第06讲 第一章 空间向量与立体几何 复习与检测（预习讲义）-2024-2025学年高二年级数学暑假讲义（江苏专用）

第06讲 章节复习与检测 一 知识结构图 二.学法指导 1．空间向量的线性运算包括加、减及数乘运算，选定空间不共面的三个向量作为基向量，并用它们表示出目标向量，这是用向量法解决立体几何问题的基本要求，解题时可结合已知和所求，根据图形，利用向量运算法则表示所需向量． 2．空间向量的数量积 (1)空间向量的数量积的定义表达式a·b＝|a|·|b|·cos〈a，b〉及其变式cos〈a，b〉＝是两个重要公式． (2)空间向量的数量积的其他变式是解决立体几何问题的重要公式，如a2＝|a|2，a在b上的投影＝|a|·cos θ等． 3．利用空间向量证明空间中的位置关系 线线平行 证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量. 线线垂直 证明两条直线垂直，只需证明两直线的方向向量垂直. 线面平行 ①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直； ②证明可在平面内找到一个向量与直线的方向向量是共线向量； ③利用共面向量定理，即证明直线的方向向量可用平面内两不共线向量线性表示. 线面垂直 ①证明直线的方向向量与平面的法向量平行； ②利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题. 面面平行 ①证明两个平面的法向量平行(即是共线向量)； ②转化为线面平行、线线平行问题. 面面垂直 ①证明两个平面的法向量互相垂直； ②转化为线面垂直、线线垂直问题. 4.用向量法求空间角的注意点 (1)异面直线所成角：两异面直线所成角的范围为0°<θ≤90°，需找到两异面直线的方向向量，借助方向向量所成角求解． (2)直线与平面所成的角：要求直线a与平面α所成的角θ，先求这个平面α的法向量n与直线a的方向向量a夹角的余弦cos〈n，a〉，易知θ＝〈n，a〉－或者－〈n，a〉． (3)平面与平面的夹角：如图，有两个平面α与β，分别作这两个平面的法向量n1与n2，则平面α与β所成的角跟法向量n1与n2所成的角相等或互补． 5.向量求和的注意点 (1)三角形法则对于两个向量共线时也适用． (2)两个向量的和向量仍是一个向量． (3)平行四边形法则对于两个向量共线时不适用． 三.知识点贯通 知识点1 空间向量的线性运算和数量积 例题1.已知正四面体OABC的棱长为1，如图．求： ①·； ②(＋)·(＋)； ③|＋＋|. 知识点二 空间向量基本定理 基底的判断方法 判断给出的三个向量能否构成基底，关键是要判断这三个向量是否共面．首先应考虑三个向量中是否有零向量，其次判断三个非零向量是否共面．如果从正面难以入手判断，可假设三个向量共面，利用向量共面的充要条件建立方程组，若方程组有解，则三个向量共面；若方程组无解，则三个向量不共面． 例题2：如图，已知空间四边形OABC，对角线OB，AC，M，N分别是对边OA，BC的中点，点G在线段MN上，且MG＝2GN，用基底向量，，表示向量. 知识点三 空间向量的坐标表示 空间向量的坐标运算公式 设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)， (1)加减运算：a±b＝(x1±x2，y1±y2，z1±z2)． (2)数量积运算：a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2. (3)向量夹角：cos〈a，b〉＝. (4)向量长度：设M1(x1，y1，z1)，M2(x2，y2，z2)， 则||＝. (5)a∥b⇔x1＝λx2且y1＝λy2且z1＝λz2. 例题3 .已知a＝(1,5，－1)，b＝(－2,3,5)． ①当(λa＋b)∥(a－3b)时，求实数λ的值； ②当(a－3b)⊥(λa＋b)时，求实数λ的值． 知识点四 利用空间向量证明平行、垂直问题 例题4．在四棱锥P­ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，PA⊥底面ABCD，PA＝AD＝CD＝2AB＝2，M为PC的中点． (1)求证：BM∥平面PAD； (2)平面PAD内是否存在一点N，使MN⊥平面PBD？若存在，确定N的位置；若不存在，说明理由． 知识点五 用空间向量求空间角和空间距离 例题5长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝6，AA1＝4，M是A1C1的中点，P在线段BC上，且|CP|＝2，Q是DD1的中点，求： (1)M到直线PQ的距离； (2)M到平面AB1P的距离． 五 易错点分析 易错一 求直线与平面所成的角 例题6.长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝6，AA1＝4，M是A1C1的中点，P在线段BC上，且|CP|＝2，Q是DD1的中点，PA＝1。求直线PA与平面PBC所成的角。 误区警示 直线与平面所成角的正弦值是直线的方向向量与平面的法向量成角余弦值的绝对值。 六、核心素养聚焦 考点一 逻辑推理-相等向量和平行（共线）向量 例题7.如图，已知空间四边形ABCD，E，H分别是边AB，AD的中点，F，G分别是边CB，CD上的点，且＝，＝.求证：四边形EFGH是梯形． 考点二 数学运算-向量的模 例题8已知a＝(1－t,1－t，t)，b＝(2，t，t)，则|b－a|的最小值是________． 七、学业质量测评 一、选择题 1．已知，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D．以上都不对 2．已知四面体ABCD，＝，＝，＝，点M在棱DA上，＝3，N为BC中点，则＝（ ） A． B． C． D． 3．下列各组两个向量中，平行的一组向量是（ ） A．， B．， C．， D．， 4．若向量，，且与夹角的余弦值为，则等于（ ） A． B． C．或 D．2 5．如图，为正方体的棱上一点，且，为棱上一点，且，则 （ ） A． B．2:6 C． D． 6．已知正四棱柱中，，，点为的中点，则异面直线与所成的角等于（ ） A． B． C． D． 7．（多选题）已知向量，下列等式中正确的是（ ） A． B． C． D． 8．（多选题）在以下命题中，不正确的命题有（ ） A．是、共线的充要条件 B．若，则存在唯一的实数，使 C．对空间任意一点和不共线的三点、、，若，则、、、四点共面 D．若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底 二、填空题 9．已知A(2，－5，1)，B(2，－4，2)，C(1，－4，1)，则与的夹角为________． 10．已知向量=(a，b，0)，=(c，d，1)，其中a2+b2=c2+d2=1，现有以下命题： ①向量与z轴正方向的夹角恒为定值(即与c，d无关)； ②的最大值为； ③(的夹角)的最大值为； ④若定义，则的最大值为. 其中正确的命题有___________.(写出所有正确命题的序号) 11．已知空间向量，，，，1，，若与垂直，则等于　　 ___________. 12．在正三棱柱ABC­A1B1C1中，已知AB＝1，D在棱BB1上，且BD＝1，则AD与平面AA1C1C所成的角的正弦值为________，平面ACD与ABC所成二面角的余弦值为________． 三、解答题 13．如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把△DFC折起，使点C到达点P的位置，且PF⊥BF． （1）证明：平面PEF⊥平面ABFD； （2）求DP与平面ABFD所成角的正弦值． 14．如图，在直三棱柱中，点D在棱上，E，F分别是，BC的中点，，． （1）证明：； （2）当D为的中点时，求平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值． 15．已知三棱柱中，，，，． （1）求证：平面平面； （2）若，在线段上是否存在一点，使二面角的平面角的余弦值为？若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由． 第六讲 【例题】 例题1.【解析】在正四面体OABC中，||＝||＝||＝1. 〈，〉＝〈，〉＝〈，〉＝60°. ①·＝||||·cos∠AOB＝1×1×cos 60°＝. ②(＋)·(＋) ＝(＋)·(－＋－) ＝(＋)·(＋－2) ＝＋2·－2·＋2－2O· ＝12＋2×1×1×cos 60°－2×1×1×cos 60°＋12－2×1×1×cos 60°＝1＋1－1＋1－1＝1. ③|＋＋|＝＝＝. 例题2：【解析】＝＋＝＋ ＝＋(－) ＝＋ ＝＋(＋)－ ＝＋＋. 例题3 .【解析】①∵a＝(1,5，－1)，b＝(－2,3,5)， ∴a－3b＝(1,5，－1)－3(－2,3,5)＝(1,5，－1)－(－6,9,15)＝(7，－4，－16)，λa＋b＝λ(1,5，－1)＋(－2,3,5)＝(λ，5λ，－λ)＋(－2,3,5)＝(λ－2,5λ＋3，－λ＋5)． ∵(λa＋b)∥(a－3b)， ∴＝＝， 解得λ＝－. ②∵(a－3b)⊥(λa＋b)，∴(7，－4，－16)·(λ－2,5λ＋3，－λ＋5)＝0，即7(λ－2)－4(5λ＋3)－16(－λ＋5)＝0，解得λ＝. 例题4.【解析】平面PAD的一个法向量为n＝(1,0,0)， ∴·n＝0，即⊥n， 又BM⊄平面PAD，∴BM∥平面PAD. (2)＝(－1,2,0)，＝(1,0，－2)， 假设平面PAD内存在一点N，使MN⊥平面PBD. 设N(0，y，z)，则＝(－1，y－1，z－1)， 从而MN⊥BD，MN⊥PB， ∴即 ∴∴N，∴在平面PAD内存在一点N，使MN⊥平面PBD. 例题5 .【解析】　如图，建立空间直角坐标系B­xyz，则A(4,0,0)，M(2,3,4)，P(0,4,0)，Q(4,6,2)． (1)∵＝(－2，－3,2)，＝(－4，－2，－2)， ∴在上的射影的模＝＝ ＝＝. 故M到PQ的距离为＝＝. (2)设n＝(x，y，z)是平面AB1P的某一法向量，则n⊥，n⊥， ∵＝(－4,0,4)，＝(－4,4,0)，∴ 因此可取n＝(1,1,1)，由于＝(2，－3，－4)，那么点M到平面AB1P的距离为d＝＝＝，故M到平面AB1P的距离为. 例题6. 根据题目所建立的平面直角坐标系可知A(0,0,0)，P(0,0,1)，C，B(0,2,0)，∴＝(0,0,1)，＝ ＝(0，－2,1)， 设平面PBC的法向量为m＝(x，y，z)， ∴令y＝1，则 m＝(，1,2)，设PA与平面PCB的夹角为θ，则sin θ＝|cos〈m，〉|＝＝＝，∴θ＝45°. 故直线PA与平面PBC所成的角为45°. 例题7.证明：∵E，H分别是边AB，AD的中点，∴＝，＝. 则＝－＝－＝(－)＝. ∵＝－＝－＝(－)＝， ∴∥且||＝||≠||. 又F不在EH上，故四边形EFGH是梯形． 考点二 数学运算-向量的模 例题8【答案】　 【解析】由已知，得 b－a＝(2，t，t)－(1－t,1－t，t)＝(1＋t,2t－1,0)． ∴|b－a|＝ ＝＝. ∴当t＝时，|b－a|的最小值为. 、学业质量测评 一、选择题 1．【答案】C 2．【答案】C 3．【答案】B 4．【答案】A 5．【答案】A 6．【答案】A 7．【答案】BCD 8．【答案】ABC 二、填空题 9．【答案】60° 10．【答案】①③④ 11．【答案】 12．【答案】 三、解答题 13．如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把△DFC折起，使点C到达点P的位置，且PF⊥BF． （1）证明：平面PEF⊥平面ABFD； （2）求DP与平面ABFD所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【详解】 （1）证明：由点E、F分别是AD、BC的中点，则， 由四边形ABCD为正方形，所以． ，，EF，平面PEF，平面PEF． 又BF⊂平面ABFD，所以平面PEF⊥平面ABFD． （2）作PH⊥EF，垂足为H．由（1）得，PH⊥平面ABFD． 以H为坐标原点，的方向为y轴正方向，||为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系． 由（1）可得，DE⊥PE．又，，所以．又，，则，故PE⊥PF． 由等面积法可得，从而． 则，，，，为平面ABFD的法向量． 设DP与平面ABFD所成角为θ，则． 所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为． 14．如图，在直三棱柱中，点D在棱上，E，F分别是，BC的中点，，． （1）证明：； （2）当D为的中点时，求平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【详解】 （1）证明：在直三棱柱中，有， 又，，平面， 又平面，． ，， 如图，分别以AC，，AB所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，． 设，则，， ，． （2）当D为的中点时，，，， 设平面DEF的法向量为，则，即 令得，， 易知平面ABC的法向量为， 所以， 即平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为． 15．已知三棱柱中，，，，． （1）求证：平面平面； （2）若，在线段上是否存在一点，使二面角的平面角的余弦值为？若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）在线段上存在一点，. 【详解】 （1）在三棱柱中，四边形为平行四边形， ，所以，四边形为菱形， 连接，则，又，且，平面， 平面，， 又，即，，平面， 平面，平面平面； （2）以为坐标原点，分别以、所在直线为、轴，面内过点且垂直于的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， ，，， 、、、， 设在线段上存在一点，满足，使得二面角的余弦值为，则， ， ，， 设平面的一个法向量为，由， 取，可得，，得， 平面的一个法向量为， 由， 整理可得，即， ，解得. 故在线段上存在一点，满足，使二面角的余弦值为． 学科网（北京）股份有限公司 $$