4.2 导数与函数的单调性、极值和最值 讲义-2026届高三数学一轮专题复习

§4.2 导数与函数的单调性、极值和最值 目录 知识点一：函数的单调性与导数 2 考法1：利用导数研究函数的单调性 2 考法2：由单调性求参数 5 知识点二：导数与函数的极值和最值 8 考法3： 利用导数求函数的极值、最值 9 考法4： 由函数的极值（点）、最值求参数 14 考法5： 利用导数研究生活中的优化问题 23 【强化训练】 27 知识点一：函数的单调性与导数 1. 函数的单调性与导数的关系 条件 恒有 结论 函数在区间上可导 在区间上单调递增函数 在区间上单调递减函数 在区间上是常数函数 2. 原函数与导函数性质之间的关系 （1） 可导奇函数的导数是偶函数，可导偶函数的导数是奇函数. （2） 可导周期函数的导数还是周期函数. （3） 原函数与导函数对称性之间的关系 1　 函数的图像关于直线对称的图像关于点对称. 2　 函数的图像关于点对称的图像关于直线对称. （4） 为偶函数有对称中心. 考法1：利用导数研究函数的单调性 方法提炼 1. 讨论不含参函数单调性的步骤 第1步，确定函数的定义域; 第2步，求导数,并求方程的根; 第3步，利用的根为分界点，将函数定义域分段,在各段上讨论的正负,由符号确定在该段上的单调性. 2. 判断含参函数单调性的策略 (1) 在不能确定导数等于零的点的相对位置时，需要对导数等于零的点的位置关系进行分类讨论． (2) 若导函数为二次函数式，首先看能否因式分解，再讨论二次项系数的正负及两根的大小；若不能因式分解，则需讨论判别式Δ的正负，二次项系数的正负，两根的大小及根是否在定义域内. 3. 证明可导函数在内的单调性的方法 (1) 求; (2) 确定在内的符号; (3) 推出结论:,在内为增函数,,在内为减函数. 【例1.1.】 已知函数（），当时，求的单调递增区间. 【答案】和 【详解】因为，所以， 由，即，解得或， 所以在和单调递增， 由，即，解得， 所以在单调递减， 故的单调增区间为和. 【例1.2.】 已知函数．讨论的单调性； 【答案】在上单调递减 【详解】 ， 令，由于，所以， 所以， 因为，，， 所以在上恒成立， 所以在上单调递减. 【例1.3.】 已知函数，求的单调区间. 【详解】定义域为， 当时，，故在上单调递减； 当时，时，，单调递增， 当时，，单调递减. 综上所述，当时，的单调递减区间为； 时，的单调递增区间为，单调递减区间为. 【例1.4.】 已知函数,讨论的单调区间. 【详解】由题意可知：的定义域为，且， （i）若，则， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增； （ⅱ）若，令，解得或， ①当，即时， 令，解得或；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增； ②当，即时，则，可知在内单调递增； ③当，即时， 令，解得或；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增； 综上所述：若，的单调递减区间为，单调递增区间为； 若，的单调递减区间为，单调递增区间为； 若，的单调递增区间为，无单调递减区间； 若，的单调递减区间为，单调递增区间为. 考法2：由单调性求参数 方法提炼 由函数的单调性求参数的取值范围的方法 (1) 可导函数在区间上单调,实际上就是在该区间上(或)恒成立,且在的任意子区间，等号不恒成立. (2) 可导函数在区间上存在单调区间,实际上就是(或)在该区间上有解. (3) 若函数在区间上不单调，则转化为在上有解,需验证解的两侧导数是否异号. (4) 若已知在区间上的单调性,则区间是其单调区间的子集. 【例2.1.】 已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（    ）． A． B．e C． D． 【答案】C 【详解】依题可知，在上恒成立，显然，所以， 设，所以，所以在上单调递增， ，故，即，即a的最小值为． 故选：C． 【例2.2.】 设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是 . 【答案】 【详解】由函数的解析式可得在区间上恒成立， 则，即在区间上恒成立， 故，而，故， 故即，故， 结合题意可得实数的取值范围是. 故答案为：. 【例2.3.】 若函数在上存在单调递增区间，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为函数在上存在单调递增区间， 所以存在，使成立，即存在，使成立， 令，， 变形得，因为，所以， 所以当，即时，，所以， 故选：D． 【例2.4.】 若函数在区间上不单调，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D．m>1 【答案】B 【详解】函数的定义域为， 且， 令，得， 因为在区间上不单调， 所以，解得： 故选：B. 【例2.5.】 设函数 . (1) 求的单调区间； (2) 设为在点切线方程，是否存在t使得函数单调？若存在，求出所有t的值；如不存在，说明理由. 【答案】(1)单调递增区间为和，单调递减区间为 (2) 【详解】（1）， 令，得或， 当时，，所以函数在和上单调递增， 当时，，所以函数在上单调递减， 所以函数单调递增区间为和，单调递减区间为； （2）因为，所以，， 所以处切线方程为， 整理得：， 设， 则 ， 所以， 若在单调，则恒成立， 所以只有即或（舍）时，恒成立， 即在单调递增，所以. 知识点二：导数与函数的极值和最值 1. 导数与函数的极值 (1) 极大值：一般地，设函数在点及附近有定义，如果对点附近其他点都有，；而且在点附近的左侧，右侧.则是函数的极大值点，是函数的一个极大值，记作. (2) 极小值：一般地，设函数在点及附近有定义，如果对点附近其他点都有，；而且在点附近的左侧，右侧.则是函数的极小值点，是函数的一个极小值，记作. (3) 极小值和极大值统称为极值.在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值. 2. 函数的最值 如果在闭区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值，但不一定有极值. 考法3： 利用导数求函数的极值、最值 方法提炼 1. 利用导数求函数极值的步骤 第1步，确定函数的定义域; 第2步，求导数,并解方程; 第3步，判断在的根两侧的符号； 第4步，求极值并下结论. 2. 由函数图像判断极值的思路 由图象判断函数的极值，要抓住两点：(1)由的图象与轴的交点，可得函数的可能极值点；(2)由导函数的图象可以看出的值的正负，从而可得函数的单调性.两者结合可得极值点. 3. 利用导数求函数最值的步骤 第1步，确定函数的定义域; 第2步，求函数的导数; 第3步，求函数在给定区间上的极值； 第4步，求函数在区间端点处的函数值； 第5步，将函数的各极值与端点处的函数值比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. 【例3.1.】 已知是函数的极值点，则函数的极小值为（   ） A． B． C．0 D． 【答案】A 【详解】函数的定义域为R，求导得， 由是函数的极值点，得，解得， 函数，， 当或时，；当时，， 所以函数的极小值. 故选：A 【例3.2.】 （多选）已知函数与其导函数的部分图象如图所示，若函数，则下列关于函数的结论不正确的是（   ） A．在区间上单调递减 B．在区间上单调递增 C．当时，函数有极小值 D．当时，函数有极小值 【答案】ABD 【详解】由有， 由图可知的分布如图所示： 当时，，，，所以， 所以在单调递增，故A错误； 当时，，所以，即，在单调递减，故B错误； 当时，，所以，由图可知当时，，当时，， 所以在单调递减，在单调递增，所以时的极小值点，故当时，函数有极小值，故C正确； 当时，，所以，由图可知当时，，所以，所以， 所以在单调递增，所以当时，函数有极大值，故D错误. 故选：ABD. 【例3.3.】 已知，函数,证明存在唯一的极值点 【详解】令，则， 令，则， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 当时，，，当时，，画出大致图像如下： 所以当时，与仅有一个交点，令，则，且， 当时，，则，单调递增， 当时，，则，单调递减， 为的极大值点，故存在唯一的极值点； 【例3.4.】 函数在区间的最小值、最大值分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， 所以在区间和上，即单调递增； 在区间上，即单调递减， 又，，， 所以在区间上的最小值为，最大值为. 故选：D 【例3.5.】 函数的最小值为 . 【答案】1 【详解】由题设知：定义域为， ∴当时，，此时单调递减； 当时，，有，此时单调递减； 当时，，有，此时单调递增； 又在各分段的界点处连续， ∴综上有：时，单调递减，时，单调递增； ∴ 故答案为：1. 【例3.6.】 设函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求的值； (2)设函数，求的单调区间； (3)求的极值点个数． 【答案】(1)；(2)答案见解析；(3)3个 【详解】（1）因为，所以， 因为在处的切线方程为， 所以，， 则，解得， 所以. （2）由（1）得， 则， 令，解得，不妨设，，则， 易知恒成立， 所以令，解得或；令，解得或； 所以在，上单调递减，在，上单调递增， 即的单调递减区间为和，单调递增区间为和. （3）由（1）得，， 由（2）知在，上单调递减，在，上单调递增， 当时，，，即 所以在上存在唯一零点，不妨设为，则， 此时，当时，，则单调递减；当时，，则单调递增； 所以在上有一个极小值点； 当时，在上单调递减， 则，故， 所以在上存在唯一零点，不妨设为，则， 此时，当时，，则单调递增；当时，，则单调递减； 所以在上有一个极大值点； 当时，在上单调递增， 则，故， 所以在上存在唯一零点，不妨设为，则， 此时，当时，，则单调递减；当时，，则单调递增； 所以在上有一个极小值点； 当时，， 所以，则单调递增， 所以在上无极值点； 综上：在和上各有一个极小值点，在上有一个极大值点，共有个极值点. 考法4： 由函数的极值（点）、最值求参数 方法提炼 已知函数的极值或最值情况求参的方法： (1) 根据函数的极值和最值的关系,与最值有关的问题都可以转化为极值问题.已知在某点处有极值,求参数的取值范围时,应逆向考虑,可先将参数当作常数,按照求极值的一般方法求解,再依据极值与导数的关系,列等式(不等式)求解;也可以根据函数在该点的导数列出等式(不等式),再根据极值与导数的关系及题意进行求解. (2) 极值点的个数问题，可转化为导数的根的个数. 【例4.1.】 当时，函数取得最大值，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【详解】因为函数定义域为，所以依题可知，，，而，所以，即，所以，因此函数在上递增，在上递减，时取最大值，满足题意，即有． 故选：B. 【例4.2.】 若函数的最小值为2，则实数a的值是 . 【答案】1 【详解】由，求导可得， 当时，令，可得， 由可得，由得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 故，解得； 当时，，显然函数在上单调递减，故不合题意； 当时，，函数在上单调递减，故不合题意. 故答案为： 【例4.3.】 已知函数在区间上有最小值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数，求导得， 由在区间上有最小值， 得在区间上有变号零点且在零点两侧的函数值左负右正， 令，则在区间上有变号零点且在零点两侧的函数值左负右正， 因此，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：D 【例4.4.】 已知函数，其中，5为的极小值点.若在内有最大值，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题设， 由，所以， 当或时，，即在、上单调递增， 当时，，即在上单调递减， 所以极小值点为，极大值点为， 而， 且， 所以，只需，即， 所以. 故选：D 【例4.5.】 若函数在区间的值域为，则的取值范围为 . 【答案】 【详解】因为，则， 所以当或时，当时， 所以在，上单调递增，在上单调递减， 且，，， 因为在区间的值域为，所以，解得， 此时，， 又，∴，则， 故答案为：. 【例4.6.】 已知函数存在最小值，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【详解】的定义域为R， ， 令， 若，则，令得，令得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 故存在最大值，不存在最小值，舍去； 若，， 若，则，此时， 其中，， 当且时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 故存在最大值，不存在最小值，舍去； 若，即时，恒成立， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 故存在最大值，不存在最小值，舍去； 若，则或， 当时，设的两根为， 开口向上，， 当时，，， 当时，，， 当时，，， 当时，，， 所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 即为的最小值，故满足要求； 当时，设的两根为 开口向下，， 当时，，， 当时，，， 当时，，， 当时，，， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 当趋向于时，趋向于，不存在最小值， 综上， 故答案为： 【例4.7.】 已知函数有两个极值点与，若，则实数a＝ . 【答案】4 【详解】因为函数有两个极值点与 由，则有两根与 所以，得 因为， 所以，又 则， 所以 故答案为： 【例4.8.】 已知和分别是函数（且）的极小值点和极大值点．若，则a的取值范围是 ． 【答案】 【详解】[方法一]：【最优解】转化法，零点的问题转为函数图象的交点 因为，所以方程的两个根为， 即方程的两个根为， 即函数与函数的图象有两个不同的交点， 因为分别是函数的极小值点和极大值点， 所以函数在和上递减，在上递增， 所以当时，，即图象在上方 当时，，即图象在下方 ，图象显然不符合题意，所以． 令，则， 设过原点且与函数的图象相切的直线的切点为， 则切线的斜率为，故切线方程为， 则有，解得，则切线的斜率为， 因为函数与函数的图象有两个不同的交点， 所以，解得，又，所以， 综上所述，的取值范围为． [方法二]：【通性通法】构造新函数，二次求导 =0的两个根为 因为分别是函数的极小值点和极大值点， 所以函数在和上递减，在上递增， 设函数，则， 若，则在上单调递增，此时若， 则在上单调递减，在上单调递增，此时若有和分别是函数 且的极小值点和极大值点，则，不符合题意； 若，则在上单调递减，此时若，则在上单调递增，在上单调递减，令，则，此时若有和分别是函数且的极小值点和极大值点，且，则需满足，，即故，所以. 【例4.9.】 已知在区间内存在2个极值点，则实数a的取值范围为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，可知在内有2个变号零点， 由可得，可知：与在内有2个交点， 又因为， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递增，在内单调递减，则， 且，， 结合图象可得，所以实数a的取值范围为. 故选：B. 【例4.10.】 已知函数恰有2个极值点，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【详解】因为函数的定义域为， 由，可得， 要使函数有两个极值点，只需有两个不同正根，并且在的两侧的单调性相反， 由得，，所以， 由题意可知与有两个不同的交点， 令，则， 所以当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 所以，当时，， 作出图形如图所示： 由图象可得实数a的取值范围为. 故答案为：. 考法5： 利用导数研究生活中的优化问题 方法提炼 利用导数解决生活中优化问题的方法: 求实际问题中的最大值或最小值时,一般是先设自变量、因变量,建立函数关系式,并确定其定义域,然后利用求函数最值的方法求解,注意结果应与实际情况相结合，不符合实际情况的值应舍去. 【例5.1.】 某个体户计划同时销售A，B两种商品，当投资额为x千元时，在销售A，B商品中所获收益分别为千元与千元，其中，，如果该个体户准备共投入5千元销售A，B两种商品，为使总收益最大，则B商品需投 千元． 【答案】/1.5 【详解】设投入经销B商品x千元，则投入经销A商品的资金为千元，所获得的收益千元， 则， 可得， 当时，可得，函数单调递增； 当时，可得，函数单调递减； 所以当时，函数取得最大值，最大值为. 故答案为： 【例5.2.】 已知正四棱锥的侧棱长为，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（   ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】D 【详解】设底面边长为，则高， 由，所以， 所以体积 ， 设，，则， 所以当时，，所以在上单调递增； 当时，，所以在上单调递减； 所以当时取得极大值，即为最大值，此时该棱锥的体积最大， 此时. 故选：D． 【例5.3.】 人们赞美蜜蜂是自然界的建筑师，是因为蜜蜂建造的蜂房是以正六棱柱为单位的几何体.18世纪初，法国天文学家通过观测发现蜜蜂蜂房的每个单位并非六棱柱.如图1，左侧的正六棱柱底面边长为，高为.蜜蜂的蜂房实际形状是一个十面体，如图2，它的顶部是边长为的正六边形，底部由三个全等的菱形，和构成，其余侧面由个全等的直角梯形构成，，，蜜蜂的高明之处在于图2的构造在容积上与图1相等，但所用的材料最省.图2中，（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，则由题意知蜂房的表面积为， 求导得， 令，得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以当时，取得极小值，也是最小值，即此时蜂房最省料. 故选：D. 【例5.4.】 如图，某城市公园内有一矩形空地，，，现规划在边AB，CD，DA上分别取点E，F，G，且满足，，在内建造喷泉瀑布，在内种植花奔，其余区域铺设草坪，并修建栈道EG作为观光路线（不考虑宽度），则当 时，栈道EG最短. 【答案】/ 【详解】由题意，， 设，则. 在中，得， 则. 由于，解得. 令，，则. 令，则， 当时，严格递增； 当时，严格递减； 所以，有最大值，则. 故答案为： 【例5.5.】 设正六棱锥的底面中心为，若该棱锥的侧棱均与以为球心，半径为1的球相切，则该棱锥体积的最小值为 . 【答案】 【详解】由对称性，球的大圆与等腰的两腰相切，设正六边形外接圆半径为，正六棱锥的高为， 在中，斜边上的高为1，，， 因此，该棱锥的体积， 令，求导得，当时，， 当时，，函数在上单调递减，在上单调递增， 则，所以当时，， 所以该棱锥体积的最小值为. 故答案为：. 【强化训练】 1. 已知函数的导函数图象如图所示，则下列说法中错误的是（    ） A．在区间上单调递增 B．是的极大值点 C．当时， D．在区间上单调递减 【答案】C 【详解】解：由导函数的图象可知：导函数在，导函数的符号为正，函数单调递增，A正确； 时，，函数单调递增，，，函数单调递减， 所以是的极大值点，B正确； 在区间上单调递减，D正确； 当时，函数单调递增，可能，所以C不正确； 故选：C． 2. 已知函数有两个极值点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意，由，可得 函数有两个极值点，即方程在内有两个不等实根， 即函数与在上有两个交点， 因，，， 所以，解得. 故选：A. 3. 函数，若在有最大值，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由， 则， 令，得或， 当，即时，， 函数在上单调递增，此时在上没有最大值，不符合题意； 当，即时， 令，得或， 令，得， 则函数在和上单调递增，在上单调递减， 又，则在没有最大值，不符合题意； 当，即时， 令，得或， 令，得， 则函数在和上单调递增，在上单调递减， 又， ， 要使在有最大值， 则，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 故选：B. 4. （多选）已知函数的定义域为，，则（    ）． A． B． C．是偶函数 D．为的极小值点 【答案】ABC 【详解】方法一： 因为， 对于A，令，，故正确. 对于B，令，，则，故B正确. 对于C，令，，则， 令， 又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确， 对于D，不妨令，显然符合题设条件，此时无极值，故错误. 方法二： 因为， 对于A，令，，故正确. 对于B，令，，则，故B正确. 对于C，令，，则， 令， 又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确， 对于D，当时，对两边同时除以，得到， 故可以设，则， 当肘，，则， 令，得；令，得； 故在上单调递减，在上单调递增， 因为为偶函数，所以在上单调递增，在上单调递减，    显然，此时是的极大值点，故D错误. 故选：. 5. （多选）已知函数在处有极值，则（ ） A．在上单调递增 B．的极大值为 C．直线是曲线的切线 D． 【答案】ACD 【详解】因为，在处有极值， 所以，解得：； 当时，，， 所以当或时，；当时，； 所以在，上单调递减，在上单调递增； 对于A，当时，，则在上单调递增，A正确； 对于B，的极大值为，B错误； 对于C，令，解得：或，又， 所以在处的切线为，C正确； 对于D，，D正确. 故选：ACD. 6. （多选）已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（   ） A． B．当时， C．当且仅当 D．是的极大值点 【答案】ABD 【详解】对A，因为定义在上奇函数，则，故A正确； 对B，当时，，则，故B正确； 对C，， 故C错误； 对D，当时，，则， 令，解得或（舍去）， 当时，，此时单调递增， 当时，，此时单调递减， 则是极大值点，故D正确； 故选：ABD. 7. 设，若函数在区间上单调，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】， 设，则， 故在上单调递减，又，可知在区间上单调递增， 在区间上单调递减，故，的取值范围是. 故答案为： 8. 已知函数既有极大值又有极小值，且在区间上单调，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】由题意得，且既有极大值又有极小值， 故有两个不相等的实数根， 即，解得或. 设， 若在区间上单调递减，则需满足，解得. 若在区间上单调递增，则或 解得无解或. 综上，的取值范围是. 故答案为：. 9. 若是函数的极值点，则 【答案】 【详解】由题意有， 所以， 因为是函数极值点，所以，得， 当时，， 当单调递增，当单调递减， 当单调递增， 所以是函数的极小值点，符合题意； 所以. 故答案为：. 10. 修建栈道是提升旅游观光效果的一种常见手段.如图，某水库有一个半径为1百米的半圆形小岛，其圆心为C且直径MN平行坝面.坝面上点A满足，且AC长度为3百米，为便于游客到小岛观光，打算从点A到小岛建三段栈道AB、BD与BE，水面上的点B在线段AC上，且BD、BE均与圆C相切，切点分别为D、E，其中栈道AB、BD、BE和小岛在同一个平面上.此外在半圆小岛上再修建栈道、以及MN，则需要修建的栈道总长度的最小值为 百米. 【答案】 【详解】连接CD，CE，由半圆半径为1得：. 由对称性，设，又，， 所以，， 易知，所以的长为. 又，故，故， 令且，则，， 所以. - 0 + 单调递减 极小值 单调递增 所以栈道总长度最小值. 故答案为：. 11. 已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若有极小值，且极小值大于，求的取值范围． 【答案】(1)分类讨论，答案见解析； (2) 【详解】（1）的定义域为． ①时，，此时在上单调递减； ②时，令得，令得， 此时在上单调递减，在上单调递增． （2）由（1）知时，，整理得． 令，则，当且仅当即时取等号， 故在上单调递增，又，所以的取值范围为． 12. 已知． (1)当时，求函数的极值点和极值； (2)时，求函数在上的最小值； 【答案】(1)极大值点，极大值，无极小值点和极小值； (2) 【详解】（1）的定义域为， 当时，，， 由得；得； 则在上单调递增，在上单调递减， 则的极大值点为，极大值为，无极小值点和极小值； （2）因， 令，则在上恒成立， 故在上单调递减，则， 因，则，， 则存在使得， 故时，；时，； 故在上单调递增，在上单调递减， 又，，则， 故函数在上的最小值为. 13. 已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)是否存在a，b，使得曲线关于直线对称，若存在，求a，b的值，若不存在，说明理由. (3)若在存在极值，求a的取值范围. 【答案】(1)； (2)存在满足题意，理由见解析. (3). 【详解】（1）当时，， 则， 据此可得， 函数在处的切线方程为， 即. （2）令， 函数的定义域满足，即函数的定义域为， 定义域关于直线对称，由题意可得， 由对称性可知， 取可得， 即，则，解得， 经检验满足题意，故. 即存在满足题意. （3）由函数的解析式可得， 由在区间存在极值点，则在区间上存在变号零点; 令， 则， 令， 在区间存在极值点，等价于在区间上存在变号零点， 当时，，在区间上单调递减， 此时，在区间上无零点，不合题意; 当，时，由于，所以在区间上单调递增， 所以，在区间上单调递增，， 所以在区间上无零点，不符合题意； 当时，由可得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 故的最小值为， 令，则， 函数在定义域内单调递增，， 据此可得恒成立， 则， 由一次函数与对数函数的性质可得，当时， ， 且注意到， 根据零点存在性定理可知:在区间上存在唯一零点. 当时，，单调减， 当时，，单调递增， 所以. 令，则， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以， 所以 ， 所以函数在区间上存在变号零点，符合题意. 综合上面可知:实数得取值范围是. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ §4.2 导数与函数的单调性、极值和最值 目录 知识点一：函数的单调性与导数 2 考法1：利用导数研究函数的单调性 2 考法2：由单调性求参数 3 知识点二：导数与函数的极值和最值 4 考法3： 利用导数求函数的极值、最值 5 考法4： 由函数的极值（点）、最值求参数 7 考法5： 利用导数研究生活中的优化问题 8 【强化训练】 10 知识点一：函数的单调性与导数 1. 函数的单调性与导数的关系 条件 恒有 结论 函数在区间上可导 在区间上单调递增函数 在区间上单调递减函数 在区间上是常数函数 2. 原函数与导函数性质之间的关系 （1） 可导奇函数的导数是偶函数，可导偶函数的导数是奇函数. （2） 可导周期函数的导数还是周期函数. （3） 原函数与导函数对称性之间的关系 1　 函数的图像关于直线对称的图像关于点对称. 2　 函数的图像关于点对称的图像关于直线对称. （4） 为偶函数有对称中心. 考法1：利用导数研究函数的单调性 方法提炼 1. 讨论不含参函数单调性的步骤 第1步，确定函数的定义域; 第2步，求导数,并求方程的根; 第3步，利用的根为分界点，将函数定义域分段,在各段上讨论的正负,由符号确定在该段上的单调性. 2. 判断含参函数单调性的策略 (1) 在不能确定导数等于零的点的相对位置时，需要对导数等于零的点的位置关系进行分类讨论． (2) 若导函数为二次函数式，首先看能否因式分解，再讨论二次项系数的正负及两根的大小；若不能因式分解，则需讨论判别式Δ的正负，二次项系数的正负，两根的大小及根是否在定义域内. 3. 证明可导函数在内的单调性的方法 (1) 求; (2) 确定在内的符号; (3) 推出结论:,在内为增函数,,在内为减函数. 【例1.1.】 已知函数（），当时，求的单调递增区间. 【例1.2.】 已知函数．讨论的单调性； 【例1.3.】 已知函数，求的单调区间. 【例1.4.】 已知函数,讨论的单调区间. 考法2：由单调性求参数 方法提炼 由函数的单调性求参数的取值范围的方法 (1) 可导函数在区间上单调,实际上就是在该区间上(或)恒成立,且在的任意子区间，等号不恒成立. (2) 可导函数在区间上存在单调区间,实际上就是(或)在该区间上有解. (3) 若函数在区间上不单调，则转化为在上有解,需验证解的两侧导数是否异号. (4) 若已知在区间上的单调性,则区间是其单调区间的子集. 【例2.1.】 已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（    ）． A． B．e C． D． 【例2.2.】 设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是 . 【例2.3.】 若函数在上存在单调递增区间，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例2.4.】 若函数在区间上不单调，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D．m>1 【例2.5.】 设函数 . (1) 求的单调区间； (2) 设为在点切线方程，是否存在t使得函数单调？若存在，求出所有t的值；如不存在，说明理由. 知识点二：导数与函数的极值和最值 1. 导数与函数的极值 (1) 极大值：一般地，设函数在点及附近有定义，如果对点附近其他点都有，；而且在点附近的左侧，右侧.则是函数的极大值点，是函数的一个极大值，记作. (2) 极小值：一般地，设函数在点及附近有定义，如果对点附近其他点都有，；而且在点附近的左侧，右侧.则是函数的极小值点，是函数的一个极小值，记作. (3) 极小值和极大值统称为极值.在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值. 2. 函数的最值 如果在闭区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值，但不一定有极值. 考法3： 利用导数求函数的极值、最值 方法提炼 1. 利用导数求函数极值的步骤 第1步，确定函数的定义域; 第2步，求导数,并解方程; 第3步，判断在的根两侧的符号； 第4步，求极值并下结论. 2. 由函数图像判断极值的思路 由图象判断函数的极值，要抓住两点：(1)由的图象与轴的交点，可得函数的可能极值点；(2)由导函数的图象可以看出的值的正负，从而可得函数的单调性.两者结合可得极值点. 3. 利用导数求函数最值的步骤 第1步，确定函数的定义域; 第2步，求函数的导数; 第3步，求函数在给定区间上的极值； 第4步，求函数在区间端点处的函数值； 第5步，将函数的各极值与端点处的函数值比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. 【例3.1.】 已知是函数的极值点，则函数的极小值为（   ） A． B． C．0 D． 【例3.2.】 （多选）已知函数与其导函数的部分图象如图所示，若函数，则下列关于函数的结论不正确的是（   ） A．在区间上单调递减 B．在区间上单调递增 C．当时，函数有极小值 D．当时，函数有极小值 【例3.3.】 已知，函数,证明存在唯一的极值点 【例3.4.】 函数在区间的最小值、最大值分别为（    ） A． B． C． D． 【例3.5.】 函数的最小值为 . 【例3.6.】 设函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求的值； (2)设函数，求的单调区间； (3)求的极值点个数． 考法4： 由函数的极值（点）、最值求参数 方法提炼 已知函数的极值或最值情况求参的方法： (1) 根据函数的极值和最值的关系,与最值有关的问题都可以转化为极值问题.已知在某点处有极值,求参数的取值范围时,应逆向考虑,可先将参数当作常数,按照求极值的一般方法求解,再依据极值与导数的关系,列等式(不等式)求解;也可以根据函数在该点的导数列出等式(不等式),再根据极值与导数的关系及题意进行求解. (2) 极值点的个数问题，可转化为导数的根的个数. 【例4.1.】 当时，函数取得最大值，则（    ） A． B． C． D．1 【例4.2.】 若函数的最小值为2，则实数a的值是 . 【例4.3.】 已知函数在区间上有最小值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例4.4.】 已知函数，其中，5为的极小值点.若在内有最大值，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例4.5.】 若函数在区间的值域为，则的取值范围为 . 【例4.6.】 已知函数存在最小值，则实数a的取值范围为 . 【例4.7.】 已知函数有两个极值点与，若，则实数a＝ . 【例4.8.】 已知和分别是函数（且）的极小值点和极大值点．若，则a的取值范围是 ． 【例4.9.】 已知在区间内存在2个极值点，则实数a的取值范围为（   ）． A． B． C． D． 【例4.10.】 已知函数恰有2个极值点，则实数a的取值范围为 . 考法5： 利用导数研究生活中的优化问题 方法提炼 利用导数解决生活中优化问题的方法: 求实际问题中的最大值或最小值时,一般是先设自变量、因变量,建立函数关系式,并确定其定义域,然后利用求函数最值的方法求解,注意结果应与实际情况相结合，不符合实际情况的值应舍去. 【例5.1.】 某个体户计划同时销售A，B两种商品，当投资额为x千元时，在销售A，B商品中所获收益分别为千元与千元，其中，，如果该个体户准备共投入5千元销售A，B两种商品，为使总收益最大，则B商品需投 千元． 【例5.2.】 已知正四棱锥的侧棱长为，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（   ） A．1 B． C．2 D．3 【例5.3.】 人们赞美蜜蜂是自然界的建筑师，是因为蜜蜂建造的蜂房是以正六棱柱为单位的几何体.18世纪初，法国天文学家通过观测发现蜜蜂蜂房的每个单位并非六棱柱.如图1，左侧的正六棱柱底面边长为，高为.蜜蜂的蜂房实际形状是一个十面体，如图2，它的顶部是边长为的正六边形，底部由三个全等的菱形，和构成，其余侧面由个全等的直角梯形构成，，，蜜蜂的高明之处在于图2的构造在容积上与图1相等，但所用的材料最省.图2中，（    ）    A． B． C． D． 【例5.4.】 如图，某城市公园内有一矩形空地，，，现规划在边AB，CD，DA上分别取点E，F，G，且满足，，在内建造喷泉瀑布，在内种植花奔，其余区域铺设草坪，并修建栈道EG作为观光路线（不考虑宽度），则当 时，栈道EG最短. 【例5.5.】 设正六棱锥的底面中心为，若该棱锥的侧棱均与以为球心，半径为1的球相切，则该棱锥体积的最小值为 . 【强化训练】 1. 已知函数的导函数图象如图所示，则下列说法中错误的是（    ） A．在区间上单调递增 B．是的极大值点 C．当时， D．在区间上单调递减 2. 已知函数有两个极值点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3. 函数，若在有最大值，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4. （多选）已知函数的定义域为，，则（    ）． A． B． C．是偶函数 D．为的极小值点 5. （多选）已知函数在处有极值，则（ ） A．在上单调递增 B．的极大值为 C．直线是曲线的切线 D． 6. （多选）已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（   ） A． B．当时， C．当且仅当 D．是的极大值点 7. 设，若函数在区间上单调，则的取值范围是 ． 8. 已知函数既有极大值又有极小值，且在区间上单调，则的取值范围是 . 9. 若是函数的极值点，则 10. 修建栈道是提升旅游观光效果的一种常见手段.如图，某水库有一个半径为1百米的半圆形小岛，其圆心为C且直径MN平行坝面.坝面上点A满足，且AC长度为3百米，为便于游客到小岛观光，打算从点A到小岛建三段栈道AB、BD与BE，水面上的点B在线段AC上，且BD、BE均与圆C相切，切点分别为D、E，其中栈道AB、BD、BE和小岛在同一个平面上.此外在半圆小岛上再修建栈道、以及MN，则需要修建的栈道总长度的最小值为 百米. 11. 已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若有极小值，且极小值大于，求的取值范围． 12. 已知． (1)当时，求函数的极值点和极值； (2)时，求函数在上的最小值； 13. 已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)是否存在a，b，使得曲线关于直线对称，若存在，求a，b的值，若不存在，说明理由. (3)若在存在极值，求a的取值范围. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$