第三单元 倍数与因数（知识清单）数学北师大版五年级上册

第三单元 倍数与因数 单元知识清单讲义 温馨提示：图片放大更清晰。 知识点一：因数知识点： ①因数的定义：在整数除法中，如果商是整数且没有余数，除数和商就是被除数的因数。例如，12÷2=6，2和6是12的因数。也可以表述为：如果a×b=c（a、b、c都是不为0的整数），那么a和b是c的因数，c是a和b的倍数。例如，3×8=24，3和8是24的因数。 ②一个数因数的求法：如24的因数，通常用除法从1开始除起，除的尽的都是这个数的因数。如24的因数为：1，2，3，4，6，8，12，24。强调我们在书写一个数因数时，按一头一尾书写，可以做到不遗漏，不重复。 ③ 因数的特征：1、1是任何数的因数，2、一个数最小的因数为1，最大的因数为其本身，3、一个数的因数的个数是有限的。 知识点二：倍数知识点： ①倍数的定义：在整数除法中，如果商是整数且没有余数，被除数就是除数和商的倍数。例如，12÷2 = 6，12是2和6的倍数。 同样，如果a ×b = c（a、b、c都是不为0的整数），那么c是a和b的倍数。例如，3×8 = 24，24是3和8的倍数。 ②一个数倍数的求法：如4的倍数，通常用乘法从1开始乘起。如4的倍数为：4,8,12,16,20,24……，强调我们在写某一个数的倍数的时候，从1倍开始乘起，因为一个数的倍数个数是无限的，所以我们在写某一个数的倍数时，通常写五到六个，然后加上“……”号即可。 ③ 倍数的特征：1、一个数最小的倍数是它的本身，没有最大的倍数。2、一个数的倍数个数是无限的。 知识点三：2，3和5的倍数特征 2的倍数特征及其相关知识点： ①2的倍数特征：个位上出现2、4、6、8、0。同时2的倍数特征也是偶数的特征。强调偶数也就是我们所说的双数，除以2可以除的尽。 ②奇数特征：个位上出现1、3、5、7、9。强调奇数也就是我们所说的单数，除以2除不尽。 知识点四：3的倍数特征及其相关知识点： ①3的倍数特征：各个数位上数的和是3的倍数。例如，判断96和14是否是3的倍数，96因为9+6=15，15是3的倍数，所以96是3的倍数；14因为1+4=5，5不是3的倍数，所以14不是3的倍数。 知识点五：5的倍数特征及其相关知识点： ①5的倍数特征：个位上出现0或5时，就是5的倍数。例如：15，20，25…… 知识点六：既是2的倍数又是5的倍数特征： 个位上只能出现0。也就是当各位上出现0时，这个数字一定是2和5共同的倍数。 知识点七：遇到同时是2，3和5的倍数相关题目解题方法： ①当遇到同时是2和3倍数相关题目时，先找2的倍数，因为2的倍数特征是个位上只能出现2、4、6、8、0，然后再看给的数字和，从而判断是否是3的倍数即可。 ②当遇到同时是3和5倍数相关题目时，先找5的倍数，因为5的倍数特征是个位上只能出现0或5，然后再看给的数字和，从而判断是否是3的倍数即可。 ③当遇到同时是2，3和5倍数相关题目时，先寻找2和5倍数，因为此时个位上只能出现0，然后再看给的数字和，从而判断是否是3的倍数即可。 知识点八：质数和合数 质数定义和相关知识点 ①质数定义：一个数的因数有且只有两个，1和它的本身，我们称这个是质数。 ②100以内质数表：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。 ③强调：在质数家族中，有一个数字及其特殊也就是2，2是质数家族中唯一的一个偶数。 ④最小的质数是2。 合数定义和相关知识点： ①合数定义：一个数的因数有三个或者三个以上的数，我们称这样的数叫做合数。例如：4的因数有1，2，4；10的因数有：1，2，5，10。 ②最小的合数是4。 知识点九：分解质因数 ①先明确分解质因数我们分解的数是合数，把合数分解成相关质数的乘积。 ②对某些数字进行分解质因数，有两种方法，叶状图和短除法，例题如下： ③强调对某个数字分解质因数书写格式必须写成如：24=2×2×2×3 知识点十：公因数和最大公因数相关知识点 ①公因数的定义：一组数的公因数其实就是它们共同所有的因数。 ②求公因数的方法为列举法，如求12和18的公因数 12的因数有：1，2，3，4，6，12 18的因数有：1，2，3，6，9，18 12和18个公因数：1，2，3，6 ③而在求一组数的最大公因数时，是建立在求公因数的基础上得到，最大公因数是公因数中最大的一个数。即12和18的最大公因数为6。 ④公因数特征：一组数的公因数个数是有限的，最小的公因数为1。 知识点十一：公倍数和最小公倍数相关知识点 ①公倍数的定义：一组数的公倍数其实就是它们共同所有的倍数。 ②求公倍数的方法为列举法，如求6和8的公倍数 6的倍数：6，12，18，24，30，36…… 8的倍数：8，16，24，32，40，48…… 6和8的公倍数：24，48…… ③而在求一组数的最小公倍数时，是建立在求公倍数的基础上得到的，最小公倍数是公倍数中最小的一个数，即6和8的最小公倍数为24。 ④公倍数特征：一组数的公倍数个数是无限的，没有最大公倍数。 【例1】下面各数，哪些是质数，哪些是合数？分别填入合适的圈里。 21    23    25    27    29    31    33    35    37    43    47    49 【例2】你会在括号里填合适的质数吗？ ( )( )    ( )( ) ( )( )    ( )( ) ( )( )( ) ( )( )＝( )( ) 【例3】用3、4、5这三个数组成三位数，能组成( )个不同的三位数。其中有( )个是5的倍数。 【例4】在1、4、8、0中选出三个数字，按要求组成三位数。 (1)同时是2、3、5的倍数是( )。 (2)最大的奇数是( )，最小的偶数是( )。 【例5】12、25、48、60、72、90这些数中是2的倍数有( )；是5的倍数有( )；既是2的倍数又是5的倍数有( )。 【例6】写出下面各组数的最大公因数和最小公倍数。 21和36        3和8        52和13        10和15 【例7】在括号里写出每组数的最大公因数。 12和4( )    48和16( )    9和10( ) 3和24( )    5和20( )    6和11( ) 我发现当两个数是倍数关系时，它们的最大公因数是两个数中较( )（填“大”或“小”）的数。 【例8】M和N都是非零自然数，如果，那么M和N的最小公倍数是( )，M和9的最大公因数是( )。 【例9】如果三个连续偶数的和是36，那么其中最小的偶数是( )。 【例10】《孙子算经》中有一题：今有三女，长女五日一归，中女四日一归，小女三日一归。问：三女何日相会？意思是：一家三个女儿都已出嫁，大女儿五天回一次娘家，二女儿四天回一次娘家，小女儿三天回一次娘家，请问：三个女儿同一天从娘家走后，至少再过多少天才能在娘家相遇？ 【例11】有一筐桃，数量不超过100个，平均分给5个小朋友，还剩2个，平均分给7个小朋友，也剩2个，这筐桃最多有多少个？ 【例12】五（1）班的同学分组合作学习，每4人一组多1人，每5人一组多1人，每8人一组也多1人。五（1）班至少有多少人？ 【例13】五（4）班学生为庆祝“六一”儿童节，需要用彩带装饰花篮。如果把如图的两根彩带剪成同样长的短彩带且没有剩余，每根短彩带最长是多少厘米？一共90厘米可以剪成这样的短彩带多少根？ 【例14】学校广播室的地面是长方形，长320厘米，宽280厘米。如果要给广播室的地面铺上地砖，下面哪种规格的地砖能正好铺满？你是怎样想的？ 【例15】小明有39颗糖果和40块巧克力，要把糖果和巧克力分给若干个小朋友，每人分的糖果和巧克力一样多。结果糖果多了3颗，巧克力少了2块。最多可以分给几个小朋友？每个小朋友分得几颗糖果，几块巧克力？ 1．如果M÷N＝12（M、N是非零自然数），那么M和N的最大公因数是( )，它们的最小公倍数是( )。 2．212至少减去( )就是3的倍数，至少加上( )，就能同时是2、3、5的倍数。 3．（a、b都是不为0的自然数），a和b的最大公因数是( )，a和b的最小公倍数是( )。 4．从1、5、6三个数中选择一个数字填入方框里，使组成的数符合题目的要求。 （1）是2的倍数：3□、  8□、  2□。 （2）是3的倍数：2□、  4□、  9□。 （3）既是3的倍数，又是5的倍数： 1□、 7□。 （4）同时是2、3和5的倍数：□0、  □20。 5．三个连续自然数的和是21，那么这三个数的最小公倍数是( )，最大公因数是( )。 6．已知a＝3×5×7，b＝2×3×3×7，那么[a，b]＝( )，（a，b）＝( )。 7．向阳小学进行期中测试，王老师的班级平均分是90分，在记录总分是不小心打翻了墨水，看见总分是□98□，王老师班级有( )个学生。 8．明明准备用若干张长15厘米、宽12厘米的长方形纸片拼成一个正方形，拼成的正方形的边长最少是多少厘米？拼成这个正方形需要多少张这样的长方形纸片？ 9．把一张长12cm、宽8cm的长方形纸剪成同样大小、面积尽可能大的正方形，且纸没有剩余，这样可以剪多少个？剪出的正方形的边长是多少？（下图中每个小方格表示1平方厘米，先在图中画一画再回答） 10．站前小学五年级同学在操场做操，每行16人或12人，正好是整行。已知五年级同学在140～160人之间。请问五年级一共有多少人？ 11．小刚和小伟都去学校参加乒乓球训练，小刚每3天去一次，小伟每4天去一次。3月1日两人同时参加乒乓球训练后，几月几日他们又再次相遇？ 12．把38个蘑菇和31个萝卜分给若干只小兔子，每只小兔子分得的蘑菇相同，萝卜也相同。结果蘑菇多2个，萝卜少1个。最多有多少只小兔？每只小兔分得几个蘑菇，几个萝卜？ 13．有一个七位数，各位上的数均为非零自然数，且从左往右依次是：①既是奇数，又是合数；②既不是质数，也不是合数；③既是质数，又是偶数；④10以内最大的质数；⑤最小的合数；⑥最小奇数的5倍；⑦有因数3的偶数。这个七位数是多少？ 14．小青家客厅长4.8米，宽4.2米，用正方形的地砖铺地正好铺满（且不需要切割），正方形的地砖边长最大是多少分米？一共需要多少块这样的地砖？ 15．五（1）班给优秀少先队员发奖品，有笔记本24本，水彩笔36支，平均分给每个优秀少先队员正好分完而且没有剩余，每名优秀少先队员至少可分到多少本笔记本？多少支水彩笔？ 16．迷你马拉松正在某城市举行，如图，这是赛道的一部分，赛道在B点拐弯，根据赛会要求需要在路的一边安排志愿者，志愿者之间的距离必须相等，而且A、B、C处必须安排。那么这段赛道最少要安排多少名志愿者？请先算一算，并用“*”表示出志愿者大致的位置。 17．小芳和小红都去参加英语培训，小芳每6天去一次，小红每8天去一次，7月25日两人同时参加培训会，几月几日她们又再次相遇？ ( 1 / 10 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三单元 倍数与因数 单元知识清单讲义 温馨提示：图片放大更清晰。 知识点一：因数知识点： ①因数的定义：在整数除法中，如果商是整数且没有余数，除数和商就是被除数的因数。例如，12÷2=6，2和6是12的因数。也可以表述为：如果a×b=c（a、b、c都是不为0的整数），那么a和b是c的因数，c是a和b的倍数。例如，3×8=24，3和8是24的因数。 ②一个数因数的求法：如24的因数，通常用除法从1开始除起，除的尽的都是这个数的因数。如24的因数为：1，2，3，4，6，8，12，24。强调我们在书写一个数因数时，按一头一尾书写，可以做到不遗漏，不重复。 ③ 因数的特征：1、1是任何数的因数，2、一个数最小的因数为1，最大的因数为其本身，3、一个数的因数的个数是有限的。 知识点二：倍数知识点： ①倍数的定义：在整数除法中，如果商是整数且没有余数，被除数就是除数和商的倍数。例如，12÷2 = 6，12是2和6的倍数。 同样，如果a ×b = c（a、b、c都是不为0的整数），那么c是a和b的倍数。例如，3×8 = 24，24是3和8的倍数。 ②一个数倍数的求法：如4的倍数，通常用乘法从1开始乘起。如4的倍数为：4,8,12,16,20,24……，强调我们在写某一个数的倍数的时候，从1倍开始乘起，因为一个数的倍数个数是无限的，所以我们在写某一个数的倍数时，通常写五到六个，然后加上“……”号即可。 ③ 倍数的特征：1、一个数最小的倍数是它的本身，没有最大的倍数。2、一个数的倍数个数是无限的。 知识点三：2，3和5的倍数特征 2的倍数特征及其相关知识点： ①2的倍数特征：个位上出现2、4、6、8、0。同时2的倍数特征也是偶数的特征。强调偶数也就是我们所说的双数，除以2可以除的尽。 ②奇数特征：个位上出现1、3、5、7、9。强调奇数也就是我们所说的单数，除以2除不尽。 知识点四：3的倍数特征及其相关知识点： ①3的倍数特征：各个数位上数的和是3的倍数。例如，判断96和14是否是3的倍数，96因为9+6=15，15是3的倍数，所以96是3的倍数；14因为1+4=5，5不是3的倍数，所以14不是3的倍数。 知识点五：5的倍数特征及其相关知识点： ①5的倍数特征：个位上出现0或5时，就是5的倍数。例如：15，20，25…… 知识点六：既是2的倍数又是5的倍数特征： 个位上只能出现0。也就是当各位上出现0时，这个数字一定是2和5共同的倍数。 知识点七：遇到同时是2，3和5的倍数相关题目解题方法： ①当遇到同时是2和3倍数相关题目时，先找2的倍数，因为2的倍数特征是个位上只能出现2、4、6、8、0，然后再看给的数字和，从而判断是否是3的倍数即可。 ②当遇到同时是3和5倍数相关题目时，先找5的倍数，因为5的倍数特征是个位上只能出现0或5，然后再看给的数字和，从而判断是否是3的倍数即可。 ③当遇到同时是2，3和5倍数相关题目时，先寻找2和5倍数，因为此时个位上只能出现0，然后再看给的数字和，从而判断是否是3的倍数即可。 知识点八：质数和合数 质数定义和相关知识点 ①质数定义：一个数的因数有且只有两个，1和它的本身，我们称这个是质数。 ②100以内质数表：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。 ③强调：在质数家族中，有一个数字及其特殊也就是2，2是质数家族中唯一的一个偶数。 ④最小的质数是2。 合数定义和相关知识点： ①合数定义：一个数的因数有三个或者三个以上的数，我们称这样的数叫做合数。例如：4的因数有1，2，4；10的因数有：1，2，5，10。 ②最小的合数是4。 知识点九：分解质因数 ①先明确分解质因数我们分解的数是合数，把合数分解成相关质数的乘积。 ②对某些数字进行分解质因数，有两种方法，叶状图和短除法，例题如下： ③强调对某个数字分解质因数书写格式必须写成如：24=2×2×2×3 知识点十：公因数和最大公因数相关知识点 ①公因数的定义：一组数的公因数其实就是它们共同所有的因数。 ②求公因数的方法为列举法，如求12和18的公因数 12的因数有：1，2，3，4，6，12 18的因数有：1，2，3，6，9，18 12和18个公因数：1，2，3，6 ③而在求一组数的最大公因数时，是建立在求公因数的基础上得到，最大公因数是公因数中最大的一个数。即12和18的最大公因数为6。 ④公因数特征：一组数的公因数个数是有限的，最小的公因数为1。 知识点十一：公倍数和最小公倍数相关知识点 ①公倍数的定义：一组数的公倍数其实就是它们共同所有的倍数。 ②求公倍数的方法为列举法，如求6和8的公倍数 6的倍数：6，12，18，24，30，36…… 8的倍数：8，16，24，32，40，48…… 6和8的公倍数：24，48…… ③而在求一组数的最小公倍数时，是建立在求公倍数的基础上得到的，最小公倍数是公倍数中最小的一个数，即6和8的最小公倍数为24。 ④公倍数特征：一组数的公倍数个数是无限的，没有最大公倍数。 【例1】下面各数，哪些是质数，哪些是合数？分别填入合适的圈里。 21    23    25    27    29    31    33    35    37    43    47    49 【答案】见详解 【分析】质数：只有1和它本身两个因数的数叫做质数；合数：除了1和它本身外，还有其他因数的数叫合数；据此即可解答。 【详解】 【例2】你会在括号里填合适的质数吗？ ( )( )    ( )( ) ( )( )    ( )( ) ( )( )( ) ( )( )＝( )( ) 【答案】 5 2 7 3 7 2 11 3 2 3 3 7 11 5 13 【分析】根据质数的意义，一个数如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数，即可把每个合数分成两个质的积，也可把每个合数分成两个质的和；100以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。据此选择合适的质数，即可解决问题。 【详解】52 73 72 113 233 711＝513 【例3】用3、4、5这三个数组成三位数，能组成( )个不同的三位数。其中有( )个是5的倍数。 【答案】 6 2 【分析】可先分类列举：①“3”开头，②“4”开头，③“5”开头，列举出每类中三个数；就可以求出不同的三位数的个数；再根据列出的三位数，个位是5的即为5的倍数，据此解答。 【详解】①“3”开头：345，354，共2个； ②“4”开头：435，453，共2个； ③“5”开头：543，534，共2个。 一共能组成6个不同的三位数； 5的倍数有：345，435，共2个。 用3、4、5这三个数组成三位数，能组成6个不同的三位数。其中有2是5的倍数。 【点睛】本题开车列举法的方法解答，按一定顺序，防止遗漏，同时掌握5的倍数特征并灵活运用。 【例4】在1、4、8、0中选出三个数字，按要求组成三位数。 (1)同时是2、3、5的倍数是( )。 (2)最大的奇数是( )，最小的偶数是( )。 【答案】(1)180 (2) 841 104 【分析】（1）先考虑这个三位数是2、5的倍数，那么它的个位一定是0。再考虑这个三位数又是3的倍数，那么它的个位之和是1＋8＋0＝9，4＋8＋0＝12。由此得出同时是2、3、5的倍数的三位数。 （2）整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。要求最大的奇数，个位上的数是1，那么百位是8，十位是4。要求最小的偶数，个位上的数是4，那么百位是1，十位是0。 【详解】（1）同时是2、3、5的倍数是180、810、480、840。 （2）在1、4、8、0中，奇数是1，偶数是4、8、0，且8＞4＞1＞0； 最大的奇数是841，最小的偶数是104。 【例5】12、25、48、60、72、90这些数中是2的倍数有( )；是5的倍数有( )；既是2的倍数又是5的倍数有( )。 【答案】 12、48、60、72、90 25、60、90 60、90 【分析】2的倍数特征：个位数是0、2、4、6或8；5的倍数特征：个位数是0或5；既是2的倍数又是5的倍数特征：个位数是0。据此解答。 【详解】12、25、48、60、72、90这些数中是2的倍数有12、48、60、72、90；是5的倍数有25、60、90；既是2的倍数又是5的倍数有60、90。 【点睛】本题考查了2、5的倍数特征。 【例6】写出下面各组数的最大公因数和最小公倍数。 21和36        3和8        52和13        10和15 【答案】21和36的最大公因数是3，最小公倍数是252； 3和8的最大公因数是1，最小公倍数是24； 52和13的最大公因数是13，最小公倍数是52； 10和15的最大公因数是5，最小公倍数是30 【分析】根据求最大公因数和最小公倍数的方法： 对于一般的两个数来说，这两个数的公有质因数的连乘积是最大公因数，两个数的公有质因数与每个独有质因数的连乘积是最小公倍数； 如果两个数为倍数关系，最大公因数为较小的数，较大的那个数是这两个数的最小公倍数； 如果两个数为互质数，最大公因数是1，最小公倍数是两个数的乘积，据此解答。 【详解】21和36 21＝3×7； 36＝2×2×3×3； 21和36的最大公因数是3，最小公倍数是：3×7×2×2×3＝252； 3和8 3个8是互质数，最大公因数是1，最小公倍数是：3×8＝24； 52和13 52和13为倍数关系，最大公因数是13，最小公倍数是52； 10和15 10＝2×5 15＝3×5 10和15的最大公因数是5，最小公倍数是：2×5×3＝30。 【例7】在括号里写出每组数的最大公因数。 12和4( )    48和16( )    9和10( ) 3和24( )    5和20( )    6和11( ) 我发现当两个数是倍数关系时，它们的最大公因数是两个数中较( )（填“大”或“小”）的数。 【答案】 4 16 1 3 5 1 小 【分析】通过乘法算式，先列举出每个数的所有因数，再从中找出两个数的最大公因数，并从中发现规律。 【详解】（1）12的因数：1，2，3，4，6，12； 4的因数：1，2，4； 12和4的最大公因数是4； （2）48的因数：1，2，3，4，6，8，12，16，24，48； 16的因数：1，2，4，8，16； 48和16的最大公因数是16； （3）9的因数：1，9； 10的因数：1，2，5，10； 9和10的最大公因数是1； （4）3的因数：1，3； 24的因数：1，2，3，4，6，8，12，24； 3和24的最大公因数是3。 每组数的最大公因数填空如下： 12和4（  4  ）    48和16（  16  ）     9和10（  1  ） 3和24（  3  ）    5和20（  5  ）       6和11（  1  ） 我发现当两个数是倍数关系时，它们的最大公因数是两个数中较（小）的数。 【例8】M和N都是非零自然数，如果，那么M和N的最小公倍数是( )，M和9的最大公因数是( )。 【答案】 M 9 【分析】如果两个数是倍数关系那么较小数是它们的最大公因数，较大数是它们的最小公倍数，由题目条件可以得知：M÷N＝9能整除，也就是M是N的9倍，M是9的N倍，由此可以解决。 【详解】因为M÷N＝9，所以M÷9＝N，M和N的最小公倍数是M，M和9的最大公因数是9。 【点睛】熟练掌握两个数成倍数关系时最大公因数与最小公倍数的求法是解答本题的关键。 【例9】如果三个连续偶数的和是36，那么其中最小的偶数是( )。 【答案】10 【分析】自然数中，相邻的两个偶数相差2，由此可以求出它们的平均数（即中间的偶数），然后用平均数减去2即可求出最小的一个偶数。 【详解】36÷3＝12 12－2＝10 【点睛】此题解答关键是明确：自然数中，相邻的两个偶数相差2，先求出它们的平均数，进而求出最小的一个。 【例10】《孙子算经》中有一题：今有三女，长女五日一归，中女四日一归，小女三日一归。问：三女何日相会？意思是：一家三个女儿都已出嫁，大女儿五天回一次娘家，二女儿四天回一次娘家，小女儿三天回一次娘家，请问：三个女儿同一天从娘家走后，至少再过多少天才能在娘家相遇？ 【答案】60天 【分析】根据题意，大女儿是5天回一次娘家；二女儿是4天回一次娘家；三女儿是3天回一次娘家，求三个女儿同一天从娘家走后，至少再过多少天才能在娘家相遇，就是求5、4、3的最小公倍数，根据求最小公倍数的方法：几个数的公有质因数与每一个数的独有质因数的连乘积，如果几个数成倍数关系，较大的数为最小公倍数，如果几个数为互质数，最小公数是几个数的乘积；据此解答。 【详解】5、4、3是互质数， 5、4、3的最小公倍数是5×4×3＝60，至少再过60天才能在娘家相遇。 答：至少再过60天才能在娘家相遇。 【例11】有一筐桃，数量不超过100个，平均分给5个小朋友，还剩2个，平均分给7个小朋友，也剩2个，这筐桃最多有多少个？ 【答案】72个 【分析】根据题意，要求这筐桃子最多有多少个，先求出5和7的最小公倍数，再找出100以内5和7的最小公倍数的倍数，再加上2，即可解答。 【详解】5和7的最小公倍数是5×7＝35 100以内35的倍数有：35，70； 70＋2＝72（个） 72＜100，最多有72个。 答：这筐桃最多有72个。 【例12】五（1）班的同学分组合作学习，每4人一组多1人，每5人一组多1人，每8人一组也多1人。五（1）班至少有多少人？ 【答案】41人 【分析】每4人一组多1人，每5人一组多1人，每8人一组也多1人，说明五（1）班的总人数比4、5、8的公倍数多1。求五（1）班至少有多少人，求出4、5、8的最小公倍数，再加上1即可解答。 用质因数分解法可以求几个数的最小公倍数。全部公有的质因数和各自独立的质因数，它们连乘的积就是这几个数的最小公倍数。 【详解】4＝2×2 5的质因数只有5。 8＝2×2×2 则4、5、8的最小公倍数是2×2×5×2＝40。 40＋1＝41（人） 答：五（1）班至少有41人。 【例13】五（4）班学生为庆祝“六一”儿童节，需要用彩带装饰花篮。如果把如图的两根彩带剪成同样长的短彩带且没有剩余，每根短彩带最长是多少厘米？一共90厘米可以剪成这样的短彩带多少根？ 【答案】30厘米；3根 【分析】把90厘米、60厘米长的两根彩带剪成同样长的短彩带且没有剩余，每根短彩带要最长，就是求90和60的最大公因数。把90、60分解质因数后，把公有的相同质因数乘起来就是最大公因数。就是它们每根短彩带最长是多少厘米。再看90里面有几个这样的最大公因数，即是90厘米一共可以剪成这样的短彩带的总根数。 【详解】 60和90的最大公因数是。 （根 答：每根短彩带最长是30厘米，一共90厘米可以剪成这样的短彩带3根。 【例14】学校广播室的地面是长方形，长320厘米，宽280厘米。如果要给广播室的地面铺上地砖，下面哪种规格的地砖能正好铺满？你是怎样想的？ 【答案】边长40厘米的地砖 【分析】由题意可知，要把长320厘米，宽280厘米的长方形地面正好铺满，所需的正方形地砖的边长必须是320和280的公因数，用短除法求出这两个数的最大公因数，即可求得。 【详解】 320和280的最大公因数：2×2×2×5＝40 所以，50和60不是320和280的公因数，用边长40厘米的地砖能正好铺满地面。 答：边长40厘米的地砖能正好铺满学校广播室的地面。 【例15】小明有39颗糖果和40块巧克力，要把糖果和巧克力分给若干个小朋友，每人分的糖果和巧克力一样多。结果糖果多了3颗，巧克力少了2块。最多可以分给几个小朋友？每个小朋友分得几颗糖果，几块巧克力？ 【答案】6个；6颗；6块 【分析】根据题意可知，把多的3颗糖减去，把少的2块巧力加上就可以完全分完，并且每个人分的糖和巧克力一样多。恰巧分完就表示小朋友的人数是糖块颗数和巧克力块数的公因数，求最多，再找出最大公因数即可。 【详解】39－3＝36（颗） 40＋2＝42（块） 36＝2×3×2×3 42＝2×3×7 则36和42的最大公因数是：2×3＝6 所以最多可以分给6个小朋友 39÷6＝6（颗）……3（颗） 40÷6＝6（块）……4（块） 答：最多可以分给6个小朋友，每个小朋友分得6颗糖果，6块巧克力。 【点睛】此题重点考查最大公因数，灵活利用最大公因数解决实际问题。 1．如果M÷N＝12（M、N是非零自然数），那么M和N的最大公因数是( )，它们的最小公倍数是( )。 【答案】 N M 【分析】当两个数成倍数关系时，较大的那个数是这两个数的最小公倍数，较小的那个数是这两个数的最大公约数；据此进行解答即可。 【详解】M÷N＝12，即M和N成倍数关系，则M和N的最大公因数是N，最小公倍数是M。 2．212至少减去( )就是3的倍数，至少加上( )，就能同时是2、3、5的倍数。 【答案】 2 28 【分析】3的倍数特征：一个数各个数位上的数的和是3的倍数；同时是2、3、5的倍数特征：个位是0，各个数位上的数字之和是3的倍数，据此解答。 【详解】2＋1＋2＝5 5－3＝2 所以212至少减去2就是3的倍数； 个位是0且比212大的数有220,230,240等等， 2＋2＋0＝4 2＋3＋0＝5 2＋4＋0＝6 240－212＝28 6是3的倍数，所以212至少加上28，就能同时是2、3、5的倍数。 【点睛】熟练掌握2、3、5的倍数的特征是解题的关键。 3．（a、b都是不为0的自然数），a和b的最大公因数是( )，a和b的最小公倍数是( )。 【答案】 1 ab 【分析】由可知，a、b是相邻的两个自然数，根据互质数的定义，相邻的两个自然数为互质数，当两个数是互质数的关系时，这两个数的最大公因数是1，最小公倍数是这两个数的乘积。据此解答。 【详解】根据分析得，a、b是互质数； 所以a和b的最大公因数是1； a和b的最小公倍数是a×b＝ab。 【点睛】此题主要考查两个数为互质关系时，最大公因数和最小公倍数的求法。 4．从1、5、6三个数中选择一个数字填入方框里，使组成的数符合题目的要求。 （1）是2的倍数：3□、  8□、  2□。 （2）是3的倍数：2□、  4□、  9□。 （3）既是3的倍数，又是5的倍数： 1□、 7□。 （4）同时是2、3和5的倍数：□0、  □20。 【答案】（1）6；6；6；（2）1；5；6；（3）5；5；（4）6；1 【分析】（1）根据2的倍数特征，一个数的个位数字是0、2、4、6、8中的任意一个，那么这个数就是2的倍数，由此可知这几个数的个位数字应是6。 （2）3的倍数特征是，各个数位上的数字之和是3的倍数，2与1的和是3，由此可知第一个数的个位数字应是1，4加5得9，9是3的倍数，由此可知第二个数的个位数字应是5，而最后一个数的十位数字是9，所以个位数字只能是6，据此来解答。 （3）根据5的倍数特征：个位数字是0或5的数是5的倍数，所以此题中既是3的倍数，又是5的倍数的数，个位数字只能是5，由此即可解答。 （4）这两个数的个位数字都是0，所以这两个数既是2的倍数也是5的倍数，所以只需满足3的倍数特征即可，而已知的3个数字中只有6是3的倍数，由此可知这个两位数的十位数字是6；三位数的十位数字是2，只有2与1的和是3，满足3的倍数特征，所以三位数的百位数字是1，据此来解答。 【详解】（1）是2的倍数：36、86、26。 （2）是3的倍数：21、45、96。 （3）既是3的倍数，又是5的倍数：15、75。 （4）同时是2、3和5的倍数：60、120。 5．三个连续自然数的和是21，那么这三个数的最小公倍数是( )，最大公因数是( )。 【答案】 168 1 【分析】根据题意，三个连续自然数的和是21，可以得出这三个自然数的平均数是21÷3＝7，就可以求出这三个连续的自然数；再根据求最小倍数和最大公因数的方法解答即可。 【详解】根据题意可得，这三个自然数的平均数是：21÷3＝7，那么这三个连续的自然数中间的一个是7，7﹣1＝6，7＋1＝8，所以，这三个连续的自然数是：6、7、8； 6＝2×3，8＝2×2×2，所以它们的最小公倍数是：2×3×7×2×2＝168。 连续自然数的最大公因数是1。 故答案为：168；1 【点睛】解答此题的关键是求出这三个连续的自然数的平均数就是中间的一个自然数，掌握求最大公因数和最小公倍数的方法。 6．已知a＝3×5×7，b＝2×3×3×7，那么[a，b]＝( )，（a，b）＝( )。 【答案】 630 21 【分析】根据最大公因数和最小公倍数的求法可知：最大公因数是这两个数的公有的质因数的乘积，最小公倍数是这两个数公有的质因数和各自独有的质因数的乘积，据此解答 【详解】由分析可知，[a，b]＝3×7×5×2×3＝630； （a，b）＝3×7＝21 故答案为：630；21 【点睛】此题主要考查求两个数的最大公因数和最小公倍数的方法。找出共有质因数和各自独有质因数是解题关键，防止多找或漏找。 7．向阳小学进行期中测试，王老师的班级平均分是90分，在记录总分是不小心打翻了墨水，看见总分是□98□，王老师班级有( )个学生。 【答案】22 【分析】因为总分是□98□，平均分数是90分，所以总分个位一定是0，又因总分一定是9的倍数，所以总分的各位数位上数字的和是9的倍数，从而千位为1，也就是总分为1980，由此用1980÷90即可解答。 【详解】由分析可知，总分个位是0，千位是1，即1980分。 1980÷90＝22（个） 【点睛】此题主要考查了学生对平均数的认识与9的倍数特征的掌握。 8．明明准备用若干张长15厘米、宽12厘米的长方形纸片拼成一个正方形，拼成的正方形的边长最少是多少厘米？拼成这个正方形需要多少张这样的长方形纸片？ 【答案】60厘米；20块 【分析】把长15厘米，宽12厘米的长方形纸，拼成一个正方形。求正方形的边长是多少厘米，就是求长15和宽12的最小公倍数是60；要求至少需多少张，用最小公倍数即边长60，横着放，一行放60÷15＝4块，一列为60÷12＝5块，所以最后就断定是4×5＝20块．据此解答。 【详解】15＝3×5 12＝2×2×3 所以15和12的最小公倍数是：2×2×3×5＝60， 答：正方形的边长最小是60厘米。 （60÷15）×（60÷12） ＝4×5 ＝20（张） 答：至少需要20张这样的长方形纸。 【点睛】本题考查了最小公倍数在生活中的实际应用。长方形拼正方形，求正方形最小边长就是求长方形长、宽的最小公倍数。 9．把一张长12cm、宽8cm的长方形纸剪成同样大小、面积尽可能大的正方形，且纸没有剩余，这样可以剪多少个？剪出的正方形的边长是多少？（下图中每个小方格表示1平方厘米，先在图中画一画再回答） 【答案】；6个；4厘米 【分析】根据题意知道，要使面积尽可能大，纸没有剩余，也就是求8和12的最大公约数，所裁正方形的个数就是8和12独有的质因数的积；12＝2×2×3，8＝2×2×2，8与12的最大公约数4，由此可以分成边长是4cm的正方形有2×3个。 【详解】8＝2×2×2 12＝2×2×3 8与12的最大公约数是：2×2＝4， 则可以分成边长是4cm的正方形，所裁正方形的个数就是8和12独有的质因数的积，即，2×3＝6（个）；答：至少可以裁6个，剪出的正方形的边长是4厘米。 【点睛】解答此题的关键是根据题意找出8与12的最大公约数，再找出8和12独有的质因数的积，由此得出答案。 10．站前小学五年级同学在操场做操，每行16人或12人，正好是整行。已知五年级同学在140～160人之间。请问五年级一共有多少人？ 【答案】144人 【分析】解答本题的关键是明确无论是每行16人或12人，正好是整行，可知该班的人数是16和12的公倍数，然后再结合求最小公倍数的方法与找一个数的倍数的方法，进行解答即可。 【详解】16＝2×2×2×2，12＝2×2×3，2×2×2×2×3＝48，即16和12的最小公倍数是48。 48×1＝48，48×2＝96，48×3＝144，48×5＝240，因为五年级同学在140～160人之间，所以该班人数为144人 答：五年级一共有144人。 【点睛】此题考查公倍数再实际生活中的应用，要学会把实际问题转换成我们熟悉的数学问题再解答。 11．小刚和小伟都去学校参加乒乓球训练，小刚每3天去一次，小伟每4天去一次。3月1日两人同时参加乒乓球训练后，几月几日他们又再次相遇？ 【答案】3月13日他们又再次相遇 【分析】小刚每3天去一次，小伟每4天去一次，3和4的最小公倍数就是他们一起参加训练的最小的时间间隔。3月1日两人同时去游泳了，则根据3和4的最小公倍数往后推算出再次相遇的时间。 【详解】3和4的最小公倍数是：3×4＝12。 3月1日他们在游泳馆相遇，再过12天，即3月13日会一起参加训练。 答：3月13日他们又再次相遇。 12．把38个蘑菇和31个萝卜分给若干只小兔子，每只小兔子分得的蘑菇相同，萝卜也相同。结果蘑菇多2个，萝卜少1个。最多有多少只小兔？每只小兔分得几个蘑菇，几个萝卜？ 【答案】4只；9个；8个 【分析】根据题意，兔子一共分了38－2＝36个蘑菇，13＋1＝32个萝卜，求出36和32的最大公因数，即为兔子只数；进而求出每只小兔分得的蘑菇与萝卜的数量，解决问题。 【详解】38－2＝36 13＋1＝32 36＝2×2×3×3 32＝2×2×3×3，36和32的最大公因数是2×2＝4，因此最多有4只小兔。 38÷4＝9（个）……2（个） （31＋1）÷4 ＝32÷4 ＝8（个） 答：最多有4只小兔，每只小兔分得9个蘑菇，8个萝卜。 13．有一个七位数，各位上的数均为非零自然数，且从左往右依次是：①既是奇数，又是合数；②既不是质数，也不是合数；③既是质数，又是偶数；④10以内最大的质数；⑤最小的合数；⑥最小奇数的5倍；⑦有因数3的偶数。这个七位数是多少？ 【答案】9127456 【分析】是2的倍数的数叫作偶数，不是2的倍数的数叫作奇数； 质数是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数； 合数是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外，还有其他因数的数； 在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数是被除数的因数； 据此解答即可。 【详解】①既是奇数，又是合数的数是：9 ②既不是质数，也不是合数的数是：1 ③既是质数，又是偶数的数是：2 ④10以内最大的质数的数是：7 ⑤最小的合数的数是：4 ⑥最小奇数是1，最小奇数的5倍的数是：5 ⑦有因数3的偶数的数是：6 答：这个七位数是：9127456 14．小青家客厅长4.8米，宽4.2米，用正方形的地砖铺地正好铺满（且不需要切割），正方形的地砖边长最大是多少分米？一共需要多少块这样的地砖？ 【答案】6分米；56块 【分析】由题意可知：地砖边长最大是客厅长、宽的最大公因数；分别求出长、宽有几块，再求积即可；据此解答。 【详解】4.8米＝48分米 4.2米＝42分米 48＝2×2×2×2×3 42＝2×3×7 所以48和42的最大公因数是2×3＝6，即边长最大是6分米。 48÷6＝8（块） 42÷6＝7（块） 8×7＝56（块） 答：正方形的地砖边长最大是6分米，一共需要56块这样的地砖。 【点睛】本题主要考查最大公因数的实际应用，明确地砖边长最大值是客厅长、宽的最大公因数是解题的关键。 15．五（1）班给优秀少先队员发奖品，有笔记本24本，水彩笔36支，平均分给每个优秀少先队员正好分完而且没有剩余，每名优秀少先队员至少可分到多少本笔记本？多少支水彩笔？ 【答案】2本笔记本，3支水彩笔 【分析】根据“平均分给每个优秀少先队员正好分完而且没有剩余”、“至少可分到”可知，优秀少先队员的人数应该为24和36的最大公因数，据此求出总人数，再用笔记本和水彩笔的总量分别除以总人数即可。 【详解】24＝2×2×2×3 36＝2×2×3×3 24和36的最大公因数是2×2×3＝12 24÷12＝2（本） 36÷12＝3（支） 答：每名优秀少先队员至少可分到2本笔记本，3支水彩笔。 【点睛】根据题目中的关键信息明确优秀少先队员的人数应该为24和36的最大公因数是解答本题的关键，从而再进一步解答。 16．迷你马拉松正在某城市举行，如图，这是赛道的一部分，赛道在B点拐弯，根据赛会要求需要在路的一边安排志愿者，志愿者之间的距离必须相等，而且A、B、C处必须安排。那么这段赛道最少要安排多少名志愿者？请先算一算，并用“*”表示出志愿者大致的位置。 【答案】6名；图见详解 【分析】根据赛会要求需要在路的一边安排志愿者，志愿者之间的距离必须相等，先根据求两个数最大公因数的方法，求出两名志愿者之间的间距，即60和40的最大公因数，因为A、B、C处必须安排志愿者，就是植树问题中两端都植树，再用全长÷间距＝间隔数，再加上1，就是植树的棵数，也就是需要志愿者的人数，据此解答。 【详解】60＝2×2×3×5 40＝2×2×2×5 60和40的最大公因数：2×2×5＝20 （60＋40）÷20＋1 ＝100÷20＋1 ＝5＋1 ＝6（名） 图如下： 答：这段赛道最少要安排6名志愿者。 【点睛】熟练掌握植树问题的解答方法以及最大公因数的求法是解答本题的关键。 17．小芳和小红都去参加英语培训，小芳每6天去一次，小红每8天去一次，7月25日两人同时参加培训会，几月几日她们又再次相遇？ 【答案】8月18日 【详解】6和8的公倍数是24，7月25日再过24天是8月18日。 答：7月25日再过24天是8月18日又再次相遇。 ( 1 / 21 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$