第04讲 用空间向量研究直线、平面的位置关系（预习讲义）-2024-2025学年高二年级数学暑假讲义（江苏专用）

第04讲 用空间向量研究直线、平面的位置关系 一 知识结构图 内 容 考点 关注点 用空间向量研究直线、平面的位置关系 直线的方向向量，平面的法向量 求方向向量、法向量 用方向向量，法向量证明线线、线面、面面间的平行关系 证明平行关系 用平面法向量证明线面和面面垂直 证明垂直关系 二.学法指导 1．证明两直线平行的方法 法一：平行直线的传递性 法二：基向量法，分别取两条直线的方向向量m，n，证明m∥n，即m＝λn. 法三：坐标法，建立空间直角坐标系，把直线的方向向量用坐标表示，如m1＝(x1，y1，z1)，m2＝(x2，y2，z2)，即证明m1＝λm2，即x1＝λx2且y1＝λy2且z1＝λz2. 2．向量法证明线面平行的三个思路 (1)设直线l的方向向量是a，平面α的法向量是u，则要证明l∥α，只需证明a⊥u，即a·u＝0. (2)根据线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行，要证明一条直线和一个平面平行，在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可． (3)根据共面向量定理可知，如果一个向量和两个不共线的向量是共面向量，那么这个向量与这两个不共线的向量确定的平面必定平行，因此要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可． 3．证明面面平行的方法 设平面α的法向量为μ，平面β的法向量为v，则α∥β⇔μ∥v. 4.坐标法证明线面垂直的两种方法 法一：(1)建立空间直角坐标系； (2)将直线的方向向量用坐标表示； (3)找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量； (4)分别计算两组向量的数量积，得到数量积为0. 法二：(1)建立空间直角坐标系； (2)将直线的方向向量用坐标表示； (3)求出平面的法向量； (4)判断直线的方向向量与平面的法向量平行． 5.利用空间向量证明面面垂直通常可以有两个途径：一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直；二是直接求解两个平面的法向量，由两个法向量垂直，得面面垂直． 6．向量法证明面面垂直的优越性主要体现在不必考虑图形的位置关系，恰当建系或用基向量表示后，只需经过向量运算就可得到要证明的结果，思路方法“公式化”，降低了思维难度． 三.知识点贯通 知识点1 求平面的法向量 平面的法向量的定义 直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量． 例题1．四边形ABCD是直角梯形，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝2，AD＝1.在如图所示的坐标系A­xyz中，分别求平面SCD和平面SAB的一个法向量． 知识点2 利用空间向量证明线线平行 空间中平行关系的向量表示 线线平行 设两条不重合的直线l1，l2的方向向量分别为u1＝(a1，b1，c1)，u2＝(a2，b2，c2)，则l1∥l2⇔u1∥u2⇔(a1，b1，c1)＝λ(a2，b2，c2) 线面平行 设l的方向向量为u＝(a1，b1，c1)，α的法向量为n＝(a2，b2，c2)，则l∥α⇔u·n＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0 面面平行 设α，β的法向量分别为n1＝(a1，b1，c1)，n2＝(a2，b2，c2)，则α∥β⇔n1∥n2⇔(a1，b1，c1)＝λ(a2，b2，c2) 例题2．在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝3，AA1＝2，P，Q，R，S分别是AA1，D1C1，AB，CC1的中点．求证：PQ∥RS． 知识点3 利用空间向量证线面、面面平行 空间中平行关系的向量表示 线线平行 设两条不重合的直线l1，l2的方向向量分别为u1＝(a1，b1，c1)，u2＝(a2，b2，c2)，则l1∥l2⇔u1∥u2⇔(a1，b1，c1)＝λ(a2，b2，c2) 线面平行 设l的方向向量为u＝(a1，b1，c1)，α的法向量为n＝(a2，b2，c2)，则l∥α⇔u·n＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0 面面平行 设α，β的法向量分别为n1＝(a1，b1，c1)，n2＝(a2，b2，c2)，则α∥β⇔n1∥n2⇔(a1，b1，c1)＝λ(a2，b2，c2) 例题3．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别是CC1，B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD． 知识点4 利用空间向量证明线线垂直 空间中垂直关系的向量表示 线线垂直 设直线l1的方向向量为u＝(a1，a2，a3)，直线l2的方向向量为v＝(b1，b2，b3)，则l1⊥l2⇔u·v＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 例题4．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为AC的中点．求证：(1)BD1⊥AC；(2)BD1⊥EB1． 知识点5 用空间向量证明线面垂直 空间中垂直关系的向量表示 线线垂直 设直线l1的方向向量为u＝(a1，a2，a3)，直线l2的方向向量为v＝(b1，b2，b3)，则l1⊥l2⇔u·v＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 线面垂直 设直线l的方向向量是u＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量是n＝(a2，b2，c2)，则l⊥α⇔u∥n⇔u＝λn⇔(a1，b1，c1)＝λ(a2，b2，c2)(λ∈R) 例题5．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是B1B，DC的中点，求证：AE⊥平面A1D1F． 知识点6 利用空间向量证明面面垂直 空间中垂直关系的向量表示 线线垂直 设直线l1的方向向量为u＝(a1，a2，a3)，直线l2的方向向量为v＝(b1，b2，b3)，则l1⊥l2⇔u·v＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 线面垂直 设直线l的方向向量是u＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量是n＝(a2，b2，c2)，则l⊥α⇔u∥n⇔u＝λn⇔(a1，b1，c1)＝λ(a2，b2，c2)(λ∈R) 面面 垂直 设平面α的法向量n1＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量n2＝(a2，b2，c2)，则α⊥β ⇔ n1⊥n2 ⇔n1·n2＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0 例题6．如图所示，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AB⊥BC，AB＝BC＝2，BB1＝1，E为BB1的中点，证明：平面AEC1⊥平面AA1C1C． 知识点7 易错点分析 易错一 求共线的单位向量 例题7．与向量a＝(2，－1,3)共线的单位向量是 ． 误区警示 共线向量包含同向和反向两种情况。 易错二 求平面的法向量 例题8.已知平面α经过三点A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2,0)，求平面α的一个法向量． 错误区警示 一个平面的法向量不唯一，建立的坐标系不同，法向量坐标就可能不同。 知识点8 核心素养聚焦 考点一 数学运算-求平面的法向量 例题9．已知三点A(1,0,1)，B(0,1,1)，C(1,1,0)，求平面ABC的一个法向量． 考点二 逻辑推理-证明线线平行 例题10．如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别为DD1和BB1的中点．求证：四边形AEC1F是平行四边形． 【针对练习】 一、选择题 1．已知两不重合直线和的方向向量分别为，，则与的位置关系是（ ） A．平行 B．相交 C．垂直 D．不确定 2．若平面，且平面的一个法向量为，则平面的法向量可以是（ ） A． B． C． D． 3．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则能使的是（ ） A．， B．， C．， D．， 4．若是平面的一个法向量，且，与平面都平行，则向量等于（ ） A． B． C． D． 5．设直线的方向向量是，平面的法向量是，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知点是平行四边形所在的平面外一点，如果，，.对于结论：①；②；③是平面的法向量；④.其中正确的是（ ） A．②④ B．②③ C．①③ D．①② 7．（多选题）已知为直线l的方向向量，，分别为平面α，β的法向量（α，β不重合），那么下列选项中，正确的是（ ） A．∥⇔α∥β B．⊥⇔α⊥β C．∥⇔l∥α D．⊥⇔l∥α 8．（多选题）下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（ ） A．两条不重合直线，的方向向量分别是，，则 B．直线的方向向量，平面的法向量是，则 C．两个不同的平面，的法向量分别是，，则 D．直线的方向向量，平面的法向量是，则 二、填空题 9．已知两个不同的平面，的法向量分别是和，则平面，的位置关系是________. 10．如图，四棱柱的底面是正方形，为底面中心，平面，.平面的法向量________. 11．已知A(0,1,0),B(-1,0,-1),C(2,1,1),点P(x,0,z),若PA⊥平面ABC,则点P的坐标为_____. 12．若两条直线的方向向量分别是，，且两条直线平行，则x=___，y= . 三、解答题 13．已知，，. （1）求平面的一个法向量； （2）证明:向量与平面平行. 14．已知，，，分别是空间四边形的边，，，的中点. （1）用向量法证明，，，四点共面； （2）用向量法证明：平面； （3）设是和的交点，求证：对空间任一点，有． 15．如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，是的中点，已知，． （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）求证：平面平面． 2 学科网（北京）股份有限公司 第四讲 【例题】 例1．(1，0，0)是平面SAB的一个法向量．为平面SCD的一个法向量． 例2．法一：以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系D­xyz. 则P(3,0,1)，Q(0,2,2)，R(3,2,0)，S(0,4,1)，＝(－3,2,1)，＝(－3,2,1)， ∴＝，∴∥，即PQ∥RS， 法二：＝＋＝－＋， ＝＋＝＋－， ∴＝，∴∥，即RS∥PQ． 例3．法一：如图，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，M，N， 于是＝(1,0,1)，＝(1,1,0)， ＝. 设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，则即取x＝1，则y＝－1，z＝－1，∴平面A1BD的一个法向量为n＝(1，－1，－1)． 又·n＝·(1，－1，－1)＝0，∴⊥n.∴MN∥平面A1BD. 法二：＝－＝－＝(－)＝，∴∥，∴MN∥平面A1BD. 法三：＝－＝－＝－＝－＝－.即可用与线性表示，故与，是共面向量，故MN∥平面A1BD. 例4．设正方体的棱长为1，则B(1,1,0)，D1(0,0,1)，A(1,0,0)，C(0,1,0)， E，B1(1,1,1)． (1)∵＝(－1，－1,1)，＝(－1,1,0)， ∴·＝(－1)×(－1)＋(－1)×1＋1×0＝0， ∴⊥，即BD1⊥AC. (2)∵＝(－1，－1,1)，＝， ∴·＝(－1)×＋(－1)×＋1×1＝0， ∴⊥，即BD1⊥EB1. 例5．如图，以点D为坐标原点，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1， 则A(1,0,0)，E，A1(1,0,1)，D1(0,0,1)，F， ∴＝，＝(－1,0,0)，＝. 设平面A1D1F的一个法向量为n＝(x，y，z)， 则即解得 令z＝1，得y＝2，则n＝(0,2,1)．又＝， ∴n＝2. ∴n∥，即AE⊥平面A1D1F. 例6．由题意得AB，BC，B1B两两垂直．以B为原点，BA，BC，BB1分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 则A(2,0,0)，A1(2,0,1)，C(0,2,0)，C1(0,2,1)，E， 则＝(0,0,1)，＝(－2,2,0)，＝(－2,2,1)，＝. 设平面AA1C1C的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)． 则⇒ 令x1＝1，得y1＝1.∴n1＝(1,1,0)． 设平面AEC1的一个法向量为n2＝(x2，y2，z2)． 则⇒ 令z2＝4，得x2＝1，y2＝－1.∴n2＝(1，－1,4)． ∵n1·n2＝1×1＋1×(－1)＋0×4＝0. ∴n1⊥n2，∴平面AEC1⊥平面AA1C1C. 例7．或　 例8．因为A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2,0)，所以＝(1，－2，－4)，＝(2，－4，－3)．设平面α的法向量为n＝(x，y，z)，则有即 得z＝0，x＝2y，令y＝1，则x＝2，所以平面α的一个法向量为n＝(2,1,0)． 例9．设平面ABC的一个法向量为n＝(x，y，z)， 由题意得＝(－1,1,0)，＝(1,0，－1)． 因为n⊥，n⊥， 所以 令x＝1，得y＝z＝1，所以平面ABC的一个法向量n＝(1,1,1). 例10．以点D为坐标原点，分别以，，为正交基底建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为1，则A(1,0,0)，E，C1(0,1,1)，F， ∴＝， ＝，＝，＝， ∴＝，＝， ∴∥，∥， 又∵F∉AE，F∉EC1，∴AE∥FC1，EC1∥AF， ∴四边形AEC1F是平行四边形. 【针对练习】 1．A 2．C 3．C 4．D 5．B 6．B 7．AB 8．AC 9． 10．（答案不唯一） 11．(﹣1，0，2) 12． 15 13．（1）平面的一个法向量为 （2）若存在实数，，使， 即， 则，解得， 所以，即向量与平面平行. 14．（1）如图，连接， 因为，，，分别是空间四边形的边，，，的中点， 则，， 则， 由共面向量定理的推论知，，，四点共面； （2）因为. 所以，又平面，平面， 所以平面； （3）连接，，，，，，， 由（2）知，同理， 所以，，， 所以､交于一点且被平分， 所以. 15．证明：以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 则，，，． （Ⅰ）因为是的中点，所以的坐标为， 所以， 又因为， 所以， 所以，即有； （Ⅱ）因为底面是正方形，所以， 因为底面，平面， 所以， 因为， 所以平面， 所以平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为，，， 由，取，，， 所以平面的一个法向量为， 因为， 所以，所以平面平面. $$