4.1 导数的概念及其意义和导数的运算 讲义-2026届高三数学一轮专题复习

§4.1 导数的概念及其意义和导数的运算 目录 知识点一：导数的概念及其几何意义 2 知识点二：导数的运算 2 考法1：导数的概念 3 考法2： 导数的运算 5 考法3： 导数的几何意义及应用 7  求切线方程 7  求参数值（范围） 9 考法4：两曲线的公切线 12 【强化训练】 17 知识点一：导数的概念及其几何意义 1. 导数的概念 (1) 函数在的瞬时变化率为函数 在处的导数，记作或,即 . 2. 导数的几何意义 函数在处的导数就是曲线在点处的切线的斜率，即，相应的切线方程为． · 函数的导数反映了函数的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，的大小反映了图象变化的快慢，越大，曲线在这点处的切线越“陡”. 知识点二：导数的运算 1. 基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 (为常数) (，且) (，且) (，且，) () 2. 导数的运算法则 若 存在，则有： (1) . (2) . (3) . (4) . 3. 复合函数的导数 复合函数的导数和函数，的导数间的关系为 ，即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积． 考法1：导数的概念 方法提炼 由导数的定义可知，若函数在处可导，则，它仅与有关，与无关，因此使用导数的定义时要明确公式的形式，当分子为时，分母也应该是，要注意公式的变形. 【例1.1.】 若，则（    ） A．0 B．2 C．－2 D．－4 【答案】C 【详解】因为，所以， 所以， 则. 故选：C. 【例1.2.】 已知函数，则（   ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】B 【详解】由题意知，，则. 所以. 故选：B 【例1.3.】 （   ） A．72 B．12 C．8 D．4 【答案】B 【详解】令，根据导数的概念， ， ，所以. 故选：B． 【例1.4.】 现有一球形气球，在吹气球时，气球的体积V与直径d的关系式为，当时，气球体积的瞬时变化率为 ． 【答案】2π 【详解】由，可得，当时，， 即当时，气球体积的瞬时变化率为． 故答案为：. 考法2： 导数的运算 方法提炼 1. 已知函数的解析式，求导函数或导函数值的方法 (1) 连乘形式：先展开化为多项式的形式，再求导. (2) 三角函数形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导. (3) 复杂分式形式：先化为整式函数或较为简单的分式函数的形式，再求导. (4) 根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导. (5) 复合函数形式：应由外到内逐层求导，必要时要进行换元． 2. 抽象函数的求导方法 (1) 抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解． (2) 涉及解析式中含有导数值的函数，即解析式类似 （为常数）的函数，解决这类问题的关键是明确是常数，其导数值为0.因此，先求导数，令，即可得到的值，进而得到函数解析式，求得所要求的导数值. 3. 复合函数的求导方法 求复合函数的导数，一般是运用复合函数的求导法则，将问题转化为基本函数的导数进行解决. (1) 分析清楚复合函数的复合关系是由哪些基本初等函数复合而成的，适当选定中间变量; (2) 分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导,而其中特别要注意的是中间变量的关系; (3) 根据基本函数的导数公式及导数的运算法则,求出各函数的导数,并把中间变量转换成自变量的函数; (4) 复合函数的求导熟练以后,中间步骤可以省略,不必再写出函数的复合过程. 【例2.1.】 （多选）已知函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】因为，所以， 则，得，故C正确. 所以，， 则，， ，故A正确，BD错误. 故选：AC. 【例2.2.】 已知函数，求（    ） A．0 B． C． D．120 【答案】B 【详解】令，则，两边求导得到，令，得到. 故选：B. 【例2.3.】 已知函数满足，则实数 ，设为的导函数，则不等式的解集为 . 【答案】 ； 【详解】由可得令，则， 故，解得， 由可得， 故得， 化简可得，解得或， 故答案为：， 【例2.4.】 已知奇函数在上可导，其导函数为，且恒成立，则（    ） A．1 B． C．0 D． 【答案】B 【详解】设，则为R上可导的奇函数，， 由题意得， 得，所以， ， 又，即， 所以，等式两边对x求导， 得，令，，所以. 由，两边对x求导，，所以的周期为4， 所以，因为，所以， 所以. 故选：B 考法3： 导数的几何意义及应用 · 求切线方程 方法提炼 （1） 注意区分在点处的切线和过点处的切线. 1　 在点处的切线，该点一定是切点，切线有且仅有一条，切线方程为. 2　 过点处的切线，该点不一定是切点，切线至少有一条,可分以下几步完成: 第一步,设出切点坐标; 第二步,写出过点的切线方程,即; 第三步,将点的坐标代入切线方程求出; 第四步,将的值代入方程可得过点的切线方程. （2） 已知切线的斜率求切线方程,只需找出切点即可.求出曲线对应函数的导数,使其等于斜率求出切点的横坐标,从而找出切点,利用点斜式求出切线方程. 【例3.1.】 函数，则曲线在处的切线方程为 . 【答案】 【详解】因为，所以， 则，解得：. 所以曲线在处的切线方程的斜率为， 所以，， 所以曲线在处的切线方程：， 化简可得：. 故答案为：. 【例3.2.】 （多选）过点向曲线作切线，切线方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】令，则，设切点为， 则切线方程为， 将点代入，整理得， 即，解得或， 当时，切线方程为；当时，切线方程为． 故答案为：AC. 【例3.3.】 已知函数，写出曲线的两条相互垂直的切线方程，并说明理由． 【答案】，，理由见解析 【详解】两条切线方程可以是，（答案不唯一）． 理由如下：函数的定义域为，， 令，，，曲线在点处的切线方程为； 由题意，另一切线与直线垂直，则其斜率为-1， 令，解得，， 曲线在点处的切线方程为，整理得． · 求参数值（范围） 方法提炼 根据切线的性质求参数值的方法 已知曲线上一点处的切线与已知直线的关系(平行或垂直),确定该切线的斜率,再求出函数的导函数,然后利用导数的几何意义得到,其中倾斜角 ,根据范围进一步求得角或有关参数的值. 【例3.4.】 若直线是曲线的切线，则 . 【答案】 【详解】法一：对于，其导数为， 因为直线是曲线的切线，直线的斜率为2， 令，即，解得， 将代入切线方程，可得， 所以切点坐标为， 因为切点在曲线上， 所以，即，解得. 故答案为：. 法二：对于，其导数为， 假设与的切点为， 则，解得. 故答案为：. 【例3.5.】 曲线与和分别交于两点，设曲线在处的切线斜率为在处的切线斜率为，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为和互为反函数，其图象关于直线对称， 且反比例函数的图象也关于直线对称， 可知点关于直线对称，设，则， 设，则， 由题意可得：，解得或（舍去）， 可得，则，所以. 故选：A. 【例3.6.】 动点P在函数的图象上，以P为切点的切线的倾斜角取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设以点为切点的切线的倾斜角为， 因为函数， 所以， 当且仅当，即时取等号， 又因为， 所以， 所以. 故选：C. 【例3.7.】 已知函数的图象有两条与直线平行的切线，且切点坐标分别为，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据题意可知的定义域为，所以， 又， 由导数的几何意义可得切点为时，切线斜率为, 同理可得，点处切线斜率为； 又因为两条切线与直线平行，可得，即， 所以是关于方程的两根， 所以，即，又，可得； 所以，由，所以， 所以， 所以的取值范围是. 故选：D 考法4：两曲线的公切线 方法提炼 (1) 公切线问题，应根据两个函数在切点处的斜率相等，且切点既在切线上又在曲线上，列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组求解．或者分别求出两函数的切线，利用两切线重合列方程组求解． (2) 设公切线在上的切点， 在上的切点，则. (3) 公切线条数的判断问题可转化为方程根的个数求解问题. 【例4.1.】 曲线与的一条公切线的方程为 .（只需写出其中一条公切线的方程） 【答案】或（写出其中一条即可） 【详解】（方法一）设，.公切线与相切于点，与相切于点，因为，，则公切线斜率，所以公切线方程为或， 整理得或， 所以，即. 所以，解得或， 所以公切线方程为或. （方法二）由曲线与直线相切知，曲线与直线相切.由曲线与直线相切知，曲线与直线相切.所以直线为曲线与的公切线. 故答案为：或.（写出其中一条即可） 【例4.2.】 若直线（k为常数）是曲线和曲线的公切线，则实数a的值为（    ） A． B． C．1 D．e 【答案】B 【详解】解法一：令，，则， 设直线与的切点为， 则切线方程为，即， 又因为，所以，解得，，所以切线方程为， 令，则， 设直线与的切点为，所以  ①， 又因为切点在直线上，所以，即  ②， 由①和②可得，所以，解得． 解法二：设切点分别为，， ．∴，． 同理．∴，∴，∴． 故选：B． 【例4.3.】 若曲线在点处的切线与曲线相切于点，则 . 【答案】/ 【详解】曲线在点处的切线与曲线相切于点， ， ∴曲线在点处的切线斜率， 曲线在点处的切线斜率， ∴曲线在点处的切线方程为， 或， ，即， ，易知，， . 故答案为：. 【例4.4.】 若直线同时与曲线和曲线相切，则直线斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为和曲线， 所以，，， 设切线分别切两曲线于，， 则直线斜率为，所以， 所以，， 设，，则，， 所以当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增， 所以，且当与时，， 所以 故选：B. 【例4.5.】 已知函数的图象上存在不同的两点A，B，使得曲线在这两点处的切线重合，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时，， 当时，， 设，，，不妨设， 若且，则由曲线在两点处的切线重合，得， 得，与矛盾， 若且，则由曲线在两点处的切线重合，得， 得，与矛盾， 所以，， 所以曲线在点处的切线方程为，即， 所以曲线在点处的切线方程为，即， 由曲线在两点处的切线重合，得且， 所以， 令 ， 因为，所以，所以单调递增，所以， 因为 所以. 故选：A． 【例4.6.】 若函数与的图象有两条公切线，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】设公切线分别切，于点. 则有以下关系式：①，② 由①得：代入②式变形得：，又. 令，原命题化为：有两解. ，令， 则，为上的减函数. 又注意到，则在区间上，，在区间上递增， 结合，，则此时值域为； 在区间上，，在区间上递减， 结合，则此时值域为. 则当时，存在，使. 故的取值范围是. 故答案为：. 【强化训练】 1. 已知函数，则（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【详解】因为，则，解得. 故选：D 2. 已知函数，曲线在点处的切线与直线平行，则实数的值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【详解】由可得， 则， 因为曲线在点处的切线与直线平行， 且直线的斜率为，即，解得. 故选：A 3. 过原点且与曲线相切的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【详解】设切点，因为曲线，所以， 所以，所以， 所以或， 当时，所以，所以切线方程为，即； 当时，所以，所以切线方程为，即； 当时，所以，所以切线方程为，即； 所以切线有3条. 故选：C. 4. 若直线与曲线相切，则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【详解】设直线与曲线的切点为， 对求导，得，直线的斜率为1， 导数的几何意义知，在切点处，即． 又切点既在直线上又在曲线上， 且，即． 将代入，得：，即． 故选：A 5. 已知函数与存在公切线，则实数的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设公切线与函数及函数的切点分别为，，且，， 故两切线方程为，， 即，， 与存在公切线，所以有解，消去后得：， 令，， 易得在上单调递增，且时，；时，， 故在区间上递减，在上递增． 所以，的最小值为，即的最小值为，即实数的最小值为． 故选：B． 6. 已知函数，若曲线与有两条公切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设公切线与曲线、曲线相切的切点分别为， 而，依题意，，则，因，则， 消去得，令函数， 由曲线与有两条公切线，得函数有两个不同的正零点， ，当时，；当时，， 函数在上递减，在上递增，， 而当从大于0的方向趋近于0时，，当时，， 则当且仅当，即时，函数有两个不同零点， 所以的取值范围是. 故选：C 7. 已知函数，则在点处的切线方程为 ． 【答案】 【详解】由题意可知，且， 故， 故在点处的切线方程为． 故答案为：． 8. 已知函数图象的一条切线的方程为，则 ． 【答案】 【详解】对函数求导得， 直线的斜率为，由，可得， 显然，解得， 若切点横坐标为，则， 则切点在直线上， 可得，解得； 若切点横坐标为，， 则切点在直线上， 可得，无解. 综上所述，. 故答案为：. 9. 已知曲线的切线与曲线也相切，若该切线过原点，则 ． 【答案】 【详解】因为的导数为，设切点为， 所以切线斜率为， 所以曲线在处的切线过原点，所以，即，所以，切线为， 又切线与曲线相切，设切点为， 因为，所以切线斜率为，解得， 所以，则，解得. 故答案为：. 10. 已知函数，则与曲线，都相切的直线的方程是 ． 【答案】 【详解】由题可知，直线的斜率存在，设直线的方程为，直线与，的切点分别为，， ，，，， 对于，切线方程为， 对于，切线方程为， 所以，解得， 所以直线的方程为， 故答案为：． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ §4.1 导数的概念及其意义和导数的运算 目录 知识点一：导数的概念及其几何意义 2 知识点二：导数的运算 2 考法1：导数的概念 3 考法2： 导数的运算 4 考法3： 导数的几何意义及应用 5  求切线方程 5  求参数值（范围） 6 考法4：两曲线的公切线 7 【强化训练】 8 知识点一：导数的概念及其几何意义 1. 导数的概念 (1) 函数在的瞬时变化率为函数 在处的导数，记作或,即 . 2. 导数的几何意义 函数在处的导数就是曲线在点处的切线的斜率，即，相应的切线方程为． · 函数的导数反映了函数的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，的大小反映了图象变化的快慢，越大，曲线在这点处的切线越“陡”. 知识点二：导数的运算 1. 基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 (为常数) (，且) (，且) (，且，) () 2. 导数的运算法则 若 存在，则有： (1) . (2) . (3) . (4) . 3. 复合函数的导数 复合函数的导数和函数，的导数间的关系为 ，即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积． 考法1：导数的概念 方法提炼 由导数的定义可知，若函数在处可导，则，它仅与有关，与无关，因此使用导数的定义时要明确公式的形式，当分子为时，分母也应该是，要注意公式的变形. 【例1.1.】 若，则（    ） A．0 B．2 C．－2 D．－4 【例1.2.】 已知函数，则（   ） A．1 B． C．2 D．4 【例1.3.】 （   ） A．72 B．12 C．8 D．4 【例1.4.】 现有一球形气球，在吹气球时，气球的体积V与直径d的关系式为，当时，气球体积的瞬时变化率为 ． 考法2： 导数的运算 方法提炼 1. 已知函数的解析式，求导函数或导函数值的方法 (1) 连乘形式：先展开化为多项式的形式，再求导. (2) 三角函数形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导. (3) 复杂分式形式：先化为整式函数或较为简单的分式函数的形式，再求导. (4) 根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导. (5) 复合函数形式：应由外到内逐层求导，必要时要进行换元． 2. 抽象函数的求导方法 (1) 抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解． (2) 涉及解析式中含有导数值的函数，即解析式类似 （为常数）的函数，解决这类问题的关键是明确是常数，其导数值为0.因此，先求导数，令，即可得到的值，进而得到函数解析式，求得所要求的导数值. 3. 复合函数的求导方法 求复合函数的导数，一般是运用复合函数的求导法则，将问题转化为基本函数的导数进行解决. (1) 分析清楚复合函数的复合关系是由哪些基本初等函数复合而成的，适当选定中间变量; (2) 分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导,而其中特别要注意的是中间变量的关系; (3) 根据基本函数的导数公式及导数的运算法则,求出各函数的导数,并把中间变量转换成自变量的函数; (4) 复合函数的求导熟练以后,中间步骤可以省略,不必再写出函数的复合过程. 【例2.1.】 （多选）已知函数，则（   ） A． B． C． D． 【例2.2.】 已知函数，求（    ） A．0 B． C． D．120 【例2.3.】 已知函数满足，则实数 ，设为的导函数，则不等式的解集为 . 【例2.4.】 已知奇函数在上可导，其导函数为，且恒成立，则（    ） A．1 B． C．0 D． 考法3： 导数的几何意义及应用 · 求切线方程 方法提炼 （1） 注意区分在点处的切线和过点处的切线. 1　 在点处的切线，该点一定是切点，切线有且仅有一条，切线方程为. 2　 过点处的切线，该点不一定是切点，切线至少有一条,可分以下几步完成: 第一步,设出切点坐标; 第二步,写出过点的切线方程,即; 第三步,将点的坐标代入切线方程求出; 第四步,将的值代入方程可得过点的切线方程. （2） 已知切线的斜率求切线方程,只需找出切点即可.求出曲线对应函数的导数,使其等于斜率求出切点的横坐标,从而找出切点,利用点斜式求出切线方程. 【例3.1.】 函数，则曲线在处的切线方程为 . 【例3.2.】 （多选）过点向曲线作切线，切线方程可能是（    ） A． B． C． D． 【例3.3.】 已知函数，写出曲线的两条相互垂直的切线方程，并说明理由． · 求参数值（范围） 方法提炼 根据切线的性质求参数值的方法 已知曲线上一点处的切线与已知直线的关系(平行或垂直),确定该切线的斜率,再求出函数的导函数,然后利用导数的几何意义得到,其中倾斜角 ,根据范围进一步求得角或有关参数的值. 【例3.4.】 若直线是曲线的切线，则 . 【例3.5.】 曲线与和分别交于两点，设曲线在处的切线斜率为在处的切线斜率为，若，则（   ） A． B． C． D． 【例3.6.】 动点P在函数的图象上，以P为切点的切线的倾斜角取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例3.7.】 已知函数的图象有两条与直线平行的切线，且切点坐标分别为，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 考法4：两曲线的公切线 方法提炼 (1) 公切线问题，应根据两个函数在切点处的斜率相等，且切点既在切线上又在曲线上，列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组求解．或者分别求出两函数的切线，利用两切线重合列方程组求解． (2) 设公切线在上的切点， 在上的切点，则. (3) 公切线条数的判断问题可转化为方程根的个数求解问题. 【例4.1.】 曲线与的一条公切线的方程为 .（只需写出其中一条公切线的方程） 【例4.2.】 若直线（k为常数）是曲线和曲线的公切线，则实数a的值为（    ） A． B． C．1 D．e 【例4.3.】 若曲线在点处的切线与曲线相切于点，则 . 【例4.4.】 若直线同时与曲线和曲线相切，则直线斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例4.5.】 已知函数的图象上存在不同的两点A，B，使得曲线在这两点处的切线重合，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例4.6.】 若函数与的图象有两条公切线，则实数的取值范围是 . 【强化训练】 1. 已知函数，则（   ） A． B． C．1 D．2 2. 已知函数，曲线在点处的切线与直线平行，则实数的值为（    ） A． B． C． D．1 3. 过原点且与曲线相切的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 4. 若直线与曲线相切，则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 5. 已知函数与存在公切线，则实数的最小值为（   ） A． B． C． D． 6. 已知函数，若曲线与有两条公切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7. 已知函数，则在点处的切线方程为 ． 8. 已知函数图象的一条切线的方程为，则 ． 9. 已知曲线的切线与曲线也相切，若该切线过原点，则 ． 10. 已知函数，则与曲线，都相切的直线的方程是 ． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$