第09讲 函数的概念及其表示-2024-2025学年高一年级数学暑假讲义（江苏专用）

第09讲 函数的概念及其表示 适用学科 数学 适用年级 高一 适用区域 江苏 本讲时长 120分钟 知识点 及学习目标 1．建立完整的函数概念,体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用． 2．了解构成函数的要素,能求简单函数的定义域． 3．会正确使用函数、区间符号． 一、函数的有关概念 1．函数的有关概念 函数的定义 一般地,设A,B是       ,如果对于集合A中的       一个数x,按照某种确定的对应关系f,在集合B中都有       的数y和它对应,那么就称       为从集合A到集合B的一个函数 函数的记法        ,x∈A 定义域 x叫做自变量,x的       叫做函数的定义域 值域 函数值的集合       叫做函数的值域 2．同一个函数 如果两个函数的       相同,并且       完全一致,我们就称这两个函数是同一个函数． 二、区间的概念及表示 1．一般区间的表示 设a,b是两个实数,而且a<b,我们规定: 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间            {x|a<x<b} 开区间            {x|a≤x<b} 半开半闭区间 [a,b)   {x|a<x≤b} 半开半闭区间 (a,b]   2．特殊区间的表示 定义 区间 数轴表示 {x|x≥a} [a,+∞)   {x|x>a} (a,+∞)   {x|x≤b} (-∞,b]   {x|x<b} (-∞,b)   概念巩固：判断正误,正确的画“√”,错误的画“✕”． 某物体从高度为19．6 m的空中自由下落,物体下落的距离s(m)与所用时间t(s)的平方成正比,这个规律用数学式子可以描述为s=gt2,其中g取9．8 m/s2．判断第1~3题是否正确． 1．函数的定义域为[0,2]． (　 　) 2．函数的值域为[0,+∞)． (     　) 3．当t=1时,物体下落的距离是4．9 m． (　 　) 4．函数的定义域和值域一定是无限集合． (     　) 类型一　函数的概念及其表示 例1．函数y=f(x)的图象与直线x=a(a∈R)的交点(　　) A．至多有一个 B．至少有一个 C．有且仅有一个 D．有两个以上 例2．下列哪个函数与y=x相同(　　) A．y=()2 B．y= C．y= D．y= 例3．下列各图中,可表示函数y=f(x)的图象的是(　　) 1．下列四组函数都表示同一个函数的是(　　) A． f(x)=,g(x)=x B． f(x)=x,g(x)= C． f(x)=,g(x)=· D． f(x)=|x+1|,g(x)= 2．(多选)下列各组函数表示同一个函数的是 (　　) A． f(x)=与g(x)=x B． f(x)=x0与g(x)= C． f(x)=x2-2x-1与g(t)=t2-2t-1 D．y=·与y= 3．若集合A={0,1,3,m},B={1,4,a4,a2+3a},其中m∈N*,a∈N*, f:x→y=3x+1,x∈A,y∈B是从定义域A到值域B的一个函数,则m+a=　　　　．  类型二 函数的定义域与区间表示 例4．若周长为定值a的矩形,它的面积S是这个矩形的一边长x的函数,则这个函数的定义域是(　　) A．(a,+∞) B． C． D． 例5．已知函数f(x)的定义域为[-2,1],则函数f(3x-1)的定义域为(　　) A．(-7,2) B． C．[-7,2] D． 例6．若函数f(x)= 的定义域为M,g(x)= 的定义域为N,则M∩N=(　　) A．[-1,+∞) B． C． D． 例7．函数y=+的定义域是　　　　　．(结果写成集合或区间的形式)  例8．已知函数y=(a<0,且a为常数)在区间(-∞,1]上有意义,求实数a的取值范围． 1．函数 f(x)=的定义域为(　　) A．[3,+∞) B．[3,4)∪(4,+∞) C．(3,+∞) D．[3,4) 2．已知函数f(x-2)的定义域为[0,2],则函数f(2x-1)的定义域为(　　) A．[-2,0] B．[-1,3] C． D． 3．已知f(x)的定义域为[-2,2],且函数g(x)=,则g(x)的定义域为(　　) A． B．(-1,+∞) C．∪(0,3) D． 4．若函数f(x)=的定义域为R,则实数m的取值范围是(　　) A．[0,8) B．(8,+∞) C．(0,8) D．(-∞,0)∪(8,+∞) 类型三　函数值及函数的值域 例9．已知函数f(x)=,则f(x)的值域是(　　) A． B． C． D．(0,+∞) 例10．已知函数f(x)=ax2-1,a为正数,且f(f(-1))=-1,那么a的值是(　　) A．1 B．0 C．-1 D．2 例11．已知函数y=f(x)的图象如图所示,则该函数的值域为　　　　．   例12．已知函数f(x)=x2+x-1． (1)求f (2), f ; (2)若f (x)=5,求x的值． 1．设函数f(x)=,则当f(x)=2时,x的值为(　　) A．-4 B．4 C．-10 D．10 2．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy(x,y∈R),且f(1)=2,则f(-3)等于(　　) A．2 B．3 C．6 D．9 3．函数y=2x+的值域是(　　) A．(-∞,2] B． C． D．[2,+∞) 4．(多选)若函数y=在区间[-2,-1]上有意义,则实数a可能的取值是(　　) A．-1 B．1 C．3 D．5 5．函数y=2-的值域是　　　　．  6．已知函数f(x)=-的定义域为集合A,集合B={x|1<x<8},C={x|a<x<2a+1}． (1)求(∁RA)∩B; (2)若A∪C=A,求实数a的取值范围． 5 / 6 学科网（北京）股份有限公司 第09讲 适用学科 适用年级 新高一 一．函数的有关概念 1.函数的有关概念 函数的定义 一般地,设A,B是①　非空的实数集    ,如果对于集合A中的②　任意    一个数x,按照某种确定的对应关系f,在集合B中都有③　唯一确定    的数y和它对应,那么就称④    f:A→B    为从集合A到集合B的一个函数 函数的记法 ⑤    y=f(x)    ,x∈A 定义域 x叫做自变量,x的⑥　取值范围A    叫做函数的定义域 值域 函数值的集合⑦　{f(x)|x∈A}    叫做函数的值域 2.同一个函数 如果两个函数的⑧　定义域    相同,并且⑨　对应关系    完全一致,我们就称这两 个函数是同一个函数. 二．区间的概念及表示 1.一般区间的表示 设a,b是两个实数,而且a<b,我们规定: 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 ⑩　[a,b]       {x|a<x<b} 开区间  　(a,b)       {x|a≤x<b} 半开半闭区间 [a,b)   {x|a<x≤b} 半开半闭区间 (a,b]   2.特殊区间的表示 定义 区间 数轴表示 {x|x≥a} [a,+∞)   {x|x>a} (a,+∞)   {x|x≤b} (-∞,b]   {x|x<b} (-∞,b)   概念巩固：判断正误,正确的画“√”,错误的画“✕”． 1 (　√　) 2.  (    ✕　) 3. (　√　) 4.  (    ✕　) 类型一　函数的概念及其表示 例1 A 例2 C 例3 D 1 D 2 BC 3 7 类型二　函数的定义域与区间表示 例4 D 例5 D 例6 B 例7{x|x≤5,且x≠1} 例8 解析　要使函数y=(a<0,且a为常数)有意义,需满足ax+1≥0. 又∵a<0,∴x≤-,∴函数y=(a<0,且a为常数)的定义域为. ∵函数y=(a<0,且a为常数)在区间(-∞,1]上有意义, ∴(-∞,1]⊆, ∴-≥1,∴-1≤a<0. 故实数a的取值范围是[-1,0). 1 B 2 D 3 A 4 A 类型三　函数值及函数的值域　 例9 C 例10 A 例11 [-4,3] 例12解析　(1)f(2)=22+2-1=5, f=+-1=. (2)∵f(x)=x2+x-1=5,∴x2+x-6=0, 解得x=2或x=-3. 1 C 2C 3 B 4 AB 1[0,2] 2解析　(1)由得2≤x<6, ∴A={x|2≤x<6}. 因此∁RA={x|x<2或x≥6}, ∴(∁RA)∩B={x|x<2或x≥6}∩{x|1<x<8}={x|1<x<2或6≤x<8}. (2)∵A∪C=A,∴C⊆A. ①若C=⌀,则a≥2a+1,∴a≤-1; ②若C≠⌀,则解得2≤a≤. 综上所述,实数a的取值范围为. $$