第05讲 函数图像与零点-2024-2025学年高三年级数学暑假讲义（江苏专用）

第05讲 函数图像与零点 适用学科 数学 适用年级 高三 适用区域 江苏 本讲时长 120分钟 知识点 及学习目标 1．掌握常见函数图像的画法． 2．能判断图像形式． 3．能解决零点相关问题． 1．函数图象的变换 (1)函数图象平移变换八字方针 ①“左加右减”，要注意加减指的是自变量． ②“上加下减”，要注意加减指的是函数值． (2)对称变换 ①f (x)与f (－x)的图象关于y轴对称． ②f (x)与－f (x)的图象关于x轴对称． (3)翻折变换 ①|f (x)|的图象是将f (x)的图象中x轴下方的图象对称翻折到x轴上方，x轴上方的图象不变． ②f (|x|)的图象是f (x)的图象中x轴右侧的图象不变，再对称翻折到y轴的左侧得到． (4)关于两个函数图象对称的三个重要结论 ①函数y＝f (x)与y＝f (2a－x)的图象关于直线x＝a对称． ②函数y＝f (x)与y＝2b－f (2a－x)的图象关 于点(a，b)中心对称． ③若函数y＝f (x)的定义域内任意自变量x满足f (a＋x)＝f (a－x)，则函数y＝f (x)的图象关于直线x＝a对称． (5)函数图象自身的轴对称 ①f (－x)＝f (x)⇔函数y＝f (x)的图象关于y轴对称； ②函数y＝f (x)的图象关于x＝a对称⇔f (a＋x)＝f (a－x)⇔f (x)＝f (2a－x)⇔f (－x)＝f (2a＋x)； ③若函数y＝f (x)的定义域为R，且有f (a＋x)＝f (b－x)，则函数y＝f (x)的图象关于直线x＝对称． (6)函数图象自身的中心对称 ①f (－x)＝－f (x)⇔函数y＝f (x)的图象关于原点对称； ②函数y＝f (x)的图象关于(a,0)对称⇔f (a＋x)＝－f (a－x)⇔f (x)＝－f (2a－x)⇔f (－x)＝－f (2a＋x)； ③函数y＝f (x)的图象关于点(a，b)成中心对称⇔f (a＋x)＝2b－f (a－x)⇔f (x)＝2b－f (2a－x)． 2．函数零点的概念 对于一般函数y＝f (x)，我们把使f (x)＝0的实数x叫做函数y＝f (x)的零点． 3．几个等价关系 方程f (x)＝0有实数解⇔函数y＝f (x)的图象与x轴有公共点⇔函数y＝f (x)有零点． 4．函数零点存在定理 如果函数y＝f (x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f (a)f (b)<0，那么，函数y＝f (x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f (c)＝0，这个c也就是方程f (x)＝0的解． (1)若连续不断的函数f (x)在定义域上是单调函数，则f (x)至多有一个零点．函数的零点不是一个“点”，而是方程f (x)＝0的实数解． (2)由函数y＝f (x)(图象是连续不断的)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f (a)f (b)<0，如图所示．所以f (a)f (b)<0是y＝f (x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件． 5．二分法 条件 (1)函数y＝f (x)在区间[a，b]上图象连续不断； (2)所在区间端点的函数值满足f (a)f (b)＜0 方法 不断地把函数y＝f (x)的零点所在的区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值 6．有关函数零点的结论 (1)图象连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号． (2)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号． 考点1　作函数的图象 例：分别作出下列函数的图象： (1)y＝|lg x|； (2)y＝2x＋2； (3)y＝x2－2|x|－1. 考点2　判断函数的图象 考向1　由函数图象的解析式判断图象 例1．(1)函数y＝在[－6，6]的图象大致为(　　) (2)已知定义在区间[0,4]上的函数y＝f (x)的图象如图所示，则y＝－f (2－x)的图象为(　　) 变式：下列四个函数中，图象如图所示的只能是(　　) A．y＝x＋lg x B．y＝x－lg x C．y＝－x＋lg x D．y＝－x－lg x 考向2　由动点探究函数图象 例2．在2 h内将某种药物注射进患者的血液中，在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减．下面能反映血液中药物含量Q随时间t变化的图象是(　　) 变式1．函数f (x)＝在[－π，π]的图象大致为(　　) 变式2．已知函数f (x)＝g(x)＝－f (－x)，则函数g(x)的图象是(　　) 变式3．如图，矩形ABCD的周长为4，设AB＝x，AC＝y，则y＝f (x)的大致图象为(　　) 考点3　函数图象的应用 考向1　研究函数的性质 例3．已知函数f (x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是(　　) A．f (x)是偶函数，在区间(0，＋∞)上单调递增 B．f (x)是偶函数，在区间(－∞，1)上单调递减 C．f (x)是奇函数，在区间(－1,1)上单调递减 D．f (x)是奇函数，在区间(－∞，0)上单调递增 考向2　解不等式 例4．函数f (x)是周期为4的偶函数，当x∈[0,2]时，f (x)＝x－1，则不等式xf (x)＞0在(－1,3)上的解集为(　　) A．(1,3) B．(－1,1) C．(－1,0)∪(1,3) D．(－1,0)∪(0,1) 考向3　求参数的取值范围 例5．设函数f (x)＝|x＋a|，g(x)＝x－1，对于任意的x∈R，不等式f (x)≥g(x)恒成立，则实数a的取值范围是 ． 变式1．对a，b∈R，记max{a，b}＝则函数f (x)＝max{|x＋1|，|x－2|}(x∈R)的最小值是 ． 变式2．已知函数f (x)在R上单调且其部分图象如图所示．若不等式－2<f (x＋t)<4的解集为(－1, 2)，则实数t的值为 ． 变式3．已知函数f (x)＝若f (x)在区间[m,4]上的值域为[－1,2]，则实数m的取值范围为 ． 考点4　判断函数零点所在区间 例1．设f (x)＝ln x＋x－2，则函数f (x)的零点所在的区间为(　　) A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4) 例2．设函数f (x)＝x－ln x，则函数y＝f (x)(　　) A．在区间，(1，e)内均有零点 B．在区间，(1，e)内均无零点 C．在区间内有零点，在区间(1，e)内无零点 D．在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点 考点6　确定函数零点的个数 例1． (1)函数f (x)＝的零点个数为(　　) A．3 B．2 C．7 D．0 (2)设m，n∈Z，已知函数f (x)＝log2(－|x|＋8)的定义域是[m，n]，值域是[0,3]．当m取最小值时，函数g(x)＝2|x－1|＋m＋1的零点个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 变式1．若函数f (x)＝3x－7＋ln x的零点位于区间(n，n＋1)(n∈N)内，则n＝ ． 变式2．已知函数f (x)＝－cos x，则f (x)在[0,2π]上的零点个数为 ． 考点3　函数零点的应用 考向1　根据函数零点所在的区间求参数 例1． (1)已知一元二次方程x2＋ax＋1＝0的一个根在(0,1)内，另一个根在(1,2)内，则实数a的取值范围为 ． (2)若函数f (x)＝x2－ax＋1在区间上有零点，则实数a的取值范围是 ． 考向2　根据函数零点的个数求参数 例2 ．已知函数f (x)＝则使函数g(x)＝f (x)＋x－m有零点的实数m的取值范围是(　　) A．[0,1) B．(－∞，1) C．(－∞，1]∪(2，＋∞) D．(－∞，0]∪(1，＋∞) 变式1．设函数f (x)＝ (1)若a＝1，则f (x)的最小值为 ； (2)若f (x)恰有2个零点，则实数a的取值范围是 ． 1．若图中阴影部分的面积S是关于h的函数(0≤h≤H)，则该函数的大致图象是(　　) 2．若函数f (x)＝的图象如图所示，则f (－3)等于(　　) A．－ B．－ C．－1 D．－2 3．函数f (x)＝的部分图象大致是(　　) 　　　 　 　A　　　 　　　 B　　　　 　　 C　　　 　　 　D 4．下列函数y＝f (x)的图象中，满足f ＞f (3)＞f (2)的只可能是(　　) 5．已知f (2x＋1)是奇函数，则函数y＝f (2x)的图象关于下列哪个点中心对称(　　) A．(1,0) B．(－1,0) C． D． 6．已知函数f (x)的图象如图所示，则函数f (x)的解析式可能是(　　) A．y＝x(1－|x|) B．y＝cos x C．y＝sin πx D．y＝|x|(1－x)(x＋1) 7．使log2(－x)<x＋1成立的x的取值范围是 ． 8．已知定义在R上的函数f (x)是奇函数，且f (x)在(－∞， 0)上单调递减，f (2)＝0，g(x)＝f (x＋2)，则不等式xg(x)≤0的解集是 ． 9．对函数f (x)，若存在x0≠0，使得f (x0)＝－f (－x0)，则称(x0，f (x0))与(－x0, f (－x0))为函数图象的一组奇对称点．若f (x)＝ex－a(e为自然对数的底数)的图象上存在奇对称点，则实数a的取值范围是 ． 10．设函数f (x)＝则f (f (0))＝ ；若f (m)＞1，则实数m的取值范围是 ． 11．函数f (x)＝ex＋x－3在区间(0,1)上的零点个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 12．函数f (x)＝1－xlog2x的零点所在区间是(　　) A． B． C．(1，2) D．(2，3) 13．若函数f (x)＝2x－－a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是(　　) A．(1,3) B．(1,2) C．(0,3) D．(0,2) 14．函数f (x)＝2sin x－sin 2x在[0,2π]的零点个数为(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 15．函数f (x)＝|x－2|－ln x在定义域内的零点的个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 16．设f (x)在区间[－1,1]上单调递增，且f ·f <0，则方程f (x)＝0在区间[－1,1]内(　　) A．可能有3个实数根 B．可能有2个实数根 C．有唯一的实数根 D．没有实数根 17．已知函数f (x)＝(a∈R)．若函数f (x)在R上有两个零点，则实数a的取值范围是(　　) A．(0,1] B．[1，＋∞) C．(0,1) D．(－∞，1] 18．方程log0.5(a－2x)＝2＋x有解，则a的最小值为 ． 19．若x1是方程xex＝1的解，x2是方程xln x＝1的解，则x1x2等于 ． 20．已知函数f (x)＝若f (x0)＝－1，则x0＝ ；若关于x的方程f (x)＝k有两个不同零点，则实数k的取值范围是 ． 21. 已知二次函数f (x)＝ax2＋bx＋c满足a＞b＞c，且f (1)＝0，函数g(x)＝f (x)＋bx． (1)证明：函数y＝g(x)必有两个不相等的零点； (2)设函数y＝g(x)的两个零点为x1，x2 ，求|x1－x2|的取值范围． 1．(多选题)将函数f (x)的图象沿x轴向左平移1个单位长度，得到奇函数g(x)的图象，则下列函数f (x)不能满足条件的是(　　) A．f (x)＝ B．f (x)＝ex－1－e1－x C．f (x)＝x＋ D．f (x)＝log2(x＋1)＋1 2．(多选题)已知函数f (x)＝|x2－1|.若0<a<b且f (a)＝f (b)，则(　　) A．1＜a＜ B．1＜b＜ C．直线y＝b与函数f (x)的图象有2个交点 D．直线y＝a与函数f (x)的图象有2个交点 3．已知函数f (x)(x∈R)满足f (－x)＝2－f (x)．若函数y＝与y＝f (x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则 (xi＋yi)＝(　　) A．0 B．m C．2m D．4m 4．已知函数f (x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f (x)＝2－|x＋2|. 若对任意的x∈[－1, 2]，f (x＋a)>f (x)成立，则实数a的取值范围是(　　) A．(0,2) B．(－∞，－6)∪(0,2) C．(－2,0) D．(－2,0)∪(6，＋∞) 5．已知函数f (x)＝2x，x∈R. (1)当实数m取何值时，方程|f (x)－2|＝m有一个实数解？两个实数解？ (2)若不等式f 2(x)＋f (x)－m>0在R上恒成立，求实数m的取值范围． 6．(多选题)已知函数f (x)＝g(x)＝f (x)＋x＋a，则函数g(x)的零点个数可能为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 7．设函数f (x)的定义域为R，f (－x)＝f (x)，f (x)＝f (2－x)．当x∈[0,1]时，f (x)＝x3，则函数g(x)＝|cos πx|－f (x)在区间上零点的个数为(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 8．已知函数f (x)＝ax＋x－b的零点x0∈(n，n＋1)(n∈Z)，其中常数a，b满足2a＝3,3b＝2，则n＝ ． 9．若曲线y＝log2(2x－m)(x>2)上至少存在一点与直线y＝x＋1上的一点关于原点对称，则m的取值范围为 ． 10．已知函数f (x)＝若方程f (x)＝kx－2有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是 ． 11．已知a∈R，函数f (x)＝log2． (1)当a＝5时，解不等式f (x)＞0； (2)若函数g(x)＝f (x)＋2log2x只有一个零点，求实数a的取值范围． 5 / 6 学科网（北京）股份有限公司 第05讲 函数图像与零点 适用学科 数学 适用年级 高三 考点1　作函数的图象 解：(1)y＝图象如图(1)所示． (2)将y＝2x的图象向左平移2个单位长度．图象如图(2)所示． (3)y＝图象如图(3)所示． 考点2　判断函数的图象 考向1　由函数图象的解析式判断图象 例1．B　 (2)D　 变式：B　 考向2　由动点探究函数图象 例2．B　 变式1．D　 变式2．D　 变式3．C　 考点3　函数图象的应用 考向1　研究函数的性质 例3．C　 考向2　解不等式 例4．C　 考向3　求参数的取值范围 例5．[－1，＋∞)　 变式1．　变式2．1　变式3．[－8，－1]　 考点4　判断函数零点所在区间 例1．B　例2．D　 考点6　确定函数零点的个数 例1． B　 (2)C　变式1．2　变式2．3　 考点3　函数零点的应用 考向1　根据函数零点所在的区间求参数 例1． 　(2)　 考向2　根据函数零点的个数求参数 例2．D　 变式1．(1)－1　(2)∪[2，＋∞) 1．B　 2．C　3．A　4．D　5．C　 6．C　7．(－1, 0)　 8．(－∞，－4]∪[－2，＋∞)　 9．(1，＋∞)　 10．0　(－∞，0)∪(e，＋∞) 　 11．B　 12．C　 13．C　14．B　 15．C　16．C　 17．A　18．1　19．1　20．－1　(0,1)　 21. 解：(1)由f (1)＝0得a＋b＋c＝0，所以b＝－(a＋c)，g(x)＝f (x)＋bx＝ax2＋2bx＋c. 令g(x)＝0，即ax2＋2bx＋c＝0，则Δ＝4b2－4ac＝4(a＋c)2－4ac＝4(a2＋2ac＋c2－ac)＝4＋3c2＝4＋3c2＞0，即ax2＋2bx＋c＝0有两个不等实根． 所以函数y＝g(x)必有两个不相等的零点． (2)由(1)知y＝g(x)的两个零点，即方程ax2＋2bx＋c＝0的两个实根， 所以 所以|x1－x2| ＝ ＝＝2 ＝2 ＝2 ＝2. 因为f (1)＝a＋b＋c＝0，且a＞b＞c， 所以a＞0，c＜0. 当a＞0，c＜0且＝－时，|x1－x2|min＝. 所以|x1－x2|的取值范围为[，＋∞)． 1．ACD　2．BC　3．B　4．D　 5．解：(1)令F(x)＝|f (x)－2|＝|2x－2|，G(x)＝m，画出F(x)的图象如图所示． 由图象可知，当m＝0或m≥2时，函数F(x)与G(x)的图象只有一个交点，原方程有一个实数解； 当0<m<2时，函数F(x)与G(x)的图象有两个交点，原方程有两个实数解． (2)令f (x)＝t(t>0)，H(t)＝t2＋t，t>0， 因为H(t)＝－在区间(0，＋∞)上单调递增， 所以H(t)>H(0)＝0. 因此要使t2＋t>m在区间(0，＋∞)上恒成立，应有m≤0，即所求实数m的取值范围为(－∞，0]． 6．BC　 7．C　 8．－1　9．(2,4]　 10．[3，＋∞)　 11．解：(1)当a＝5时，f (x)＝log2. 由f (x)＞0，即log2＞0，可得＋5＞1，解得x＜－或x＞0. 即不等式f (x)＞0的解集为∪(0，＋∞)． (2)g(x)＝f (x)＋2log2x＝log2＋2log2x＝log2·x2(其中x＞0)． 因为函数g(x)＝f (x)＋2log2x只有一个零点，即g(x)＝0只有一个根， 即·x2＝1在(0，＋∞)上只有一个解， 即ax2＋x－1＝0在(0，＋∞)上只有一个解． ①当a＝0时，方程x－1＝0，解得x＝1，符合题意． ②当a≠0时，设函数y＝ax2＋x－1. 当a＞0时，此时函数y＝ax2＋x－1与x轴的正半轴，只有一个交点，符合题意； 当a＜0时，要使得函数y＝ax2＋x－1与x轴的正半轴只有一个交点， 则满足解得a＝－ . 综上可得，实数a的取值范围是∪[0，＋∞)． $$