1.1探索勾股定理◆基础过关 2025-2026学年北师大版数学八年级上册

北师大版新初二数学衔接突围 1.1探索勾股定理·基础检测 解析版 一、单选题 1．（21-22八年级下·福建福州·期中）如图，一棵树在一次强台风中，从离地面的点C处折断，倒下后树顶端着地点B与树底端A相距，则这棵树在折断前的高度是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求大树折断前的高度(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理，根据，且结合勾股定理列式代入数值计算，即可作答． 【详解】解：依题意， 则 ∴ ∴这棵树在折断前的高度是， 故选：C 2．（24-25八年级下·广东汕尾·期末）汕尾城区“网红打卡景点”——小岛渔村（屿仔岛），为便于市民、游客通行，物流交往，现已在小岛与湖滨大道码头之间修建一座桥（如图），在与方向成角的方向上的点处测得，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理的应用，直接利用勾股定理即可求解，掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：由题意得， ∴， 故选：． 3．（24-25九年级下·浙江衢州·自主招生）如图，已知，垂足为点，，且，则（   ） A．8 B．10 C．12 D．13 【答案】C 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，设，可得，在中，由勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：设， ∵， ∴， 在中，，， ∵， ∴， 解得：， 所以，， 故选：C． 4．（24-25八年级下·河南信阳·期末）在中，斜边，则的值为（    ） A．12 B．22 C．32 D．无法计算 【答案】C 【知识点】利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 【分析】本题考查了勾股定理．先由勾股定理求得，即可求得的值． 【详解】解：∵在中，斜边， ∴， ∴， 故选：C． 5．（24-25八年级下·广东汕头·期末）下列选项中（图中三角形都是直角三角形），不能用来验证勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】勾股定理的证明方法 【分析】本题考查了勾股定理的证明，对三角形和正方形面积公式的熟练掌握和运用是解题的关键．利用面积法证明勾股定理即可解决问题． 【详解】解：A、中间小正方形的面积；化简得，可以证明勾股定理，本选项不符合题意． B、不能证明勾股定理，本选项符合题意． C、利用A中结论，本选项不符合题意． D、中间小正方形的面积；化简得，可以证明勾股定理，本选项不符合题意， 故选：B． 6．（24-25八年级下·四川泸州·期末）《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者几何？”翻译成数学问题是：“如图，在中，，，求的长”．若设，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求大树折断前的高度(勾股定理的应用) 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型．领会数形结合的思想的应用．设，可知，再根据勾股定理即可得出结论． 【详解】解：设， ∵， ∴． ∵在中，，， ∴，即． 故选：C． 7．（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）A，B，C三地的两两之间距离如图所示，B地在A地的正西方向，那么B地在C地的（    ） A．正东方向 B．西南方向 C．正南方向 D．正北方向 【答案】C 【知识点】与方向角有关的计算题、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用， 先逆用勾股定理求出，再根据方位角得出答案． 【详解】解：∵， ∴是直角三角形，且， ∴B地在C地的正南方向． 故选：C． 8．（24-25八年级下·天津西青·期末）如图，要在门上方的墙上点处装一个由传感器控制的灯，点离地面，任何东西只要移至该灯及内范围，灯就自动发光．已知小军身高，若他走到处灯刚好发光，则他离墙的水平距离是（   ） A． B． C． D．2m 【答案】B 【知识点】用勾股定理构造图形解决问题 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，根据题意作出图形，正确构造直角三角形、根据勾股定理计算即可． 【详解】解：当人走到点的位置，头顶与点距离是时，灯刚好自动发光， 作于，    则， 在中，， 答：身高的学生要走到离墙的地方灯刚好发光． 故选：B． 9．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，其中四边形与四边形都是正方形，若，则小正方形与大正方形的边长之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】以弦图为背景的计算题、全等三角形的性质 【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据全等三角形的性质得到，，推出，设，则，得到，求出，即可得到答案． 【详解】解：根据题意得，，， ∵， ， 设，则 ， ． 故选：B． 10．（24-25八年级下·湖南邵阳·期末）如图，是的角平分线，，则点D到的距离为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【知识点】角平分线的性质定理、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了勾股定理，角平分线的性质，点到直线的距离，正确作出辅助线是解题的关键． 过点D作于E，先利用勾股定理求出的长，再根据角平分线的性质即可求出的长． 【详解】解：如图所示，过点D作于E， 在中，，由勾股定理得 ， ∵是的角平分线，，， ∴， ∴D到的距离为3， 故选：B． 11．（24-25八年级下·福建厦门·期末）1995年，希腊为纪念毕达哥拉斯学派发行了如图1所示的邮票，图案中间的直角三角形由三个正方形顶点相连构成．图2是小华模仿这个图形结构所画的图，则图2中三个正方形的面积可能取值为（   ） A．2，3，4 B．5，6，11 C．6，8，10 D．7，12，14 【答案】B 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．据勾股定理可得：，然后利用正方形的面积公式可得：以为边长的正方形面积+以为边长的正方形面积=以为边长的正方形的面积，即可解答． 【详解】解：如图： 由题意得：， ∴， ∴以为边长的正方形面积+以为边长的正方形面积=以为边长的正方形的面积， ∵，，，， ∴选取的三块正方形纸片的面积可以是5，6，11， 故选：B． 12．（24-25八年级下·河南商丘·期末）如图，这是一株勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．已知最大正方形的面积是16，则图中阴影正方形的面积之和为（   ） A．8 B．16 C．24 D．32 【答案】B 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题考查了勾股定理，熟悉掌握勾股定理是解题的关键．利用勾股定理求解即可． 【详解】解：设阴影部分正方形的边长为，，，，白色正方形的边长为，如图所示： ∴由勾股定理可得：，，， ∴， ∴图中阴影正方形的面积之和为； 故选：B． 13．（24-25八年级下·河北沧州·期末）如图，在中，，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理． 直接根据勾股定理计算即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴， 故选：D 14．（24-25八年级下·广西贵港·期末）如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为．若．则图中阴影部分的面积为（   ） A．6 B．5 C． D． 【答案】C 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题考查了勾股定理的应用和三角形面积的算法，解决此题的关键是合理的运用勾股定理；先根据勾股定理和已知的式子算出，再根据同底等高的算法即可得到答案； 【详解】解：在△中，这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，，由勾股定理得：， 即， ∵， ∴， ∴阴影部分的面积为， ∴阴影部分的面积为， 故选C． 15．（24-25八年级下·江西上饶·期末）如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条长的直吸管露在罐外部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用．善于观察题目的信息，正确理解题意是解题的关键．当直吸管底部在底面圆心处时，罐内部分的长度最短为圆柱形的高；当直吸管底部在底壁处时，罐内部分的长度最长为的长，利用勾股定理可得，即可求解． 【详解】解：如图， 当直吸管底部在底面圆心处时，罐内部分的长度最短为圆柱形的高，即， 此时直吸管露在罐外部分a的长度为， 当直吸管底部在底壁处时，罐内部分的长度最长为的长， 由勾股定理可得， 此时直吸管露在罐外部分a的长度为， 即直吸管露在罐外部分a的长度范围是， 故选：B． 二、填空题 16．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）某科技馆“数学乐园”展厅的WiFi密码被设计成如图所示的数学问题，某同学在参观时经过认真思索，输入密码一次就顺利地连接到网络，他输入的密码是 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理．根据勾股定理即可解答． 【详解】解：第一个三角形，，，∴，∴密码是； 第二个三角形，，，∴，∴密码是； 第三个三角形，，，∴，∴密码是； ∴他输入的密码是． 故答案为：． 17．（24-25八年级下·北京怀柔·期末）数学实践活动中，小红想测量奶奶家民房的高度．她将绳子从房子顶端垂直放下，绳子接触地面后还多出，当她把绳子斜拉直，并让绳子的末端刚好接触地面时，测得绳子末端离房子底部．若设房子的高度为，则可列方程为 ． 【答案】 【知识点】求旗杆高度(勾股定理的应用) 【分析】根据勾股定理，解答即可． 本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得直角三角形斜边长为，直角边长分别为，， 根据勾股定理，得， 故答案为：． 18．（24-25八年级下·贵州黔西·期末）如图所示，在直角中，，，，边上的垂直平分线交边于点E，交边于点D，连接，则的周长为 ． 【答案】17 【知识点】线段垂直平分线的性质、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质．利用勾股定理求出，然后根据线段垂直平分线的性质得到，最后根据三角形的周长公式计算可得到答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴的周长为 ， ∴的周长为17． 故答案为：17． 19．（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）我国汉代数学家赵爽用“弦图”证明了勾股定理．如图是宛宛同学把四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．若直角三角形较短的直角边，斜边，则小正方形的边长为 ． 【答案】7 【知识点】用勾股定理解三角形、以弦图为背景的计算题 【分析】本题考查了勾股定理的证明、勾股定理、正方形的面积，根据题意和勾股定理，可以求得直角三角形的另一条直角边，再根据小正方形的面积大正方形的面积四个直角三角形的面积，代入数据计算即可． 【详解】解：∵直角三角形较短的直角边，斜边， ∴另一条直角边为， ∵小正方形的面积大正方形的面积四个直角三角形的面积， ∴小正方形的面积为：， ∴小正方形的边长为7， 故答案为：7． 20．（24-25八年级下·福建福州·期中）如图，三个四边形均为正方形，则字母所表示的值是 ． 【答案】144 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．利用勾股定理进行计算，即可解答． 【详解】解：由勾股定理得：， 故答案为：144． 三、解答题 21．（24-25八年级下·新疆巴音郭楞·期末）某校在一次消防演练中，消防车按如图所示的方式停放，长的云梯需要到高的宿舍楼的点处，其示意图如图，已知云梯的底端到地面的距离是，与宿舍楼的水平距离是．云梯的长度够吗？请说明理由． 【答案】云梯的长度足够 【知识点】用勾股定理构造图形解决问题 【分析】本题主要考查了勾股定理，连接，利用勾股定理求出，通过比较可知，可知云梯的长度不够． 【详解】解：如下图所示，连接， ， ， ， ， 在中，， ， 云梯的长度足够． 22．（24-25八年级下·陕西安康·期末）如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为a，b，c，d．若，求的值． 【答案】12 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题主要考查的是勾股定理的灵活运用，解答的关键是利用两个直角三角形公共的斜边．利用勾股定理的几何意义解答． 【详解】解：如图，连接， 由题意可知：，，，． 在直角和中，， 即， ， ∴． 23．（24-25七年级下·全国·假期作业）图①是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形，两条直角边长分别为和，斜边长为；图②是以为直角边长的等腰直角三角形，请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形． (1)画出所拼图形的示意图，写出它是什么图形． (2)用这个图形验证勾股定理． (3)假设图①中的直角三角形有若干个，你能再用图中所给的直角三角形拼出另一个能证明勾股定理的图形吗？请你画出拼后的示意图（无需证明）． 【答案】(1)图形见解析，直角梯形 (2)验证见解析 (3)能，拼图见解析 【知识点】勾股定理的证明方法 【分析】本题考查勾股定理的验证，读懂题意，数形结合是解决问题的关键． （1）如图所示，得到所拼图形的示意图，它是一个直角梯形； （2）由（1）中图形，结合两种方式表示图形面积，结合整式混合运算法则恒等变形即可得证； （3）将4个全等的直角三角形拼成一个正方形，如图所示，即可得到答案． 【详解】（1）解：示意图如图①所示， 则它是一个直角梯形； （2）解：如图所示： ， ， 即， 则； （3）解：假设图①中的直角三角形有若干个，能再用图中所给的直角三角形拼出另一个能证明勾股定理的图形，将4个全等的直角三角形拼成一个正方形，如图所示： ． 24．（24-25八年级下·全国·课后作业）如图，池塘边有两点，点是与方向成直角的方向上一点，测得．求两点间的距离（结果取整数）． 【答案】57 m 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，解题的关键是正确的从实际问题中发现直角三角形并对应好直角边和斜边． 在直角三角形中已知直角边和斜边的长，利用勾股定理求得另外一条直角边的长即可． 【详解】， 在 中， （m） 答：两点间距离约为 57 m ． 25．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在中，于点D，，，． (1)求的长； (2)求的长； 【答案】(1) (2) 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了勾股定理，解题关键是熟练掌握勾股定理． （1）在中，根据勾股定理进行计算即可； （2）在中根据勾股定理进行计算即可． 【详解】（1）解：在中，于点D， 故在中， ； （2）在中，于点D， 故在中， ． 第 2 页 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 北师大版新初二数学衔接突围 1.1探索勾股定理·基础检测 一、单选题 1．（21-22八年级下·福建福州·期中）如图，一棵树在一次强台风中，从离地面的点C处折断，倒下后树顶端着地点B与树底端A相距，则这棵树在折断前的高度是（   ）． A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·广东汕尾·期末）汕尾城区“网红打卡景点”——小岛渔村（屿仔岛），为便于市民、游客通行，物流交往，现已在小岛与湖滨大道码头之间修建一座桥（如图），在与方向成角的方向上的点处测得，，则的长为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级下·浙江衢州·自主招生）如图，已知，垂足为点，，且，则（   ） A．8 B．10 C．12 D．13 4．（24-25八年级下·河南信阳·期末）在中，斜边，则的值为（    ） A．12 B．22 C．32 D．无法计算 5．（24-25八年级下·广东汕头·期末）下列选项中（图中三角形都是直角三角形），不能用来验证勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级下·四川泸州·期末）《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者几何？”翻译成数学问题是：“如图，在中，，，求的长”．若设，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 7．（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）A，B，C三地的两两之间距离如图所示，B地在A地的正西方向，那么B地在C地的（    ） A．正东方向 B．西南方向 C．正南方向 D．正北方向 8．（24-25八年级下·天津西青·期末）如图，要在门上方的墙上点处装一个由传感器控制的灯，点离地面，任何东西只要移至该灯及内范围，灯就自动发光．已知小军身高，若他走到处灯刚好发光，则他离墙的水平距离是（   ） A． B． C． D．2m 9．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，其中四边形与四边形都是正方形，若，则小正方形与大正方形的边长之比为（   ） A． B． C． D． 10．（24-25八年级下·湖南邵阳·期末）如图，是的角平分线，，则点D到的距离为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 11．（24-25八年级下·福建厦门·期末）1995年，希腊为纪念毕达哥拉斯学派发行了如图1所示的邮票，图案中间的直角三角形由三个正方形顶点相连构成．图2是小华模仿这个图形结构所画的图，则图2中三个正方形的面积可能取值为（   ） A．2，3，4 B．5，6，11 C．6，8，10 D．7，12，14 12．（24-25八年级下·河南商丘·期末）如图，这是一株勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．已知最大正方形的面积是16，则图中阴影正方形的面积之和为（   ） A．8 B．16 C．24 D．32 13．（24-25八年级下·河北沧州·期末）如图，在中，，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 14．（24-25八年级下·广西贵港·期末）如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为．若．则图中阴影部分的面积为（   ） A．6 B．5 C． D． 15．（24-25八年级下·江西上饶·期末）如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条长的直吸管露在罐外部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 16．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）某科技馆“数学乐园”展厅的WiFi密码被设计成如图所示的数学问题，某同学在参观时经过认真思索，输入密码一次就顺利地连接到网络，他输入的密码是 ． 17．（24-25八年级下·北京怀柔·期末）数学实践活动中，小红想测量奶奶家民房的高度．她将绳子从房子顶端垂直放下，绳子接触地面后还多出，当她把绳子斜拉直，并让绳子的末端刚好接触地面时，测得绳子末端离房子底部．若设房子的高度为，则可列方程为 ． 18．（24-25八年级下·贵州黔西·期末）如图所示，在直角中，，，，边上的垂直平分线交边于点E，交边于点D，连接，则的周长为 ． 19．（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）我国汉代数学家赵爽用“弦图”证明了勾股定理．如图是宛宛同学把四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．若直角三角形较短的直角边，斜边，则小正方形的边长为 ． 20．（24-25八年级下·福建福州·期中）如图，三个四边形均为正方形，则字母所表示的值是 ． 三、解答题 21．（24-25八年级下·新疆巴音郭楞·期末）某校在一次消防演练中，消防车按如图所示的方式停放，长的云梯需要到高的宿舍楼的点处，其示意图如图，已知云梯的底端到地面的距离是，与宿舍楼的水平距离是．云梯的长度够吗？请说明理由． 22．（24-25八年级下·陕西安康·期末）如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为a，b，c，d．若，求的值． 23．（24-25七年级下·全国·假期作业）图①是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形，两条直角边长分别为和，斜边长为；图②是以为直角边长的等腰直角三角形，请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形． (1)画出所拼图形的示意图，写出它是什么图形． (2)用这个图形验证勾股定理． (3)假设图①中的直角三角形有若干个，你能再用图中所给的直角三角形拼出另一个能证明勾股定理的图形吗？请你画出拼后的示意图（无需证明）． 24．（24-25八年级下·全国·课后作业）如图，池塘边有两点，点是与方向成直角的方向上一点，测得．求两点间的距离（结果取整数）． 25．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在中，于点D，，，． (1)求的长； (2)求的长； 第 2 页 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$