第04讲 函数性质-2024-2025学年高三年级数学暑假讲义（江苏专用）

第04讲 函数性质 适用学科 数学 适用年级 高三 适用区域 江苏 本讲时长 120分钟 知识点 及学习目标 1．熟练奇偶性与对称性的应用 2．掌握抽象函数的处理 一、教材概念·结论·性质重现 1．单调递增、单调递减 一般的，设函数f (x)的定义域为I，区间D⊆I： (1)如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f (x1)<f (x2)，那么就称函数f (x)在区间D上单调递增． (2)如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f (x1)>f (x2)，那么就称函数f (x)在区间D上单调递减． 2．增函数、减函数 (1)当函数f (x)在定义域上单调递增时，我们就称它是增函数； (2)当函数f (x)在定义域上单调递减时，我们就称它是减函数． 1．单调递增(减)函数定义中的x1，x2的三个特征 一是任意性；二是有大小，即x1<x2(x1>x2)；三是同属于一个单调区间，三者缺一不可． 2．增、减函数定义的等价形式 对于∀x1，x2∈D，都有(x1－x2)·[f (x1)－f (x2)]>0(<0)或>0(<0)，则函数f (x)在D上单调递增(减)． 3．单调区间 如果函数y＝f (x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f (x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f (x)的单调区间． 有关单调区间的两个防范 (1)单调区间只能用区间表示，不能用不等式表示． (2)有多个单调区间时，不能用符号“∪”连接，也不能用“或”连接，只能用“逗号”或“和”连接． 4．函数的最值 一般的，设函数y＝f (x)的定义域为I，如果存在实数M满足： (1)∀x∈I，都有f (x)≤M(或f (x)≥M)． (2)∃x0∈I，使得f (x0)＝M. 那么，我们称M是函数y＝f (x)的最大值(或最小值)． 5．函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象 偶函数 一般地，设函数f (x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f (－x)＝f (x)，那么函数f (x)就叫做偶函数 关于y轴对称 奇函数 一般地，设函数f (x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f (－x)＝－f (x)，那么函数f (x)就叫做奇函数 关于坐标原点对称 1．函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件． 2．若f (x)≠0，则奇(偶)函数定义的等价形式如下： (1)f (－x)＝f (x)⇔f (－x)－f (x)＝0⇔＝1⇔f (x)为偶函数； (2)f (－x)＝－f (x)⇔f (－x)＋f (x)＝0⇔＝－1⇔f (x)为奇函数． 3．函数奇偶性常用结论 (1)如果函数f (x)是奇函数且在x＝0处有定义，那么一定有f (0)＝0；如果函数f (x)是偶函数，那么f (x)＝f (|x|)． (2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性． 6．函数的周期性 (1)周期函数：一般地，设函数f (x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且f (x＋T)＝f (x)，那么函数f (x)就叫做周期函数．非零常数T就叫做这个函数的周期． (2)最小正周期：如果在周期函数f (x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做f (x)的最小正周期(若不特别说明，T一般都是指最小正周期)． 周期函数定义的实质 存在一个非零常数T，使f (x＋T)＝f (x)为恒等式，即自变量x每增加一个T后，函数值就会重复出现一次． 7．函数周期性的常用结论 对f (x)定义域内任一自变量x， (1)若f (x＋a)＝－f (x)，则T＝2a(a>0)． (2)若f (x＋a)＝，则T＝2a(a>0)． (3)若f (x＋a)＝－，则T＝2a(a>0)． 8．函数图象的对称性 (1)若函数y＝f (x＋a)是偶函数，即f (a－x)＝f (a＋x)，则函数y＝f (x)的图象关于直线x＝a对称． (2)若对于R上的任意x都有f (2a－x)＝f (x)或f (－x)＝f (2a＋x)，则y＝f (x)的图象关于直线x＝a对称． (3)若函数y＝f (x＋b)是奇函数，即f (－x＋b)＋f (x＋b)＝0，则函数y＝f (x)的图象关于点(b,0)中心对称． 考点1　函数的单调性(单调区间) 例1．函数f (x)＝|x2－3x＋2|的单调递增区间是(　　) A． B．和[2，＋∞) C．(－∞，1]和 D．和[2，＋∞) 例2．函数f (x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是(　　) A．(－∞，－2) B．(－∞，1) C．(1，＋∞) D．(4，＋∞) 3．(多选题)下列函数中，满足“∀x1，x2∈(0，＋∞)且x1≠x2，(x1－x2)·[f (x1)－f (x2)]>0”的是(　　) A．f (x)＝2x B．f (x)＝|x－1| C．f (x)＝－x D．f (x)＝ln(x＋1) 4．试讨论函数f (x)＝(a≠0)在(－1,1)上的单调性． 考点2　函数的最值(值域) 例1．(1)函数y＝|x＋1|＋|x－2|的最小值为 ． (2)函数f (x)＝－log2(x＋2)在区间[－1,1]上的最大值为 ． (3)函数f (x)＝的最大值为 ． 变式1．函数y＝的值域为 ． 变式2．函数y＝x＋的最大值为 ． 变式3．当－3≤x≤－1时，函数y＝的最小值为 ． 考点3　函数单调性的应用 考向1　比较函数值的大小 例1. 设偶函数f (x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f (x)单调递增，则f (－2)，f (π)，f (－3)的大小关系是(　　) A．f (π)>f (－3)>f (－2) B．f (π)>f (－2)>f (－3) C．f (π)<f (－3)<f (－2) D．f (π)<f (－2)<f (－3) 考向2　解不等式 例2．已知函数f (x)＝ln x＋2x，若f (x2－4)<2，则实数x的取值范围是 ． 考向3　利用函数的单调性求参数(范围) 例3．函数f (x)＝满足对任意的实数x1≠x2都有>0成立，则实数a的取值范围为 ． 变式1．定义在R上的偶函数f (x)满足f (x)＝f (x＋2)，且在[－1,0]上单调递减．设a＝f ()，b＝f (2)，c＝f (3)，则a，b，c的大小关系是(　　) A．b<c<a B．a<b<c C．b<a<c D．a<c<b 变式2．定义在[－2,2]上的函数f (x)满足(x1－x2)·[f (x1)－f (x2)]>0，x1≠x2，且f (a2－a)>f (2a－2)，则实数a的取值范围为 ． 变式3．设函数f (x)＝若函数f (x)在区间(a, a＋1)上单调递增，则实数a的取值范围是 ． 考点4　函数奇偶性的判断 例1．(多选题)设函数f (x)＝，则下列结论正确的是(　　) A．|f (x)|是偶函数 B．－f (x)是奇函数 C．f (x)|f (x)|是奇函数 D．f (|x|)f (x)是偶函数 例2．已知函数f (x)＝则该函数的奇偶性是 ． 考点2　函数奇偶性的简单应用 例1．若函数f (x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f (x)＝log2(x＋2)－1，则f (－6)＝(　　) A．2 B．4 C．－2 D．－4 例2．设f (x)为奇函数，且当x≥0时，f (x)＝ex－1，则当x<0时，f (x)＝(　　) A．e－x－1 B．e－x＋1 C．－e－x－1 D．－e－x＋1 例3．若函数f (x)＝xln(x＋)为偶函数，则a＝ ． 考点3　函数的周期性 例1．(1)设f (x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f (x＋4)＝f (x)．当x∈[0,2]时，f (x)＝2x－x2，则f (2 023)＝ ． (2)已知函数f (x)是定义在R上的偶函数．若对于x≥0，都有f (x＋2)＝－，且当x∈[0,2)时，f (x)＝log2(x＋1)，则f (－2 019)＋f (2 021)的值为 ． 变式1．若本例(1)中的条件不变，则f (x)(x∈[2,4])的解析式是 ． 变式2．若将本例(2)中“f (x＋2)＝－”变为“f (x＋2)＝－f (x)”，则f (－2 019)＋f (2 021)＝ ． 考点4　函数性质的综合应用 考向1　函数的奇偶性与单调性综合 例1．已知奇函数f (x)在R上是增函数，g(x)＝xf (x)．若a＝g(－log25.1)，b＝g(20.8)，c＝g(3)，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a<b<c B．c<b<a C．b<a<c D．b<c<a 考向2　函数奇偶性与周期性的综合 例2．定义在R上的偶函数f (x)满足f (x＋3)＝f (x)．若f (2)>1，f (7)＝a，则实数a的取值范围为(　　) A．(－∞，－3) B．(3，＋∞) C．(－∞，－1) D．(1，＋∞) 考向3　函数单调性、奇偶性与周期性的综合 例3．定义在R上的偶函数f (x)满足f (x＋2)＝f (x)，且在[－1,0]上单调递减．设a＝f (－2.8)，b＝f (－1.6)，c＝f (0.5)，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a>b>c B．c>a>b C．b>c>a D．a>c>b 变式1．设f (x)是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f (x)＝2x(1－x)，则f ＝ ． 变式2．已知函数g(x)是R上的奇函数，且当x<0时，g(x)＝－ln(1－x)，函数f (x)＝若f (6－x2)>f (x)，则实数x的取值范围是 ． 1．函数f (x)＝|x－2|x的单调递减区间是(　　) A．[1,2] B．[－1,0] C．[0,2] D．[2，＋∞) 2．(多选题)下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增的是(　　) A．y＝ln(x＋2) B．y＝ C．y＝ D．y＝x＋ 3．若函数f (x)＝x2－2x＋m在[3，＋∞)上的最小值为1，则实数m的值为(　　) A．－3 B．－2 C．－1 D．1 4．若函数f (x)＝ax＋1在R上单调递减，则函数g(x)＝a(x2－4x＋3)的单调递增区间是(　　) A．(2，＋∞) B．(－∞，2) C．(4，＋∞) D．(－∞，4) 5．已知函数f (x)是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f (2x－1)＜f 的x的取值范围是(　　) A． B． C． D． 6．已知函数f (x)在R上单调递减，且a＝33.1，b＝，c＝ln，则f (a)，f (b)，f (c)的大小关系为(　　) A．f (a)＞f (b)＞f (c) B．f (b)＞f (c)＞f (a) C．f (c)＞f (a)＞f (b) D．f (c)＞f (b)＞f (a) 7．若f (x)＝在区间(－2，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是 ． 8．若函数f (x)＝(a－1)x＋2在R上单调递增，则函数g(x)＝a|x－2|的单调递减区间是 ． 9．定义在R上的奇函数y＝f (x)在(0，＋∞)上单调递增，且f ＝0，则不等式f (logx)>0的解集为 ． 10．已知定义在R上的函数f (x)满足：①f (x＋y)＝f (x)＋f (y)＋1；②当x>0时，f (x)>－1. (1)求f (0)的值，并证明f (x)在R上是增函数； (2)若f (1)＝1，解关于x的不等式f (x2＋2x)＋f (1－x)>4. 11．(多选题)已知y＝f (x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是(　　) A．y＝f (|x|) B．y＝f (－x) C．y＝xf (x) D．y＝f (x)＋x 12．(多选题)设函数f (x)＝x3－，则f (x)(　　) A．是奇函数 B．是偶函数 C．在(0，＋∞)单调递增 D．在(－∞，0)单调递减 13．已知函数f (x)＝x＋＋1，f (a)＝3，则f (－a)的值为(　　) A．－3 B．－1 C．1 D．2 14．设函数f (x)是定义在R上的奇函数，且f (x)＝则f (－7)＝(　　) A．3 B．－3 C．2 D．－2 15．若定义在R上的偶函数f (x)和奇函数g(x)满足f (x)＋g(x)＝ex，则g(x)＝(　　) A．ex－e－x B．(ex＋e－x) C．(e－x－ex) D．(ex－e－x) 16．已知函数f (x)为奇函数，当x>0时，f (x)＝x2－x，则当x<0时，函数f (x)的最大值为 ． 17．已知函数f (x)是偶函数，当x＞0时，f (x)＝ln x，则f 的值为 ． 18．已知奇函数f (x)的图象关于直线x＝3对称，当x∈[0,3]时，f (x)＝－x，则f (－16)＝ ． 19．若函数f (x)＝ax＋b，x∈[a－4，a]的图象关于原点对称，则a＝ ；函数g(x)＝bx＋，x∈[－4，－1]的值域为 ． 1．若函数y＝在{x|1≤|x|≤4，x∈R}上的最大值为M，最小值为m，则M－m＝(　　) A． B．2 C． D． 2．已知函数f (x)是定义在R上的奇函数，当x1≠x2时，有[f (x1)－f (x2)](x1－x2)<0恒成立．若f (3x＋1)＋f (2)>0，则x的取值范围是 ． 3．设函数f (x)＝g(x)＝x2f (x－1)，则函数g(x)的单调递减区间是 ． 4．已知f (x)＝，x∈[1，＋∞)． (1)当a＝时，用定义证明函数的单调性并求函数f (x)的最小值； (2)若对任意x∈[1，＋∞)，f (x)>0恒成立，试求实数a的取值范围． 5．若定义在R上的奇函数f (x)在(－∞，0)单调递减，且f (2)＝0，则满足xf (x－1)≥0的x的取值范围是(　　) A．[－1,1]∪[3，＋∞) B．[－3，－1]∪[0,1] C．[－1,0]∪[1，＋∞) D．[－1,0]∪[1,3] 6．若定义在R上的偶函数f (x)满足f (x)>0，f (x＋2)＝对任意x∈R恒成立，则f (2 023)＝ ． 7．定义在实数集R上的函数f (x)满足f (x)＋f (x＋2)＝0，且f (4－x)＝f (x)．现有以下三种叙述： ①8是函数f (x)的一个周期； ②f (x)的图象关于直线x＝2对称； ③f (x)是偶函数． 其中正确的序号是 ． 8．已知函数f (x)对任意x，y∈R，总有f (x)＋f (y)＝f (x＋y)，且当x＞0时，f (x)＞0，f (1)＝． (1)求证：f (x)是R上的单调增函数； (2)求f (x)在[－3,3]上的最大值． 9．设f (x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f (x＋2)＝－f (x)．当0≤x≤1时，f (x)＝x． (1)求f (π)的值； (2)当－4≤x≤4时，求f (x)的图象与x轴所围成图形的面积． 第04讲 函数性质 适用学科 数学 适用年级 高三 考点1　函数的单调性(单调区间) 例1．B　 例2．D　 3．AD　 4．解：(方法一：定义法) 设－1<x1<x2<1，f (x)＝a＝a， 则f (x1)－f (x2)＝a－a＝. 因为－1<x1<x2<1， 所以x2－x1>0，x1－1<0，x2－1<0. 故当a>0时，f (x1)－f (x2)>0，即f (x1)>f (x2)，函数f (x)在(－1,1)上单调递减； 当a<0时，f (x1)－f (x2)<0，即f (x1)<f (x2)，函数f (x)在(－1,1)上单调递增． (方法二：导数法) f ′(x)＝＝ ＝－. 当a>0时，f ′(x)<0，函数f (x)在(－1,1)上单调递减； 当a<0时，f ′(x)>0，函数f (x)在(－1，1)上单调递增． 考点2　函数的最值(值域) 例1．3　 (2) 3　 (3) 4　 变式1．[－1,1)　 变式2．　 变式3．　 考点3　函数单调性的应用 考向1　比较函数值的大小 例1. A　 考向2　解不等式 例2．(－， －2)∪(2, )　 考向3　利用函数的单调性求参数(范围) 例3．[4,8)　变式1．C　变式2．[0,1)　变式3．(－∞，1]∪[4，＋∞)　 考点4　函数奇偶性的判断 例1．ABC　 例2．奇函数　 考点2　函数奇偶性的简单应用 例1．C　例2．D　例3．1　 考点3　函数的周期性 例1．－1　(2)0　 变式1．f (x)＝x2－6x＋8　变式2．0　 考点4　函数性质的综合应用 考向1　函数的奇偶性与单调性综合 例1．C　 考向2　函数奇偶性与周期性的综合 例2．D． 考向3　函数单调性、奇偶性与周期性的综合 例3．D　 变式1．－　变式2．(－3,2) 1．A　2．AB 3．B　4．B5．D　6．D　7．(－∞，3)　8．(－∞，2]　9．　 10．解：(1)令x＝y＝0，得f (0)＝－1. 在R上任取x1>x2，则x1－x2>0，f (x1－x2)>－1. 又f (x1)＝f ((x1－x2)＋x2)＝f (x1－x2)＋f (x2)＋1>f (x2)，所以函数f (x)在R上是增函数． (2)由f (1)＝1，得f (2)＝3，f (3)＝5. 由f (x2＋2x)＋f (1－x)>4，得f (x2＋x＋1)>f (3)． 又函数f (x)在R上是增函数，故x2＋x＋1>3，解得x<－2或x>1. 故原不等式的解集为{x|x<－2或x>1}． 11．BD　 12．AC　 13．B　 14．B　15．D　 16．　17．ln 2　18．2　19．2　　 1．A　2．(－∞，－1)　3．[0,1)　 4．解：(1)当a＝时，f (x)＝x＋＋2， 任取1≤x1<x2， 则f (x1)－f (x2)＝(x1－x2)＋＝. 因为1≤x1<x2，所以x1x2>1， 所以2x1x2－1>0. 又x1－x2<0，所以f (x1)<f (x2)， 所以f (x)在[1，＋∞)上是增函数， 所以f (x)在[1，＋∞)上的最小值为f (1)＝. (2)因为在区间[1，＋∞)上，f (x)＝>0恒成立， 所以⇔ 等价于a大于函数φ(x)＝－(x2＋2x)在[1，＋∞)上的最大值． 因为φ(x)＝－(x＋1)2＋1在[1，＋∞)上单调递减，所以当x＝1时，φ(x)取最大值为φ(1)＝－3，所以a>－3.故实数a的取值范围是(－3，＋∞)． 5．D　 6．1　7．①②③　 8．解：(1)令x＝y＝0，得f (0)＋f (0)＝f (0＋0)．所以f (0)＝0. 令y＝－x，得f (x)＋f (－x)＝f (0)＝0.所以f (x)是奇函数． 任取x1＜x2，有f (x1)－f (x2)＝f (x1)＋f (－x2)＝f (x1－x2)＝－f (x2－x1)． 因为x2－x1＞0，所以f (x2－x1)＞0.所以f (x1)－f (x2)＜0，f (x1)＜f (x2)． 所以f (x)在R上为增函数． (2)由(1)得f (x)在R上单调递增，所以函数f (x)的最大值为f (3)，且f (3)＝f (2＋1)＝f (2)＋f (1)＝f (1＋1)＋f (1)＝3f (1)＝3×＝2. 9．解：(1)由f (x＋2)＝－f (x)，得f (x＋4)＝f ((x＋2)＋2)＝－f (x＋2)＝f (x)， 所以f (x)是以4为周期的周期函数， 所以f (π)＝f (－1×4＋π)＝f (π－4)＝－f (4－π)＝－(4－π)＝π－4. (2)由f (x)是奇函数且f (x＋2)＝－f (x)， 得f [(x－1)＋2]＝－f (x－1)＝f (－(x－1))， 即f (1＋x)＝f (1－x)． 故函数y＝f (x)的图象关于直线x＝1对称． 又当0≤x≤1时，f (x)＝x，且f (x)的图象关于原点成中心对称，则f (x)的图象如图所示． 当－4≤x≤4时，设f (x)的图象与x轴围成的图形面积为S，则S＝4S△OAB＝4××2×1＝4. 5 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$