第12讲 三角函数的图像与性质-2024-2025学年高三年级数学暑假讲义（江苏专用）

第12讲 三角函数的图像与性质 适用学科 数学 适用年级 高三 适用区域 江苏 本讲时长 120分钟 知识点 及学习目标 1．三角函数的图像与性质 2．辅助角公式 1．用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图 在正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)． 在余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)． 2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域 R R 值域 [－1,1] [－1,1] R 最小正周期 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调性 在上单调递增；在上单调递减(k∈Z) 在[2kπ，2kπ＋π]上递减；在[2kπ－π，2kπ]上单调递增(k∈Z) 在(k∈Z)上单调递增 对称中心 (kπ，0)(k∈Z) (k∈Z) (k∈Z) 对称轴 x＝kπ＋(k∈Z) x＝kπ(k∈Z) 无 (1)求函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，应注意ω的符号，只有当ω＞0时，才能把ωx＋φ看作一个整体，代入y＝sin t的相应单调区间求解． (2)表示单调区间时，不要忘记k∈Z. 3．常用结论 (1)若y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ＋(k∈Z)；若y＝Asin(ωx＋φ)为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)． (2)若y＝Acos(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ(k∈Z)；若y＝Acos(ωx＋φ)为奇函数，则有φ＝kπ＋(k∈Z)． (3)若y＝Atan(ωx＋φ)为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)． 考点1　三角函数的定义域 1．函数f (x)＝的定义域为(　　) A． B． C． D． 2．函数y＝lg(2sin x－1)＋的定义域是 ． 考点2　三角函数的值域或最值 例1． (1)函数y＝3－2cos，x∈的值域为 ． (2)函数f (x)＝sin－3cos x的最小值为 ． 变式：函数y＝sin x－cos x＋sin xcos x，x∈[0，π]的最小值是 ． 练习1．当0<x<时，函数f (x)＝的最小值是(　　) A． B． C．2 D．4 练习2．已知函数f (x)＝sin，其中x∈.若f (x)的值域是，则实数a的取值范围是 ． 考点3　三角函数的单调性 考向1　求三角函数的单调区间 例2． (1)已知函数f (x)＝4sin，x∈[－π，0]，则f (x)的单调递减区间为 ． (2)函数y＝|tan x|的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ． 考向2　已知三角函数的单调性求参数 例3．已知ω>0，函数f (x)＝sin在上单调递减，则ω的取值范围是 ． 变式：本例中，若已知ω>0，函数f (x)＝cos在上单调递增，则ω的取值范围是 ． 练习1．函数y＝cos的单调递增区间是(　　) A．(k∈Z) B．(k∈Z) C．(k∈Z) D．(k∈Z) 练习2．若f (x)＝cos x－sin x在[－a，a]上单调递减，则a的最大值是(　　) A． B． C． D．π 考点4　三角函数的周期性、奇偶性、对称性综合 考向1　三角函数的周期性和奇偶性 例4． (1)函数y＝xcos x＋sin x在区间[－π，π]的图象大致为(　　) 　　　A　　　　　　B　　　　　　　C　　　　　　D (2)若x1＝，x2＝是函数f (x)＝sin ωx(ω>0)两个相邻的极值点，则ω＝(　　) A．2　　 B．　 　C．1　　 D． (3)函数f (x)＝的最小正周期为(　　) A．　　 B． 　 　C．π　　 D．2π 考向2　三角函数图象的对称性 例5．(1)已知函数f (x)＝2sin(ω＞0)的最小正周期为4π，则该函数的图象(　　) A．关于点对称 B．关于点对称 C．关于直线x＝对称 D．关于直线x＝对称 (2)关于函数f (x)＝sin x＋有如下四个命题： ①f (x)的图象关于y轴对称； ②f (x)的图象关于原点对称； ③f (x)的图象关于直线x＝对称； ④f (x)的最小值为2. 其中所有真命题的序号是 ． 练习1．(多选题)设函数f (x)＝cos，则(　　) A．f (x)的一个周期为－2π B．y＝f (x)的图象关于直线x＝对称 C．f (x＋π)的一个零点为x＝ D．f (x)在上单调递减 练习2．若函数f (x)＝2sin是偶函数，则θ的值为 ． 练习3．已知函数y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为，其图象过点(0，)，则图象的对称中心为 ． 1．函数f (x)＝tan的单调递增区间是(　　) A．(k∈Z) B．(k∈Z) C．(k∈Z) D．(k∈Z) 2．函数y＝2sin(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为(　　) A．2－ B．0 C．－1 D．－1－ 3．已知函数f (x)＝cosx＋1.设a＝f (π－1)，b＝f (3－0.2)，c＝f (－31.1)，则a，b，c的大小关系为(　　) A．c>b>a B．c>a>b C．b>a>c D．a>b>c 4．同时满足f (x＋π)＝f (x)与f ＝f 的函数f (x)的解析式可以是(　　) A．f (x)＝cos 2x B．f (x)＝tan x C．f (x)＝sin x D．f (x)＝sin 2x 5．(多选题)下列函数中，以为周期且在区间上单调递增的是(　　) A．f (x)＝|cos 2x| B．f (x)＝|sin 2x| C．f (x)＝cos |4x| D．f (x)＝sin |x| 6．函数f (x)＝cos在[0，π]上的零点个数为 ． 7．设函数f (x)＝3sin.若存在这样的实数x1，x2，对任意的x∈R，都有f (x1)≤f (x)≤f (x2)成立，则|x1－x2|的最小值为 ． 8．若x＝是函数f (x)＝sin(x∈R)的一个零点，且0＜ω＜10，则函数f (x)的最小正周期为 ． 9．已知函数f (x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为π. (1)当f (x)为偶函数时，求φ的值； (2)若f (x)的图象过点，求f (x)的单调递增区间． 10．已知函数f (x)＝asin＋a＋b. (1)若a＝－1，求函数f (x)的单调递增区间； (2)若x∈[0，π]，函数f (x)的值域是[5,8]，求a，b的值． 1．(多选题)已知函数f (x)＝cos xsin x(x∈R)，则下列说法正确的是(　　) A．若f (x1)＝－f (x2)，则x1＝－x2 B．f (x)的最小正周期是2π C．f (x)在区间上递增 D．f (x)的图象关于直线x＝对称 2．直线y＝a与函数f (x)＝tan(ω>0)的图象的相邻两个交点的距离为2π.若f (x)在(－m，m)(m>0)上单调递增，则m的取值范围是(　　) A． B． C． D． 3．重庆被誉为“桥都”，数十座各式各样的大桥横跨长江、嘉陵江两岸，其中朝天门长江大桥是世界第一大拱桥，其主体造型为：桥拱部分(开口向下的抛物线)与主桁(图中粗线)部分(可视为余弦函数一个周期的图象)相结合．已知拱桥部分长552 m，两端引桥各有190 m，主桁最高处距离桥面89.5 m，则将下列函数等比放大后，与主桁形状最相似的是(　　) A．y＝0.45cosx B．y＝4.5cosx C．y＝0.9cosx D．y＝9cosx 4．已知函数f (x)＝2sin＋1(x∈R)的图象的一条对称轴为直线x＝π，其中ω为常数，且ω∈(1,2)，则ω＝ ；函数f (x)的零点是 ． 5．设定义在R上的函数f (x)＝sin(ωx＋φ)，给出以下四个论断：①f (x)的最小正周期为π；②f (x)在区间上单调递增；③f (x)的图象关于点对称；④f (x)的图象关于直线x＝对称．以其中两个论断作为条件，另两个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题(写成“p⇒q”的形式) (用到的论断都用序号表示)． 6．已知a＝(sin x，cos x)，b＝(cos x，－cos x)，函数f (x)＝a·b＋． (1)求函数y＝f (x)图象的对称轴方程； (2)若方程f (x)＝在(0，π)上的解为x1，x2，求cos(x1－x2)的值． 5 / 6 学科网（北京）股份有限公司 第12讲 三角函数的图像与性质 适用学科 数学 适用年级 高三 考点1　三角函数的定义域 1．A　 2．，k∈Z　 考点2　三角函数的值域或最值 例1． [1,4]　 (2)－4　 变式：－1　 练习1．D　 练习2．　 考点3　三角函数的单调性 考向1　求三角函数的单调区间 例2． (1)，　 (2)，k∈Z　，k∈Z 考向2　已知三角函数的单调性求参数 例3．　 变式：　 练习1．C　 练习2．A　 考点4　三角函数的周期性、奇偶性、对称性综合 考向1　三角函数的周期性和奇偶性 例4．A　(2)A　 (3)C　 考向2　三角函数图象的对称性 例5．B　 (2) ②③ 练习1．AB　 练习2．　 练习3．(k∈Z)　 1．B2．A3．C　4．D　5．AC　6．3　7．2　8．π　 9．解：因为f (x)的最小正周期为π，所以T＝＝π. 所以ω＝2.所以f (x)＝sin(2x＋φ)． (1)当f (x)为偶函数时，f (－x)＝f (x)． 所以sin(2x＋φ)＝sin(－2x＋φ)． 展开整理，得sin 2xcos φ＝0. 上式对任意x∈R都成立， 所以cos φ＝0.因为0＜φ＜，所以φ＝. (2)因为f (x)的图象过点， 所以sin＝， 即sin＝. 又因为0＜φ＜，所以＜＋φ<π. 所以＋φ＝，所以φ＝. 所以f (x)＝sin. 令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z， 解得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z. 所以f (x)的单调递增区间为，k∈Z. 10．解：(1)若a＝－1，则f (x)＝－·sin＋b－1. 由2kπ＋≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)． 得2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)． 所以f (x)的单调递增区间为(k∈Z)． (2)因为0≤x≤π，所以≤x＋≤. 所以－≤sin≤1. 依题意知a≠0. 当a>0时， 解得a＝3－3，b＝5； 当a<0时， 解得a＝3－3，b＝8. 综上所述，a＝3－3，b＝5或a＝3－3，b＝8. 1．CD　 2．B　 3．A　4．　x＝或x＝－，k∈Z　5．①④⇒②③或①③⇒②④　 6．解：(1)f (x)＝a·b＋＝(sin x，cos x)·(cos x，－cos x)＋＝sin x·cos x－cos2x＋＝sin 2x－cos 2x＝sin. 令2x－＝kπ＋(k∈Z)， 得x＝＋(k∈Z)， 即函数y＝f (x)图象的对称轴方程为x＝＋(k∈Z)． (2)由(1)及已知条件可知(x1，f (x1))与(x2，f (x2))关于x＝对称， 则x1＋x2＝， 所以cos(x1－x2)＝cos ＝cos ＝cos ＝sin＝f (x1)＝. $$