专题01 空间向量及数量积运算7大题型（专项训练）数学人教B版2019选择性必修第一册

专题01 空间向量及数量积运算7大题型（专项训练） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、空间向量的线性运算 1 题型二、共线、共面向量定理 3 题型三、空间向量基本定理 6 题型四、空间向量的数量积（重） 9 题型五、利用数量积求长度（重） 11 题型六、利用数量积求夹角 15 题型七、数量积中的最值（难） 17 B综合攻坚·能力跃升 21 题型一、空间向量的线性运算 1．已知空间四边形中，连结，设分别是的中点，则等于（    ） A． B． C． D． 2．（多选）在四面体ABCD中，E，F分别是BC，BD上的点，且，则（    ） A． B． C． D． 3．（多选）如图，平面内的小方格均为边长是1的正方形，，均为正方形的顶点，为平面外一点，则（    ） A． B． C． D． 4．在四面体中，，，棱，的中点分别为，，若，则 . 题型二、共线、共面向量定理 5．如图，在三棱柱中，为空间一点，且满足， ，则下列说法错误的是（　　） A．当时，点在棱上 B．当时，点在线段上 C．当时，点在棱上 D．当时，点在线段上 6．已知空间直角坐标系中的点集，对任意，都存在不全为零的实数满足．若，则的一个充分条件是（    ）． A． B． C． D． 7．已知，，三点共线，则 . 8．已知向量，，，若，，互不共线，且，，共面，则为 . 9．在四面体中，空间的一点满足，若，，共面，则 ． 题型三、空间向量基本定理 10．已知是空间的一个基底，则可以和，构成空间的另一个基底的向量为（    ） A． B． C． D． 11．已知向量在基底下的坐标为，则在基底下的坐标为 . 12．如图，空间四边形中，，，，点在线段上，且，点为中点，则等于（    ） A． B． C． D． 13．《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱．如图，在堑堵，中，M是的中点，是的中点，若，则（   ） A．1 B．2 C． D． 14．已知四棱锥中，底面为平行四边形，点为的中点，点满足，点满足，若、、、四点共面，则（   ） A． B． C． D． 题型四、空间向量的数量积（重） 15．若，，则 . 16．已知向量，，，当时，向量在向量上的投影的数量为（    ） A． B． C．3 D． 17．已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上的投影向量为（    ） A．2 B． C． D． 18．已知正四面体的所有棱长都等于，，分别是，的中点.则（   ） A． B． C． D． 19．在平行六面体中，，，M为的中点，则 . 20．已知八面体由正四棱锥与正四棱锥构成（如图），若，，点分别为的中点，则（    ） A．0 B．2 C． D． 题型五、利用数量积求长度（重） 21．已知空间向量，若与垂直，则（    ） A． B． C． D．14 22．若，，为空间两两夹角都是120°的三个单位向量，则 . 23．如图，在三棱锥中，分别为的中点，则（   ） A． B．2 C． D．1 24．在空间四边形中，，，且，平面，则棱的长为 . 25．如图，在三棱锥中，，，，，为的中点，为的中点，为的重心，与相交于点，则的长为（   ） A． B．1 C． D． 26．如图，已知，，是边长为1的小正方形网格上不共线的三个格点，点为平面外一点，且，，若，则（    ）    A． B． C．6 D． 题型六、利用数量积求夹角 27．在空间直角坐标系中，向量（）在面上的投影向量为，在向量上的投影向量为，则与的夹角为（    ） A． B． C． D．与t有关 28．已知空间三点，则以为邻边的平行四边形的面积为 ． 29．已知平行六面体中，．若，则的值为 ． 30．（ 2025·山东枣庄·二模）已知三棱柱的各条棱长相等，且，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 31．已知向量，，且． (1)求的值； (2)求向量与夹角的余弦值． 题型七、数量积中的最值（难） 32．已知是长方体表面上任意三点，且，则的最小值为（    ） A．14 B． C．10 D．5 33．正四面体中，，点满足，则长度的最小值为（   ） A． B． C． D． 34．（ 2024·浙江·模拟预测）边长为1的正方体中，E，F分别是，中点，M是靠近B的四等分点，P在正方体内部或表面，，则的最大值是（    ） A．1 B． C． D． 35．如图，在多面体中，底面是边长为1的正方形，为底面内的一个动点（包括边界），底面底面，且，则的最小值与最大值分别为（    ） A． B． C． D． 36．已知动点是棱长为1的正方体的对角线上一点，记，当为钝角时，的取值范围为（    ） A． B． C． D． 37．已知正六棱柱的底面边长为1，是正六棱柱内（不含表面）的一点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 1．（2025·辽宁·模拟预测）在长方体中，，，E，F，G分别满足，，，平面分别交，于M，N两点，则（   ） A． B． C． D． 2．（2025·天津河西·一模）如图，在体积为的正四棱锥中，，，设平面与直线交于点，记四棱锥的体积为，则（   ） A． B． C． D． 3．（2025·宁夏石嘴山·一模）正四棱台的体积为，，，则直线AB1与直线BD所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·上海宝山·一模）如图，正四棱柱的底面边长为，为上任意一点，为中点，若棱上至少存在一点使得，则棱长的最大值为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·福建福州·模拟预测）（多选）在棱长为1的正方体中， 点 P 是底面内的动点， 则（     ） A．的最小值为2 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值为3 6．（2023·24高三上·四川成都·期末）已知四棱柱底面ABCD为平行四边形，且，则异面直线与的夹角余弦值为 . 7．（2025·重庆·模拟预测）在的二面角中，，，到棱的距离为，到棱的距离为，，则直线与棱夹角的正弦值为 . 8．（2024·上海普陀·一模）设，在如图所示的平行六面体中，，，，点是棱的中点，，若，则的值为 . 9．（2024·浙江·模拟预测）在正四面体ABCD中，P是内部或边界上一点，满足，． (1)证明：当取最小值时，； (2)设，求的取值范围． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 空间向量及数量积运算7大题型（专项训练） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、空间向量的线性运算 1 题型二、共线、共面向量定理 3 题型三、空间向量基本定理 6 题型四、空间向量的数量积（重） 9 题型五、利用数量积求长度（重） 11 题型六、利用数量积求夹角 15 题型七、数量积中的最值（难） 17 B综合攻坚·能力跃升 21 题型一、空间向量的线性运算 1．已知空间四边形中，连结，设分别是的中点，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为分别是的中点， 所以， 则. 故选：B. 2．（多选）在四面体ABCD中，E，F分别是BC，BD上的点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】在中，因为，所以，故，即. ， 故选：BD.    3．（多选）如图，平面内的小方格均为边长是1的正方形，，均为正方形的顶点，为平面外一点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】在平面内选取两个互相垂直的单位向量，且， ，A正确； ，则 ，B正确； ，则 ，即，C不正确； ，则 ，D正确. 故选：ABD 4．在四面体中，，，棱，的中点分别为，，若，则 . 【答案】 【详解】 在四面体中，棱，的中点分别为，，取的中点，所以，， 所以， 又因为，所以. 故答案为：. 题型二、共线、共面向量定理 5．如图，在三棱柱中，为空间一点，且满足， ，则下列说法错误的是（　　） A．当时，点在棱上 B．当时，点在线段上 C．当时，点在棱上 D．当时，点在线段上 【答案】B 【详解】对于，当时，，， 所以，则点在棱上，故正确； 对于，当时， ， ， 即，即 所以点在线段上，故错误； 对于，当时，，， 所以，所以，即， 所以点在棱上，故正确； 对于，当时， 所以，， 所以， 即，即， 所以点在线段上，故正确． 故选：． 6．已知空间直角坐标系中的点集，对任意，都存在不全为零的实数满足．若，则的一个充分条件是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】不全为0的实数，使得， 所以3个向量无法构成三维空间坐标系的一组基，即向量共面， 对于A，，若，则与共线，与共线，所以可以属于，此时三者不共面，故A不正确； 对于B，，若，则与共线， 所以可以属于，此时三者不共面，故B不正确； 对于C，，若，则与， 所以可以属于，此时三者不共面，故C不正确； 对于D，显然三者可以构成一组基，与条件不符合，故可以推出，故D正确． 故选：D. 7．已知，，三点共线，则 . 【答案】26 【详解】由题意，，因为，所以， 所以，，所以. 故答案为： 8．已知向量，，，若，，互不共线，且，，共面，则为 . 【答案】 【详解】令， 即，所以，，，经检验符合题意. 故答案为： 9．在四面体中，空间的一点满足，若，，共面，则 ． 【答案】 【详解】法一：由题意， ，， 因为，，共面， 所以存在实数唯一实数对，使得， 即， 所以，解得． 法二：由，，共面得四点共面， 则根据四点共面的充要条件可得，，即． 故答案为：. 题型三、空间向量基本定理 10．已知是空间的一个基底，则可以和，构成空间的另一个基底的向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为是空间的一个基底，可知，，不为共面向量， 对于A：因为，可知，，为共面向量，不能作为基底，故A错误； 对于B：因为，可知，，为共面向量，不能作为基底，故B错误； 对于C：因为，可知，，为共面向量，不能作为基底，故C错误； 对于D：假设，，共面， 则， 可得，方程组无解， 可知，，不为共面向量，可以作为基底，故D正确； 故选：D. 11．已知向量在基底下的坐标为，则在基底下的坐标为 . 【答案】 【详解】由题意可得，设， 则，解得，所以坐标为. 故答案为：. 12．如图，空间四边形中，，，，点在线段上，且，点为中点，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，点为中点， . 故选：D 13．《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱．如图，在堑堵，中，M是的中点，是的中点，若，则（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【详解】连接，因为是的中点，所以， 因为三棱柱是底面为直角三角形的直棱柱， 所以四边形为长方形，又因为是的中点， 所以， 则， 又，又，，不共面，所以，所以． 故选：D． 14．已知四棱锥中，底面为平行四边形，点为的中点，点满足，点满足，若、、、四点共面，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如下图所示： 因为、、、四点共面，且、不共线， 则存在、，使得， 即， 所以， 因为四边形为平行四边形，所以，即， 所以， 设，则， 因为、、不共面，所以，解得，所以， 又因为，故， 故选：C. 题型四、空间向量的数量积（重） 15．若，，则 . 【答案】 【详解】由，，所以； 所以. 故答案为： 16．已知向量，，，当时，向量在向量上的投影的数量为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【详解】向量，，， 所以，解得，所以，， 所以向量在向量上的投影的数量为. 故选：B. 17．已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上的投影向量为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【详解】空间向量在向量方向上的投影向量为， 因为为单位向量，，， 所以， 所以， 故选：B 18．已知正四面体的所有棱长都等于，，分别是，的中点.则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题知，，， 所以 . 故选：B 19．在平行六面体中，，，M为的中点，则 . 【答案】/ 【详解】在平行六面体中，，， ，M为的中点， ， 所以. 故答案为： 20．已知八面体由正四棱锥与正四棱锥构成（如图），若，，点分别为的中点，则（    ） A．0 B．2 C． D． 【答案】D 【详解】连接，交于点，连接，， 因为正四棱锥与正四棱锥， 所以平面，平面， 因为，， 所以，，， 以为原点，分别为轴的正向建立空间直角坐标系， 则，，，，， ，， 所以，， 所以. 故选：D. 题型五、利用数量积求长度（重） 21．已知空间向量，若与垂直，则（    ） A． B． C． D．14 【答案】B 【详解】因为与垂直， 所以，解得， 所以， 故. 故选：B 22．若，，为空间两两夹角都是120°的三个单位向量，则 . 【答案】3 【详解】由. 故答案为：3 23．如图，在三棱锥中，分别为的中点，则（   ） A． B．2 C． D．1 【答案】D 【详解】由题意得，，，，， ∴，，. ∵， ∴ . 故选：D. 24．在空间四边形中，，，且，平面，则棱的长为 . 【答案】 【详解】因为平面，平面，则，， 且，，， 可得， 又因为，则， 可得，所以. 故答案为：. 25．如图，在三棱锥中，，，，，为的中点，为的中点，为的重心，与相交于点，则的长为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【详解】设，由题意得， 则, 设， 则,故. 由得， 得， 所以， 故选：D 26．如图，已知，，是边长为1的小正方形网格上不共线的三个格点，点为平面外一点，且，，若，则（    ）    A． B． C．6 D． 【答案】D 【详解】以为基底，则，，，，. 因为，所以， 则 ， 所以. 故选：D 题型六、利用数量积求夹角 27．在空间直角坐标系中，向量（）在面上的投影向量为，在向量上的投影向量为，则与的夹角为（    ） A． B． C． D．与t有关 【答案】A 【详解】因为向量在面上的投影向量为， 则. 因为在向量上的投影向量为， 则. 所以. 所以向量的夹角为. 故选：A. 28．已知空间三点，则以为邻边的平行四边形的面积为 ． 【答案】 【详解】因为， ， 所以，， ， 所以， 所以以为邻边的平行四边形的面积为. 故答案为：. 29．已知平行六面体中，．若，则的值为 ． 【答案】 【详解】由题意可得 ， 解得：， 所以 故答案为： 30．（ 2025·山东枣庄·二模）已知三棱柱的各条棱长相等，且，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】不妨设棱长为2， 由题意可知：， 因为， 则 ， 即， 且， 可得， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故选：C. 31．已知向量，，且． (1)求的值； (2)求向量与夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为向量，，且，则，解得， 所以，，则， 故. （2）， 所以，. 因此，向量与夹角的余弦值为. 题型七、数量积中的最值（难） 32．已知是长方体表面上任意三点，且，则的最小值为（    ） A．14 B． C．10 D．5 【答案】B 【详解】取中点为，由极化恒等式，. 又是长方体表面上任意三点， 所以当位于体对角线的两个端点时，最大，最大值为； 此时为长方体的中心，则当位于长方形中心时，的值最小，最小值为1， 所以的最小值为. 故选：B. 33．正四面体中，，点满足，则长度的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图所示，    延长，，至点，，，使得，，， 所以， 又由，所以，，，四点共面， 所以的最小值，即为点到平面的距离， 因为点是的中点，则点到平面的距离是点到平面的距离的一半， 又因为，所以三棱锥为正三棱锥， 取等边的中心为，连接，，可得平面， 所以即为点到平面的距离， 在等边，因为，可得， 在直角中，可得， 即点到平面的距离为， 所以的最小值为. 故选：C 34．（ 2024·浙江·模拟预测）边长为1的正方体中，E，F分别是，中点，M是靠近B的四等分点，P在正方体内部或表面，，则的最大值是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【详解】在边长为1的正方体中，建立空间直角坐标系，设，    则， ，则， 由，得，即，而， 因此， 当且仅当，取等号，此时，所以的最大值是. 故选：D 35．如图，在多面体中，底面是边长为1的正方形，为底面内的一个动点（包括边界），底面底面，且，则的最小值与最大值分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为底面平面， 所以, 因为四边形为正方形，所以， 所以两两垂直， 所以以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 设，则， 所以 ， 因为， 所以当时，取得最小值； 当或1，或1时，取得最大值4. 故选：A 36．已知动点是棱长为1的正方体的对角线上一点，记，当为钝角时，的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，以点为原点建立空间直角坐标系， 则， ，，， 故， ， 则 ， 因为， 所以，解得， 所以的取值范围为. 故选：C 37．已知正六棱柱的底面边长为1，是正六棱柱内（不含表面）的一点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】以为坐标原点，为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 且， 由正六边形的性质可得，，，，， 设，其中， 所以，， 所以，所以的取值范围. 故选：D. 1．（2025·辽宁·模拟预测）在长方体中，，，E，F，G分别满足，，，平面分别交，于M，N两点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图①，取的中点O，连接，， 又，所以，， 延长交的延长线于点， 则，即， 解得， 连接并延长，交于点，交的延长线于点， 在平面内过点作的垂线，交的延长线于点，如图②所示： 由平面几何知识可得， 所以，所以，，. 又，所以，所以， 同理，所以. 连接并延长，交于点，交的延长线于点， 连接，交于点，同理可得， 所以，，， 所以， 所以. 故选：C. 2．（2025·天津河西·一模）如图，在体积为的正四棱锥中，，，设平面与直线交于点，记四棱锥的体积为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图所示， 由四点共面，且四边形为正方形， 可得， 由，，设， 可得：，即， 根据四点共面，可得， 即， 设，分别是点到平面和点到平面的距离，则， 所以， ，， 同理，， ，， 则四棱锥与四棱锥的体积比为. 故选：D. 3．（2025·宁夏石嘴山·一模）正四棱台的体积为，，，则直线AB1与直线BD所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设正四棱台的高为, 已知体积、下底面积、上底面积, 代入正四棱台体积公式,可得， 解得高， 取AB的中点,连接OF, 取AD的中点,连接OE， 如图，以 所在的直线分别作 轴，建立空间直角坐标系， 而，， 则顶点, ，顶点 ， 直线的方向向量为,， 直线 的方向向量为，， 则， 则直线AB1与直线BD所成角的余弦值为: . 故选：C. 4．（2024·上海宝山·一模）如图，正四棱柱的底面边长为，为上任意一点，为中点，若棱上至少存在一点使得，则棱长的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据已知条件， 以为坐标原点，、、分别为、、轴的空间直角坐标系， 设正四棱柱的高为，令，，， 所以，， 因为，所以，即， 整理得：，因为棱上至少存在一点使得， 所以关于得的方程，至少有一个解， 即，整理得：，解得， 又因为，所以，所以棱长的最大值为. 故选：A 5．（2025·福建福州·模拟预测）（多选）在棱长为1的正方体中， 点 P 是底面内的动点， 则（     ） A．的最小值为2 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值为3 【答案】ACD 【详解】 设关于平面的对称点分别为，底面和的中心分别为，如图所示： 对于A，易知为的中点，则，可得， 所以， 当与重合时，底面，此时取得最小值为1，即的最小值为2，故A正确； 对于D， ， 当与重合时，底面，此时取得最小值为1，则的最小值为3，故D正确； 对于B，当与重合时，，故B错误； 对于C，由对称性可知，，则， 当且仅当点为线段与平面的交点时，的最小值为，故C正确. 故选：ACD. 6．（2023·24高三上·四川成都·期末）已知四棱柱底面ABCD为平行四边形，且，则异面直线与的夹角余弦值为 . 【答案】 【详解】， ， ， 底面ABCD为平行四边形，所以， 所以， . 所以， 故异面直线与的夹角的余弦值为:， 故答案为： 7．（2025·重庆·模拟预测）在的二面角中，，，到棱的距离为，到棱的距离为，，则直线与棱夹角的正弦值为 . 【答案】/ 【详解】过点在平面内作，垂足为点，过点在平面内作，垂足为点， 由二面角的定义可知，，由题意可知，，， 因为， 则 ，解得， 因为， 所以，， 故， 即直线与棱夹角的正弦值为. 故答案为：. 8．（2024·上海普陀·一模）设，在如图所示的平行六面体中，，，，点是棱的中点，，若，则的值为 . 【答案】 【详解】， ， ， 所以， 由，，， 可得， ，解得. 故答案为：. 9．（2024·浙江·模拟预测）在正四面体ABCD中，P是内部或边界上一点，满足，． (1)证明：当取最小值时，； (2)设，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）如图：取中点，中点，连接， 则，. 因为，， 所以三点共线. 又四面体为正四面体，所以，当为中点时，，此时取得最小值. 又，所以. （2）易知， . 所以，，， 故（）. 根据二次函数的性质，当时，有最小值，为； 当或时，有最大值，为. 故的取值范围为： 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$