第一章 勾股定理 单元测试-2025-2026学年八年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（北师大版2024新教材）

第一章 勾股定理 单元测试 总分：120分 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分. 1．下列几组数中，是勾股数的一组是（   ） A．4，5，6 B．，， C．5，， D．9，， 2．下列各组数中，不能组成直角三角形的是（   ） A．3，4，5 B．6，8，10 C．5，12，13 D．7，9，13 3．如图，阴影部分是一个正方形，该正方形的面积为（   ） A．3 B．9 C．16 D．25 4．如图，在等腰中，，，则高的长为（   ） A．9 B．10 C．12 D．12.5 5．下面四幅图中，不能用面积验证勾股定理的是（   ）． A． B． C． D． 6．图1中有一首古诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图2，其中于点，尺，尺，则的长度为（    ） A．3尺 B．3.75尺 C．4尺 D．4.25尺 7．如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为．若．则图中阴影部分的面积为（   ） A．6 B．5 C． D． 8．如图，在中，，，以A为圆心，适当长为半径画弧交分别于点D，E两点，再分别以D，E为圆心，以的长为半径画弧，两弧交于点F，作射线交于点G，则的长为（    ） A．4 B． C．3 D． 9．为打造“宜居、宜业、宜游”的城市环境，迎泽大街将于今年五月份启动改造，九月份正式竣工通车．此次改造新换的路灯为“中华灯”，让迎泽大街更显古朴典雅．如图是吊车安装“中华灯”的示意图，已知为吊车起重臂，长为米，点B到路灯杆的水平距离为米，点B到地面的竖直距离为2米，则起重臂顶端A离地面的高度为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 10．如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条长的直吸管露在罐外部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（　　） A． B． C． D． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11．直角三角形的两直角边长为5和12，则该三角形的斜边长为 ． 12．如下图以直角三角形三条边为分别向外作三个正方形，其中两个正方形的面积分别为和，则图中正方形字母A所代表的正方形的面积为 ． 13．如图，将长为，宽为的长方形纸片折叠，使点B落在边的中点E处，压平后得到折痕．则线段的长为 ． 14．在一次数学实践活动中，宛宛同学把四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成了一个大正方形，如图所示．设直角三角形较长的直角边长为，较短的直角边长为，大正方形边长为．请你写出之间的关系式是 ．（化到最简） 15．我国古代数学名著《算法统宗》有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，5尺人高曾记，仕女家人争蹴．良工高士素好奇，算出索长有几？”此问题可理解为：“如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离的长为1尺，将它向前水平推送10尺时，即尺，秋千踏板离地的距离和身高5尺的人一样高，秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长？”，请运用所学知识求出秋千的长是 尺． 16．在直线L上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是、、、，则 17．如图，一个没有上盖的圆柱形食品盒，它的高等于，底面周长为，在盒外下底面的点A处有一只蚂蚁，蚂蚁爬行的速度为．想沿盒壁爬行吃到盒内正对面中部点B处的食物，那么它至少需要 秒（盒的厚度和蚂蚁的大小忽略不计） 18．如图，在中，，为射线上一动点，连接，将沿对折，已知点的对应点为点，，．当点落在直线上时，线段的长为 ． 三、解答题：本题共8小题，共66分. 19．在中，，，，求． 20．某城市交管部门规定：小汽车在城市快速路上行驶速度不得超过80千米/时，如图，一辆小汽车在一条城市快速路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正前方50米处，过了4秒后，测得小汽车与车速检测仪之间的距离为130米，这辆小汽车超速了吗？ 21．如图，在中，于点D，，，． (1)求的长； (2)求的长； 22．（1）我们知道像3，4，5这样三个整数是一组勾股数，那么，，（k是正整数）是一组勾股数吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由； （2）如果a，b，c是一组勾股数，那么，，（k是正整数）也是一组勾股数吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由． 23．周末，启智数学兴趣小组来到广场做活动课题，并制作如下实践报告： 活动课题 风筝离地面垂直高度探究 问题背景 风筝由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期，距今已2000多年，相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年而成，是人类最早的风筝起源． 测量数据 假设风筝放飞时风筝线在空中被拉直（线段）．勘测组测量了相关数据，并画出如图所示的示意图，测得人放风筝的手与风筝的水平距离的长为，风筝线的长为，牵线放风筝的手到地面的距离的长为． 数据处理组得到数据以后做了认真分析，请你帮助他们完成以下任务： (1)根据测量所得数据，则风筝离地面的垂直高度_________； (2)若风筝沿方向下降了到达点M，的长度不变，求要回收多少米的风筝线？ 24．如图是由边长为的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点在格点上，仅用无刻度直尺在网格中完成下列作图． (1)在图中，作的高线； (2)在图中． 在边上画一点，使平分的面积； 点是边上任意一点，在的条件下，在上画一点，使，并说明理由． (3)在图中，在边上画一点F，使． 25．图①是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形，两条直角边长分别为和，斜边长为；图②是以为直角边长的等腰直角三角形，请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形． (1)画出所拼图形的示意图，写出它是什么图形． (2)用这个图形验证勾股定理． (3)假设图①中的直角三角形有若干个，你能再用图中所给的直角三角形拼出另一个能证明勾股定理的图形吗？请你画出拼后的示意图（无需证明）． 26．“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为，且三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直”模型．当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形． 【模型呈现】 （1）如图1，在等腰直角中，，，过点作直线，于点，于点，请直接写出、与之间的数量关系； 【模型应用】 （2）如图2，在等腰直角中，，，过点作直线，过点作于点，过点作于点，，． ①求的长； ②如图3，延长，交于点，求的长度． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 勾股定理 单元测试 总分：120分 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分. 1．下列几组数中，是勾股数的一组是（   ） A．4，5，6 B．，， C．5，， D．9，， 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股数，解题关键是理解勾股数的定义． 根据勾股数的定义，需逐一验证各选项是否满足条件． 【详解】解：，不是勾股数，故A错误； ，，这三个数不是正整数，，，不是勾股数，故B错误； ∵， ∴5、12、13是勾股数，故C正确； ∵，， 306 ≠ 289， ∴9，，不是勾股数，故D错误， 故选：C． 2．下列各组数中，不能组成直角三角形的是（   ） A．3，4，5 B．6，8，10 C．5，12，13 D．7，9，13 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，解题关键是掌握判定一个三角形是直角三角形的方法：①先确定最长边，算出最长边的平方；②计算另两边的平方和；③比较最长边的平方与另两边的平方和是否相等，若相等，则此三角形为直角三角形． 【详解】解：A、，能构成直角三角形，选项错误； B、，能构成直角三角形，选项错误； C、，能构成直角三角形，选项错误； D、，不能构成直角三角形，选项正确； 故选：D． 3．如图，阴影部分是一个正方形，该正方形的面积为（   ） A．3 B．9 C．16 D．25 【答案】B 【分析】本题考查的是勾股定理，由勾股定理和正方形的面积公式解答． 【详解】解：由图可知正方形的边长为， ∴正方形的面积为， 故选：B． 4．如图，在等腰中，，，则高的长为（   ） A．9 B．10 C．12 D．12.5 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质和勾股定理． 首先根据等腰三角形“三线合一”的性质可得，然后在中由勾股定理计算的长即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴在中， 故选：C 5．下面四幅图中，不能用面积验证勾股定理的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，以直角三角形三边为边长作正方形，若两个较小的正方形面积和等于最大的正方形面积，那么可证明直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方，即可证明勾股定理，据此可得答案． 【详解】解：由题意知，，所以四幅图中只有D选项中的图形不能用面积验证勾股定理， 故选：D． 6．图1中有一首古诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图2，其中于点，尺，尺，则的长度为（    ） A．3尺 B．3.75尺 C．4尺 D．4.25尺 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理列出方程是解题的关键．设的长度为尺，则尺，在中，由勾股定理列出方程，解方程即可． 【详解】解：设的长度为尺，则尺， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即的长度为3.75尺， 故选：B． 7．如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为．若．则图中阴影部分的面积为（   ） A．6 B．5 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用和三角形面积的算法，解决此题的关键是合理的运用勾股定理；先根据勾股定理和已知的式子算出，再根据同底等高的算法即可得到答案； 【详解】解：在△中，这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，，由勾股定理得：， 即， ∵， ∴， ∴阴影部分的面积为， ∴阴影部分的面积为， 故选C． 8．如图，在中，，，以A为圆心，适当长为半径画弧交分别于点D，E两点，再分别以D，E为圆心，以的长为半径画弧，两弧交于点F，作射线交于点G，则的长为（    ） A．4 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查了尺规基本作图、角平分线、全等三角形和勾股定理等核心知识，熟练掌握5种尺规基本作图、全等三角形和用勾股定理建立方程是解决问题的关键． 过点作于点，利用勾股定理计算出，利用基本作图得到平分，则根据角平分线的性质得到，再证明，得到，设，则，在中，利用勾股定理，求出x的值，即可． 【详解】解：过点作于点，如图， ， ， 由作图痕迹得平分，得． ， 在和中， ， ． ． ． 设，则， 在中，， ， 解得 ． 故选：B． 9．为打造“宜居、宜业、宜游”的城市环境，迎泽大街将于今年五月份启动改造，九月份正式竣工通车．此次改造新换的路灯为“中华灯”，让迎泽大街更显古朴典雅．如图是吊车安装“中华灯”的示意图，已知为吊车起重臂，长为米，点B到路灯杆的水平距离为米，点B到地面的竖直距离为2米，则起重臂顶端A离地面的高度为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题关键是认清直角边与斜边． 先根据勾股定理求出米，再起重臂顶端A离地面的高度即可． 【详解】解：∵米，米， ∴米， ∵点到地面的竖直距离为2米， ∴米， ∴起重臂顶端离地面的高度为米． 故选：B． 10．如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条长的直吸管露在罐外部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用．善于观察题目的信息，正确理解题意是解题的关键．当直吸管底部在底面圆心处时，罐内部分的长度最短为圆柱形的高；当直吸管底部在底壁处时，罐内部分的长度最长为的长，利用勾股定理可得，即可求解． 【详解】解：如图， 当直吸管底部在底面圆心处时，罐内部分的长度最短为圆柱形的高，即， 此时直吸管露在罐外部分a的长度为， 当直吸管底部在底壁处时，罐内部分的长度最长为的长， 由勾股定理可得， 此时直吸管露在罐外部分a的长度为， 即直吸管露在罐外部分a的长度范围是， 故选：B． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11．直角三角形的两直角边长为5和12，则该三角形的斜边长为 ． 【答案】13 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．由勾股定理得出斜边长，即可得解． 【详解】解：∵直角三角形的两直角边长为5和12， ∴该三角形的斜边长为． 故答案为：13． 12．如下图以直角三角形三条边为分别向外作三个正方形，其中两个正方形的面积分别为和，则图中正方形字母A所代表的正方形的面积为 ． 【答案】64 【分析】本题考查勾股定理，正方形的面积，利用数形结合的思想是解题关键．根据勾股定理可直接求得正方形字母A所代表的正方形的边长． 【详解】解：如图， ∵其中两个正方形的面积分别为和， ∴，． ∵为直角三角形， ∴， ∴正方形字母A所代表的正方形的面积为64． 故答案为：64． 13．如图，将长为，宽为的长方形纸片折叠，使点B落在边的中点E处，压平后得到折痕．则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是折叠问题及勾股定理，由折叠性质可知，设，则，利用勾股定理可以求出最后结果． 【详解】解：为中点， ， 由折叠的性质可知：， 设，则， 在中，， ， 解得：， 故答案为：． 14．在一次数学实践活动中，宛宛同学把四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成了一个大正方形，如图所示．设直角三角形较长的直角边长为，较短的直角边长为，大正方形边长为．请你写出之间的关系式是 ．（化到最简） 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算与图形面积的计算，掌握整式的混合运算是关键． 根据题意，分别算出大正方形的面积为，4个直角三角形的面积为，小正方形的面积为，由4个直角三角形的面积与小正方形的面积的和为大正方形的面积，列式求解即可． 【详解】解：根据题意及图示可得，大正方形的边长为，即直角三角形斜边长， ∴大正方形的面积为， 三角形的直角边长分别为， ∴4个直角三角形的面积为， 小正方形的边长为， ∴小正方形的面积为， ∵4个直角三角形的面积与小正方形的面积的和为大正方形的面积， ∴，即， 故答案为： ． 15．我国古代数学名著《算法统宗》有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，5尺人高曾记，仕女家人争蹴．良工高士素好奇，算出索长有几？”此问题可理解为：“如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离的长为1尺，将它向前水平推送10尺时，即尺，秋千踏板离地的距离和身高5尺的人一样高，秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长？”，请运用所学知识求出秋千的长是 尺． 【答案】 【分析】本题主要考查了实际问题中勾股定理的应用，明确题意，表示出直角三角形中三边长度，根据勾股定理列出方程是解题的关键．设绳索的长为尺，根据题意表示出、长度，根据勾股定理可列出关于的方程，即可求解． 【详解】解：由题意可知：（尺），（尺），（尺）， （尺）， 设绳索尺，尺， 在中， 即， 解得． 答：绳索的长为尺． 故答案为：． 16．在直线L上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是、、、，则 【答案】4 【分析】本题考查了全等三角形的证明，勾股定理的灵活运用，本题中证明三角形全等得到相邻两个正放的正方形面积和等于这两个正方形间斜放的面积是解题的关键．由正方形的性质证明，则可得，同理得，，由此即可求解． 【详解】解：如图，由题意知，； ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴； 同理得，， ∴； 故答案为：4． 17．如图，一个没有上盖的圆柱形食品盒，它的高等于，底面周长为，在盒外下底面的点A处有一只蚂蚁，蚂蚁爬行的速度为．想沿盒壁爬行吃到盒内正对面中部点B处的食物，那么它至少需要 秒（盒的厚度和蚂蚁的大小忽略不计） 【答案】 【分析】要求圆柱体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将正方体展开，作出B关于边的对称点D，然后利用勾股定理求出的长，再算出时间． 本题考查的是平面展开-最短路径问题，解答此题的关键是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决． 【详解】解：如图所示： 作B关于边的对称点D，连接，蚂蚁走的最短路径是， ∵底面周长为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵蚂蚁爬行的速度为， ∴它至少需要s. 故答案为：. 18．如图，在中，，为射线上一动点，连接，将沿对折，已知点的对应点为点，，．当点落在直线上时，线段的长为 ． 【答案】或6 【分析】本题主要考查了图形的折叠问题，勾股定理．利用勾股定理求出的长，然后分两种情况：当点P在线段上时，当点P在线段的延长线上时，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， 如图，当点P在线段上时， 由折叠的性质得：， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， 即； 如图，当点P在线段的延长线上时， 由折叠的性质得：， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， 即； 综上所述，的长为或6． 故答案为：或6． 三、解答题：本题共8小题，共66分. 19．在中，，，，求． 【答案】 【分析】本题主要考查勾股定理，根据题意可得． 【详解】解：如图， 根据勾股定理可得：． 20．某城市交管部门规定：小汽车在城市快速路上行驶速度不得超过80千米/时，如图，一辆小汽车在一条城市快速路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正前方50米处，过了4秒后，测得小汽车与车速检测仪之间的距离为130米，这辆小汽车超速了吗？ 【答案】这辆小汽车超速了 【分析】本题考查了勾股定理的应用，利用勾股定理列式求出，再根据速度路程时间求出小汽车的速度，然后化为千米/小时的单位即可得解． 【详解】解：由勾股定理得（米）， 小汽车的速度为：（米/秒）， 30米/秒108千米/时80千米/时， 所以，这辆小汽车超速了． 21．如图，在中，于点D，，，． (1)求的长； (2)求的长； 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理，解题关键是熟练掌握勾股定理． （1）在中，根据勾股定理进行计算即可； （2）在中根据勾股定理进行计算即可． 【详解】（1）解：在中，于点D， 故在中， ； （2）在中，于点D， 故在中， ． 22．（1）我们知道像3，4，5这样三个整数是一组勾股数，那么，，（k是正整数）是一组勾股数吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由； （2）如果a，b，c是一组勾股数，那么，，（k是正整数）也是一组勾股数吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由． 【答案】（1），，（k是正整数）是一组勾股数，理由见解析；（2），，（k是正整数）是一组勾股数，理由见解析 【分析】（1）计算，，是否满足即可解答； （2）计算，，是否满足即可解答． 【详解】（1）解：，，（k是正整数）是一组勾股数，理由如下： ∵k是正整数， ∴，，都是正整数， ∵， ∴，，（k是正整数）是一组勾股数； （2）解：，，（k是正整数）是一组勾股数，理由如下： ∵a，b，c是一组勾股数，且k是正整数， ∴，，是三个正整数， ∵， ∴， ∴，，（k是正整数）是一组勾股数． 【点睛】本题考查了勾股数的定义，欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和等于最长边的平方． 23．周末，启智数学兴趣小组来到广场做活动课题，并制作如下实践报告： 活动课题 风筝离地面垂直高度探究 问题背景 风筝由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期，距今已2000多年，相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年而成，是人类最早的风筝起源． 测量数据 假设风筝放飞时风筝线在空中被拉直（线段）．勘测组测量了相关数据，并画出如图所示的示意图，测得人放风筝的手与风筝的水平距离的长为，风筝线的长为，牵线放风筝的手到地面的距离的长为． 数据处理组得到数据以后做了认真分析，请你帮助他们完成以下任务： (1)根据测量所得数据，则风筝离地面的垂直高度_________； (2)若风筝沿方向下降了到达点M，的长度不变，求要回收多少米的风筝线？ 【答案】(1)21.7 (2)要回收8米的风筝线． 【分析】本题考查了用勾股定理解决实际问题，解题的关键是熟练掌握勾股定理． （1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求解； （2）根据勾股定理计算即可得到结论． 【详解】（1）解：由题意， 在中，，，， ∴ ∴； （2）解：设此时风筝下降到点，由题意得， ∴， 在中，， ∴． ∴要回收8米的风筝线． 24．如图是由边长为的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点在格点上，仅用无刻度直尺在网格中完成下列作图． (1)在图中，作的高线； (2)在图中． 在边上画一点，使平分的面积； 点是边上任意一点，在的条件下，在上画一点，使，并说明理由． (3)在图中，在边上画一点F，使． 【答案】(1)作图见解析； (2)作图见解析；作图见解析； (3)作图见解析． 【分析】本题考查了无刻度直尺作图，理解题意，正确作出图形是解题的关键． （）取格点，连接，延长交于点，线段即为所求； （）取的中点，连接即可； 作线段关于的对称线段，取的中点，连接交于点，连接即可； （）取格点，构造等腰直角三角形，取格点，，连接交于点，连接，延长交于点，点即为所求． 【详解】（1）解：如图，线段即为所求； （2）解：如图中，线段即为所求； 如图中，点即为所求； （3）解：如图中，点即为所求， 理由：由网格可知：， ∴， ∴点即为所求． 25．图①是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形，两条直角边长分别为和，斜边长为；图②是以为直角边长的等腰直角三角形，请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形． (1)画出所拼图形的示意图，写出它是什么图形． (2)用这个图形验证勾股定理． (3)假设图①中的直角三角形有若干个，你能再用图中所给的直角三角形拼出另一个能证明勾股定理的图形吗？请你画出拼后的示意图（无需证明）． 【答案】(1)图形见解析，直角梯形 (2)验证见解析 (3)能，拼图见解析 【分析】本题考查勾股定理的验证，读懂题意，数形结合是解决问题的关键． （1）如图所示，得到所拼图形的示意图，它是一个直角梯形； （2）由（1）中图形，结合两种方式表示图形面积，结合整式混合运算法则恒等变形即可得证； （3）将4个全等的直角三角形拼成一个正方形，如图所示，即可得到答案． 【详解】（1）解：示意图如图①所示， 则它是一个直角梯形； （2）解：如图所示： ， ， 即， 则； （3）解：假设图①中的直角三角形有若干个，能再用图中所给的直角三角形拼出另一个能证明勾股定理的图形，将4个全等的直角三角形拼成一个正方形，如图所示： ． 26．“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为，且三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直”模型．当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形． 【模型呈现】 （1）如图1，在等腰直角中，，，过点作直线，于点，于点，请直接写出、与之间的数量关系； 【模型应用】 （2）如图2，在等腰直角中，，，过点作直线，过点作于点，过点作于点，，． ①求的长； ②如图3，延长，交于点，求的长度． 【答案】（1），（2）①，② 【分析】本题考查了“一线三垂直”的全等模型，掌握模型的构成与结论是解题关键． （1）证即可求解； （2）①证即可求解；②设，根据，即可求解； 【详解】解：（1）、与之间满足的数量关系为：； 理由如下： 由题意得：， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）①在等腰直角中，，， ，             于点，于点， ， ， ，             在和中， ， ，，         ；         ②设， 在中，     在中，     在中，     ，解得         2 学科网（北京）股份有限公司 $$