5.2 解一元一次方程 暑期预习讲义 2025-2026学年人教版数学七年级上册

5.2 解一元一次方程 暑期预习讲义 2025-2026学年人教版数学七年级上册 核心知识点 一、基础概念与等式性质 一元一次方程的定义 标准形式。 判断条件： 只含一个未知数且未知数次数为 1； 分母不含未知数。 等式的性质 性质 1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。 例：若 性质 2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为 0 的数，结果仍相等。 例：若 二、解一元一次方程的核心步骤 一般步骤与操作要点 去分母：方程两边同乘分母的最小公倍数，避免漏乘常数项。 例： 去括号： 括号前为正号，直接去括号； 括号前为负号，括号内各项变号； 括号前有数字因数时，需分配到每一项。 例： 移项：含未知数的项移到左边，常数项移到右边，移项必变号。 例： 合并同类项：化简为的形式。 系数化为 1：方程两边除以a，得 典型例题解析 例 1：解方程  解： 检验：代入原方程，左边 = 右边，解正确。 例 2：解方程  解： 三、易错点与技巧 常见错误 移项不变号： 去分母漏乘：。 去括号符号错误：。 解题技巧 符号优先处理：先确定括号前符号，再展开运算。 整体代入：若已知。 分数化整：方程中含小数分母时，先利用分数性质化整 四、特殊情况与拓展知识 方程解的多样性 唯一解：标准一元一次方程通常有唯一解 无解：若化简后出现，无解。 无穷多解：若化简后出现，所有实数均为解。 含参方程的讨论 例：方程 五、检验与规范答题 检验方法 将解代入原方程，验证左右两边是否相等。 例：检验，成立。 答题规范 写 “解” 字，步骤清晰； 分数结果需化简为最简形式； 应用题答案需带单位并符合实际意义。 专项练习 一、选择题 1．下列方程是一元一次方程的是（　　） A．S=ab B．2+5=7 C．+1=x+2 D．3x+2y=6 2．若x=5是方程ax﹣8=12的解，则a的值为(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 3．若关于x的一元一次方程 ＝1的解是x＝－1，则k的值是（　　）． A． B．1 C． D．0 4．关于方程与的解相同，则的值为（　　） A． B． C．2 D． 5．一元一次方程 ，去分母后变形正确的是（　　） A． B． C． D． 6．若一个两位数恰等于它的各位数字之和的4倍，则这个两位数称为“巧数”，那么不是“巧数”的两位数的个数是（　　）. A．82 B．84 C．86 D．88 7．定义运算“*”如下：当a<0时，a*b=2a+b；当a≥0时，a*b=ab-，若（-2）*m=3*m，则m的值是（　　） A．-2 B． C． D．无法确定 8．定义：若，则称M与N是关于m的关联数．例如：若，则称M与N是关于3的关联数．若与是关于2的关联数，则x的值是（　　） A．1 B．3 C． D．1.5 二、填空题 9．若是关于的一元一次方程，则的值为　 　． 10．已知一个一元一次方程的解是，则这个一元一次方程可能是　 　（只写一个即可）． 11．当　 　时，关于的方程的解是． 12．小华做这样一道题“计算”，其中*表示被墨水染黑看不清的一个数，他翻开后面的答案得知该题的结果为7，那么*表示的数是　 　． 13．已知〇、△、口分别代表不同物体，用天平比较它们的质量，如图所示．根据砝码显示的质量，求〇　 　g，□=　 　g． 三、解答题 14．解下列一元一次方程： （1）； （2）． 15．已知方程与关于x的方程的解相同． （1）求a的值； （2）若a、b在数轴上对应的点在原点的两侧，且到原点的距离相等，c是最大的负整数，求的值． 16．对于有理数a，b，定义一种新运算“*”，规定：a*b=|a+2b|+|a-b|. （1）计算2*(-3)的值. （2）已知a>0且 ，求a 的值. 17．在解方程时，小江的解法如下： 解：去分母，得2（2x-1）=6-x-2...第①步 去括号，得4x-2=6-x-2..第②步 移项，得4x+x=6-2+2...第③步 则5x=6..第④步 解得x=..第⑤步 小江同学的解法正确吗?若不正确，请指出他在第 ▲ 步开始出现错误，并写出 正确的解题过程. 18．定义：如果两个一元一次方程的解之和为0，我们就称这两个方程为“友好方程”．例如：方程和为“友好方程”． （1）请判断方程与方程是否为“友好方程”，并说明理由； （2）若关于x的方程与方程是“友好方程”，求a的值． 答案解析部分 1．【答案】C 【解析】【分析】只含有一个未知数（元)，并且未知数的指数是1（次)的方程叫做一元一次方程，对定义的理解是：一元一次方程首先是整式方程，即等号左右两边的式子都是整式，另外把整式方程化简后，只含有一个未知数（元)，并且未知数的指数是1（次)． 【解答】A、因为ab为二次单项式，所以S=ab为二元一次方程； B、不含未知数，不是等式； C、符合一元二次方程的条件； D、含有两个未知数，未知数的最高次数为1，是二元一次方程． 故选C． 【点评】判断一元一次方程的定义要分为两步： （1）判断是否是整式方程； （2）对整式方程化简，化简后判断是否只含有一个未知数（元)，并且未知数的指数是1（次)． 2．【答案】B 【解析】【解答】解：把x=5代入方程ax﹣8=12得：5a﹣8=12， 解得：a=4． 故答案为：B． 【分析】把x=5代入方程ax-8=12得出5a-8=12，求出方程的解即可． 3．【答案】B 【解析】【解答】把x=-1代入方程得： =1， 解得：k=1 故答案为：B． 【分析】方程的解，就是能够使方程两边左右相等的未知数的值，即利用方程的解代替未知数，所得到的式子左右两边相等．已知x=-1是方程的解实际就是得到了一个关于k的方程，解方程就可以求出k的值． 4．【答案】C 【解析】【解答】解：∵ ∴解得 又∵与同解 ∴把代入得 解得 故答案为：C. 【分析】先求出的解，然后将解代入中，求出k值. 5．【答案】D 【解析】【解答】解：∵ ， 去分母化简，得： ； 故答案为：D. 【分析】利用等式的性质，在等式的两边都乘以各个分母的最简公分母6，约去分母，再去括号即可，注意右边的2不能漏乘. 6．【答案】C 【解析】【解答】解：设两位数的十位数字为，个位数字为（为的整数，为的整数 ），则两位数为， 由“巧数”定义得， 化简： → → ， 取（因 ）： • ，，数为； • ，，数为； • ，，数为； • ，，数为， 共个“巧数”， 两位数总个数：， 不是“巧数”的个数：. 故答案为：C. 【分析】设出两位数的十位、个位数字，根据“巧数”定义列方程，化简后结合数字取值范围找出所有“巧数”，用两位数总数减去“巧数”个数得结果. 7．【答案】B 【解析】【解答】解： 故答案为：B. 【分析】按照定义的新运算进行计算，即可解答. 8．【答案】A 【解析】【解答】解：由题意可得：，解得∶． 故答案为：A． 【分析】根据关联数的定义（ 如果两个数的差等于m，那么这两个数被称为关于m的关联数）即可列方程求解即可． 9．【答案】-4 【解析】【解答】解：∵(4-m)xlm|-3-16=0是关于x的一元一次方程， ∴|m|-3=1且m-4≠0， 解得m=-4. 故答案为：-4. 【分析】依据一元一次方程的定义可知|m|-3=1且m-4≠0，从而可求得m的值. 10．【答案】x-3=0 【解析】【解答】解：由题意得，满足题意的方程可以为x-3=0， 故答案为：x-3=0. 【分析】根据方程解的定义，将解x=3代入未知的一元一次方程中，确定方程的具体形式. 11．【答案】4 【解析】【解答】解：把代入方程得：， 解得：． 故答案为：4． 【分析】本题考查了一元一次方程的解，其中方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值，把代入方程，得到，求得的值，即可得到答案． 12．【答案】或3 【解析】【解答】解：设所表示的数为x，则 |（-4）-x|=7 ∴-4-x=7或-4-x=-7， ∴x=-11或3. 即所表示的数为-11或3. 故答案为：3或-11. 【分析】设所表示的数为x，根据题意列出含绝对值符号的方程，再根据绝对值的意义展开绝对值符号可得两个关于字母x的一元一次方程，分别求解即可. 13．【答案】；​​​​​​​ 【解析】【解答】解：设1个〇重g，1个□重g，1个△重g．由题意可得：，，． 根据等式的基本性质2，将的两边同除以2，得， 将的两边同除以5，得，将和代入，得， 根据等式的基本性质1，将两边同时减，得， 根据等式的基本性质2，将两边同时除以，得， 将代入，得，〇g，□g． 故答案为：，． 【分析】设1个○重 ag， 1个□重 bg， 1个△重 cg， 根据天平平衡情况列等式，根据等式的基本性质求出a和b的值即可. 14．【答案】（1）解： 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得； ​​​​​​​ （2）解： 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1得：． ​​​​​​​ 【解析】【分析】（1）利用去括号，移项，合并同类项解一元一次方程即可． （2）根据去分母，去括号，移项，合并同类项， 系数化为1解一元一次方程即可． （1）解： 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得； （2）解： 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1得：． 15．【答案】（1）解：， ， 解得：， 把代入，得：， 解得： （2）解：∵a、b在数轴上对应的点在原点的两侧，且到原点的距离相等， ∴， ∵c是最大的负整数， ∴， ∴ 【解析】【分析】 (1)解方程 可得 再 根据题意将 代入 中得到关于a的一元一次方程，解方程求得a的值即可 (2)互为相反数的两个数在数轴上对应的点在原点的两侧，且到原点的距离相等，据此可得a，b互为相反数，再结合 (1)中求得的a的值即可求得b的值，再由c是最大的负整数易得( 最后将已知数值代入 中计算即可. 16．【答案】（1）解：原式=|2+2×(-3)|+|2-(-3)|=4+5=9； （2）解：因为a>0，所以a*a=|a+2a|+|a-a|=3a. 因为a*(a*a)=8+a. a*3a=|a+6a|+|a-3a|=9a. 所以9a=8+a，解得a=1. 【解析】【分析】（1）根据新运算法则，列式计算即可； （2）根据运算法则，列方程解题即可. 17．【答案】解：第①步开始出现错误， 正解： 2(2x-1)=6-(x-2) 4x-2=6-x+2 4x+x=6+2+2 5x=10 x=2 【解析】【分析】根据解一元一次方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1解题即可. 18．【答案】（1）解：方程的解为，方程的解为， 因为， 所以它们为“友好方程”； （2）解：方程的解为，因为关于x的方程与方程是“友好方程”， 所以关于x的方程的解为， 所以把代入方程， 解得． 【解析】【分析】（1）先解方程得到两个方程的解，然后根据“友好方程”的定义判断解题； （2）先求出方程的解，然后根据“友好方程”的定义代入的解，即可求出a的值解题． （1）解：方程的解为， 方程的解为， 因为， 所以它们为“友好方程”； （2）解：方程的解为， 因为关于x的方程与方程是“友好方程”， 所以关于x的方程的解为， 所以把代入方程， 解得 学科网（北京）股份有限公司 $$