第四章《因式分解》暑假单元巩固卷 2025--2026学年北师大版八年级数学上册

北师大版数学八年级下册 暑假单元巩固卷 第四章 因式分解 考试时间:120分钟 满分150分 一、选择题（本大题共10小题，总分40分） 1．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（　　） A．x（x+1）＝x2+x B．x2+xy﹣3＝x（x+y）﹣3 C．x2+6x+4＝（x+3）2﹣5 D．x2+2x+1＝（x+1）2 2．下列式子因式分解正确的是（　　） A．x2﹣5x+6＝（x﹣2）（x﹣3） B．3x2y﹣6xy+3y＝3y（x2﹣2x） C．x4﹣16＝（x2+4）（x2﹣4） D．2x2+4x＝2（x2+2x） 3．下列各式不能运用平方差公式进行因式分解的是（　　） A．﹣a2+b2 B．﹣x2﹣y2 C．49x2﹣z2 D．16m2﹣25n2 4．已知关于x的二次三项式x2+7x+n有一个因式为（x+5），则n的值为（　　） A．﹣10 B．2 C．10 D．15 5．如图，四边形ABCD是一个长方形，利用不同的方法可以计算出长方形的面积．通过分析图形中所标线段的长度，将多项式m2+3mn+2n2因式分解，其结果正确的是（　　） A．（m+2n）2 B．（m+2n）（m+n） C．（2m+n）（m+n） D．（m+2n）（m﹣n） 6．若非零实数a、b满足4a2+b2＝4ab，则（　　） A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4 7．对于任意整数n，可得多项式（2n+5）2﹣9的结论最为恰当的是（　　） A．被7整除 B．被8整除 C．被6或8整除 D．被7或9整除 8．如图，边长为a，b的长方形的周长为10，面积为6，则a2b+ab2的值为（　　） A．60 B．30 C．24 D．15 9．小雯是一位密码编译爱好者，在她的密码手册中，有这样一条信息：2，x，x+1，x﹣1，x2，x3分别对应下列六个字：美，我，宣，汉，丽，爱．现将2x4﹣2x2因式分解，结果呈现的密码信息可能是（　　） A．宣汉美 B．爱宣汉 C．我爱宣汉 D．美丽宣汉 10．已知m，n均为正整数且满足mn﹣2m﹣3n﹣20＝0，则m+n的最小值是（　　） A．20 B．30 C．32 D．37 二、填空题（本大题共5小题，总分20分） 11．x2﹣y2与x﹣y的公因式是　 　 ． 12．分解因式　 　 ． 13．已知a﹣b＝4，ab＝3，则a3b﹣2a2b2+ab3＝　 　 ． 14．已知a，b，c是△ABC的三边，且满足a2﹣b2+ac﹣bc＝0，则△ABC为 　 　 三角形（填写“等腰”、“等边”、“直角”中的一个）． 15．如图，将三个边长分别为a，b的小长方形组成一个大长方形，已知大长方形的周长为12，面积为7．则代数式a3b+6a2b2+9ab3的值是 　 　 ． 三、解答题（本大题共10小题，总分90分） 16．因式分解： （1）5a2b3﹣20ab2+5ab； （2）6x（x﹣y）2+3（y﹣x）3． 17．因式分解： （1）3ab2﹣18ab+27a； （2）25（a+b）2﹣9（a﹣b）2． 18．△ABC的三边长分别为：AB＝2a2﹣a﹣7，BC＝10﹣a2，AC＝a． （1）求△ABC的周长（请用含有a的代数式来表示）； （2）若△ABC与△DEF成轴对称图形，其中点A与点D是对称点，点B与点E是对称点，EF＝4﹣b2，DF＝3﹣b，求a﹣b的值． 19．如图，约定：上方相邻两整式之和等于这两个整式下方箭头共同指向的整式． （1）求整式M，P； （2）将整式P因式分解． 20．因式分解是一种恒等变形，其本质是把一个多项式化为几个整式的积的形式．初中阶段只要求掌握提公因式法和公式法两种因式分解的方法．但小明同学接触了整体学习法后，提出一个观点：公式法分解因式，归根结底也是提公因式法分解因式．为了向同学们证明，小明同学提供了平方差公式分解因式的推理过程： 第①步：a2﹣b2＝a2﹣ab+ab﹣b2； 第②步：＝（a2﹣ab）+（ab﹣b2）； 第③步：＝a（a﹣b）+b（a﹣b）； 第④步：＝（a﹣b）（a+b）； （1）在上述推理过程中，第①步的推理依据是等式的基本性质之一，请写出该性质：　 　 ；第④步使用了“提公因式法”；第　 　 步的依据是“乘法分配律”；第　 　 步的依据是“加法结合律”； （2）请参考上述步骤，尝试推理公式法分解因式的另一个公式：a2+2ab+b2＝（a+b）2． 21．数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b、宽为a的长方形．用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张可拼成如图2的大正方形． （1）图2大正方形的面积既可以表示为 　 　 ，又可以表示为 　 　 ，所以可得等式 　 　 ． （2）请利用A型，B型，C型若干张拼出一个面积为2a2+3ab+b2的长方形，并在图3的方框中画出示意图．研究拼图发现可将2a2+3ab+b2因式分解为 　 　 ． 22．先阅读下列材料，再解决问题． 材料：因为，（x﹣2）（x+3）＝x2+x﹣6． 所以，（x2+x﹣6）÷（x﹣2）＝x+3． 即x2+x﹣6能被x﹣2整除． 所以x﹣2是x2+x﹣6的一个因式，且当x＝2时，x2+x﹣6＝0． （1）【类比思考】因为（x+2）（x+3）＝x2+5x+6，所以x2+5x+6能被　 　 整除，所以　 　 是x2+5x+6的一个因式，且当x＝　 　 时，x2+5x+6＝0； （2）【拓展探究】根据以上材料，若多项式x2+mx﹣14能被x+2整除，试求m的值． 23．对于一个几何图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式．例如由图1，我们可以得到等式：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2． 解答下列问题： （1）由图2可以得到：　 　 ． （2）利用图2所得到的等式解答下列问题． ①若实数a，b，c满足：a+b+c＝13，ab+bc+ac＝44．求a2+b2+c2的值． ②若实数a，b，c满足：3a×9b÷81c＝27，a2+4b2+16c2＝33．求2ab﹣8bc﹣4ac的值． 24．阅读下面材料，并解决问题： 巧设密码： 在日常生活中，如手机支付、银行取款、手机安全设置等都需要密码．有一种利用因式分解产生的密码，方便记忆，方法如下： 对于多项式x4﹣y4，分解因式的结果是（x2+y2）（x+y）（x﹣y）． 当x＝9，y＝9时，x2+y2＝162，x+y＝18，x﹣y＝0，将162，18，0这三个数值按从大到小的顺序排列，于是就可以把“162180”作为一个六位数的密码． 问题解决： （1）按照上述方法，当x＝8，y＝6时，求生成的密码； （2）根据上述方法，若将多项式x2（x﹣2y）+xy（2x﹣y）分解因式，则当x＝23，y＝6时，生成的密码是多少？ （3）根据上述方法，若将多项式x2﹣2xy+y2﹣16分解因式，则当x＝126，y＝﹣7时，生成的密码是多少？ 25．小聪在学习完乘法公式后，发现完全平方公式通过代数变形，可以解决很多数学问题，例如：已知a+b＝7，ab＝4，求a2+b2的值． 解：∵a+b＝7；∴（a+b）2＝72＝49；∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝41 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： （1）已知a﹣b＝4，ab＝3，求（a+b）2的值； （2）为贯彻《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的方针政策，帮助同学们更好地理解劳动的价值与意义，培养学生的劳动情感、劳动能力和劳动品质，天府新区某校开垦了如图所示的一块梯形空地ABCD作为劳动实践基地，并分成四块．其中，AC⊥BD于点O，OA＝OD，OB＝OC．计划在△AOB和△COD区域内组织同学们种茄子和黄瓜，在△AOD和△BOC的区域内种豇豆和辣椒，经测量，种肛豆和辣椒区域的面积和为84.5平方米，AC＝17米，求种茄子和黄瓜区域的面积和是多少平方米． 参考答案 一、选择题（本大题共10小题，总分40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A B C B A B B D A 二、填空题（本大题共5小题，总分20分） 11．x﹣y． 12．． 13．48． 14．等腰． 15．84． 三、解答题（本大题共10小题，总分90分） 16．解：（1）5a2b3﹣20ab2+5ab＝5ab（ab2﹣4b+1）； （2）6x（x﹣y）2+3（y﹣x）3 ＝6x（x﹣y）2﹣3（x﹣y）3 ＝3（x﹣y）2（2x﹣x+y） ＝3（x﹣y）2（x+y）． 17．解：（1）3ab2﹣18ab+27a ＝3a（b2﹣6b+9） ＝3a（b﹣3）2； （2）25（a+b）2﹣9（a﹣b）2 ＝[5（a+b）+3（a﹣b）][5（a+b）﹣3（a﹣b）] ＝（8a+2b）（2a+8b） ＝4（4a+b）（a+4b）． 18．解：（1）△ABC的周长＝AB+BC+AC＝2a2﹣a﹣7+10﹣a2+a＝a2+3； （2）∵△ABC与△DEF成轴对称图形，点A与点D是对称点，点B与点E是对称点， ∴EF＝BC，DF＝AC， ∵10﹣a2＝4﹣b2，即a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝6， a＝3﹣b，即 a+b＝3， 把a+b＝3代入a2﹣b2＝6，得3（a﹣b）＝6， ∴a﹣b＝2． 19．解：（1）根据题意得：M＝（3x2﹣4x﹣20）﹣3x（x﹣3） ＝3x2﹣4x﹣20﹣3x2+9x ＝5x﹣20； P＝3x2﹣4x﹣20+（x+2）2 ＝3x2﹣4x﹣20+x2+4x+4 ＝4x2﹣16； （2）P＝4x2﹣16 ＝4（x2﹣4） ＝4（x+2）（x﹣2）． 20．解：（1）由推理过程可得第①步的推理依据是等式的性质：等式两边同时加上或减去同一个整式，等式仍然成立，第④步使用了“提公因式法”；第③步的依据是“乘法分配律”；第②步的依据是“加法结合律”， 故答案为：等式两边同时加上或减去同一个整式，等式仍然成立；③；②； （2）a2+2ab+b2 ＝a2+ab+ab+b2 ＝（a2+ab）+（ab+b2） ＝a（a+b）+b（a+b） ＝（a+b）（a+b） ＝（a+b）2． 21．解：（1）图2大正方形的面积既可以表示为 （a+b）2，又可以表示为a2+b2+2ab，所以可得等式（a+b）2＝a2+b2+2ab； 故答案为：（a+b）2，a2+b2+2ab，（a+b）2＝a2+b2+2ab； （2）如图： 所以2a2+3ab+b2＝（2a+b）（a+b）． 故答案为：（2a+b）（a+b）． 22．解：（1）因为（x+2）（x+3）＝x2+5x+6， 所以x2+5x+6能被（x+2）或（x+3）整除， 所以（x+2）或（x+3）是x2+5x+6的一个因式， 且当x＝﹣2或﹣3时，x2+5x+6＝0． 故答案为：（x+2）或（x+3），（x+2）或（x+3），﹣2或﹣3． （2）因为x2+mx﹣14能被x+2整除， 所以当x＝﹣2时，x2+mx﹣14＝0， 所以（﹣2）2+m×（﹣2）﹣14＝0， 解得m＝﹣5． 23．解：（1）由图知，（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac； 故答案为：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac； （2）①由图2得（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac， ∵a+b+c＝13，ab+bc+ac＝44， ∴（a+b+c）2＝132＝169，2ab+2bc+2ac＝44×2＝88， ∴a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣2（ab+bc+ac）＝169﹣88＝81； ②∵3a×9b÷81c＝27， ∴3a×32b÷34c＝33， ∴3a+2b﹣4c＝33， ∴a+2b﹣4c＝3， ∵（a+2b﹣4c）2＝a2+4b2+16c2+2（4ab﹣8ac﹣16bc）， ∵a2+4b2+16c2＝33， ∴32＝33+2（4ab﹣8ac﹣16bc）， ∴2ab﹣8bc﹣4ac＝﹣12． 24．解：（1）当x＝8，y＝6时， x2+y2＝82+62＝100， x+y＝8+6＝14， x﹣y＝8﹣6＝2， 所以生成的密码是100142． （2）x2（x﹣2y）+xy（2x﹣y） ＝x3﹣2x2y+2x2y﹣xy2 ＝x（x2﹣y2） ＝x（x+y）（x﹣y）， x＝23，y＝6时， x+y＝23+6＝29， x﹣y＝23﹣6＝17， 生成的密码是292317． （3）x2﹣2xy+y2﹣16 ＝（x﹣y）2﹣42 ＝（x﹣y+4）（x﹣y﹣4）， 当x＝126，y＝﹣7时， x﹣y+4＝126+7+4＝137， x﹣y﹣4＝126+7﹣4＝129， 生成的密码是137129． 25．解：（1）因为a﹣b＝4，ab＝3， 所以（a+b）2 ＝（a﹣b）2+4ab ＝42+4×3 ＝16+12 ＝28； （2）设OA＝OD＝x米，OB＝OC＝y米， 因为AC⊥BD， 所以S豇豆+S辣椒 ＝84.5（平方米）， 所以x2+y2＝169， 因为AC＝17米， 所以OA+OC＝x+y＝17（米）， 所以S茄子+S黄瓜 ＝xy ＝[（x+y）2﹣（x2+y2）]÷2 ＝[289﹣169]÷2 ＝120÷2 ＝60（平方米）． 答：种茄子和黄瓜区域的面积和是60平方米． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$