第01讲 函数三要素-2024-2025学年高三年级数学暑假讲义（江苏专用）

第01讲 函数的三要素 适用学科 数学 适用年级 高三 适用区域 江苏 本讲时长 120分钟 知识点 及学习目标 1．建立完整的函数概念，不仅把函数理解为刻画变量之间依赖关系的数学语言和工具，也把函数理解为实数集合之间的对应关系． 2．能用代数运算和函数图象揭示函数的主要性质． 3．在现实问题中，能利用函数构建模型，解决问题． 4．能用函数图象和代数运算的方法研究基本初函数的性质． 5．理解基本初等函数中所蕴含的运算规律． 6．运用基本初等函数建立模型，解决简单的实际问题，体会这些函数在解决实际问题中的作用． 1．函数的概念 一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f ，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f ：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f (x)，x∈A． 2．函数的定义域、值域 (1)在函数y＝f (x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f (x)|x∈A}叫做函数的值域． (2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数． 3．函数的表示法 表示函数的常用方法有解析法、列表法和图象法． 4．分段函数 (1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数． (2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数． 考点1　函数的定义域 例1．函数f (x)＝＋ln x的定义域是 ． 例2．函数f (x)＝＋ln(x＋4)的定义域为 ． 例3．若函数y＝f (x)的定义域是[0,2]，则函数g(x)＝的定义域为 ． 例4．已知函数f (x－1)的定义域为[0,2 022]，则函数g(x)＝的定义域为 ． 考点2　求函数的解析式 例1．(1)已知f ＝lg x，求f (x)的解析式． (2)已知f (x)是二次函数，且f (0)＝0，f (x＋1)＝f (x)＋x＋1，求f (x)的解析式． (3)已知函数f (x)满足f (－x)＋2f (x)＝2x，求f (x)的解析式． 变式1．已知f ＝＋，则f (x)＝(　　) A．(x＋1)2 B．(x－1)2 C．x2－x＋1 D．x2＋x＋1 变式2．已知f (x)是一次函数，且f (f (x))＝4x＋3，则f (x)的解析式为 ． 变式3．已知f (x)满足2f (x)＋f ＝3x，则f (x)＝ ． 考点3　分段函数 考向1　分段函数求值 例1. (1)设f (x)＝则f (f (1))的值为(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 (2)设函数f (x)＝若f (f (a))＝2，则a＝ ． 考向2　分段函数与方程、不等式 例2．设函数f (x)＝则满足f (x＋1)＜f (2x)的x的取值范围是(　　) A．(－∞，－1] B．(0，＋∞) C．(－1,0) D．(－∞，0) 变式1．函数f (x)满足f (x＋4)＝f (x)(x∈R)，且在区间(－2,2]上，f (x)＝则f (f (15))的值为 ． 变式2．已知函数f (x)＝若f (a)－f (－a)>0，则实数a的取值范围为 ． 变式3．若函数y＝f (x)的图象上存在不同的两点M，N关于原点对称，则称点对(M，N)是函数y＝f (x)的一对“和谐点对”．已知函数f (x)＝则此函数的“和谐点对”有 对． 1．设集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}．下面的4个图形中，能表示从集合M到集合N的函数关系的有(　　) A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．② 2．已知等腰△ABC的周长为10，底边长y关于腰长x的函数解析式为y＝10－2x，则函数的定义域为(　　) A．{x|x∈R} B．{x|x＞0} C．{x|0＜x＜5} D． 3．若函数f (x)满足f (1－ln x)＝，则f (2)等于(　　) A． B．e C． D．－1 4．已知f (x)＝则f ＋f 的值等于(　　) A．－2 B．4 C．2 D．－4 5．已知函数f (x)的定义域为[0,2]，则函数g(x)＝f (2x)＋的定义域为(　　) A．[0,1] B．[0,2] C．[1,2] D．[1,3] 6．(多选题)下列函数中，满足f (18x)＝18f (x)的是(　　) A．f (x)＝|x| B．f (x)＝x－|x| C．f (x)＝x＋2 D．f (x)＝－2x 7．设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数．例如：[－2.1]＝－3，[3.1]＝3.已知函数f (x)＝，则函数y＝[f (x)]的值域为(　　) A．{0,1,2,3} B．{0,1,2} C．{1,2,3} D．{1,2} 8．设f (x)的定义域为[0,1]，要使函数f (x－a)＋f (x＋a)有定义，则a的取值范围为 ． 9．已知函数f (x)满足对任意的x∈R都有f ＋f ＝2成立，则f ＋f ＋…＋f ＝ ． 10．已知函数f (x)＝则f (f (－2))＝ ，不等式f (x)≥2的解集为 ． 1．(多选题)已知函数f (x)＝，x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，则下列等式成立的是(　　) A．f (x)＝f B．－f (x)＝f C．＝f D．f (－x)＝－f (x) 2．已知函数f (x)＝g(x)＝2x－1，则f (g(2))＝ ，f (g(x))的值域为 ． 3．函数f (x)＝的值域为 ． 4．记[x]为不超过x的最大整数，如[－1.2]＝－2，[2.3]＝2.已知函数f (x)＝则f (f (－1.2))＝ ，f (x)≤3的解集为 ． 5 / 6 学科网（北京）股份有限公司 第01讲 函数的三要素 适用学科 数学 适用年级 高三 考点1　函数的定义域 例1．(0，＋∞)　 例2．(－4,1]　 例3．[0,1)　 例4．[－2,1)∪(1,2 020]　 考点2　求函数的解析式 例1．解：(1)(换元法)令＋1＝t，得x＝. 代入得f (t)＝lg. 又x>0，所以t>1. 故f (x)＝lg，x∈(1，＋∞)． (2)(待定系数法)设f (x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 由f (0)＝0，知c＝0，所以f (x)＝ax2＋bx. 又由f (x＋1)＝f (x)＋x＋1， 得a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1， 即ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＝ax2＋(b＋1)x＋1， 所以解得a＝b＝. 所以f (x)＝x2＋x，x∈R. (3)(解方程组法)由f (－x)＋2f (x)＝2x，① 得f (x)＋2f (－x)＝2－x.② ①×2－②，得3f (x)＝2x＋1－2－x，即f (x)＝. 故f (x)＝，x∈R. 变式1．C　 变式2．f (x)＝－2x－3或f (x)＝2x＋1　 变式3．2x－(x≠0)　 考点3　分段函数 考向1　分段函数求值 例1.B　 (2)　 考向2　分段函数与方程、不等式 例2．D　 变式1．　 变式2．(－2,0)∪(2，＋∞)　 变式3．2　 1．C　2．D　3．B　4．B　5．A　 6．ABD　 7．D　8．　9．7　 10．5　(－∞，－1]∪[1，＋∞)　 1．AD　2．2　[－1，＋∞)　 3．(－5,3]　 4．3　[－，3)　 $$