第05讲 函数及其表示（新课讲义）-2024-2025学年高二年级数学暑假讲义（江苏专用）

第05讲 函数及其表示 适用学科 数学 适用年级 高二 适用区域 江苏 本讲时长 120分钟 知识点 及学习目标 1．了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念． 2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数． 3．了解简单的分段函数，并能简单应用（函数分段不超过三段）． 1．函数与映射的概念 函数 映射 两集合A，B 设A，B是两个非空的数集 设A，B是两个非空的集合 对应关系f：A→B 如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应 如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应 名称 称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射 记法 y＝f(x)(x∈A) 对应f：A→B是一个映射 2．函数的有关概念 （1）函数的定义域、值域． 在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集． （2）函数的三要素：定义域、值域和对应关系． （3）相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据． （4）函数的表示法 表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法． 3．分段函数 若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数． [注意]　分段函数是一个函数，而不是几个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集． 常用结论 几种常见函数的定义域 （1）f(x)为分式型函数时，定义域为使分母不为零的实数集合． （2）f(x)为偶次根式型函数时，定义域为使被开方式非负的实数的集合． （3）f(x)为对数式时，函数的定义域是真数为正数、底数为正且不为1的实数集合． （4）若f(x)＝x0，则定义域为{x|x≠0}． （5）指数函数的底数大于0且不等于1． （6）正切函数y＝tan x的定义域为． 一、函数的定义域 角度一：求函数的定义域 例1．（1）函数y＝的定义域为 A．(－1，3] B．(－1，0)∪(0，3] C．[－1，3] D．[－1，0)∪(0，3] （2）已知函数f(x)的定义域是[－1，1]，则函数g(x)＝的定义域是 A．[0，1] B．(0，1) C．[0，1) D．(0，1] 角度二：已知函数的定义域求参数 例2．若函数y＝的定义域为R，则实数a的取值范围是 A． B． C． D． 求解策略： 函数定义域的求解策略 （1）求给定函数的定义域往往转化为解不等式(组)的问题．在解不等式组取交集时可借助于数轴，要特别注意端点值的取舍． （2）求抽象函数的定义域：①若y＝f(x)的定义域为(a，b)，则解不等式a＜g(x)＜b即可求出y＝f(g(x))的定义域；②若y＝f(g(x))的定义域为(a，b)，则求出g(x)在(a，b)上的值域即得y＝f(x)的定义域． （3）已知函数定义域求参数范围，可将问题转化成含参数的不等式(组)，然后求解． [提醒]　（1）求函数定义域时，对函数解析式先不要化简． （2）求出定义域后，一定要将其写成集合或区间的形式．　 变式训练： 1．y＝ －log2(4－x2)的定义域是 A．(－2，0)∪(1，2)　 B．(－2，0]∪(1，2) C．(－2，0)∪[1，2) D．[－2，0]∪[1，2] 2．已知函数y＝f(x2－1)的定义域为[－，]，则函数y＝f(x)的定义域为 ． 3．若函数y＝的定义域为R，则实数m的取值范围是 ． 二、求函数的解析式 例3．（1）已知二次函数f(2x＋1)＝4x2－6x＋5，求f(x)； （2）已知函数f(x)满足f(－x)＋2f(x)＝2x，求f(x)． 规律方法： 求函数解析式的4种方法 （1）配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，得f(x)的表达式． （2）换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围． （3）待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法． （4）解方程组法：已知关于f(x)与f或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)． [提醒]　求解析式时要注意新元的取值范围． 变式训练： 1．已知f(x)是二次函数，且f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，则f(x)＝ ． 2．已知函数f＝lg x，则f(x)＝ ． 3．已知函数f(x)满足2f(x)＋f＝3x，则f(x)＝ ． 4．已知函数f(＋1)＝x＋2，则f(x)的解析式为 ． 三、分段函数 角度一：分段函数求值 例4．（1）设函数f(x)＝则f(5)的值为 A．－7 B．－1 C．0 D． （2）若函数f(x)＝则f(f(－9))＝ ． 角度二：已知函数值求参数 例5．设函数f(x)＝若f(m)＝3，则实数m的值为 ． 角度三：与分段函数有关的方程、不等式问题 例6．（1）已知函数f(x)＝若实数a满足f(a)＝f(a－1)，则f＝ A．2 B．4 C．6 D．8 （2）已知函数f(x)＝则满足f(2x＋1)<f(3x－2)的实数x的取值范围是 A．(－∞，0] B．(3，＋∞) C．[1，3) D．(0，1) 规律方法： 分段函数问题的求解思路 （1）根据分段函数的解析式，求函数值的解题思路 先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值． （2）已知分段函数的函数值，求参数值的解题思路 先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，构造关于参数的方程．然后求出相应自变量的值，切记要代入检验． （3）已知分段函数的函数值满足的不等式，求自变量取值范围的解题思路 依据不同范围的不同段分类讨论求解，最后将讨论结果并起来． 变式训练： 1．已知函数f(x)＝则不等式f(x)≤1的解集为 A．(－∞，2] B．(－∞，0]∪(1，2] C．[0，2] D．(－∞，0]∪[1，2] 2．已知函数f(x)＝若f(a)＝3，则f(a－2)＝ ． 3．已知函数f(x－2)＝则f(2)＝ ． 四、分类讨论思想在分段函数中的应用 例7．设函数f(x)＝则满足f(x)＋f>1的x的取值范围是 ． 思维升华： 解决分段函数问题的关键是“对号入座”，即根据自变量取值的范围，准确确定相应的对应法则，代入相应的函数解析式，转化为一般的函数在指定区间上的问题，解完之后应注意检验自变量取值范围的应用．总之，解决分段函数的策略就是“分段函数，分段解决”，即应用分类讨论思想解决． 变式训练： 设函数f(x)＝若f(a)<1，则实数a的取值范围是 ． 1．下列所给图象是函数图象的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．函数f(x)＝＋的定义域为（ ） A．[0，2) B．(2，＋∞) C．[0，2)∪(2，＋∞) D．(－∞，2)∪(2，＋∞) 3．已知f＝2x－5，且f(a)＝6，则a等于（ ） A． B．－ C． D．－ 4．下列函数中，同一个函数的定义域与值域相同的是（ ） A．y＝ B．y＝ln x C．y＝ D．y＝ 5．已知函数f(x)＝则f(f(1))＝（ ） A．－ B．2 C．4 D．11 6．已知函数y＝f(2x－1)的定义域是[0，1]，则函数的定义域是（ ） A．[1，2] B．(－1，1] C． D．(－1，0) 7．下列函数中，不满足f(2 018x)＝2 018f(x)的是（ ） A．f(x)＝|x| B．f(x)＝x－|x| C．f(x)＝x＋2 D．f(x)＝－2x 8．设x∈R，定义符号函数sgn x＝则（ ） A．|x|＝x|sgn x| B．|x|＝xsgn|x| C．|x|＝|x|sgn x D．|x|＝xsgn x 9．若二次函数g(x)满足g(1)＝1，g(－1)＝5，且图象过原点，则g(x)＝ ． 10．已知函数f(x)＝若f(a)＋f(1)＝0，则实数a的值等于 ． 11．已知f(x)的定义域为{x|x≠0}，且3f(x)＋5f＝＋1，则函数f(x)的解析式为 ． 12．设函数f(x)＝则f(f(0))＝ ，若f(m)>1，则实数m的取值范围是 ． 13．（1）已知，求； （2）已知，求； （3）已知是一次函数，且满足，求； （4）已知满足，求． 14．已知函数． （1）去掉绝对值，写出的分段解析式； （2）画出的图象，并写出值域． 1．托马斯说：“函数概念是近代数学思想之花．”请根据函数的概念判断：下列对应是集合 ，2，到集合，2，4，的函数的是（ ） A． B． C． D． 2．已知函数，则下列哪个函数与表示同一个函数（ ） A． B． C． D． 3．已知函数的定义域是，，则的定义域为（ ） A．， B．， C．， D．， 4．已知函数的定义域为，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 5．一次函数满足，则是（ ） A． B． C． D．或 6．（多选）函数概念最早是在17世纪由德国数学家菜布尼茨提出的，后又经历了贝努利、欧拉等人的改译年法国数学家柯西给出了这样的定义：在某些变数存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着确定时，则称最初的变数叫自变量，其他的变数叫做函数．德国数学家康托尔创立的集合论使得函数的概念更严谨．后人在此基础上构建了高中教材中的函数定义：“一般地，设，是两个非空的数集，如果按某种对应法则，对于集合中的每一个元素，在集合中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应叫做从到的一个函数”．下列对应法则满足函数定义的有（ ） A． B． C． D． 7．（多选）下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（ ） A．与 B．与 C．与 D．与 8．对于集合，定义函数，对于两个集合，定义集合，用表示有限集合所含的元素个数．若，3，5，，，5，6，7，，则能使取最小值的集合的个数为 ． 9．已知函数，，若存在函数，满足：，学生甲认为函数，一定是同一函数，乙认为函数，一定不是同一函数，丙认为函数，不一定是同一函数，观点正确的学生是 ． 10．已知，则 ，其定义域为 ． 11．已知函数，分别由如表给出： 1 2 3 2 1 1 1 2 3 3 2 1 则当时， ． 12．设函数，若，则 ． 13．已知且，，2，是定义在上的一系列函数，满足：，． （1）求，的解析式； （2）若为定义在上的函数，且． ①求的解析式； ②若方程有且仅有一个实根，求实数的取值范围． 5 / 6 学科网（北京）股份有限公司 第05讲 适用区域 江苏 适用年级 高二 例1．（1）B；（2）B 例2．D 变式训练：1．C 2．[－1，2] 3． 例3．（1）f(x)＝x2－5x＋9(x∈R)；（2）f(x)＝(x∈R)． 变式训练：1．x2＋x(x∈R) 2．lg (x>1) 3．2x－(x≠0) 4．f(x)＝x2－1(x≥1) 例4．（1）D；（2）－2 例5．2 例6．（1）D；（2）B 变式训练：1．D 2．－ 3．2 例7． 变式训练：(－3，1) 1．B 2．C 3．A 4．D 5．C 6．D 7．C 8．D 9．3x2－2x 10．－3 11．f(x)＝x－＋(x≠0) 12．0　(－∞，0)∪(e，＋∞) 13．解：（1）， 或． （2）令， 则，，． （3）设， 则， ，，． （4）①，把①中的换成，得②， ①②得，． 14．解：（1）当时，， 当时，， 所以； （2）当时，为以为对称轴，开口向上的抛物线， 当时，为以为对称轴的抛物线， 所以的图象如图所示： 所以函数的值域为，． 1．C 2．D 3．C 4．C 5．D 6．BD 7．AC 8．8 9．甲 10．， 11．3 12．4或 13．解：（1）由，， 可得， ， ； （2）①利用（1）中的结论，用代替两次， 分别得到， 消去，， 可得． ②由①可得， 所以， 即， 因为，恒成立， 要使方程有且仅有一个实根， 所以只需有负根，且原方程有且只有一个负根， 则，解得． 即的取值范围是． $$