关于x，y的方程组的解． 2．（22-23七年级下·四川广安·期中）阅读下列方程组的解法，然后解答相关问题： 解方程组时，若直接利用消元法解，那么运算比较繁杂，采用下列解法则轻而易举 解：①②，得，即．③ ②③，得． 把代入③，解得．故原方程组的解是． (1)请利用上述方法解方程组． (2)直接写出关于x，y的方程组的解． 3．（24-25七年级下·全国·假期作业）先阅读材料，然后解方程组． 解方程组时，可由①得③，然后将③代入②得，求得，从而进一步求得，所以原方程组的解为这种解法被称为“整体代入法”，请用这样的方法解方程组 4．（24-25七年级下·河南洛阳·期末）阅读探索，知识累积．解方程组． 解：设，，原方程组可变为 解方程组得：即，，所以．这种解方程组的方法叫换元法． (1)拓展提高 运用上述方法解下列方程组：； (2)能力运用 已知关于x，y的方程组的解为．直接写出关于m、n的方程组的解为______． 八、新定义的二元一次方程组问题 1．（24-25七年级下·浙江金华·期末）定义：如果关于x，y的二元一次方程为常数且满足，我们就称方程为“阶梯方程”． (1)下列方程是“阶梯方程”的是 ． ①        ②        ③        ④ (2)任意阶梯方程都有一组相同的解，请求出这组解． (3)若方程组的解为整数，求整数的值． 2．（24-25七年级下·河北邯郸·期末）定义：对于关于的二元一次方程（其中），将其的系数与常数互换．得到的新方程称为原方程的“对称方程”．例如方程的“对称方程”为． (1)方程的“对称方程”为_____，它们组成的方程组的解为_____； (2)若关于的二元一次方程与它的“对称方程”组成的方程组的解为，求，的值． 3．（24-25七年级下·陕西榆林·期末）对于实数，定义新运算：，．若关于，的方程组的解也满足方程，求的值． 1．（24-25七年级下·广西钦州·期末）我们定义一种新运算“※”，规定：，其中，为常数，等式的右边是通常的加法和乘法运算，若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·河南许昌·期末）在解关于，的二元一次方程组时，若①②可直接消去未知数，则m和n满足的条件是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·河南商丘·期末）若是二元一次方程组的解，则的平方根为（    ） A．3 B．3 C． D． 4．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知关于，的二元一次方程组和关于，的二元一次方程组有相同的解，则的算术平方根为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·福建福州·期末）已知关于x，y的方程组的解满足方程，则m的值为 ． 6．（24-25七年级下·浙江台州·期末）已知关于，的方程组（，为实数）的解满足，则 7．（24-25七年级下·河南周口·期末）已知二元一次方程组，则的值为 ． 8．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）已知关于x，y的二元一次方程组的解为，则关于x，y的二元一次方程组的解为 ． 9．（24-25七年级下·河南驻马店·阶段练习）已知关于x，y的方程组． (1)请直接写出的所有非负整数解； (2)若方程组的解满足，求的值． 10．（24-25七年级下·四川南充·期末）在学习二元一次方程组解法后，数学老师设计了一道拓展作业： 已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，求k的值．经过分组讨论后，三个数学小组分别提出了三种不同的计算思路，如下表： 小组 A组 B组 C组 计算思路 先解关于x，y的二元一次方程组：，再求k的值． 先解方程组： 再求k的值． 将方程组中的两个方程相加，再求k的值． (1)请你任选其中一个小组同学的计算思路，解答此题． (2)若用加减消元法解关于x，y的二元一次方程组时，可以由消去未知数x，或可以由消去未知数y，求的值． 11．（24-25七年级下·江西宜春·期末）已知关于的方程组 (1)请写出方程的所有正整数解； (2)若方程组的解满足，求的值； 12．（24-25七年级下·四川广安·期末）已知关于的方程组和的解相同． (1)求方程组的解； (2)求的值． 13．（24-25七年级下·河南三门峡·期末）在学习完二元一次方程组的解法后，老师给出方程组，小美和小庆的部分做法如下． 小美的部分过程 小庆的部分过程 ，得                由②，得 ③， 把①代入③， 得             (1)下列说法正确的是（   ） A．小美的过程正确    B．小庆的过程正确 C．小美和小庆的过程都正确    D．小美和小庆的过程都不正确 (2)小美用的是___________，小庆用的是___________．（选择你认为正确的序号填入） ①加减消元法      ②代入消元法 (3)请你选择一种方法写出这个方程组的完整求解过程． 1．（24-25七年级下·福建福州·期末）已知关于x、y的方程组得出以下结论：①当时，方程组的解也是方的解；②当时，；③不论a取什么实数，的值始终不变；④不存在a使得成立；其中正确的是（    ） A．①② B．①④ C．①②③ D．①②④ 2．（24-25七年级下·北京·期中）已知关于，的二元一次方程组，给出下列结论： ①当这个方程组的解，的值互为相反数时，； ②当时，方程组的解也是方程的解； ③无论取什么实数，的值始终不变． 其中正确的是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 3．（24-25七年级下·四川宜宾·期末）给出定义：对于关于、的二元一次方程（其中 ），若将其的系数与常数互换，得到的新方程称为原方程的“镜像方程”．例如方程的“镜像方程”为． (1)写出的“镜像方程”_____，以及它们组成的方程组的解为_____； (2)若关于、的二元一次方程与其“镜像方程”组成的方程组的解为，求的值． (3)若关于、的二元一次方程的系数满足，且与它的“镜像方程”组成的方程组的解恰是关于、的二元一次方程的一个解，请直接写出代数式的值． 4．（24-25七年级下·辽宁盘锦·期中）【材料阅读】 二元一次方程有无数组解，如：，，，，如果我们将方程的解看成一组有序数对，那么这些有序数对可以用平面直角坐标系中的点表示，探究发现：以方程的解为坐标的点落在同一条直线上，如图1所示，同时这条直线上的点的坐标全都是该方程的解．我们把这条直线称为该方程的图象． 【问题探究】 （1）已知，则点_______（填“A或B或C”）在方程的图象上． （2）请你在图1所给的平面直角坐标系中画出二元一次方程的图象．观察图象，两条直线的交点坐标为_______，由此你得出二元一次方程组的解是_______； 【拓展延伸】 （3）设方程的图象与x，y轴的交点分别是A、B，方程的图象与x，y轴的交点分别是C、D． ①求点A和点D的坐标 ②已知关于x，y的二元一次方程组无解，当点B在y轴正半轴上，且时，在线段上任取一点E，连接．点M为的角平分线上一点，且满足．请作出符合题意的图形，并直接写出和之间的数量关系． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 5.2二元一次方程组的解法 8大知识点（基础）+能力提升题（14道）+拓展培优练（4道） 一、代入消元法 1．（24-25七年级下·福建泉州·期末）用代入消元法解方程组，将①代入②可得（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查用代入法解二元一次方程组，熟练掌握代入法解二元一次方程组是解题的关键 将方程①中的y代入方程②，替换掉方程②中的y，注意符号的变化． 【详解】将①代入②可得，． 故选：B． 2．（24-25七年级下·湖北孝感·期末）对于二元一次方程组，将①式代入②式，消去y可以得到（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查代入消元法解二元一次方程组，将①式变形为y的表达式，代入②式消去y，即可作答． 【详解】解：依题意，由①式，解得， 将代入②式中， 得． 故选：B． 3．（2025·浙江衢州·二模）由方程组可以得出与的关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解二元一次方程组，通过消去参数，将两个方程联立，解出与的关系式即可． 【详解】解：由得， 将代入方程中，得： 整理，得， 故选：C． 4．（24-25七年级下·浙江丽水·期末）将变形，用含的代数式表示，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了代入消元法，解二元一次方程，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键． 先移项，再把系数化为1，即可求解． 【详解】∵ ∴ ∴． 故答案为：． 5．（24-25七年级下·浙江台州·期末）解方程组： 【答案】 【分析】本题考查代入消元法解二元一次方程组． 利用代入消元法即可求解． 【详解】解： 将①代入②得， 解得 将代入①得， ． 原方程组的解为． 6．（24-25七年级下·陕西榆林·期末）解方程组： 【答案】 【分析】本题考查的是二元一次方程组的解法，方程组中未知数的系数较小时可用代入法，当未知数的系数相等或互为相反数时用加减消元法较简单． 根据第二个方程，直接利用代入消元法求解即可． 【详解】解： 将②代入①中得：，解得， 将代入②中得：， 原方程组的解为 二、加减消元法 1．（24-25七年级下·湖北荆州·期末）方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握代入消元法和加减消元法解方程组是解题的关键．运用加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】解： 得： ， ， 将代入②得：， 方程组的解为：， 故选：A． 2．（24-25七年级下·湖北襄阳·期末）用加减法解二元一次方程组时，下列方法中无法消元的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查加减消元法的应用，在进行加减消元时要先对未知数的系数进行整理，熟练掌握等式的性质，是解题的关键．根据等式性质，逐项进行判断即可． 【详解】A、：得 ，减去②得：化简为，消去，可消元，故本选项不符合题意； B、：得，减去①得：化简为，和均未消去，无法消元，故本选项符合题意； C、：得，加上②得：化简为，消去，可消元，故本选项不符合题意； D、：得，加上①得：化简为，消去，可消元，故本选项不符合题意． 故选：B． 3．（24-25七年级下·浙江金华·期末）解方程组中，下列步骤能消元的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了用加减法解二元一次方程组的方法，解题关键是熟练运用用加减法解二元一次方程组．根据题意对各选项求解，即可得出答案． 【详解】解：A、得，未消去任意一个未知数，不符合题意； B、得，消去未知数，符合题意； C、得，未消去任意一个未知数，不符合题意； D、得，未消去任意一个未知数，不符合题意． 故选：B． 4．（24-25七年级下·浙江台州·期末）已知，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了解二元一次方程组，利用了加减消元法，熟练掌握运算方法是解题的关键． 将方程组的两个方程加起来，得到，进而得到． 【详解】解： 将①②，得： ， ． 故答案：2． 5．（24-25七年级下·陕西西安·期末）解方程组：． 【答案】 【分析】本题考查解二元一次方程组，利用加减消元法解方程组即可． 【详解】解：，得：，解得：； 把代入①，得：，解得：； ∴． 三、二元一次方程组中错解复原问题 1．（24-25七年级下·山东济宁·阶段练习）已知：甲、乙两人同解方程组时，甲看错了方程（1）中的a，解得，乙看错了（2）中的b，解得，则的平方根为（   ） A．1和 B．2和 C．3和 D．4和 【答案】A 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，二元一次方程组的错解问题，根据题意可甲的解满足（2），乙的解满足（1），据此可求出a、b的值，再求出的值后即可根据平方根的定义得到答案． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， ∴的平方根为1和， 故选：A． 2．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）两位同学在解方程组时，甲同学正确地解出，乙同学因把抄错了解得，则，，正确的值应为（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题考查解二元一次方程组的应用，熟练掌握二元一次方程组中的错解问题的方法是解题的关键，甲的正确解代入原方程组得到关于的方程，乙的解因抄错，仅满足第一个方程，由此联立方程求解． 【详解】解：将代入原方程组， 得， 得， 将代入， 得， 化简为， 则， 解得：， 综上，，，， 故选：D． 3．（24-25七年级下·河南安阳·阶段练习）小文、小博二人解方程组，由于小文看错了方程②中的的值，得到方程组的解为，而小博看错了方程①中的的值，得到方程组的解为． (1)求和的值； (2)求原方程组正确的解． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，根据方程的解得出m和n的值，是解题的关键． （1）把代入①，把代入②即可得； （2）根据，得出，利用加减法进行求解即可． 【详解】（1）解：把代入①得：， 即； 把代入②得：，即； （2）解：由题意得：原方程组为， 得：，即， 把代入①得：， 则原方程组的解为． 4．（24-25七年级下·江西上饶·阶段练习）一一和九九同解一个关于，的二元一次方程组一一把方程①抄错，求得方程组的解为，九九把方程②抄错，求得方程组的解为，求，的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的错解问题，先把代入方程②，把代入方程①得出关于m、n的方程组，解关于m、n的方程组即可，熟练掌握解二元一次方程组的一般方法，是解题的关键． 【详解】解：把代入方程②，得③， 把代入方程①，得④， 联立③④，得， 解得． 四、已知二元一次方程组的解的情况求参数 1．（24-25七年级下·江苏无锡·阶段练习）已知关于x、y的方程组，则下列结论中正确的是（　　） ①当时，；②当时，方程组的解也是方程的解；③不论a取何值，的值始终不变；④若不论x取何值，的值都为常数，则该常数为． A．①② B．②③ C．①③ D．①②④ 【答案】C 【分析】本题主要考查了含字母系数的二元一次方程组， 先用含有a的代数式表示x，y，由可得，求出解判断①；当时，求出x，y,再代入判断②即可；求出得结果，可解答③；将③结果代入得，再根据当时，，此时，然后解答④即可． 【详解】解：， 得：， 代入②得：. 当时，，解得， 所以结论①正确； 当时，， 代入得：， 所以结论②错误； ， 所以无论a取何值，结果恒为7，结论③正确； ，当时，，此时，表达式为：. 但题目要求“不论k取何值”，需满足对任意k成立，此时仅当时成立，但结论④未明确a的取值条件，因此无法保证对所有a成立， 所以结论④错误. 综上，正确的结论为①③． 故选：C． 2．（24-25七年级下·福建福州·期末）如果关于的二元一次方程组的解满足，那么的值是 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了根据二元一次方程组的解的情况求参数，把方程组中两个方程相加得到，再由题意可得，则，解方程即可得到答案． 【详解】解：依题意， 得：， ∵关于的二元一次方程组的解满足， ∴， ∴， ∴， 故答案为：5． 3．（24-25七年级下·吉林长春·期中）若方程组的解满足，则 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了根据二元一次方程组的解的情况求参数．先利用加减消元法求出，再由得到，解方程即可． 【详解】解： 得：， 即， 把代入得：， 解得， 故答案为：3． 4．（23-24七年级上·湖南湘潭·期中）在解方程组时，哥哥正确地解得弟弟因把c写错而解得，求的值． 【答案】7 【分析】本题考查了二元一次方程组的解以及解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法解二元一次方程组是解题的关键．把两个解代入方程组得出三个方程，组成方程组，求出方程组的解，代入即可求出答案． 【详解】解：∵哥哥正确地解得，弟弟因把写错而解得， ∴代入得：， 即， 解方程②得：， 得：， 把代入①得：， 解得：， ∴． 5．（24-25七年级下·山西临汾·期末）已知关于x，y的二元一次方程组，根据下列条件，求的值． (1)方程组的解为． (2)方程组的解和互为相反数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组． （1）先将代入②求出，再将代入①即可求解； （2）先解方程组，求出，然后代入①求解即可． 【详解】（1）解：将代入②， 得，解得． 将代入①， 得，解得． （2）解：由题意，得， 解得， 将代入①， 得，解得． 6．（24-25七年级下·江苏连云港·期末）已知实数，满足，且满足关于，的二元一次方程组，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组求参数，方程组的两个方程相加得，即可求解． 【详解】解： 解：①②得 ， 解得：， ， ， 解得：． 五、二元一次方程组的同解问题 1．（24-25七年级下·山西吕梁·阶段练习）已知关于x，y的二元一次方程组和关于x，y的二元一次方程组有相同的解，则的算术平方根是（   ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了同解方程组，由题意可知，两个方程组有相同的解，即存在一组公共解满足所有四个方程．先联立两个不含参数的方程求解x和y，再代入含参数的方程求出a和b的值，最后计算的算术平方根． 【详解】联立第一个方程组的第一个方程和第二个方程组的第一个方程：， 由第二个方程得 ，代入第一个方程：， 解得， 把代入 ，得 ． 将，代入第一个方程组的第二个方程 得， 解得， 将，代入第二个方程组的第二个方程 得， 解得， ∴， ∴其算术平方根为 ． 故选B． 2．（24-25七年级下·广东汕头·期末）若关于、的方程组和有相同的解，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解二元一次方程组，代数式求值，将方程组中不含的两个方程联立，求得的值，联立含有的两个方程，把的值代入，两方程相加可求得的值，再代入代数式中求解即可，理解题意中方程组有相同解的意义是解题的关键． 【详解】解：联立方程：， 得：， 得：， 得：，解得：， 把代入得，解得：， 因此，方程组的解为， 将代入得， ， 得：， ∴， ∴， 故选：． 3．（24-25七年级下·江苏连云港·期末）如果方程组和的解相同，则 ． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的同解问题，解二元一次方程组，根据题意可先组合得到解后再代入两外两个方程求出，进而求解即可． 【详解】解：解方程组得， 把代入得， 解得 ∴． 故答案为：． 4．（22-23七年级下·四川广安·期中）若方程组和方程组的解相同，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了二元一次方程组的解、解二元一次方程组、求代数式的值，由题意可得，解方程组求出，再求出、的值，代入计算即可得解，熟练掌握解二元一次方程组的解法是解此题的关键． 【详解】解：由题意，得， 解得， 将代入得， 解得， ∴． 故答案为：1 5．（24-25七年级下·全国·期中）关于x，y的方程组与方程组有相同的解，求的值． 【答案】1 【分析】本题考查了同解方程组，先解方程组求出，然后代入方程中，得出关于m，n的方程组求解即可． 【详解】解：根据题意得， 解得， 把代入方程中，得 ， 解得， ∴． 六、二元一次方程组无解问题 1．（24-25七年级下·河南南阳·阶段练习）已知关于的二元一次方程组，给出下列3个结论：①当时，此方程组无解；②若此方程组的解也是方程的解，则；③无论整数取何值，此方程组一定无整数解（均为整数），其中正确的有（   ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的解与解法，掌握二元一次方程组的解法是解题关键． 根据二元一次方程组的解法逐个判断即可． 【详解】解：结论①：当时， 方程组变为， 两方程矛盾，无解，故①正确． 结论②：原方程组的解需满足． 解原方程组：，得： ． 将代入，化简得： ， 解得，故②正确． 结论③：∵，且均为整数， ∴为4的因数，即， ∴对应的整数值为， 此时没有k的值满足为整数． 因此无论取何整数，方程组均无整数解，故③正确． 综上，①②③均正确，即正确的有3个． 故选A． 2．（24-25七年级下·河南驻马店·阶段练习）二元一次方程组有可能无解，例如，方程组无解，原因是：将①×2，得，由于，所以它与②式存在矛盾，导致原方程组无解．若关于，y的方程组，无解，则a，b分别满足的条件是 ． 【答案】 且． 【分析】本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，理解题意是解题的关键． 根据题意，方程组两边系数相等，得出矛盾，即可求解． 【详解】解：∵关于，的方程组无解， ，得， ∴， 解得：且， 故答案为：且． 3．（24-25七年级下·广东广州·期中）已知关于，的方程组 (1)若方程组的解满足，求的值． (2)为何整数时，原方程组的解为正整数？ (3)小聪发现，无论取何值，方程总有同一个解；小明发现，存在一个实数，使得原方程组无解，求的平方根． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，根据方程组的解的情况求参数，求一个数的算术平方根，熟知解二元一次方程组的方法是解题的关键． （1）联立，解方程组求出x、y的值，进而可求出m的值； （2）可求出，根据方程组的解为正整数，是正整数，即，再讨论y的值，确定x的值，进而计算出m的值，看m是否为整数即可； （3）根据题意可得，根据无论取何值，方程总有同一个解，可得当时，，解得，则；求出，根据题意可得方程无解，则，据此求出的结果即可得到答案． 【详解】（1）解：联立， 解得， ∴， ∴； （2）解： 由①得：， ∵方程组的解为正整数， ∴是正整数，即， 当时，，则，解得，不符合题意； 当时，，则，解得，符合题意； 当时，，则，解得，符合题意； 综上所述，或； （3）解：∵， ∴， ∵无论取何值，方程总有同一个解， ∴当时，，解得， ∴； 得：， ∵存在一个实数，使得原方程组无解， ∴方程无解， ∴， ∴， ∴， ∴的平方根为． 七、二元一次方程组的特殊解法 1．（24-25八年级下·河南许昌·期中）对于有理数x，y，定义新运算：，，其中a，b是常数．已知，． (1)直接写出a，b的值； (2)若关于x，y的方程组的解也满足方程，求m的值； (3)若关于x，y的方程组的解为，直接写出关于x，y的方程组的解． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查二元一次方程组的解，正确理解新定义并准确地计算是解题的关键． （1）利用新定义列出关于、的方程组，解方程组求出a，b的值； （2）将a，b的值；代入方程组，得出关于x，y的方程组，解方程组，用表示x，y，代入方程中，即可求出m的值； （3）由题意，将方程组化为，即， 根据方程组的解为，得出，求解即可． 【详解】（1）解：由题意，， 得， 解得， （2）由题意，方程组可化为， 得， ， ， ； （3）由题意，方程组可化为， 方程组可化为， 即， 由方程组的解为， ，解得， 则方程组的解为． 2．（22-23七年级下·四川广安·期中）阅读下列方程组的解法，然后解答相关问题： 解方程组时，若直接利用消元法解，那么运算比较繁杂，采用下列解法则轻而易举 解：①②，得，即．③ ②③，得． 把代入③，解得．故原方程组的解是． (1)请利用上述方法解方程组． (2)直接写出关于x，y的方程组的解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组的新解法，整体换元思想和理解应用是本题的关键． （1）分析题干中的信息，应用计算即可； （2）分析题干中的信息，应用计算即可． 【详解】（1）解：， ①②，得，即③， ②③，得， 解得， 把代入③，解得． 故这个方程组的解是． （2）解：， ①②，得，即③， ②③，得，解得， 把代入③，解得． 故这个方程组的解是． 3．（24-25七年级下·全国·假期作业）先阅读材料，然后解方程组． 解方程组时，可由①得③，然后将③代入②得，求得，从而进一步求得，所以原方程组的解为这种解法被称为“整体代入法”，请用这样的方法解方程组 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，正确理解题意，掌握题目所给整体代入法的方法和步骤是解题的关键．由①可得：，把③代入②求出y的值，再把y的值代入③，求出x的值即可． 【详解】解： 由①，得， 将③代入②，得 ， 解得， 将代入③，得 ， ∴原方程组的解为． 4．（24-25七年级下·河南洛阳·期末）阅读探索，知识累积．解方程组． 解：设，，原方程组可变为 解方程组得：即，，所以．这种解方程组的方法叫换元法． (1)拓展提高 运用上述方法解下列方程组：； (2)能力运用 已知关于x，y的方程组的解为．直接写出关于m、n的方程组的解为______． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组，掌握换元法解方程组，是解题的关键． （1）利用换元法解方程组即可； （2）设，进而得到，求解即可． 【详解】（1）解：设，， 原方程可变为：， 解方程组得，即， 解得：； （2）解：原方程化为， 设则方程可化为， 则方程的解为，即， 解得：． 八、新定义的二元一次方程组问题 1．（24-25七年级下·浙江金华·期末）定义：如果关于x，y的二元一次方程为常数且满足，我们就称方程为“阶梯方程”． (1)下列方程是“阶梯方程”的是 ． ①        ②        ③        ④ (2)任意阶梯方程都有一组相同的解，请求出这组解． (3)若方程组的解为整数，求整数的值． 【答案】(1)③④ (2) (3)2或3 【分析】本题主要考查了二元一次方程（组）的解，解题关键是熟练掌握解二元一次方程组的一般步骤，理解新定义的含义． （1）根据已知条件中的新定义，求出，，然后判断即可； （2）根据已知条件将b和c用a表示出来，转换成关于x，y的方程组，解方程组即可； （3）根据已知条件中的新定义，把方程换成含有a，x，y的方程，然后解方程组求出x，y，再根据方程组的解为整数，判断a的整数值即可． 【详解】（1）解：①， ， ， ∴， ∴不是“阶梯方程”，故①不符合题意； ②， ， ， ∴， ∴不是“阶梯方程”，故②不符合题意； ③化为：， ， ， ∴， ∴是“阶梯方程”，故③符合题意； ④， ， ，， ∴， ∴是“阶梯方程”，故④符合题意， 故答案为：③④； （2）解：∵， ∴， ∴变为：， ， ， ∵等式a为任意数时都成立， ∴， 由②得：， 把代入①得：， ∴这组解为：； （3）解：∵， ∴， ∴方程组化为， 由②得：，③代入①得： ， ， ， ， ， 把代入③得：， ∵y为整数， ∴或， 解得：或或2或3， ∵，， ∴或2或3， 当时，，此情况不存在； 当时，； 当时，； ∴a的整数值为：2或3． 2．（24-25七年级下·河北邯郸·期末）定义：对于关于的二元一次方程（其中），将其的系数与常数互换．得到的新方程称为原方程的“对称方程”．例如方程的“对称方程”为． (1)方程的“对称方程”为_____，它们组成的方程组的解为_____； (2)若关于的二元一次方程与它的“对称方程”组成的方程组的解为，求，的值． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）根据新定义，求出对称方程，加减消元法求方程组的解即可； （2）根据新定义，列出方程组，进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，方程的“对称方程”为， 解，得：； （2）由题意，可得方程组为：， ∴，得：， ∴， ∵方程组的解为， ∴， 把，，代入①，得：，解得：， ∴． 3．（24-25七年级下·陕西榆林·期末）对于实数，定义新运算：，．若关于，的方程组的解也满足方程，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，新定义，先根据新定义得到方程组，进而利用加减消元法求出，，再根据建立关于m的方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：由题意得方程组： ①②，得， 解得：， 把代入②中， 得， 解得：， ，满足方程， ， 解得：． 1．（24-25七年级下·广西钦州·期末）我们定义一种新运算“※”，规定：，其中，为常数，等式的右边是通常的加法和乘法运算，若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解二元一次方程组． 根据已知条件得出方程组，求出、的值，根据题意得出4※，再求出答案即可． 【详解】解： 、， ， ①②，得， 解得：， 把代入①，得， 解得：， ∴， 故选：B 2．（24-25七年级下·河南许昌·期末）在解关于，的二元一次方程组时，若①②可直接消去未知数，则m和n满足的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二元一次方程组的解法，熟练掌握加减消元法是解题的关键．根据加减消元法的原理，当两个方程相减后消去未知数，需满足的系数之差为0． 【详解】解：将方程组①和②相减，得到：， 化简后为：， 若①②可直接消去未知数，需使其系数为0，即：， 故选：D． 3．（24-25七年级下·河南商丘·期末）若是二元一次方程组的解，则的平方根为（    ） A．3 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，平方根的概念等，熟练掌握二元一次方程组的解法是解决本题的关键．将代入二元一次方程组中解出x和y的值，再计算的平方根即可． 【详解】解：将代入二元一次方程中， 得到：， 解这个关于x和y的二元一次方程组，两式相加，解得：， 将回代方程中，解得， ∴， ∴的平方根为， 故选：D． 4．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知关于，的二元一次方程组和关于，的二元一次方程组有相同的解，则的算术平方根为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，算术平方根． 根据题意组成新的方程组，求出、的值，再代入方程和方程中即可求出、的值，再根据算术平方根的定义计算即可． 【详解】解：根据题意得， 解得， 把代入方程和方程中，得，， ， 的算术平方根为， 的算术平方根为， 故选：． 5．（24-25七年级下·福建福州·期末）已知关于x，y的方程组的解满足方程，则m的值为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组以及二元一次方程的解，熟练掌握二元一次方程组的特殊解法，二元一次方程的解的概念，整体代入，是解题的关键． 方程组两方程相加表示出，然后代入计算，求得m的值即可． 【详解】解：， ，得， ∴． ∵， ∴． 解得． 故答案为：3． 6．（24-25七年级下·浙江台州·期末）已知关于，的方程组（，为实数）的解满足，则 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组． 根据加减消元法求出，，代入计算即可． 【详解】解： 得， 解得：， 将代入得， 解得：， 将，代入得：， 整理得， 移项得， ∴， 故答案为：． 7．（24-25七年级下·河南周口·期末）已知二元一次方程组，则的值为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了解二元一次方程组，准确求出、的值是解题的关键． 让方程组中的两个方程相加、相减即可得出、的值，再代入求值即可． 【详解】解：， ①+②，得， ， ②-①，得， ， 故答案为：8 8．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）已知关于x，y的二元一次方程组的解为，则关于x，y的二元一次方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，掌握用换元、整体代换方法解方程组是解题的关键．设，可得，即可求解． 【详解】解：由，得： ， 设， 由得：， 方程组的解是， 是方程组的解， ， 解得：， 故答案为：． 9．（24-25七年级下·河南驻马店·阶段练习）已知关于x，y的方程组． (1)请直接写出的所有非负整数解； (2)若方程组的解满足，求的值． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组． （1）根据x，y为非负整数即可求出方程的所有非负整数解； （2）先解二元一次方程组，然后把x、y的值代入方程中即可求出的值． 【详解】（1）解：∵x，y为非负整数， ∴方程的所有非负整数解为，，； （2）解：根据题意得， ①②得，， 解得， 把代入②得，， 解得， ∴方程组的解是， 将代入中，得， 解得． 10．（24-25七年级下·四川南充·期末）在学习二元一次方程组解法后，数学老师设计了一道拓展作业： 已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，求k的值．经过分组讨论后，三个数学小组分别提出了三种不同的计算思路，如下表： 小组 A组 B组 C组 计算思路 先解关于x，y的二元一次方程组：，再求k的值． 先解方程组： 再求k的值． 将方程组中的两个方程相加，再求k的值． (1)请你任选其中一个小组同学的计算思路，解答此题． (2)若用加减消元法解关于x，y的二元一次方程组时，可以由消去未知数x，或可以由消去未知数y，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法、求代数式的值，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）A组：利用加减消元法得出，，结合计算即可得解；B组：解方程组得出，，代入计算即可得解；C组：将两个方程组相加可得，结合题意计算即可得解； （2）由题意可得，，求得，，代入计算即可得解． 【详解】（1）解：A组：， 由可得：， 解得：， 将代入①可得：， 解得：， ∵， ∴， ∴； B组：， 由②可得：， 将代入①可得：， 解得：， 将代入可得， ∴， ∴； C组：将方程组中的两个方程相加可得， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵用加减消元法解关于x，y的二元一次方程组时，可以由消去未知数x，或可以由消去未知数y， ∴，， 解得：，， ∴． 11．（24-25七年级下·江西宜春·期末）已知关于的方程组 (1)请写出方程的所有正整数解； (2)若方程组的解满足，求的值； 【答案】(1)：或 (2) 【分析】本题考查二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解法，通过讨论求二元一次方程组的正整数解是解题的关键． （1）对x、y分别赋值讨论即可； （2）用代入法求二元一次方程组的解即可． 【详解】（1）解：方程变形得： ∵y为正整数， ∴当时，； 当时， ∴方程 的所有正整数解为：或； （2）解：∵方程组的解满足方程， ∴方程组与方程组是同解方程． 解方程组得 将代入， 得， 解得：． 12．（24-25七年级下·四川广安·期末）已知关于的方程组和的解相同． (1)求方程组的解； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是二元一次方程组的解法，同解方程的含义； （1）根据同解方程的含义可得，再利用加减消元法解方程组即可； （2）把代入方程和方程，再进一步求解即可. 【详解】（1）解： 方程组和的解相同， ， ，得，解得， 将代入①，得，解得， 方程组的解为； （2）解：由（1）可得是方程和方程的解， ，解得. 13．（24-25七年级下·河南三门峡·期末）在学习完二元一次方程组的解法后，老师给出方程组，小美和小庆的部分做法如下． 小美的部分过程 小庆的部分过程 ，得                由②，得 ③， 把①代入③， 得             (1)下列说法正确的是（   ） A．小美的过程正确    B．小庆的过程正确 C．小美和小庆的过程都正确    D．小美和小庆的过程都不正确 (2)小美用的是___________，小庆用的是___________．（选择你认为正确的序号填入） ①加减消元法      ②代入消元法 (3)请你选择一种方法写出这个方程组的完整求解过程． 【答案】(1)D (2)①；② (3)见解析 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的方法是解题的关键． （1）小美的过程中，的结果应该为；小庆的过程中，由可得，据此可得答案； （2）根据解题过程即可得到答案； （3）分别利用加减消元法和代入消元法解原方程组即可． 【详解】（1）解：由题意得，小美的过程中，的结果应该为； 小庆的过程中，由，可得， ∴小美和小庆的过程都不正确， 故选：D； （2）解：由题意得，小美用的是加减消元法，小庆用的是代入消元法， 故答案为：①；②； （3）解：选择小美的方法： ，得，解得； 将代入①得，解得， 这个方程组的解为 选择小庆的方法：由②得③， 把①代入③得，即， 解得， 将代入①得， 解得， 这个方程组的解为． 1．（24-25七年级下·福建福州·期末）已知关于x、y的方程组得出以下结论：①当时，方程组的解也是方的解；②当时，；③不论a取什么实数，的值始终不变；④不存在a使得成立；其中正确的是（    ） A．①② B．①④ C．①②③ D．①②④ 【答案】D 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解、二元一次方程的解、解二元一次方程组等知识点，熟练掌握运算法则是解本题的关键． ①当时，原方程可化为，再求出x与y的值，然后代入方程检验即可；②令求出a的值，即可作出判断；③把x与y代入中计算得到结果，再判断即可；④令求出的值判断即可． 【详解】解：①当时，原方程可化为， 得：，解得：， 把代入①得：， 此时，即①正确； ②当时，原方程可化为，即， 把代入得：，解得：，即②正确； ③， 得：，解得：， 把代入可得：，解得：， 则，即的值随a的变化而变化，所以③错误； ， 所以不存在a使得成立，故结论④正确． 综上，正确的结论是①②④． 故选D． 2．（24-25七年级下·北京·期中）已知关于，的二元一次方程组，给出下列结论： ①当这个方程组的解，的值互为相反数时，； ②当时，方程组的解也是方程的解； ③无论取什么实数，的值始终不变． 其中正确的是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】D 【分析】先解得方程组的解，根据题意逐一解答判断即可． 【详解】解：， 得， 解得， 把代入，得， 故方程组的解为， ①当这个方程组的解，的值互为相反数时，得， 解得，结论正确； ②当时，方程组的解为， 方程， 而， 故方程组的解也是方程的解， 故结论正确； ③由，得，是定值， 故无论取什么实数，的值始终不变，结论正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了解方程组，相反数的性质，方程同解，定值问题，熟练掌握解方程组是解题的关键． 3．（24-25七年级下·四川宜宾·期末）给出定义：对于关于、的二元一次方程（其中 ），若将其的系数与常数互换，得到的新方程称为原方程的“镜像方程”．例如方程的“镜像方程”为． (1)写出的“镜像方程”_____，以及它们组成的方程组的解为_____； (2)若关于、的二元一次方程与其“镜像方程”组成的方程组的解为，求的值． (3)若关于、的二元一次方程的系数满足，且与它的“镜像方程”组成的方程组的解恰是关于、的二元一次方程的一个解，请直接写出代数式的值． 【答案】(1)； (2) (3)52 【分析】本题主要考查二元一次方程（组）的新定义，加减消元法，代入消元法解二元一次方程组的方法，理解“镜像方程”的定义，掌握解二元一次方程（组）的方法是解题的关键． （1）根据“镜像方程”的定义可得方程，联立方程组求解即可； （2）根据“镜像方程”的定义可得方程，联立方程组求解即可； （3）根据题意，先联立方程组，求出x，y的值，代入方程得到，代入代数式化简求值即可． 【详解】（1）解：的“镜像方程”为； 它们组成的方程组为， 解得：； 故答案为：；； （2）解：由题意可知，的镜像方程为， 联立方程组得 方程组的解为， 解得 ． （3）解：， ． 与其镜像方程所组成的方程组为， 解得：， 将代入方程中，得． ． 4．（24-25七年级下·辽宁盘锦·期中）【材料阅读】 二元一次方程有无数组解，如：，，，，如果我们将方程的解看成一组有序数对，那么这些有序数对可以用平面直角坐标系中的点表示，探究发现：以方程的解为坐标的点落在同一条直线上，如图1所示，同时这条直线上的点的坐标全都是该方程的解．我们把这条直线称为该方程的图象． 【问题探究】 （1）已知，则点_______（填“A或B或C”）在方程的图象上． （2）请你在图1所给的平面直角坐标系中画出二元一次方程的图象．观察图象，两条直线的交点坐标为_______，由此你得出二元一次方程组的解是_______； 【拓展延伸】 （3）设方程的图象与x，y轴的交点分别是A、B，方程的图象与x，y轴的交点分别是C、D． ①求点A和点D的坐标 ②已知关于x，y的二元一次方程组无解，当点B在y轴正半轴上，且时，在线段上任取一点E，连接．点M为的角平分线上一点，且满足．请作出符合题意的图形，并直接写出和之间的数量关系． 【答案】（1）C；（2）图见解析；；；（3）①；②图见解析，当点M在点上方时，当点M在点下方时 【分析】本题主要考查了二元一次方程组和二元一次方程的解的定义，坐标与图形，平行线的性质与判定，角平分线的定义，画函数图象，正确理解二元一次方程的解与坐标系中直线的关系是解题的关键． （1）把对应点横纵坐标代入方程中，看方程的左右两边是否相等即可得到结论； （2）利用描点法画出函数图象，再根据函数图象找到交点坐标，进而得到方程组的解即可； （3）①在中，当时，，在中，当时，，据此可得答案；②根据题意可得直线和直线没有交点，即这两条直线互相平行；再分点M在点上方和点M在点下方，两种情况画出对应的图形，讨论求解即可 ． 【详解】解；（1）把代入方程中，方程左边，方程左右两边不相等，则不是方程的解； 把代入方程中，方程左边，方程左右两边不相等，则不是方程的解； 把代入方程中，方程左边，方程左右两边相等，则是方程的解； ∴只有点C在方程的图象上； （2）如图所示函数图象即为所求； 由函数图象可知，两条直线的交点坐标为， ∴二元一次方程组的解是； （3）①在中，当时，， 在中，当时，， ∴； ②∵关于x，y的二元一次方程组无解， ∴直线和直线没有交点，即这两条直线互相平行； 如图3-1所示，当点M在点上方时，过点O作， ∵，， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∵点M为的角平分线上一点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图3-2所示，当点M在点下方时，过点M作， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 同上可得， ∴； 综上所述，当点M在点上方时，当点M在点下方时． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$