14.3 角的平分线同步练习-2025-2026学年人教版 八年级数学上册

14.3 角的平分线 一、选择题： 1.三角形中到三边距离相等的点是(    ) A. 三条边的中垂线交点 B. 三条高交点 C. 三条中线交点 D. 三条角平分线的交点 2.如图，是的角平分线，，垂足为，，，，则长是(    ) A. B. C. D. 3.如图，平分，于点，点是射线上的一个动点，若，，则长的最小值为(    ) A. B. C. D. 4.如图，已知在四边形中，，平分，，，，则四边形的面积是    ． A. B. C. D. 5.用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明的依据是(    ) A. B. C. D. 角平分线上的点到角两边距离相等 6.如图，点在内，且到三边的距离相等，若，则的大小为(    ) A. B. C. D. 7.如图，是中的平分线，于点，，，，则的长是(    ) A. B. C. D. 二、填空题： 8.如图，是的平分线，是上一点，于点，，则点到边的距离为____________． 9.如图，在中，，，是的一条角平分线．若，则的面积______． 10.如图，，平分，为上一点，交于点，于，，则          ． 11.如图，在中，，平分交于点，若，，则的面积为______． 12.如图，在中，，三角形的外角和的平分线交于点，则______ 三、解答题： 13. 某中学八年级的同学参加义务劳动，其中有两个班的同学在、两处参加劳动，另外两个班的同学在道路、两处劳动如图，现要在道路、的交叉区域内设置一个茶水供应点，使到、的距离相等，且使，请你找出点的位置． 14.如图，铁路和公路都经过地，曲线是一条河流，现欲在河上建一个货运码头，使其到铁路和公路的距离相等，请用直尺和圆规通过画图找到码头的位置．注意：保留作图痕迹；在图中标出点 15.如图，在中，，为的平分线，，，垂足分别是，，求证：． 16.如图，的的外角的平分线与的外角的平分线相交于． 求证：点到三边，，所在的直线的距离相等． 17.已知，如图，在中，，分别是的高和角平分线，若， 求的度数； 写出与的数量关系______，并证明你的结论． 18.已知：如图，是平分线上的一点，，，垂足分别为，，连接． 求证：； 是的垂直平分线． 答案和解析 1.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查了角平分线上的一点到两边的距离相等的性质；要对选项逐个验证．题目要求到三边的距离相等，观察四个选项看哪一个能够满足此要求，利用角的平分线的性质即可判断选项D是可选的． 【解答】 解：利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知： 三角形中到三边的距离相等的点是三条角平分线的交点． 故选D． 2.【答案】  【解析】【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，三角形的面积，熟记性质并利用三角形的面积列出方程是解题的关键． 过点作于，然后利用的面积公式列式计算即可得解． 【解答】 解：过点作于， 是的角平分线，， ， ， 解得：． 故选：． 3.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查的是角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 依据角的平分线上的点到角的两边的距离相等进行解答即可． 【解答】 解：平分，于点， 当时，有最小值， 所以的最小值． 故选：． 4.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查了角平分线性质、三角形的面积，熟练掌握角平分线性质以及三角形的面积是解题的关键． 首先做出图形，利用角平分线的性质求出，然后利用割补法求面积即可． 【解答】 解：如图，过点作于点，  平分，， ， ，， ． 故选B． 5.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生运用性质进行推理的能力，题型较好，难度适中． 连接，，根据证≌，即可推出答案． 【解答】 解：连接，， 在和中， ， ≌， ， 故选C． 6.【答案】  【解析】解：到三边的距离相等， 平分，平分， ， ， ， ， 故选：． 由条件可知为三角形三个内角的角平分线的交点，则可知，在中利用三角形的内角和定理可求得． 本题主要考查角平分线的定义和三角形内角和定理，掌握三角形内角平分线的交点到三角形三边的距离相等是解题的关键． 7.【答案】  【解析】解：作于，如图， 是中的平分线，，， ， ， ， ， 故选D． 本题考查了角平分线的性质，三角形的面积，作于，根据角平分线的性质得出，再利用三角形的面积等于，解答即可． 8.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，过点作于点，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，从而得解． 【解答】 解：如图，过点作于点， 是的平分线，于， ， ， ， 即点到的距离是． 故答案为． 9.【答案】  【解析】【分析】 此题主要考查角平分线的性质；熟练运用角平分线的性质定理，是很重要的，作出并求出三角形边上的高是解答本题的关键．要求的面积，现有可作为三角形的底，只需求出该底上的高即可，需作于根据角平分线的性质求得的长，即可求解． 【解答】 解：作于． 平分，，， ． 的面积为． 故答案为． 10.【答案】  【解析】解：过作于， ，平分， ， ， ， ， ，， ， 在中，， 为角平分线，，， ， ． 故答案为：． 过作于，根据角平分线的定义可得，根据平行线的性质可得，从而可得，再根据度所对的直角边是斜边的一半可求得的长，最后根据角平分线的性质即可求得的长． 此题主要考查：含度的直角三角形的性质：在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半． 角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．三角形外角性质：三角形的任意一个外角等于和它不相邻的两个内角之和；此题难易程度适中，是一道很典型的题目． 11.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了角平分线的性质及三角形的面积，重点掌握角平分线的性质是解题的关键，可作于，如图，根据角平分线的性质得到，然后根据三角形面积公式计算． 【解答】 解：作于，如图， 平分，，， ， 的面积． 故答案为． 12.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了角平分线的性质以及角平分线的定义，作垂直巧妙的利用角平分线的性质找出平分是解题的关键． 过点作于、于、于，根据角平分线的性质即可得出，结合于、于，即可得出平分，再根据角平分线的定义即可得出结论． 【解答】 解：过点作于、于、于，如图所示： 三角形的外角和的平分线交于点， ，， ， 于，于， 平分， ． 故答案为：． 13.【答案】解：连接，作的中垂线；作的角平分线交的中垂线于点；如图   【解析】本题考查了角平分线的性质及中垂线的性质的应用，本题要求满足两个条件，可考虑逐个满足，则交点就可同时满足题目要求，这是这种作图题的规律，要熟练掌握．角平分线上的点到角两边的距离相等，又中垂线上的点到线段两端的距离相等，所以点 应是的角平分线与的中垂线的交点． 14.【答案】解：如图所示： ， 点即为所求．  【解析】此题主要考查了作图与应用作图、作一个角的平分线 ，关键是掌握角平分线上的点到角两边的距离相等． 根据角平分线的作法，作出铁路与公路所形成的角的平分线，角平分线与河流的交点即为所求． 15.【答案】证明：，为的平分线， ，            ，， ，， 在和中 ≌， ．  【解析】此题考查全等三角形的判定和性质以及角平分线的性质，根据等腰三角形的性质和角平分线的性质得到，根据全等三角形的判定和性质即可得出； 16.【答案】证明：如图，过点作于，于，于， 的的外角的平分线与的外角的平分线相交于， ，， ， 点到三边、、所在直线的距离相等．  【解析】过点作于，于，于，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得． 本题考查了角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质是解题的关键． 17.【答案】解：，，， ． 是的角平分线， ． 为的外角， ． 是的高， ． ． 证明如下： 由知，   又． ， ．  【解析】先根据三角形内角和可得到，再根据角平分线与高线的定义得到，，则，然后利用计算即可． 根据题意可以用和表示出和，从而可以得到与的关系． 本题考查三角形内角和定理、角的平分线的性质、直角三角形的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 18.【答案】证明：平分， ， ，， ， 又， ≌， ； ≌， ，， 是的垂直平分线．  【解析】由“”可证≌，可得； 由全等三角形的性质可得，，可证是的垂直平分线． 本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，证明≌是本题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$