第06讲 函数的单调性及其最值（新课讲义）-2024-2025学年高二年级数学暑假讲义（江苏专用）

第06讲 函数的单调性及其最值 适用学科 数学 适用年级 高二 适用区域 江苏 本讲时长 120分钟 知识点 及学习目标 1．理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义． 2．会运用基本初等函数的图象分析函数的性质． 1．函数的单调性 （1）单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2 当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数 当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 （2）单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间． 2．函数的最值 前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件 (1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M； (2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M (1)对于任意x∈I，都有f(x)≥M； (2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M 结论 M为最大值 M为最小值 常用结论 1．函数单调性的两种等价形式 设任意x1，x2∈[a，b]且x1≠x2， （1）＞0⇔f(x)在[a，b]上是增函数；＜0⇔f(x)在[a，b]上是减函数． （2）(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0⇔f(x)在[a，b]上是增函数；(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0⇔f(x)在[a，b]上是减函数． 2．五条常用结论 （1）对勾函数y＝x＋(a＞0)的增区间为(－∞，－]和[，＋∞)，减区间为[－，0)和(0，]． （2）在区间D上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数． （3）函数f(g(x))的单调性与函数y＝f(u)，u＝g(x)的单调性的关系是“同增异减”． （4）闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取到． （5）开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值． 一、确定函数的单调性(区间) 角度一：给出具体解析式的函数的单调性 例1．（1）函数f(x)＝|x2－3x＋2|的单调递增区间是（ ） A． B．和[2，＋∞) C．(－∞，1]和 D．和[2，＋∞) （2）函数y＝的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ． 角度二：含参函数的单调性 例2．判断并证明函数f(x)＝(a≠0)在(－1，1)上的单调性． 规律方法： 确定函数单调性的3种方法 （1）定义法：利用定义判断． （2）图象法：由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集；二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接． （3）性质法：利用函数单调性的性质，尤其是利用复合函数“同增异减”的原则时，需先确定简单函数的单调性． [提醒]　求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间． 变式训练： 1．函数y＝－x2＋2|x|＋3的单调递减区间是 ． 2．判断并证明函数f(x)＝ax2＋(其中1＜a＜3)在x∈[1，2]上的单调性． 二、求函数的最值 例3．（1）函数f(x)＝－log2(x＋2)在区间[－1，1]上的最大值为 ． （2）已知函数f(x)＝则f(x)的最小值是 ． 规律方法： 求函数最值的4种常用方法及其思路 变式训练： 1．函数f(x)＝在区间[a，b]上的最大值是1，最小值是，则a＋b＝ ． 2．对于任意实数a，b，定义min{a，b}＝设函数f(x)＝－x＋3，g(x)＝log2x，则函数h(x)＝min{f(x)，g(x)}的最大值是________． 三、函数单调性的应用 角度一：比较大小 例4．已知函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，当x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0恒成立，设a＝f，b＝f(2)，c＝f(e)，则a，b，c的大小关系为（ ） A．c>a>b B．c>b>a C．a>c>b D．b>a>c 角度二：解函数不等式 例5．已知函数f(x)＝若f(2－x2)>f(x)，则实数x的取值范围是（ ） A．(－∞，－1)∪(2，＋∞) B．(－∞，－2)∪(1，＋∞) C．(－1，2) D．(－2，1) 角度三：根据函数的单调性求参数 例6．（1）已知函数f(x)＝x－＋在(1，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是 ． （2）设函数f(x)＝若函数y＝f(x)在区间(a，a＋1)上单调递增，则实数a的取值范围是 ． 求解策略： 函数单调性应用问题的3种常见类型及解题策略 （1）比较大小：比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决． （2）解不等式：在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域． （3）利用单调性求参数：视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数． [提醒]　①若函数在区间[a，b]上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；②分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值． 变式训练： 1．若函数f(x)＝2|x－a|＋3在区间[1，＋∞)上不单调，则a的取值范围是（ ） A．[1，＋∞) B．(1，＋∞) C．(－∞，1) D．(－∞，1] 2．定义在[－2，2]上的函数f(x)满足(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]＞0，x1≠x2，且f(a2－a)＞f(2a－2)，则实数a的取值范围为（ ） A．[－1，2) B．[0，2) C．[0，1) D．[－1，1) 1．下列四个函数中，在x∈(0，＋∞)上为增函数的是（ ） A．f(x)＝3－x B．f(x)＝x2－3x C．f(x)＝－ D．f(x)＝－|x| 2．函数y＝|x|(1－x)在区间A上是增函数，那么区间A是（ ） A．(－∞，0) B． C．[0，＋∞) D． 3．若函数f(x)＝x2＋a|x|＋2，x∈R在区间[3，＋∞)和[－2，－1]上均为增函数，则实数a的取值范围是（ ） A． B．[－6，－4] C．[－3，－2] D．[－4，－3] 4．已知函数f(x)是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f(2x－1)<f的x的取值范围是（ ） A． B． C． D． 5．定义新运算⊕：当a≥b时，a⊕b＝a；当a<b时，a⊕b＝b2，则函数f(x)＝(1⊕x)x－(2⊕x)，x∈[－2，2]的最大值等于（ ） A．－1 B．1 C．6 D．12 6．函数f(x)＝－的值域为 ． 7．设函数f(x)＝g(x)＝x2f(x－1)，则函数g(x)的单调递减区间是 ． 8．若f(x)＝是定义在R上的减函数，则a的取值范围是 ． 9．已知函数f(x)＝－(a>0，x>0)． （1）求证：f(x)在(0，＋∞)上是增函数； （2）若f(x)在上的值域是，求a的值． 10．已知f(x)＝(x≠a)． （1）若a＝－2，试证f(x)在(－∞，－2)上单调递增； （2）若a＞0且f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求a的取值范围． 1．若f(x)＝－x2＋4mx与g(x)＝在区间[2，4]上都是减函数，则m的取值范围是（ ） A．(－∞，0)∪(0，1] B．(－1，0)∪(0，1] C．(0，＋∞) D．(0，1] 2．已知函数f(x)＝log2x＋，若x1∈(1，2)，x2∈(2，＋∞)，则（ ） A．f(x1)<0，f(x2)<0 B．f(x1)<0，f(x2)>0 C．f(x1)>0，f(x2)<0 D．f(x1)>0，f(x2)>0 3．若函数在区间，上不是单调函数，则实数的取值范围是（ ） A．，， B．，， C． D． 4．已知函数，若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（ ） A．， B．， C．， D． 5．已知函数的最小值为2，则的取值范围是（ ） A． B． C．， D．， 6．（多选）已知函数的定义域是，，且在区间，上是增函数，在区间， 上是减函数，则以下说法一定正确的是（ ） A．（2）（5） B．（5） C．在定义域上有最大值，最大值是（2） D．与（3）的大小不确定 7．（多选）设函数，，，其中，，表示，，中的最小者．下列正确的有（ ） A．函数为偶函数 B．（4） C．当时， D．当，时， 8．设f(x)＝若f(0)是f(x)的最小值，则a的取值范围为 ． 9．如果函数y＝f(x)在区间I上是增函数，且函数y＝在区间I上是减函数，那么称函数y＝f(x)是区间I上的“缓增函数”，区间I叫做“缓增区间”．若函数f(x)＝x2－x＋是区间I上的“缓增函数”，则“缓增区间”I为 ． 10．若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是 ． 11．已知函数为单调函数，且时，均有，则 ． 12．函数的最小值等于 ． 13．已知函数f(x)＝x2＋a|x－2|－4． （1）当a＝2时，求f(x)在[0，3]上的最大值和最小值； （2）若f(x)在区间[－1，＋∞)上单调递增，求实数a的取值范围． 14．已知定义在R上的函数f(x)满足：①f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋1，②当x>0时，f(x)>－1． （1）求f(0)的值，并证明f(x)在R上是单调递增函数； （2）若f(1)＝1，解关于x的不等式f(x2＋2x)＋f(1－x)>4． 15．已知函数，． （1）若，且恒成立，求实数的最大值； （2）若，求的最大值． 5 / 6 学科网（北京）股份有限公司 第06讲 适用区域 江苏 适用年级 高二 例1．（1）B；（2）[2，＋∞)　 (－∞，－3] 例2．当a>0时，f(x)在(－1，1)上为单调递减函数，当a<0时，f(x)在(－1，1)上为单调递增函数． 变式训练：1．[－1，0]，[1，＋∞) 2．当a∈(1，3)时，f(x)在[1，2]上单调递增． 例3．（1）3 （2）2－6 变式训练：1．6 2．1 例4．D 例5．D 例6．（1）[－1，＋∞) （2）(－∞，1]∪[4，＋∞) 变式训练：1．B 2．C 1．C 2．B 3．B 4．D 5．C 6．[－，] 7．[0，1) 8． 9．解：（1）证明：任取x1>x2>0， 则f(x1)－f(x2)＝－－＋＝， 因为x1>x2>0，所以x1－x2>0，x1x2>0， 所以f(x1)－f(x2)>0， 即f(x1)>f(x2)， 所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数． （2）由（1）可知，f(x)在上为增函数， 所以f＝－2＝， f(2)＝－＝2，解得a＝． 10．解：（1）证明：设x1＜x2＜－2， 则f(x1)－f(x2)＝－＝， 因为(x1＋2)(x2＋2)＞0，x1－x2＜0， 所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)， 所以f(x)在(－∞，－2)上单调递增． （2）设1＜x1＜x2， 则f(x1)－f(x2)＝－＝， 因为a＞0，x2－x1＞0，所以要使f(x1)－f(x2)＞0， 只需(x1－a)(x2－a)＞0恒成立， 所以a≤1，综上所述，0＜a≤1． 1．D 2．B 3．B 4．D 5．D 6．AD 7．AB 8．[0，2] 9．[1，] 10． 11． 12．4 13．解：（1）当a＝2时，f(x)＝x2＋2|x－2|－4＝＝， 当x∈[0，2)时，－1≤f(x)<0，当x∈[2，3]时，0≤f(x)≤7， 所以f(x)在[0，3]上的最大值为7，最小值为－1． （2）因为f(x)＝， 又f(x)在区间[－1，＋∞)上单调递增， 所以当x＞2时，f(x)单调递增，则－≤2，即a≥－4， 当－1＜x≤2时，f(x)单调递增，则≤－1， 即a≤－2，且4＋2a－2a－4≥4－2a＋2a－4恒成立， 故a的取值范围为[－4，－2]． 14．解：（1）令x＝y＝0，得f(0)＝－1， 在R上任取x1>x2，则x1－x2>0，f(x1－x2)>－1， 又f(x1)＝f[(x1－x2)＋x2]＝f(x1－x2)＋f(x2)＋1>f(x2)，所以函数f(x)在R上是单调递增函数． （2）由f(1)＝1，得f(2)＝3，f(3)＝5， 由f(x2＋2x)＋f(1－x)>4得f(x2＋x＋1)>f(3)， 又函数f(x)在R上是增函数，故x2＋x＋1>3， 解得x<－2或x>1， 故原不等式的解集为{x|x<－2或x>1}． 15．解：（1），， ， 当且仅当时等号成立． ， 又恒成立，实数的最大值为2； （2）， 由柯西不等式可得， ． 当且仅当，即时等号成立． 的最大值为2． $$