暑期综合提升测试01【范围：第21章 二次函数与反比例函数 】-2025-2026学年沪科版九年级数学上册暑假提升试题

2025-2026学年沪科版九年级数学上册暑假单元专题提升测试 第21章 二次函数与反比例函数综合提升测试 满分:150分 考试时间:120分钟 一、单选题（共40分） 1．（本题4分）下列各式中，是的二次函数的是（   ） A． B． C． D． 2．（本题4分）若点在反比例函数的图象上，则代数式的值为（   ） A．0 B． C．2 D． 3．（本题4分）抛物线与轴的交点坐标为（   ） A． B． C． D． 4．（本题4分）已知反比例函数（k为常数，且）的图象上的三个点分别是，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 5．（本题4分）二次函数中m的取值范围是（  ） A． B． C． D． 6．（本题4分）若二次函数的图像开口向下，顶点坐标为，且过点，则函数解析式为（   ） A． B． C． D． 7．（本题4分）抛物线 的顶点坐标为，其部分图象如图所示．以下结论错误的是（   ） A． B． C． D． 8．（本题4分）如图，反比例函数经过、两点，过点作轴于点，过点作轴于点，连接、、．若，，则的值是（    ） A． B． C． D． 9．（本题4分）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点．则关于x的不等式的解集是（    ） A．，或 B．，或 C．，或 D．，或 10．（本题4分）如图，二次函数与轴交于点、，与轴交于点，其中．则下列结论： ①；②方程没有实数根；③； ④． 其中错误的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（共20分） 11．（本题4分）若是关于的二次函数，则的值为 ． 12．（本题4分）如图，是等边三角形，点B在x轴正半轴上，的面积为．若反比例函数（）图像的一支经过点A，则k的值为 ． 13．（本题4分）如果平移抛物线后得到的新抛物线经过和，那么平移后新抛物线的解析式是 ． 14．（本题4分）一次函数与反比例函数的图象如图所示，则不等式的解集为 ． 15．（本题4分）如图，已知直线l与y轴、x轴分别交于A、B两点，与反比例函数的图象交于C、D两点．若C、D两点为线段的三等分点，连接、，则面积为 ． 三、解答题（共90分） 16．（本题8分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点．一次函数的图象与x轴交于点，与反比例函数的图象交于点，射线与反比例函数的图象交于点C，连接． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)求的面积． 17．（本题8分）如图，学校课外生物小组的同学准备自己动手，用旧围栏建一个面积为的长方形种植园，其中边靠墙，墙长为．设的长为，的长为． (1)求与之间的函数关系式． (2)若围栏总长不超过，和的长都是整数，求满足条件的所有围建方案． 18．（本题8分）在平面直角坐标系中，已知抛物线L：经过，与y轴交于点B，连接，． (1)求a的值及点B的坐标； (2)将抛物线L平移得到抛物线，设平移后点A，B的对应点分别为，若平移后抛物线的顶点落在x轴上，且，求平移后抛物线的表达式． 19．（本题8分）琪琪新买了一盏亮度可调节的台灯，他发现调节的原理是当电压一定时，通过调节电阻控制电流的变化从而改变灯光的明暗，台灯的电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）满足反比例函数关系，其图像如图所示． (1)求I关于R的函数表达式； (2)当时，求R的值； (3)若该台灯工作的最小电流为，最大电流为，请直接写出该台灯的电阻R的取值范围． 20．（本题10分）已知二次函数的图象如图所示． (1)求这个二次函数的解析式； (2)根据图象回答：当时，直接写出的取值范围； (3)当时，求的取值范围． 21．（本题12分）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于A、两点，若已知． (1)分别求一次函数与反比例函数的关系式； (2)观察图像，直接写出不等式的解集 ； (3)点为y轴上一点，若的面积为10，求a的值． 22．（本题12分）“五一”迎来旅游小高峰，很多旅游景点在小长假都接待了不少游玩的旅客，某民宿共有50个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，该民宿需对每个被居住的房间每天支出20元的各种费用，设房间定价为x元／间（为10的整数倍）． (1)若房间定价为300元时，则可租出去______个房间．此时，利润为______元； (2)为了进一步提高服务质量，针对游客居住的房间，该民宿对每个被居住的房间每天支出的费用提高为30元每间，当为多少时，民宿利润最大？ (3)在（2）的条件下，该民宿空闲房间数不能超过20间，所获利润不低于10360元，直接写出房间定价的范围． 23．（本题12分）如图，在平面直角坐标系中，，点在线段上，且点的横坐标为3，点A的坐标为．过点作轴，、分别与反比例函数的图像相交于点、，，连接． (1)点的坐标为 ；所在直线的函数表达式为 ； (2)求反比例函数表达式和点的坐标； (3)点为轴上一点，点为反比例函数图像上一点，以、、、为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点的坐标． 24．（本题12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于两点（点在点的左边），与轴相交于点，且抛物线的顶点坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)是抛物线上位于第四象限的一点，点，连接相交于点，连接．若与的面积相等，求点的坐标； (3)是抛物线上的两个动点，分别过点作直线的垂线段，垂足分别为．是否存在点，使得以为顶点的四边形是正方形？若存在，求该正方形的边长；若不存在，说明理由． 第2页，共8页 第1页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年沪科版九年级数学上册暑假单元专题提升测试 第21章 二次函数与反比例函数综合提升测试 满分:150分 考试时间:120分钟 一、单选题（共40分） 1．（本题4分）下列各式中，是的二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义，形如（）的函数是二次函数，逐一验证各选项即可． 【详解】A．，分母含，是分式函数而非整式，不符合二次函数定义； B．，若，则变为一次函数，不一定是二次函数； C．展开得，为一次函数； D．展开得，符合（），是二次函数． 故选：D． 2．（本题4分）若点在反比例函数的图象上，则代数式的值为（   ） A．0 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数解析式，根据反比例函数图象上点的坐标特征，得出的值，再代入代数式计算即可． 【详解】解：点在反比例函数的图象上， ，即． 将代入代数式，得：． 故选：D 3．（本题4分）抛物线与轴的交点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了抛物线与坐标轴的交点问题． 求抛物线与y轴的交点坐标，只需令，代入抛物线解析式计算对应的y值即可． 【详解】解：将代入抛物线方程，得：， 因此，抛物线与y轴的交点坐标为， 故选：A． 4．（本题4分）已知反比例函数（k为常数，且）的图象上的三个点分别是，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征．根据反比例函数的图象与性质结合三点的横坐标进行判断即可． 【详解】解：∵函数（k为常数，且）中， ∴函数图象的两个分支分别在一、三象限，在每一象限内y随x的增大而减少， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 5．（本题4分）二次函数中m的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的定义，根据题意形如的形式叫做y是x的二次函数．继而得到，即得本题答案． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴，即， 故选：A． 6．（本题4分）若二次函数的图像开口向下，顶点坐标为，且过点，则函数解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，直接设抛物线为，再进一步求解即可. 【详解】解：∵二次函数的图像开口向下，顶点坐标为，且过点， ∴设二次函数为， ∴， 解得：， ∴抛物线为：； 故选：A 7．（本题4分）抛物线 的顶点坐标为，其部分图象如图所示．以下结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了二次函数的图象与系数的关系，利用二次函数的图象判断式子的正负，二次函数的图象与性质，正确理解二次函数的图象与系数的关系是解题的关键． 根据二次函数的图象与系数的关系及二次函数的性质依次判断即可． 【详解】解：由图象得， 对称轴在y轴的左侧， ， ，故A正确，不符合题意； 当时，，故B正确，不符合题意； 抛物线的对称轴为直线， ，即， 抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点在和之间， 抛物线与x轴的另一个交点在和之间， 当时，，即， ，即， ∴， ， ，故C错误，符合题意； 抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点在和之间， 抛物线与x轴有两个不同的交点， ， ，故D正确，不符合题意； 故选：C． 8．（本题4分）如图，反比例函数经过、两点，过点作轴于点，过点作轴于点，连接、、．若，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，矩形的判定与性质，熟练掌握值几何意义是关键．延长交于点E，设，则，求出，，进而得到，证明四边形是矩形，再求出，得到，根据，建立方程求解即可． 【详解】解：延长交于点E， 设， ∵， ∴， ∵轴，轴， ∴点的纵坐标为，点的纵坐标为， ∴， ∴， ∴，， ∵反比例函数经过、两点， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 故选：D． 9．（本题4分）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点．则关于x的不等式的解集是（    ） A．，或 B．，或 C．，或 D．，或 【答案】D 【分析】本题考查根据函数图象的交点确定不等式的解集．由求关于x的不等式的解集，即为求一次函数的图象在反比例函数的图象上方时，x的取值范围，再结合图象即可求解． 【详解】解：求关于x的不等式的解集，即为求一次函数的图象在反比例函数的图象上方时，x的取值范围． ∵， 由图象可知，当或时，一次函数的图象在反比例函数的图象上方， ∴关于x的不等式的解集是或． 故选D． 10．（本题4分）如图，二次函数与轴交于点、，与轴交于点，其中．则下列结论： ①；②方程没有实数根；③； ④． 其中错误的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数图象开口，对称轴直线，最值的计算方法是关键． 根据题意得到图象开口向上，对称轴直线为，，则，当时，代入计算可判定①；根据二次函数与直线的位置关系可判定②；根据题意得到，可判定③；根据函数最小值的大小可判定④；由此即可求解． 【详解】解：二次函数与轴交于点、，图象开口向上， ∴对称轴直线为，， ∴， 当时，， ∴，即， ∴， ∴，故①正确； 图象开口向上，对称轴直线为， ∴当时，函数有最小值，最小值轴的下方， ∴抛物线与直线两个不同的交点， ∴方程有两个不相等的实数根，故②错误； ∵二次函数与轴交于点，其中， ∴当，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得，，故③正确； 当时，函数有最小值，最小值为，， ∴， ∴，故④正确； 综上所述，正确的有①③④，错误的有②， ∴错误的有1个， 故选：A ． 二、填空题（共20分） 11．（本题4分）若是关于的二次函数，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，一般地，形如（    其中a、b、c为常数，且）的函数叫做二次函数，据此可得，解之即可得到答案． 【详解】解：∵是关于的二次函数， ∴， ∴， 故答案为：． 12．（本题4分）如图，是等边三角形，点B在x轴正半轴上，的面积为．若反比例函数（）图像的一支经过点A，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，反比例函数系数k的几何意义等知识点，掌握等边三角形的性质以及反比例函数系数k的几何意义是解题的关键． 根据正三角形的性质以及反比例函数系数k的几何意义，得出，再根据图象的位置确定k的值即可解答． 【详解】解：如图，过点A作于点C， ∵是正三角形， ， ，即， 又， ∴． 故答案为：． 13．（本题4分）如果平移抛物线后得到的新抛物线经过和，那么平移后新抛物线的解析式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，设平移后新抛物线的解析式为，将和代入求出、，即可求解． 【详解】解：设平移后新抛物线的解析式为， 将和代入得： ， 解得：， 平移后新抛物线的解析式是， 故答案为：． 14．（本题4分）一次函数与反比例函数的图象如图所示，则不等式的解集为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了根据图象求不等式的解集． 直接根据图象作答即可． 【详解】由图可知，不等式的解集为或， 即不等式的解集为或， 故答案为：或 15．（本题4分）如图，已知直线l与y轴、x轴分别交于A、B两点，与反比例函数的图象交于C、D两点．若C、D两点为线段的三等分点，连接、，则面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，由题意可得为的中点，，设，，由中点坐标公式可得，，代入反比例函数的解析式可得，作轴于，则，，再由三角形面积公式计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵C、D两点为线段的三等分点， ∴，即为的中点， ∴， 设，， 由中点坐标公式可得，， 代入反比例函数解析式可得：， ∴， 如图，作轴于， 则，， ∴， ∴面积为， 故答案为：． 三、解答题（共90分） 16．（本题8分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点．一次函数的图象与x轴交于点，与反比例函数的图象交于点，射线与反比例函数的图象交于点C，连接． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)求的面积． 【答案】(1)一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为 (2)3 【分析】本题考查待定系数法求解析式，函数图象的交点，坐标系中三角形的面积． （1）把点代入一次函数，即可得到k的值，得到一次函数的表达式．把点代入一次函数，得到，把点代入反比例函数，求出m的值，得到反比例函数的表达式； （2）解方程组得到，根据求解即可． 【详解】（1）解∶∵一次函数的图象与x轴交于点， ∴，解得， ∴一次函数的表达式为． ∵一次函数过点， ∴， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象过点， ∴，解得， ∴反比例函数的表达式为． （2）解：解方程组得或， ∴， 过点作轴于点E，过点作轴于点D， ∴，， ∵， ∴， ∴． 17．（本题8分）如图，学校课外生物小组的同学准备自己动手，用旧围栏建一个面积为的长方形种植园，其中边靠墙，墙长为．设的长为，的长为． (1)求与之间的函数关系式． (2)若围栏总长不超过，和的长都是整数，求满足条件的所有围建方案． 【答案】(1) (2)①，．②， 【分析】本题考查了反比例函数的应用，根据各数量之间的关系，找出与之间的函数关系式是解题的关键； （1）根据长方形种植园的面积为，可得出，即，结合墙长为且值非负，可确定的取值范围； （2）根据围栏总长不超过，可得出，结合，均为正整数且，即可找出各围建方案． 【详解】（1）解：根据题意得：， ， 墙长为，且值非负， ， 与之间的函数关系式为； （2）解：根据题意得：， 即， 又，均为正整数，且， 当时，与的对应值如下表： 1 2 5 10 50 25 10 5 符合题目要求的对应值如下表： 5 10 10 5 满足条件的所有围建方案为①，． ②，． 18．（本题8分）在平面直角坐标系中，已知抛物线L：经过，与y轴交于点B，连接，． (1)求a的值及点B的坐标； (2)将抛物线L平移得到抛物线，设平移后点A，B的对应点分别为，若平移后抛物线的顶点落在x轴上，且，求平移后抛物线的表达式． 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题主要考查了二次函数图象与几何变换、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）依据题意，将点代入抛物线中，则可得的值，进而可得抛物线的表达式为，然后令，则，进而可得的坐标； （2）依据题意，由（1）抛物线的表达式为，可得抛物线的顶点坐标为，又平移后抛物线的顶点落在轴上，故抛物线向下平移了4个单位，则可设平移后抛物线的表达式为，结合，可得点的纵坐标均为，故点的横坐标为，点的横坐标为，从而，又，则，求出后即可判断得解． 【详解】（1）解：由题意，将点代入抛物线中， ， ， ∴抛物线的表达式为， ∴令，则， ∴； （2）由题意，∵抛物线的表达式为， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵平移后抛物线的顶点落在轴上， ∴抛物线向下平移了4个单位， ∴可设平移后抛物线的表达式为， ， ∴点，的纵坐标均为， ∴点的横坐标为，点的横坐标为， ， 又∵， ， ∴或， ∴平移后抛物线的表达式为或． 19．（本题8分）琪琪新买了一盏亮度可调节的台灯，他发现调节的原理是当电压一定时，通过调节电阻控制电流的变化从而改变灯光的明暗，台灯的电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）满足反比例函数关系，其图像如图所示． (1)求I关于R的函数表达式； (2)当时，求R的值； (3)若该台灯工作的最小电流为，最大电流为，请直接写出该台灯的电阻R的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查反比例函数的实际应用，正确求出函数解析式、掌握反比例函数的性质是解题的关键． （1）直接运用待定系数法求出函数解析式即可； （2）将代入（1）所得解析式，然后求出R的值即可； （3）求出最小电流和最大电流对应的电阻R的阻值，再根据反比例函数的增减性即可解答． 【详解】（1）解：设I关于R的函数表达式为， 由图象可知：当时，， ， ； （2）解：当时，，解得：； （3）解：当，， 当，， ∴该台灯的电阻的取值范围为． 20．（本题10分）已知二次函数的图象如图所示． (1)求这个二次函数的解析式； (2)根据图象回答：当时，直接写出的取值范围； (3)当时，求的取值范围． 【答案】(1)二次函数的解析式为； (2)； (3)的取值范围为． 【分析】本题考查了求二次函数的解析式，二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （）根据图象可设二次函数的解析式为，且过点，然后利用待定系数法即可求解； （）根据图象即可求出的取值范围； （）由二次函数的解析式为，当时，时，有最小值，然后分别求出当时和当时，的值，从而求出的取值范围． 【详解】（1）解：根据图象可设二次函数的解析式为，且过点， ∴， 解得：， ∴二次函数的解析式为； （2）解：根据图象可知，当时，； （3）解：由二次函数的解析式为， 当时，时，有最小值， 当时，，当时，， ∴的取值范围为． 21．（本题12分）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于A、两点，若已知． (1)分别求一次函数与反比例函数的关系式； (2)观察图像，直接写出不等式的解集 ； (3)点为y轴上一点，若的面积为10，求a的值． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】本题主要考查求一次函数与反比例函数的解析式、函数图像解不等式、三角形面积等知识点，正确求得函数解析式、掌握数形结合思想成为解题的关键． （1）将代入求出m的值，再将代入求出n，然后运用待定系数法求出一次函数即可； （2）根据函数图像直接写成不等式的解集即可； （3）先求出出一次函数与x轴的交点坐标，进而得到，再根据列方程求出的值即可． 【详解】（1）解：把代入得； ∴反比例函数解析式为， 把代得， ∴， 把，分别代入， 得：，解得：， ∴一次函数解析式为． （2）解：∵一次函数的图像与反比例函数的图像交于，， ∴由图像可得，当反比例函数图像在一次函数下方时， ∴的解为：或． （3）解：设一次函数与y轴交点为C， 在中，令，则，即， ∴一次函数的图象与y轴的交点C的坐标为，则， ∵， ∴，即，解得：或． 22．（本题12分）“五一”迎来旅游小高峰，很多旅游景点在小长假都接待了不少游玩的旅客，某民宿共有50个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，该民宿需对每个被居住的房间每天支出20元的各种费用，设房间定价为x元／间（为10的整数倍）． (1)若房间定价为300元时，则可租出去______个房间．此时，利润为______元； (2)为了进一步提高服务质量，针对游客居住的房间，该民宿对每个被居住的房间每天支出的费用提高为30元每间，当为多少时，民宿利润最大？ (3)在（2）的条件下，该民宿空闲房间数不能超过20间，所获利润不低于10360元，直接写出房间定价的范围． 【答案】(1)38，10840； (2)见解析；当或360时有最大值元； (3)见解析；，且为10的整数倍. 【分析】（1）由题意，民宿共有50个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲，进而可以租出去38个房间，进而求出利润； （2）设利润为元，则，由于 为10的整数倍及二次函数的性质可以判定得解； （3）由题意，令，则当或，又获利润不低于10360元，则，又该民宿空闲房间数不能超过20间，故，进而可以判定求解. 【详解】（1）解：由题意，∵民宿共有50个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲， ∴ ∴ ∴房间定价为300元时，则可租出去38个房间； ∴此时利润（元） 故答案为：38，10840； （2）由题意，设利润为元， ∴ ∵ ∴开口向上，对称轴为直线， 又∵ 为10的整数倍， ∴当或时，有最大值 （3）由题意，令 ∴或 又∵所获利润不低于10360元， ∴ ∵该民宿空闲房间数不能超过20间 ∴ 解得： ∴，且为10的整数倍. 【点睛】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，一元一次不等式等相关知识和内容，解题时要熟练掌握并能灵鹤运用二次函数的性质是关键. 23．（本题12分）如图，在平面直角坐标系中，，点在线段上，且点的横坐标为3，点A的坐标为．过点作轴，、分别与反比例函数的图像相交于点、，，连接． (1)点的坐标为 ；所在直线的函数表达式为 ； (2)求反比例函数表达式和点的坐标； (3)点为轴上一点，点为反比例函数图像上一点，以、、、为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查反比例函数的图象及性质、等腰三角形的性质，平行四边形的性质等知识点，熟练掌握反比例函数的图象及性质是解题的关键． （1）如图：过点A作轴于G，根据等腰三角形的性质求出D点坐标，再用待定系数法求函数的解析式即可； （2）如图：延长交x轴于H，作于F，证明，可求，即可求，再由C点在反比例函数图象上，可求； （3）设，根据平行四边形的对角线分三种情况分别求n的值即可． 【详解】（1）解：如图：过点A作轴于G， ∵点， ∴， ∴， ∴， 设所在直线的函数的解析式为， ∴， ∴， ∴直线为． 故答案为：． （2）解：如图：延长交x轴于H，作于F， ∵轴， ∴轴， ∵点B在线段上，且点B的横坐标为3， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为， ∵C点在反比例函数图象上， ∴． （3）解：设， 当为平行四边形的对角线时，，解得：， ∴； 当为平行四边形的对角线时，， 解得：（舍）； 当MC为平行四边形的对角线时， 解得：， ∴； 综上所述：N点坐标为或． 24．（本题12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于两点（点在点的左边），与轴相交于点，且抛物线的顶点坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)是抛物线上位于第四象限的一点，点，连接相交于点，连接．若与的面积相等，求点的坐标； (3)是抛物线上的两个动点，分别过点作直线的垂线段，垂足分别为．是否存在点，使得以为顶点的四边形是正方形？若存在，求该正方形的边长；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，正方形的边长为或 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）作轴，垂足为点，设，则：，，根据与的面积相等，推出，列出方程进行求解即可； （3）存在点，使四边形为正方形，如图所示，过作轴，过作轴，过作轴，则有与都为等腰直角三角形，设，设直线解析式为，与二次函数解析式联立，消去得到关于的一元二次方程，利用根与系数关系表示出，由为等腰直角三角形，得到，若四边形为正方形，得到，求出的值，进而确定出的长，即为正方形边长． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴相交于点，且抛物线的顶点坐标为． ∴设抛物线的解析式为：， 把代入，得：， ∴， ∴； （2）当时，解得：， ∴， ∵， ∴设直线的解析式为：，把代入，得：， ∴， 作轴，垂足为点，设，则：， ∴， ∴与的面积相等， ∴，即：， ∵， ∴， ∴， 解得：或（舍去）； ∴； （3）存在点，使四边形为正方形， 如图所示，过作轴，过作轴，过作轴，则有与都为等腰直角三角形，， 由（2）可知，直线的解析式为， 设，直线解析式为， 联立得：， 消去得：， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， ∵四边形为正方形， ∴， ， 整理得：， 解得：或， 正方形边长为， 或．即正方形的边长为或． 【点睛】此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，根与系数的关系，等腰直角三角形的性质，正方形的性质，勾股定理以及一次函数与二次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 第26页，共28页 第25页，共28页 学科网（北京）股份有限公司 $$