第02讲 二次函数与幂函数-2024-2025学年高三年级数学暑假讲义（江苏专用）

第02讲 二次函数与幂函数 适用学科 数学 适用年级 高三 适用区域 江苏 本讲时长 120分钟 知识点 及学习目标 1．掌握幂函数运算的化简． 2．掌握复合函数的处理方式． 1．幂函数的概念 一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． 2．常见的五种幂函数的图象 3．幂函数的性质 (1)幂函数在(0，＋∞)上都有定义． (2)当α>0时，幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)上单调递增． (3)当α<0时，幂函数的图象都过点(1,1)，且在(0，＋∞)上单调递减． 4．二次函数解析式的三种形式 一般式：f (x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)； 顶点式：f (x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)； 两根式：f (x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)． 5．二次函数的图象与性质 解析式 f (x)＝ax2＋bx＋c(a>0) f (x)＝ax2＋bx＋c(a<0) 图象 定义域 R 值域 单调性 在上单调递增； 在上单调递减 在上单调递增； 在上单调递减 奇偶性 当b＝0时为偶函数，当b≠0时为非奇非偶函数 顶点 对称性 图象关于直线x＝－成轴对称图形 考点1　幂函数的图象与性质 例1．函数y＝x－1的图象关于x轴对称的图象大致是(　　) 例2．已知幂函数f (x)＝(n2＋2n－2)x (n∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上单调递减，则n的值为(　　) A．－3 B．1 C．2 D．1或2 例3．已知点(m,8)在幂函数f (x)＝(m－1)xn的图象上．设a＝f ，b＝f (ln π)，c＝f (2)，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a<c<b B．a<b<c C．b<c<a D．b<a<c 考点2　二次函数的解析式 例1．已知二次函数f (x)满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x)的最大值是8，求二次函数f (x)的解析式． 变式1．已知二次函数f (x)＝x2－bx＋c满足f (0)＝3，对∀x∈R，都有f (1＋x)＝f (1－x)成立，则f (x)＝ ． 考点3　二次函数的图象与性质 考向1　二次函数的图象 例2．(1)已知函数f (x)＝ax2－x－c，且f (x)>0的解集为(－2,1)，则函数y＝f (－x)的图象为(　　) (2)(多选题)如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A(－3,0)，对称轴为直线x＝－1. 下面四个结论中正确的是(　　) A． b2>4ac B．2a－b＝1 C．a－b＋c＝0 D．5a<b 考向2　二次函数的单调性 例3．若函数f (x)＝ax2＋(a－3)x＋1在区间[－1，＋∞)上单调递减，则实数a的取值范围为(　　) A．[－3,0) B．(－∞，－3] C．[－2,0] D．[－3,0] 变式1．若函数f (x)＝ax2＋(a－3)x＋1的单调递减区间是[－1，＋∞)，则a＝ ． 考向3　二次函数的最值 例4．已知函数f (x)＝ax2＋2ax＋1在区间[－1,2]上有最大值4，求实数a的值． 变式．将本例改为：求函数f (x)＝x2＋2ax＋1在区间[－1,2]上的最大值． 考向4　二次函数中的恒成立问题 例5．已知函数f (x)＝x2－x＋1，在区间[－1,1]上不等式f (x)>2x＋m恒成立，则实数m的取值范围是 ． 变式1．对数函数y＝logax(a>0且a≠1)与二次函数y＝(a－1)x2－x在同一坐标系内的图象可能是(　　) 变式2．若函数y＝x2－3x＋4的定义域为[0，m]，值域为，则m的取值范围为(　　) A．(0,4] B． C． D． 变式3．设函数f (x)＝x2＋x＋a(a>0)．已知f (m)<0，则(　　) A．f (m＋1)≥0 B．f (m＋1)≤0 C．f (m＋1)>0 D．f (m＋1)<0 变式4．设函数f (x)＝ax2－2x＋2，对于满足1<x<4的一切x值都有f (x)>0，则实数a的取值范围为 ． 1．函数y＝的图象大致是(　　) 2．若幂函数f (x)＝(m2－4m＋4)·x在(0，＋∞)上单调递增，则m的值为(　　) A．1或3 B．1 C．3 D．2 3．二次函数f (x)的图象经过(0,3)，(2,3)两点，且f (x)的最大值是5，则该函数的解析式是(　　) A．f (x)＝2x2－8x＋11 B．f (x)＝－2x2＋8x－1 C．f (x)＝2x2－4x＋3 D．f (x)＝－2x2＋4x＋3 4．如果幂函数y＝(m2－3m＋3)·x的图象不过原点，则(　　) A．－1≤m≤2 B．m＝1或m＝2 C．m＝2 D．m＝1 5．已知函数f (x)＝ax2＋bx＋c.若a>b>c且a＋b＋c＝0，则f (x)的图象可能是(　　) 6．已知二次函数f (x)满足f (2＋x)＝f (2－x)，且f (x)在[0,2]上单调递增．若f (a)≥f (0)，则实数a的取值范围是(　　) A．[0，＋∞) B．(－∞，0] C．[0,4] D．(－∞，0]∪[4，＋∞) 7．若函数f (x)＝(1－x2)(x2＋ax－5)的图象关于直线x＝0对称，则f (x)的最大值是(　　) A．－4 B．4 C．4或－4 D．不存在 8．已知f (x)＝x2，g(x)＝x，h(x)＝x－2.当0<x<1时，f (x)，g(x)，h(x)的大小关系是 ． 9．若(a＋1) <(3－2a)，则实数a的取值范围是 ． 10．若关于x的不等式x2－4x≥m对任意x∈(0,1]恒成立，则m的取值范围为 ． 11．已知函数f (x)＝若c＝0，则f (x)的值域是 ；若f (x)的值域是，则实数c的取值范围是 ． 1．若f (x)＝ax2＋ax－1在R上满足f (x)＜0恒成立，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，0] B．(－∞，－4) C．(－4,0) D．(－4,0] 2．(多选题)由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字：已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过点(1,0)，…，求证：这个二次函数的图象关于直线x＝2对称．根据现有信息，题中的二次函数可能具有的性质是(　　) A．在x轴上截得的线段的长度是2 B．与y轴交于点(0,3) C．顶点是(－2，－2) D．过点(3,0) 3．(多选题)设函数f (x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，对任意实数t都有f (4＋t)＝f (－t)成立，则f (－1)，f (1)，f (2)，f (5)中，最小的可能是(　　) A．f (－1) B．f (1) C．f (2) D．f (5) 4．若函数f (x)＝ax2－(2a＋1)x＋a＋1对于x∈[－1,1]恒有f (x)≥0，则实数a的取值范围是 ． 5 / 6 学科网（北京）股份有限公司 第02讲 二次函数与幂函数 适用学科 数学 适用年级 高三 考点1　幂函数的图象与性质 例1．B　 例2．B　 例3．A　 考点2　二次函数的解析式——综合性 例1．解：(方法一：利用二次函数的一般式) 设f (x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)． 由题意得解得 故f (x)＝－4x2＋4x＋7. (方法二：利用二次函数的顶点式) 设f (x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)． 因为f (2)＝f (－1)，所以抛物线的对称轴为x＝＝.所以m＝. 又根据题意函数有最大值8，所以n＝8， 所以y＝f (x)＝a＋8. 因为f (2)＝－1，所以a＋8＝－1， 解得a＝－4， 所以f (x)＝－4×＋8＝－4x2＋4x＋7. (方法三：利用二次函数的零点式) 由已知f (x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1， 故可设f (x)＋1＝a(x－2)(x＋1)， 即f (x)＝ax2－ax－2a－1. 又函数有最大值ymax＝8， 即当a≠0时，＝8， 解得a＝－4； 当a＝0时，f (x)＝－1，不符合题意，舍去． 故f (x)＝－4x2＋4x＋7. 变式1．x2－2x＋3　 考点3　二次函数的图象与性质 考向1　二次函数的图象 例2．D　 (2)AD　 考向2　二次函数的单调性 例3．D　 变式1．－3　 考向3　二次函数的最值 例4．解：f (x)＝a(x＋1)2＋1－a. ①当a＝0时，函数f (x)在区间[－1,2]上的值为常数1，不符合题意，舍去； ②当a＞0时，函数f (x)在区间[－1,2]上单调递增，最大值为f (2)＝8a＋1＝4，解得a＝； ③当a＜0时，函数f (x)在区间[－1,2]上单调递减，最大值为f (－1)＝1－a＝4，解得a＝－3. 综上可知，a的值为或－3. 变式．解： f (x)＝(x＋a)2＋1－a2， f (x)的图象是开口向上的抛物线，对称轴为x＝－a. ①当－a＜，即a＞－时， f (x)max＝f (2)＝4a＋5； ②当－a≥，即a≤－时， f (x)max＝f (－1)＝2－2a. 综上，f (x)max＝ 考向4　二次函数中的恒成立问题 例5．(－∞，－1)　 变式1．A　变式2．C　变式3．C　变式4．　 1．C　2．B　3．D　4．B　5．D　6．C　7．B　8．h(x)>g(x)>f (x)　 9．(－∞，－1)∪　 10．(－∞，－3]　11．　　 1．D　2．ABD　3．ACD　4．　 $$