专题10 函数的应用（讲义）- 广东省2026年“3+证书”考试一轮复习《数学知识点清单》（原卷版+解析版）

编写说明：广东省2026年“3+证书”考试一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年高考真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含42个专题，每个专题均配备配套讲义、课件和练习题。 本专题是广东省2026年“3+证书”考试一轮复习《数学知识点清单》的第十个专题，内容为函数的应用。本专题涵盖函数应用的内涵、处理函数应用的步骤等2个知识点，每个知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 广东省2026年“3+证书”考试 一轮复习 《数学知识点清单》 专题10 函数的应用（讲义） 知识点 函数的应用 1、 函数应用的内涵 把实际问题转化为数学问题 （1）最值问题，最值问题常可利用基本初等函数的性质求函数值来解决，因此，解题的关键是构造恰当的函数。在现实生活中涉及最大、最低、最省等问题的实际背景广泛存在，一般先构造函数，然后利用单调性、值域、二次函数等方法求出最值，再还原为实际问题的解，期中利用二次函数求最值的应用最为广泛，要学生灵活应用。 （2）销售问题，要认真读题，理解销售术语的含义及关系，如“单价”“销售量”“成本”“销售收入”“利润”等,通过构造二次函数求出最值. 2、 处理函数应用的步骤 （1）读题:即读题目,弄清题目中的相关量的关系及其数学含义 （2）建模:常见数学模型有一次函数、反比例函数、分段函数、二次函数等 （3）求解：用相应的数学知识和方法去求解函数 （4）检验：把解出的数学结论放回到实际问题中去检验，得出符合条件的结论。 1.(2016年广东真题)如图所示,在平面直角坐标系xOy中,已知点A(-2,0)和B(8,0),以AB为直径作半圆交y轴于点M，点 P 为半圆的圆心，再以AB为边作正方形ABCD，CD交y轴于点N，连接CM和MP. (1) 求点 C,P 和M 的坐标; (2) 求四边形 BCMP 的面积S. 【答案】（1）C(8,10)，P(3,0)，M(0,4)（2） 【分析】本题考查了面积的计算应用 【详解】解(1)如图所示,线段AB 是该圆的直径,A(-2,0)和B(8,0),可得圆心坐标为P(3,0), ∵正方形ABCD 是以该圆直径为边,∴可得出C(8,10), 又∵点 P、O、M围成了一个直角三角形， ∴M(0,4). (2)四边形 BCMO 是一个梯形，△POM 是一个直角三角形，所以 ×4=50. 2.(2017年广东真题)如图,已知点A(6,0)和B(3,4),点C在y轴上,四边形OABC 为梯形,P 为线段OA 上异于端点的一点,设|OP|=x. (1)求点C 的坐标; (2)试问当x为何值时，△ABP 的面积与四边形OPBC 的面积相等? 【答案】（1）点C 坐标为(0,4)（2） 【分析】本题考查了函数应用中一次函数的应用 【详解】解(1)∵OABC为梯形,∴BC∥OA,∴点C纵坐标为4,点C 坐标为(0,4). (2)|OP|=x(0<x<6),△ABP 边PA 上的高为4, 梯形OPBC 面积S梯 由题知：2x+6=12-2x,解得 当 时,△ABP 的面积与四边形OPBC 的面积相等. 3.(2018年广东真题)矩形周长为10,面积为A,一边长为x。 (1)求A 与x 的函数关系式： (2)求A 的最大值; (3)设有一个周长为10的圆，面积为S，试比较 A 与S 的大小关系. 【答案】（1） （2）（3）S>A 【分析】本题考查了函数应用中二次函数的最值 【详解】解：(1)根据题意，一边长为x，另一边长为5-x，则 . (2)由(1)知 当 时， (3)根据题意C=2πr=10,解得 由(2)得 又∵π<4,∴S>A. 4.(2019年广东真题)如图,已知O(0,0),A(8,0),B(0,6),点 P,Q分别是线段OA,OB 上的动点,且 (1)写出△OPQ的面积y与x之间的函数解析式； (2)当x为何值时，四边形ABQP 的面积等于 的面积? 【答案】（1） （2） 【分析】本题考查了函数应用中二次函数的最值 【详解】解：(1)由题意得:,,. ∴,, . (2)由题意得 ∵S 即 化简得,. 或(舍去),故当时,四边形ABQP 的面积等于△OPQ的面积. 5.(2020年广东真题)如图,在平面直角坐标系xOy 中,四边形OABC 为平行四边形,点 A(4,0), (1) 若 求点C 的坐标； (2)设 点P 为线段OC 的中点，OC 的中垂线交x 轴于点 D，记 的面积为 平行四边形OABC 的面积为S₂.若 求 m 的值. 【答案】（1） （2） 【分析】本题考查了函数应用 【详解】解：(1)依题意,设C(a,b)(a>0,b>0), ∵|OC|=2,∠AOC=π/4,(2分) ∴a=b,且 即 解得 故 (2)依题意,|OA|=4, ∵OC⊥DP,∴∠ODP=∠AOC=π/4. ∵点 P 为OC 中点,∴OP=DP=m. 故 令 有 解得 6.(2021年广东真题)某花园由一面墙和AD、DC、CB 三段篱笆围成，篱笆总长为16米，如图1所示，其中四边形ABCD 是矩形,DC 是半圆弧,O为半圆的圆心,设|OC|=x米,|AD|=y米. (1)将y 表示为关于x的函数； (2)当x为何值时，矩形 ABCD 的面积最大? 【答案】（1） （2），平方米 【分析】本题考查了函数应用中二次函数的最值 【详解】解：(1)由题意得|OC|=x米, ∴半圆周长为米. 又篱笆总长为, (2)由(1)及题意得矩形ABCD 的面积为S=AB·BC, 所以 =x(16-πx) 当 米时， 矩形的面积最大且最大值为 平方米. 7.(2022年广东真题)在平面直角坐标系xOy 中,O为坐标原点,P 是函数 图像上一点，点A，B分别在x轴和y轴上，四边形OAPB 为矩形. (1)求矩形OAPB 的面积; (2)若矩形OAPB 的周长为10,求点 P 的坐标. 【答案】（1） （2）P 点的坐标为(1,4)或(4,1) 【分析】本题考查了函数应用中的反比例函数中的相关知识 【详解】解：(1)设P₀(,) 由题意得： 故 (2)因为矩形OAPB 的周长为10, 则 化简得:, 解得=1或=4, 当=1,=4, 当=4,=1, 故 P 点的坐标为(1,4)或(4,1). 8.(2023年广东真题)在△ABC中,∠B=90°,AC=10,BC=6,点 D,E,F 分别在AC,BC,AB 边上,DE∥AB,DF⊥AB. (1)若点 D 是AC 边的中点,求 DF 的长; (2)当点 D 在AC 边上运动时，求矩形 DFBE 的面积的最大值. 【答案】（1） （2）最大为12 【分析】本题考查了函数应用中二次函数的最值 【详解】解：(1)∵DF⊥AB,∠B=90°,∴DF∥BC,又∵D为AC中点,∴ DF∥BC,则 (2)设AD=x,∵DF∥BC,则 又。 贝 ∴当x=5时，矩形DFBE 有最大面积，面积的最大值为 9.(2024年广东省真题)如图，用长为18m的篱笆围成一个一边靠墙的五边形苗圃ABCDE,已知 设苗圃面积为 (1)求S 关于x 的函数关系式，并写出该函数的定义域； (2)当x为何值时，苗圃面积最大?并求出最大面积. 【答案】（1）（2）当 时苗圃的面积最大，最大面积为 【分析】本题考查了函数应用中二次函数的最值 【详解】.解:(1)连接CE(图略),在 中， 则 过点 D 作 于点F(图略)，在 中， 所以 又 知 因为 所以 即 (2)由(1)知 所以当 时，苗圃的面积最大，最大面积为 10.(2025年广东省真题)如图，某校区内有一个矩形场地，矩形长为10米，宽为8米，中间做一个矩形草坪，四周小正方形的长与宽均为x米，设中间草坪面积为y平方米. （1）求中间草坪面积y与x的函数关系式； （2）中间草坪面积大于矩形面积的时，求x的取值范围. 【答案】（1）（2） 【分析】本题考查了函数应用中二次函数的最值 【详解】.解:（1）依题意可知，中间矩形草坪的长为米，宽为米，所以面积，即； （2）依题意可知，，即，即①，解得或，所以不等式①的解集为又因为，故x的取值范围是. 一、选择题 1.某小微企业2023年营业收入200万元，预计年增长率8%，2028年营业收入约为（ ） A.293万元 B.317万元 C.343万元 D.370万元 【答案】A 【分析】本题考查了指数增长模型. 【详解】指数增长模型：； 故选：A. 2. 某元素半衰期5年，现有100克，15 年后剩余量为（ ） A.12.5克 B.25克 C.50克 D.75克 【答案】A 【分析】本题考查了指数递减模型. 【详解】指数递减模型：； 故选：A. 3.购物≤500元无折扣；500-1000元部分9折；超过1000元部分8折，购买1200元商品应付（ ） A.1060元 B.1080元 C.1100元 D.1120元 【答案】A 【分析】本题考查了分段函数. 【详解】分段计算：500+500×0.9+200×0.8=1060； 故选：A. 4.月用电≤100度 0.5元/度；100-200度部分0.6元/度；超过200度部分0.8元/度，用电250度电费为（ ） A.145元 B.150元 C.165元 D.175元 【答案】B 【分析】本题考查了分段函数. 【详解】分段计算：100×0.5+100×0.6+50×0.8=150； 故选：B. 5.拱门跨度12米，拱高4米，距拱顶水平距离3米处高度为（ ） A.2.25米 B.3米 C.3.25米 D.3.75米 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数. 【详解】依题意设拱门的二次函数 ，因为 时 即解得，所以二次函数方程为 ，时 。 故选：B. 6.用40米围栏围矩形场地（一边靠墙），最大面积为（ ） A.200㎡ B.225㎡ C.250㎡ D.280㎡ 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数最值. 【详解】设宽 ，长，面积 ，当，。 故选：A. 7.商品成本 30元/件，售价x元时销量800-10x件，利润最大时售价为（ ） A.55元 B.60元 C.65元 D.70元 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数最值. 【详解】设利润为W元，则 ，当，。 故选：A. 8.甲乙两车相距280公里，甲车速度80km/h，乙车速度 60km/h，相向而行出发后（ ）小时相遇。 A.2 B.2.5 C.3 D.3.5 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数. 【详解】设时间为t，则 ，解得。 故选：A. 9.某市为了鼓励市民节约使用天然气，对使用天然气进行分段收费，每月使用10以内（包括10）每立方米收费3元，超过部分按每立方米3.4元收取费用。如果某户居民当月使用天然气11，需交费 元；某户居民当月使用天然气，则天然气使用费元与的函数关系式是 A.33; B.37.4; C.33.4; D.33.4; 【答案】D 【分析】本题考查了分段函数. 【详解】当每月使用10以内（包括10）每立方米收费3元则费用为。当使用天然气超过10时费用为 故选：D. 10.用长为8 m的铝合金条制成如右图所示形状的矩形窗框，使窗户的透光面积最大，那么这个窗户的最大透光面积是( )。 A B C D 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数最值问题. 【详解】设窗框的长为,则宽为，则窗框的面积..当时， 故选：C. 二、解答题 11.一根铝合金型材长为9m，用它制作一个“日”字形窗户的框架ABCD(如图)，如果恰好用完整条铝合金型材，那么AB，AD 分别为多少m时，窗户的面积最大? 【答案】, 【分析】本题考查了二次函数最值问题. 【详解】解：设窗户框架的宽AB为x,则窗户框架的高AD为，面积为S ，当时， 分别为,时，窗户的面积最大为 12.为创建文明城市、美化校园，学校生物课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园.其中一边靠墙，另外三边用长为30m的篱笆围成.离墙7m处有一口井（井边离墙的距离），井的直径为1m，，已知墙长为18m(如图)，设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为 xm，苗圃的面积为y,要求井在苗圃里边。 (1)写出苗圃面积y与x 的函数解析式 (2)若平行于墙的一边长不小于8m，则垂直于墙的一边长为多少m时这个苗圃园的面积最大?求出这个最大值. 【答案】(1)（2）8m，112 【分析】本题考查了二次函数和最值问题. 【详解】解：（1）依题意可得平行于墙的一边长为（m），则 ，井的直径为1m，故，且解得， （2）由（1）知平行于墙的一边长为，依题意可知解得 所以，,对称轴为，当时二次函数单调递减，所以当时苗圃园的面积最大， 13.周长为60m的篱笆，一面利用旧墙(足够宽)围成如右图所示的矩形花圃其中x为垂直于墙的边，y为花圃的面积. (1)写出花圃面积y与x 的函数解析式. (2)给出x的取值范围. (3)当宽x为何值时，花圃的面积最大?最大面积是？ 【答案】（1）（2）（3）， 【分析】本题考查了二次函数和最值问题. 【详解】解：（1）依题意可得平行于墙的一边长为（m），则 （2）由（1）知平行于墙的一边长为，依题意可知解得 所以 （3）,对称轴为，所以当时苗圃园的面积最大， 14.一条隧道的截面如右图所示，它的上半部分是一个半圆，下半部分是一个矩形，矩形的一边长为2.5m. (1)求隧道截面的面积S(m²)关于半圆半径r(m)的函数解析式. (2)当半圆半径为2m 时，求截面的面积.(π取3.14，结果精确到0.1) 【答案】（1）（2） 【分析】本题考查了二次函数应用. 【详解】解：（1）依题意可得 （2）由（1）知，当时 15.如图, 在△ABC 中, ,动点 P 从点 A 开始沿 AB 边向点 B 以3mm/s的速度移动，动点Q从点C 开始沿BC边向点B以4mm/s的速度移动.已知P、Q 分别从A、B 同时出发，求△PBQ的面积S与出发时间t的函数关系式，并求出t的取值范围. 【答案】 【分析】本题考查了二次函数应用. 【详解】解：依题意可得, 即解得 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 编写说明：广东省2026年“3+证书”考试一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年高考真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含42个专题，每个专题均配备配套讲义、课件和练习题。 本专题是广东省2026年“3+证书”考试一轮复习《数学知识点清单》的第十个专题，内容为函数的应用。本专题涵盖函数应用的内涵、处理函数应用的步骤等2个知识点，每个知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 广东省2026年“3+证书”考试 一轮复习 《数学知识点清单》 专题10 函数的应用（讲义） 知识点 函数的应用 1、 函数应用的内涵 把实际问题转化为数学问题 （1） 最值问题，最值问题常可利用基本初等函数的性质求函数值来解决，因此，解题的关键是构造恰当的函数。在现实生活中涉及最大、最低、最省等问题的实际背景广泛存在，一般先构造函数，然后利用单调性、值域、二次函数等方法求出最值，再还原为实际问题的解，期中利用二次函数求最值的应用最为广泛，要学生灵活应用。 （2） 销售问题，要认真读题，理解销售术语的含义及关系，如“单价”“销售量”“成本”“销售收入”“利润”等,通过构造二次函数求出最值. 2、 处理函数应用的步骤 （1）读题:即读题目,弄清题目中的相关量的关系及其数学含义 （2）建模:常见数学模型有一次函数、反比例函数、分段函数、二次函数等 （3）求解：用相应的数学知识和方法去求解函数 （4）检验：把解出的数学结论放回到实际问题中去检验，得出符合条件的结论。 1.(2016年广东真题)如图所示,在平面直角坐标系xOy中,已知点A(-2,0)和B(8,0),以AB为直径作半圆交y轴于点M，点 P 为半圆的圆心，再以AB为边作正方形ABCD，CD交y轴于点N，连接CM和MP. (1) 求点 C,P 和M 的坐标; (2) 求四边形 BCMP 的面积S. 2.(2017年广东真题)如图,已知点A(6,0)和B(3,4),点C在y轴上,四边形OABC 为梯形,P 为线段OA 上异于端点的一点,设|OP|=x. (1)求点C 的坐标; (2)试问当x为何值时，△ABP 的面积与四边形OPBC 的面积相等? 3.(2018年广东真题)矩形周长为10,面积为A,一边长为x。 (1)求A 与x 的函数关系式： (2)求A 的最大值; (3)设有一个周长为10的圆，面积为S，试比较 A 与S 的大小关系. 4.(2019年广东真题)如图,已知O(0,0),A(8,0),B(0,6),点 P,Q分别是线段OA,OB 上的动点,且 (1)写出△OPQ的面积y与x之间的函数解析式； (2)当x为何值时，四边形ABQP 的面积等于 的面积? 5.(2020年广东真题)如图,在平面直角坐标系xOy 中,四边形OABC 为平行四边形,点 A(4,0), (1) 若 求点C 的坐标； (2)设 点P 为线段OC 的中点，OC 的中垂线交x 轴于点 D，记 的面积为 平行四边形OABC 的面积为S₂.若 求 m 的值. 6.(2021年广东真题)某花园由一面墙和AD、DC、CB 三段篱笆围成，篱笆总长为16米，如图1所示，其中四边形ABCD 是矩形,DC 是半圆弧,O为半圆的圆心,设|OC|=x米,|AD|=y米. (1)将y 表示为关于x的函数； (2)当x为何值时，矩形 ABCD 的面积最大? 7.(2022年广东真题)在平面直角坐标系xOy 中,O为坐标原点,P 是函数 图像上一点，点A，B分别在x轴和y轴上，四边形OAPB 为矩形. (1)求矩形OAPB 的面积; (2)若矩形OAPB 的周长为10,求点 P 的坐标. 8.(2023年广东真题)在△ABC中,∠B=90°,AC=10,BC=6,点 D,E,F 分别在AC,BC,AB 边上,DE∥AB,DF⊥AB. (1)若点 D 是AC 边的中点,求 DF 的长; (2)当点 D 在AC 边上运动时，求矩形 DFBE 的面积的最大值. 9.(2024年广东省真题)如图，用长为18m的篱笆围成一个一边靠墙的五边形苗圃ABCDE,已知 设苗圃面积为 (1)求S 关于x 的函数关系式，并写出该函数的定义域； (2)当x为何值时，苗圃面积最大?并求出最大面积. 10.(2025年广东省真题)如图，某校区内有一个矩形场地，矩形长为10米，宽为8米，中间做一个矩形草坪，四周小正方形的长与宽均为x米，设中间草坪面积为y平方米. （1）求中间草坪面积y与x的函数关系式； （2）中间草坪面积大于矩形面积的时，求x的取值范围. 一、选择题 1.某小微企业2023 年营业收入200万元，预计年增长率8%，2028年营业收入约为（ ） A.293万元 B.317万元 C.343万元 D.370万元 2. 某元素半衰期 5 年，现有 100 克，15 年后剩余量为（ ） A.12.5克 B.25克 C.50克 D.75克 3.购物≤500元无折扣；500-1000元部分9折；超过1000元部分8折，购买1200元商品应付（ ） A.1060元 B.1080元 C.1100元 D.1120元 4.月用电≤100度 0.5元/度；100-200度部分0.6元/度；超过200度部分0.8元/度，用电250度电费为（ ） A.145元 B.155元 C.165元 D.175元 5.拱门跨度12米，拱高4米，距拱顶水平距离3米处高度为（ ） A.2.25米 B.3米 C.3.25米 D.3.75米 6.用40米围栏围矩形场地（一边靠墙），最大面积为（ ） A.200㎡ B.225㎡ C.250㎡ D.280㎡ 7.商品成本 30元/件，售价x元时销量800-10x件，利润最大时售价为（ ） A.55元 B.60元 C.65元 D.70元 8.甲乙两车相距400公里，甲车速度80km/h，乙车速度 60km/h，出发后（ ）小时相遇。 A.2 B.2.5 C.3 D.3.5 9.制作无盖长方体盒子（容积 72m³，底面正方形），底面边长为（ ）时用料最省。 A.3m B.4m C.6m D.8m 10.用长为8 m的铝合金条制成如右图所示形状的矩形窗框，使窗户的透光面积最大，那么这个窗户的最大透光面积是( )。 A B C D 二、解答题 11.一根铝合金型材长为9m，用它制作一个“日”字形窗户的框架ABCD(如图)，如果恰好用完整条铝合金型材，那么AB，AD 分别为多少m时，窗户的面积最大? 12.为创建文明城市、美化校园，学校生物课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园.其中一边靠墙，另外三边用长为30m的篱笆围成.离墙3m处有一口井（井边离墙的距离），井的直径为1m，，已知墙长为18m(如图)，设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为 xm，苗圃的面积为y,要求井在苗圃里边。 (1)写出苗圃面积y与x 的函数解析式 (2)若平行于墙的一边长不小于8 m，则垂直于墙的一边长为多少m时这个苗圃园的面积最大?求出这个最大值. 13.周长为60m的篱笆，一面利用旧墙(足够宽)围成如右图所示的矩形花圃其中x为垂直于墙的边，y为花圃的面积. (1)写出花圃面积y与x 的函数解析式. (2)给出x的取值范围. (3)当宽x为何值时，花圃的面积最大? 14.一条隧道的截面如右图所示，它的上半部分是一个半圆，下半部分是一个矩形，矩形的一边长为2.5m. (1)求隧道截面的面积S(m²)关于半圆半径r(m)的函数解析式. (2)当半圆半径为2m 时，求截面的面积.(π取3.14，结果精确到0.1) 15. 如图, 在△ABC 中, ,动点 P 从点 A 开始沿 AB 边向点 B 以3mm/s的速度移动，动点Q从点C 开始沿BC边向点B以4mm/s的速度移动.已知P、Q 分别从A、B 同时出发，求△PBQ的面积S与出发时间t的函数关系式，并求出t的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$