2.4 圆周角（题型专练）数学苏科版九年级上册

2.4 圆周角 题型一 圆周角定理的应用 1．（2024·扬中市·期末）如图，点A，B，C在⊙O上，若∠BOC＝100°，则∠B+∠C的度数是（　　） A．40° B．50° C．60° D．70° 2．（2025·徐州·模拟）如图，点A、B、C、D在⊙O上，BO∥CD，∠A＝25°，则∠O＝（　　） A．120° B．130° C．100° D．125° 3．（2025·新沂市·二模）已知点A，B，C，D在⊙O上，依次连接AB，OB，OC，CD，AD．若CD∥BO，∠BOC＝30°，则∠A的度数是（　　） A．45° B．55° C．65° D．75° 4．（2025·南京·二模）如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点P．若的度数为100°，的度数为30°，则∠APC的度数为（　　） A．55° B．60° C．65° D．70° 题型二 圆周角定理的推论的应用 1．（2024·靖江市·月考）如图，AB为⊙O的直径，弦CD交AB于点E，BE＝BC．若∠CAB＝40°，则∠BAD的大小为（　　） A．45° B．50° C．55° D．65° 2．（2025·苏州·二模）如图，在⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是的中点，AC与BD交于点E．若∠DBA＝40°，则∠BAC的度数是（　　） A．40° B．30° C．15° D．10° 3．（2024·盐都区·期中）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，∠ACD＝60°，∠ADC＝40°，则∠AED的度数为（　　） A．110° B．115° C．120° D．105° 4．（2025·滨湖区·二模）如图，AB是⊙O的直径，点C、D、E都是⊙O上的点，则∠ACE+∠BDE＝（　　） A．70° B．80° C．90° D．100° 题型三 圆内接四边形的应用 1．（2024·泗阳县·月考）如图，点A，B，C，D，E在⊙O上，所对的圆心角为50°，则∠C+∠E等于（　　） A．155° B．150° C．160° D．162° 2．（2025·邗江区·模拟）如图，在6×6的网格中，圆经过格点A、B、C．若E、F是圆上任意两点，且∠EFC＝114°，则∠ACE的度数为（　　） A．66° B．67° C．68° D．69° 3．（2024·靖江市·月考）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB是⊙O的直径，若∠BEC＝20°，则∠ADC的度数为　　． 4．（2024·崇川区·期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC为⊙O的直径，AB＝AD．点E在BA的延长线上，若∠EAD＝40°，则∠B的度数为　　． 题型四 圆内接四边形的推论的应用 1．（2024·梁溪区·二模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，如果∠BOD的度数为122°，则∠DCE的度数为（　　） A．64° B．61° C．62° D．60° 2．（2023·海安市·期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若它的一个外角∠DCE＝65°，则∠BOD的度数为（　　） A．105° B．110° C．120° D．130° 3．如图，在⊙O中，点A、B、C在圆上，点D在AB的延长线上，已知∠AOC＝130°，则∠CBD＝（　　） A．68° B．65° C．50° D．70° 4．（2025·栖霞区·三模）如图，点A，B，C都在⊙O上，D在AB的延长线上．若∠CBD＝86°，则∠AOC的度数为（　　） A．94° B．104° C．162° D．172° 题型五 圆的概念或定理的综合应用——小题 1．（2025·南京·一模）如图，在⊙O中，弦AB与CD交于点E，，且的度数为的度数的一半．若∠BAC＝40°，则∠BEC的度数为（　　） A．120° B．96° C．108° D．100° 2．（2024·秦淮区·月考）如图，点A是优弧BC的中点，过点B作AC的垂线交AC于点E，与圆交于点D．若∠BDC＝60°，且AE＝3，则圆的半径为（　　） A． B．3 C． D． 3．（2024·沭阳县·月考）如图，AB是⊙O的弦，半径OD⊥AB于点C，AE为直径，AB＝8，CD＝2，则线段CE的长为（　　） A． B．8 C． D． 4．（2024·玄武区·期末）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝AC，直径CD与AB边交于点E，B是的中点．若CE＝2，则⊙O的半径为　　． 题型六 圆的概念或定理的综合应用——大题 1．（2025·灌南县·一模）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于E，连接AC，OC，BC． （1）求证：∠1＝∠2； （2）若BE＝2，CD＝6，求⊙O的半径长． 2．（2024·•姜堰区·月考）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ADC＝2∠B，点D是的中点． （1）求∠B的度数； （2）求证：四边形AOCD是菱形． 3．（2024·工业园区·期中）如图，AB是⊙O的直径，D是弦AC的延长线上一点，且CD＝AC，DB的延长线交⊙O于点E． （1）求证：CD＝CE； （2）连接AE，若∠D＝26°，求∠BAE的度数． 4．（2025·兴化市·期末）如图，在⊙O中，弦AB＝AD，点E在⊙O上． （1）如图①，若BD是⊙O的直径，求∠E的度数； （2）如图②，在弧BD上取一点C，若∠C＝α（90°＜α＜180°），请用含α的式子表示∠E的度数． 题型一 圆的概念或定理的综合应用——小题（升级版） 1．（2025·沛县·二模）如图，在正三角形ABC中，AB＝4，D，E分别是AB，AC的中点，以DE为直径作⊙F，P是边BC上的动点，连接FP，以FP为直径作半圆交⊙F于点Q，则线段PQ长的最小值是（　　） A．1 B． C． D．2 2．（2024·清江浦区·期末）如图，AB是半径为2的⊙O的弦，将弧AB沿AB将翻折后，恰好经过圆心O，点P是翻折的弧AB上的一动点；连接BP并延长交⊙O于C，点Q为PC的中点，连接OQ，则OQ的最小值为　　． 题型二 圆的概念或定理的综合应用——大题（升级版） 1．（2024·阜宁县·月考）如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD交于点E，BD平分∠ABC，∠BAC＝∠ADB． （1）求证：BD为圆的直径； （2）过点C作CF∥AD交AB的延长线于点F，若AC＝AD，BF＝2，求此圆半径的长． 2．（2024·泰兴市·月考）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC，E为BC延长线上一点，且CD平分∠ACE． （1）如图①，若∠DCE＝60°，求证：△ABD为等边三角形； （2）如图②，若AB＝10，BD＝13，求⊙O的半径． 3．（2025·南京·模拟）如图，在圆内接四边形ABCD中，AD＜AC，∠ADC＜∠BAD，延长AD至点E，使AE＝AC，延长BA至点F，连结EF，使∠AFE＝∠ADC． （1）若∠AFE＝60°，CD为直径，求∠ABD的度数． （2）求证：①EF∥BC； ②EF＝BD． 4．（2025·南通·模拟）如图1，BC是⊙O的直径，点A、D在⊙O上，连接BD、CD，DB∥OA，BC＝10，． （1）求证：AO⊥CD； （2）求BD的长； （3）如图2，连接AB，作∠CAB的角平分线交⊙O于F，求AF的长度． 题型三 定弦定角（直径+90°）——辅助圆 1．（2023·梁溪区·二模）如图，AB是⊙O的直径，AB＝4，C为的三等分点（更靠近A点），点P是⊙O上个动点，取弦AP的中点D，则线段CD的最大值为（　　） A．2 B． C． D． 2．（2025·工业园区·模拟）如图，矩形ABCD的边AB＝8，AD＝6，M为BC的中点，P是矩形内部一动点，且满足∠ADP＝∠PAB，N为边CD上的一个动点，连接PN，MN，则PN+MN的最小值为　　． 题型四 定弦定角——辅助圆 1．（2024·镇江·期中）如图，已知△ABC中，∠ABC＝45°，AB＝6，，AD∥BC，点E在射线AD上运动，连接CE，过点A，B，E三点的圆交CE于点E，则AF的最小值＝　　． 2．（2022·靖江市·期末）小明在学习了《圆周角定理及其推论》后，有这样的学习体会：在Rt△ABC中，∠C＝90°，当AB长度不变时，则点C在以AB为直径的圆上运动（不与A、B重合）． [探索发现] 小明继续探究，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB长度不变．作∠A与∠B的角平分线交于点F，小明计算后发现∠AFB的度数为定值，小明猜想点F也在一个圆上运动．请你计算∠AFB的度数，并简要说明小明猜想的圆的特征． [拓展应用] 在[探索发现]的条件下，若AB＝2，求出△AFB面积的最大值． [灵活运用] 在等边△ABC中，AB＝2，点D、点E分别在BC和AC边上，且BD＝CE，连接AD、BE交于点F，试求出△ABF周长的最大值． 题型五 对角互补——辅助圆 1．（2022·靖江市·二模）如图，AB⊥BC，AB＝5，点E、F分别是线段AB、射线BC上的动点，以EF为斜边向上作等腰Rt△DEF，∠EDF＝90°，连接AD，则AD的最小值为　　． 2．（2022·宿城区·期中）如图，BD，CE是△ABC的高，BD，CE相交于点F，M是BC的中点，⊙O是△ABC的外接圆． （1）点B，C，D，E是否在以点M为圆心的同一个圆上？请说明理由． （2）若AB＝8，CF＝6，求△ABC外接圆的半径长． 3．（2023·灌云县·模拟）阅读下列材料，并完成相应的任务． 西姆松定理是一个平面几何定理，其表述为：过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边或其延长线的垂线，则三垂足共线（此线常称为西姆松线）． 某数学兴趣小组的同学们尝试证明该定理． 如图（1），已知△ABC内接于⊙O，点P在⊙O上（不与点A，B，C重合），过点P分别作AB，BC，AC的垂线，垂足分别为点D，E，F．求证：点D，E，F在同一条直线上． 如下是他们的证明过程（不完整）： 如图（1），连接PB，PC，DE，EF，取PC的中点Q，连接QE．QF， 则EQ＝FQPC＝PQ＝CQ，（依据1） ∵点E，F，P，C四点共圆， ∴∠FCP+∠FEP＝180°．（依据2） 又∵∠ACP+∠ABP＝180°， ∴∠FEP＝∠ABP． 同上可得点B，D，P，E四点共圆， …… 任务： （1）填空： ①依据1指的是中点的定义及　　， ②依据2指的是　　． （2）请将证明过程补充完整． （3）善于思考的小虎发现当点P是的中点时，BD＝CF，请你利用图（2）证明该结论的正确性． 1．（2024·宝应县·期末）如图1，C，D是半圆ACB上的两点，点P是直径AB上一点，且满足∠APC＝∠BPD，则称∠CPD是弧CD的“幸运角”． （1）如图2，若弦CE⊥AB，D是弧BC上的一点，连接DE交AB于点P，连接CP．求证：∠CPD是弧CD的“幸运角”； （2）如图3，若直径AB＝2，弦CE⊥AB，弧CD的“幸运角”为90°，求CD的长． 2．（2025·浦口区·模拟）已知：如图点A、B为⊙O定点． 求作：优弧AB上点C使得AC﹣BC等于定长d．（保留作图痕迹，并将你的构图思维用简要文字加以说明） 3．（2024·盐城·期末）关于x的一元二次方程，如果a、b、c满足a2+b2＝c2且a≠0，那么我们把这样的方程称为“勾系一元二次方程”．请解决下列问题： （1）判断方程x2+2x+1＝0是否是“勾系一元二次方程”，并说明理由； （2）求证：关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根； （3）如图，已知AB、CD是半径为8的⊙O的两条平行弦，AB＝2a，CD＝2b，且关于x的方程是“勾系一元二次方程”，则∠BAC的度数为　　°． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.4 圆周角 题型一 圆周角定理的应用 1．（2024·扬中市·期末）如图，点A，B，C在⊙O上，若∠BOC＝100°，则∠B+∠C的度数是（　　） A．40° B．50° C．60° D．70° 【详解】解：如图，连接BC， ∵∠BOC＝100°， ∴∠OBC+∠OCB＝180°﹣100°＝80°，∠A∠BOC＝50°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝130°， ∴∠B+∠C＝（∠ABC+∠ACB）﹣（∠OBC+∠OCB）＝130°﹣80°＝50°． 故选：B． 2．（2025·徐州·模拟）如图，点A、B、C、D在⊙O上，BO∥CD，∠A＝25°，则∠O＝（　　） A．120° B．130° C．100° D．125° 【详解】解：如图，连接OC， ∵∠A＝25°， ∴∠1＝2∠A＝50°， ∵BO∥CD， ∴∠2＝∠1＝50°， ∵OC＝OD， ∴∠2＝∠3＝50°， ∵∠2+∠3+∠COD＝180°， ∴∠COD＝180°﹣∠2﹣∠3＝80°， ∴∠BOD＝∠1+∠COD＝130°． 故选：B． 3．（2025·新沂市·二模）已知点A，B，C，D在⊙O上，依次连接AB，OB，OC，CD，AD．若CD∥BO，∠BOC＝30°，则∠A的度数是（　　） A．45° B．55° C．65° D．75° 【详解】解：如图，连接OD，AC， ∵CD∥BO， ∴∠OCD＝∠BOC＝30°， ∵OC＝OD， ∴∠ODC＝∠OCD＝30°， ∴∠COD＝180°﹣30°﹣30°＝120°， ∴∠CAD∠COD＝60°， ∵∠BAC∠BOC＝15°， ∴∠BAD＝∠CAD+∠∠BAC＝75°． 故选：D． 4．（2025·南京·二模）如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点P．若的度数为100°，的度数为30°，则∠APC的度数为（　　） A．55° B．60° C．65° D．70° 【详解】解：如图，连接OA，OC，OD，OB，AD， ∵的度数为100°，的度数为30°， ∴∠AOC＝100°，∠BOD＝30°， ∴∠ADC∠AOC＝50°，∠BAD∠BOD＝15°， ∵∠APC是△ADP的一个外角， ∴∠APC＝∠ADC+∠BAD＝65°． 故选：C． 题型二 圆周角定理的推论的应用 1．（2024·靖江市·月考）如图，AB为⊙O的直径，弦CD交AB于点E，BE＝BC．若∠CAB＝40°，则∠BAD的大小为（　　） A．45° B．50° C．55° D．65° 【详解】解：∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵∠CAB＝40°， ∴∠B＝90°﹣∠CAB＝90°﹣40°＝50°， ∵BE＝BC， ∴∠BCE65°， ∴∠BAD＝∠BCE＝65°． 故选：D． 2．（2025·苏州·二模）如图，在⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是的中点，AC与BD交于点E．若∠DBA＝40°，则∠BAC的度数是（　　） A．40° B．30° C．15° D．10° 【详解】解：如图，连接AD， ∵D是的中点， ∴， ∴∠DBA＝∠DAC， ∵∠DBA＝40°， ∴∠DAC＝40°， ∵AB是直径， ∴∠D＝90°， ∴∠DAB+∠DBA＝90°， ∴∠DAB＝50°， ∴∠BAC＝∠DAB﹣∠DAC＝10°． 故选：D． 3．（2024·盐都区·期中）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，∠ACD＝60°，∠ADC＝40°，则∠AED的度数为（　　） A．110° B．115° C．120° D．105° 【详解】解：如图，连接BD， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∵∠ADC＝40°， ∴∠BDC＝50°， 又∵∠ABD＝∠ACD＝60°， ∴∠AED＝∠ABD+∠BDC＝110°． 故选：A． 4．（2025·滨湖区·二模）如图，AB是⊙O的直径，点C、D、E都是⊙O上的点，则∠ACE+∠BDE＝（　　） A．70° B．80° C．90° D．100° 【详解】解：如图，连接AD， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∵∠ADE与∠ACE是同弧所对的圆周角， ∴∠ADE＝∠ACE， ∴∠ACE+∠BDE＝∠ADB＝90°． 故选：C． 题型三 圆内接四边形的应用 1．（2024·泗阳县·月考）如图，点A，B，C，D，E在⊙O上，所对的圆心角为50°，则∠C+∠E等于（　　） A．155° B．150° C．160° D．162° 【详解】解：如图，连接AE， ∵四边形ACDE是⊙O的内接四边形， ∴∠C+∠AED＝180°， ∵所对的圆心角为50°， ∴∠AEB50°＝25°， ∴∠C+∠BED＝180°﹣∠AEB＝155°． 故选：A． 2．（2025·邗江区·模拟）如图，在6×6的网格中，圆经过格点A、B、C．若E、F是圆上任意两点，且∠EFC＝114°，则∠ACE的度数为（　　） A．66° B．67° C．68° D．69° 【详解】解：如图，连接AB， ∵AB2＝AC2＝22+22＝8，BC2＝42＝16， ∴AB2+AC2＝BC2， ∴∠BAC＝90°， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∴∠ABC＝45°， ∴∠AEC＝∠ABC＝45°， ∵四边形AEFC是圆内接四边形， ∴∠EFC+∠CAE＝180°， ∵∠EFC＝114°， ∴∠CAE＝66°， ∴∠ACE＝180°﹣∠CAE﹣∠AEC＝69°． 故选：D． 3．（2024·靖江市·月考）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB是⊙O的直径，若∠BEC＝20°，则∠ADC的度数为　　． 【详解】解：如图，连接AC， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， 由条件可知：∠CAB＝∠BEC＝20°， ∴∠ABC＝90°﹣∠BAC＝70°， ∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝110°． 故答案为：110°． 4．（2024·崇川区·期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC为⊙O的直径，AB＝AD．点E在BA的延长线上，若∠EAD＝40°，则∠B的度数为　　． 【详解】解：如图，连接OA、OD， ∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠BAD+∠BCD＝180°， ∵∠BAD+∠EAD＝180°，∠EAD＝40°， ∴∠BCD＝∠EAD＝40°， ∴∠BOD＝2∠BCD＝80°， ∵AB＝AD， ∴， ∴∠BOA＝∠DOA＝40°， ∵OA＝OB， ∴∠B（180°﹣40°）＝70°． 故答案为：70°． 题型四 圆内接四边形的推论的应用 1．（2024·梁溪区·二模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，如果∠BOD的度数为122°，则∠DCE的度数为（　　） A．64° B．61° C．62° D．60° 【详解】解：∵∠BOD的度数为122°， ∴∠ABOD＝61°， ∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠BCD＝180°﹣∠A＝119°， ∴∠DCE＝180°﹣∠BCD＝61°． 故选：B． 2．（2023·海安市·期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若它的一个外角∠DCE＝65°，则∠BOD的度数为（　　） A．105° B．110° C．120° D．130° 【详解】解：∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠A+BCD＝180°， ∵∠BCD+∠DCE＝180°， ∴∠A＝∠DCE＝65°， ∴∠BOD＝2∠A＝130°． 故选：D． 3．如图，在⊙O中，点A、B、C在圆上，点D在AB的延长线上，已知∠AOC＝130°，则∠CBD＝（　　） A．68° B．65° C．50° D．70° 【详解】解：如图，在优弧上取一点M，连接AM，CM， 则， 四边形ABCM是⊙O的内接四边形， ∴∠ABC+∠AMC＝180°， ∴∠ABC＝180°﹣∠AMC＝115°，∠CBD＝180°﹣∠ABC＝65°． 故选：B． 4．（2025·栖霞区·三模）如图，点A，B，C都在⊙O上，D在AB的延长线上．若∠CBD＝86°，则∠AOC的度数为（　　） A．94° B．104° C．162° D．172° 【详解】解：如图，延长AO交⊙O于点E，连接CE， ∵四边形AECB是⊙O的内接四边形， ∴∠ABC+∠AEC＝180°， ∵∠ABC+∠CBD＝180°， ∴∠AEC＝∠CBD＝86°， ∴∠AOC＝2∠AEC＝172°． 故选：D． 题型五 圆的概念或定理的综合应用——小题 1．（2025·南京·一模）如图，在⊙O中，弦AB与CD交于点E，，且的度数为的度数的一半．若∠BAC＝40°，则∠BEC的度数为（　　） A．120° B．96° C．108° D．100° 【详解】解：如图，连接OA，OC，OB，OD， ∵∠BAC＝40°， ∴∠BOC＝2∠BAC＝80°， ∴∠AOD+∠BOD+∠AOC＝360°﹣∠BOC＝280°， ∵， ∴∠AOD＝∠BOD， ∵的度数为的度数的一半， ∴∠AOC∠AOD， ∴∠AOD+∠AOD+∠AOD＝280°， ∴∠AOD＝112°， ∴∠ACD∠AOD＝56°， ∵∠BEC是△AEC的一个外角， ∴∠BEC＝∠ACD+∠BAC＝96°． 故选：B． 2．（2024·秦淮区·月考）如图，点A是优弧BC的中点，过点B作AC的垂线交AC于点E，与圆交于点D．若∠BDC＝60°，且AE＝3，则圆的半径为（　　） A． B．3 C． D． 【详解】解：如图，连接BC， ∴∠A＝∠D＝60°， ∵BD⊥AC， ∴∠ABE＝30°， ∴AB＝2AE＝6， ∵点A是优弧BC的中点， ∴AB＝AC， ∴AC＝2AE＝6， ∴AE＝CE， ∵∠AEB＝∠CEB＝90°，BE＝BE， ∴△ABE≌△CBE（SAS）， ∴∠ABE＝∠CBE＝30°，BC＝AB＝6， ∵∠BDC＝60°， ∴∠BCD＝90°， ∴BD是圆的直径， ∵BD＝2CD，BC2+CD2＝BD2， ∴62+CD2＝（2CD）2， ∴， ∴， ∴圆的直径为， ∴圆的半径为． 故选：A． 3．（2024·沭阳县·月考）如图，AB是⊙O的弦，半径OD⊥AB于点C，AE为直径，AB＝8，CD＝2，则线段CE的长为（　　） A． B．8 C． D． 【详解】解：如图，连接BE， ∵OD⊥弦AB，AB＝8， ∴ACAB＝4， 设⊙O的半径OA＝r， ∴OC＝OD﹣CD＝r﹣2， 在Rt△OAC中，r2＝（r﹣2）2+42，解得：r＝5， ∴AE＝2r＝10； ∵OD＝5，CD＝2， ∴OC＝3， ∵AE是直径， ∴∠ABE＝90°， ∵OC是△ABE的中位线， ∴BE＝2OC＝6， 在Rt△CBE中，CE2． 故选：D． 4．（2024·玄武区·期末）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝AC，直径CD与AB边交于点E，B是的中点．若CE＝2，则⊙O的半径为　　． 【详解】解：如图，连接OB，设⊙O的半径是R， ∵点B是弧CD的中点，CD是⊙O的直径， ∴， ∴OB⊥CD， ∵OC＝OB＝OD＝R， ∴△BOC是等腰直角三角形， ∴∠OCB＝∠OBC＝45°，∠BOC＝90°， ∴∠A∠BOC＝45°， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB（180°﹣∠A）（180°﹣45°）＝67.5°， 在△BCE中，∠CEB＝180°﹣（∠OCB+∠ABC）＝180°﹣（45°+67.5°）＝67.5°， ∴∠CEB＝∠ABC＝67.5°， ∴CB＝CE＝2， 在Rt△BOC中，OC＝OB＝R， 由勾股定理可得：BC， ∴， ∴．即⊙O的半径为． 故答案为：． 题型六 圆的概念或定理的综合应用——大题 1．（2025·灌南县·一模）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于E，连接AC，OC，BC． （1）求证：∠1＝∠2； （2）若BE＝2，CD＝6，求⊙O的半径长． 【详解】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB， ∴， ∴∠A＝∠2， 又∵OA＝OC， ∴∠1＝∠A， ∴∠1＝∠2； （2）∵AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，CD＝6， ∴∠CEO＝90°，CE＝ED＝3， 设⊙O的半径是R，EB＝2，则OE＝R﹣2， 在Rt△OEC中，R2＝（R﹣2）2+32，解得：， ∴⊙O的半径是． 2．（2024·•姜堰区·月考）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ADC＝2∠B，点D是的中点． （1）求∠B的度数； （2）求证：四边形AOCD是菱形． 【详解】（1）解：∵∠ADC＝2∠B，∠ADC+∠B＝180°， ∴∠B＝60°； （2）证明：如图，连结OD， ∵点D为的中点， ∴， ∴∠AOD＝∠COD， ∵∠B＝60°，∠AOC＝120°， ∴∠AOD＝∠COD＝60°， ∵AO＝DO＝CO， ∴△AOD，△COD为等边三角形， ∴AO＝CO＝AD＝CD， ∴四边形AOCD为菱形． 3．（2024·工业园区·期中）如图，AB是⊙O的直径，D是弦AC的延长线上一点，且CD＝AC，DB的延长线交⊙O于点E． （1）求证：CD＝CE； （2）连接AE，若∠D＝26°，求∠BAE的度数． 【详解】（1）证明：如图，连接BC， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°，即BC⊥AD， ∵CD＝AC，则BC垂直平分 AD， ∴AB＝BD， ∴∠A＝∠D， ∵∠A＝∠E， ∴∠D＝∠E， ∴CD＝CE； （2）解：如图，连接AE， ∵∠D＝26°， ∴∠BAC＝∠D＝26°， ∵∠ABE是△ABD的一个外角， ∴∠ABE＝∠BAC+∠D＝52°， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠AEB＝90°， ∴∠BAE＝90°﹣52°＝38°． 4．（2025·兴化市·期末）如图，在⊙O中，弦AB＝AD，点E在⊙O上． （1）如图①，若BD是⊙O的直径，求∠E的度数； （2）如图②，在弧BD上取一点C，若∠C＝α（90°＜α＜180°），请用含α的式子表示∠E的度数． 【详解】解：（1）∵BD是⊙O的直径， ∴∠BAD＝90°， ∵AB＝AD， ∴， ∵四边形ABDE是⊙O的内接四边形， ∴∠ABD+∠E＝180°， ∴∠E＝180°﹣∠ABD＝180°﹣45°＝135°； （2）如图，连接AC， ∵AB＝AD， ∴∠ABD＝∠ADB，， ∴∠ACB＝∠ADB，∠ACD＝∠ABD， ∴， ∴， ∵四边形ABDE是⊙O的内接四边形， ∴∠ABD+∠E＝180°， ∴， ∴． 题型一 圆的概念或定理的综合应用——小题（升级版） 1．（2025·沛县·二模）如图，在正三角形ABC中，AB＝4，D，E分别是AB，AC的中点，以DE为直径作⊙F，P是边BC上的动点，连接FP，以FP为直径作半圆交⊙F于点Q，则线段PQ长的最小值是（　　） A．1 B． C． D．2 【详解】解：∵PF是直径， ∴∠PQF＝90°， ∴PQ， ∵FQ为定值，则当PF⊥BC时，PF取得最小值，此时PQ取得最小值， 如图，过点D作DM⊥BC于点M， ∵△ABC为正三角形，AB＝4， ∴∠B＝60°，BC＝4， ∵D，E分别是AB，AC的中点， ∴DE∥BC，BD＝2，DE＝2， ∴DF＝EF＝FQ＝1， ∴DM＝2×， ∴PF的最小值为， ∴PQ的最小值为． 故选：B． 2．（2024·清江浦区·期末）如图，AB是半径为2的⊙O的弦，将弧AB沿AB将翻折后，恰好经过圆心O，点P是翻折的弧AB上的一动点；连接BP并延长交⊙O于C，点Q为PC的中点，连接OQ，则OQ的最小值为　　． 【详解】解：如图，连接OA、OB，AP，作OM⊥AB， 由翻折可知：OMAO＝1， ∴∠OAB＝∠OBA＝30°，∠AOB＝120°， ∴∠APB＝∠AOB＝120°， ∴∠APC＝60°，∠C＝60°， ∴△ACP为等边三角形，连接AQ， ∵Q为CP中点， ∴由三线合一性质可得：AQ⊥CP， ∵OM⊥AB， ∴由垂径定理可得：M为AB中点， 在Rt△AQB中，QM为斜边AB上的中线， ∴QMAM， ∵OQ≥QM﹣OM， ∴当Q、O、M三点共线时取等号，即OQ． 故答案为：． 题型二 圆的概念或定理的综合应用——大题（升级版） 1．（2024·阜宁县·月考）如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD交于点E，BD平分∠ABC，∠BAC＝∠ADB． （1）求证：BD为圆的直径； （2）过点C作CF∥AD交AB的延长线于点F，若AC＝AD，BF＝2，求此圆半径的长． 【详解】（1）证明：∵∠BAC＝∠ADB，∠BAC＝∠CDB， ∴∠CDB＝∠ADB， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD， ∵四边形ABCD是圆内接四边形， ∴∠ABC+∠ADC＝180°， ∴∠CDB+∠ADB+∠ABD+∠CBD＝180°， ∴2（∠ADB+∠ABD）＝180°，即∠ADB+∠ABD＝90°， ∴∠BAD＝90°， ∴BD为圆的直径； （2）解：∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD， ∴， ∴AD＝CD， ∵AC＝AD， ∴AC＝AD＝CD， ∴△ACD是等边三角形， ∴∠ADC＝60°， ∴∠ABC＝180°﹣∠ADC＝180°﹣60°＝120°， ∴∠CBF＝180°﹣∠ABC＝180°﹣120°＝60°， ∵CF∥AD， ∴∠BAD+∠F＝180°， ∵∠BAD＝90°， ∴∠F＝90°， ∴∠BCF＝30°， ∴BC＝2BF， ∵BF＝2， ∴BC＝4， ∵BD为直径， ∴∠BCD＝90°， ∵∠ADB＝∠CDB，∠ADC＝60°， ∴∠CDB＝30°， ∴BD＝2BC＝8， ∴圆的半径长为4． 2．（2024·泰兴市·月考）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC，E为BC延长线上一点，且CD平分∠ACE． （1）如图①，若∠DCE＝60°，求证：△ABD为等边三角形； （2）如图②，若AB＝10，BD＝13，求⊙O的半径． 【详解】（1）证明：∵CD平分∠ACE， ∴∠DCE＝∠ACD， ∵∠BAD+∠BCD＝180°，∠BCD+∠DCE＝180°， ∴∠BAD＝∠DCE＝∠ACD， ∵∠DCE＝60°， ∴∠ABD＝∠ACD＝∠DCE＝∠BAD＝60°， ∴∠ADB＝180°﹣60°×2＝60°＝∠ABD＝∠BAD， ∴AB＝AD＝BD， ∴△ABD是等边三角形； （2）解：如图，过点D作DG⊥AB于点G，连接OB，OA， 由（1）可知：∠BAD＝∠DCE＝∠ACD＝∠ABD， ∴DB＝DA， ∵AB＝10，BD＝13， ∴BG＝AG＝5， ∴DG12，DG垂直平分AB， ∵OB＝OA， ∴圆心O在AB的垂直平分线DG上， ∴OG⊥AB， 设⊙O的半径为r， ∴r2＝（12﹣r）2+52，解得：， ∴⊙O的半径为． 3．（2025·南京·模拟）如图，在圆内接四边形ABCD中，AD＜AC，∠ADC＜∠BAD，延长AD至点E，使AE＝AC，延长BA至点F，连结EF，使∠AFE＝∠ADC． （1）若∠AFE＝60°，CD为直径，求∠ABD的度数． （2）求证：①EF∥BC； ②EF＝BD． 【详解】（1）解：∵CD为直径， ∴∠CAD＝90°， ∵∠AFE＝∠ADC＝60°， ∴∠ACD＝90°﹣60°＝30°， ∴∠ABD＝∠ACD＝30°； （2）证明：①如图，延长AB， ∵四边形ABCD是圆内接四边形， ∴∠CBM＝∠ADC， 又∵∠AFE＝∠ADC， ∴∠AFE＝∠CBM， ∴EF∥BC； ②过点D作DG∥BC交⊙O于点G，连接AG，CG，DG， ∵DG∥BC， ∴， ∴BD＝CG， ∵四边形ACGD是圆内接四边形， ∴∠GDE＝∠ACG， ∵EF∥DG， ∴∠DEF＝∠GDE， ∴∠DEF＝∠ACG， ∵∠AFE＝∠ADC，∠ADC＝∠AGC， ∴∠AFE＝∠AGC， ∵AE＝AC， ∴△AEF≌△ACG（AAS）， ∴EF＝CG， ∴EF＝BD． 4．（2025·南通·模拟）如图1，BC是⊙O的直径，点A、D在⊙O上，连接BD、CD，DB∥OA，BC＝10，． （1）求证：AO⊥CD； （2）求BD的长； （3）如图2，连接AB，作∠CAB的角平分线交⊙O于F，求AF的长度． 【详解】（1）证明：∵BC是⊙O的直径， ∴∠D＝90°， ∵OA∥BD， ∴∠CEO＝∠D＝90°， ∴AO⊥CD； （2）解：如图1，连接AB，作AH⊥BC于H，OM⊥BD于M，则BM＝DM， ∵BC为⊙O的直径， ∴∠CAB＝90°， ∴AB4， ∵AH•BCAC•AB， ∴AH4， 在Rt△OAH中，OH3， ∵OA∥BD， ∴∠AOH＝∠EBO， 在△AOH和△OBM中， ， ∴△AOH≌△OBM（ASA）， ∴BM＝OH＝3， ∴BD＝2BM＝6； （3）解：如图2，作CG⊥AF于G，连接CF、BF， ∵AF平分∠CAB， ∴∠CAF＝∠BAF＝45°， ∴CF＝BF， ∴△CBF为等腰直角三角形， ∴CFBC＝5， 在Rt△ACG中，CG＝AGAC， 在Rt△GFC中，GF2， ∴AF＝AG+GF23． 题型三 定弦定角（直径+90°）——辅助圆 1．（2023·梁溪区·二模）如图，AB是⊙O的直径，AB＝4，C为的三等分点（更靠近A点），点P是⊙O上个动点，取弦AP的中点D，则线段CD的最大值为（　　） A．2 B． C． D． 【详解】解：如图，连接OD，OC， ∵AD＝DP， ∴OD⊥PA， ∴∠ADO＝90°， ∴点D的运动轨迹为以AO为直径的⊙K，连接CK，AC， 当点D在CK的延长线上时，CD的值最大， ∵C为的三等分点， ∴∠AOC＝60°， ∴△AOC是等边三角形， ∴CK⊥OA， 在Rt△OCK中，∵∠COA＝60°，OC＝2，OK＝1， ∴CK， ∵DKOA＝1， ∴CD1， ∴CD的最大值为1． 故选：D． 2．（2025·工业园区·模拟）如图，矩形ABCD的边AB＝8，AD＝6，M为BC的中点，P是矩形内部一动点，且满足∠ADP＝∠PAB，N为边CD上的一个动点，连接PN，MN，则PN+MN的最小值为　　． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD＝90°， ∵∠ADP＝∠PAB， ∴∠ADP+∠PAD＝∠PAB+∠PAD＝∠BAD＝90°， ∴点P的运动路线为以AD为直径的圆， 如图，作以AD为直径的⊙O，作点M关于直线DC的对称点M′， 连接OM，连接OM′交⊙O于点P′，连接M′N，OP， 则OP＝OP′＝3，M′N＝MN， ∴PN+MN＝PN+M′N＝PN+M′N+OP﹣OP′≥OM′﹣OP′＝OM′﹣3， ∴PN+MN的最小值为OM′﹣3， ∵四边形ABCD是矩形，点O是AD的中点，点M为BC的中点， ∴ODADBC＝CM＝3，OD∥CM，∠ODC＝90°， ∴四边形OMCD是矩形， ∴OM＝DC＝AB＝8， ∵点M关于直线DC的对称点M′， ∴M′M＝2MC＝6， 在Rt△M′OM中，由勾股定理可得：OM′， ∴PN+MN的最小值为OM′﹣3＝10﹣3＝7． 故答案为：7． 题型四 定弦定角——辅助圆 1．（2024·镇江·期中）如图，已知△ABC中，∠ABC＝45°，AB＝6，，AD∥BC，点E在射线AD上运动，连接CE，过点A，B，E三点的圆交CE于点E，则AF的最小值＝　　． 【详解】解：如图，连接BF， ∵AD∥BC， ∴∠BAD＝∠ABC＝45°， ∵， ∴∠BFE＝∠BAD＝45°， ∴∠BFC＝135°， ∴点F在以BC为弦的圆O上运动， 当A、F、O三点共线时，即F运动到F'位置时，AF'＝OA﹣OF'最小， ∵∠BFC＝135°， ∴∠BOC＝90°， ∵OB＝OC， ∴∠OBC＝∠OCB＝45°， ∴∠ABO＝∠ABC+∠OBC＝90°，OB8， ∵AB＝6， ∴OA10， ∴AF'＝OA﹣OF'＝2，即AF最小值为2． 故答案为：2． 2．（2022·靖江市·期末）小明在学习了《圆周角定理及其推论》后，有这样的学习体会：在Rt△ABC中，∠C＝90°，当AB长度不变时，则点C在以AB为直径的圆上运动（不与A、B重合）． [探索发现] 小明继续探究，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB长度不变．作∠A与∠B的角平分线交于点F，小明计算后发现∠AFB的度数为定值，小明猜想点F也在一个圆上运动．请你计算∠AFB的度数，并简要说明小明猜想的圆的特征． [拓展应用] 在[探索发现]的条件下，若AB＝2，求出△AFB面积的最大值． [灵活运用] 在等边△ABC中，AB＝2，点D、点E分别在BC和AC边上，且BD＝CE，连接AD、BE交于点F，试求出△ABF周长的最大值． 【详解】解：[探索发现]∵∠ACB＝90°， ∴∠CAB+∠CBA＝90°， ∵AF是∠CAB的平分线，BF是∠CBA的平分线， ∴∠FAB+∠FBA＝45°， ∴∠AFB＝135°， ∴F点在以AB为定弦，∠AFB为定角的圆上； [拓展应用]设F点在圆O上，连接OA、OB， ∵∠AOB＝90°， ∵∠ACB+∠AOB＝180°， ∴O与C点共圆， 如图，过点F作FH⊥AB交于点H，设AB的中点为D， 当H点与D点重合时，FH的长度最大，此时△FBA的面积最大， ∵FH⊥AB，D是AB的中点， ∴FA＝FB， ∵∠AFB＝135°， ∴∠FAB＝∠FBA＝22.5°， ∴∠CAB＝∠CBA＝45°， ∴△ABC是等腰直角三角形， 如图，连接CF，则C、F、D三点共线， 过点F作FP⊥AC交于点P， ∴FP＝FD，AP＝AD， ∵AB＝2， ∴AC，AD＝AP， ∴CP， ∵∠FCP＝45°， ∴CFCP＝2， ∴FD（2）， ∴△AFB的面积2（）＝33， ∴△AFB面积的最大值为33； [灵活运用]∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC，∠ACB＝∠ABC＝60°， ∵BD＝CE， ∴△ABD≌△BCE（SAS）， ∴∠CBE＝∠BAD， ∴∠AFE＝∠ABF+∠BAF＝∠ABF+∠CBE＝∠ABC＝60°， ∴∠AFB＝120°， ∵AB＝2， ∴F点在以AB为定弦，∠AFB为定角的圆上， 设△ABF的外接圆为O，当△ABF的高经过圆心O时，三角形的高最大，此时△ABF的周长有最大值， 如图，连接AO、BO， ∵∠AFB＝120°， ∴∠AOB＝120°， ∵OA＝BO， ∴∠OAB＝30°， ∵AB＝2， ∴AH， 在Rt△AOH中，OH＝AH•tan30°＝1，OA＝2OH＝2， ∴HF＝OF﹣OH＝1， ∴AF＝BF＝2， ∴△ABF周长的最大值为4+2． 题型五 对角互补——辅助圆 1．（2022·靖江市·二模）如图，AB⊥BC，AB＝5，点E、F分别是线段AB、射线BC上的动点，以EF为斜边向上作等腰Rt△DEF，∠EDF＝90°，连接AD，则AD的最小值为　　． 【详解】解：如图，连接BD并延长， ∵AB⊥BC， ∴∠ABC＝90°，∠EDF＝90°， ∴∠ABC+∠EDF＝180°， ∴B，E，D，F四点共圆， ∵△DEF为等腰直角三角形， ∴∠DEF＝∠DFE＝45°， ∴∠DBF＝∠DEF＝45°， ∴∠DBF＝∠DBE＝45°， ∴点D的轨迹为∠ABC的平分线上， ∵垂线段最短， ∴当AD⊥BD时，AD取最小值， ∴AD的最小值为AB． 故答案为：． 2．（2022·宿城区·期中）如图，BD，CE是△ABC的高，BD，CE相交于点F，M是BC的中点，⊙O是△ABC的外接圆． （1）点B，C，D，E是否在以点M为圆心的同一个圆上？请说明理由． （2）若AB＝8，CF＝6，求△ABC外接圆的半径长． 【详解】解：（1）点B，C，D，E在以点M为圆心的同一个圆上，理由如下： 如图，连接EM，DM， ∵BD⊥AC，CE⊥AB， ∴∠BDC＝∠BEC＝90°， ∵M是BC的中点， ∴EM＝BMBC，DM＝CMBC， ∴EM＝BM＝DM＝CM， ∴点B，C，D，E在以点M为圆心的同一个圆上； （2）如图，连接AF并延长交BC于点G，连接BO并延长交⊙O于点H，连接AH，CH， ∵BD，CE是△ABC的高，BD，CE相交于点F， ∴AG⊥BC， ∵BH是⊙O的直径， ∴∠BAH＝∠BCH＝90°， ∴BA⊥AH，BC⊥CH， ∴AG∥CH， ∵CE⊥AB， ∴AH∥CE， ∴四边形AFCH是平行四边形， ∴CF＝AH＝6， 在Rt△BAH中，AB＝8， ∴BH10， ∴△ABC外接圆的半径长为5． 3．（2023·灌云县·模拟）阅读下列材料，并完成相应的任务． 西姆松定理是一个平面几何定理，其表述为：过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边或其延长线的垂线，则三垂足共线（此线常称为西姆松线）． 某数学兴趣小组的同学们尝试证明该定理． 如图（1），已知△ABC内接于⊙O，点P在⊙O上（不与点A，B，C重合），过点P分别作AB，BC，AC的垂线，垂足分别为点D，E，F．求证：点D，E，F在同一条直线上． 如下是他们的证明过程（不完整）： 如图（1），连接PB，PC，DE，EF，取PC的中点Q，连接QE．QF， 则EQ＝FQPC＝PQ＝CQ，（依据1） ∵点E，F，P，C四点共圆， ∴∠FCP+∠FEP＝180°．（依据2） 又∵∠ACP+∠ABP＝180°， ∴∠FEP＝∠ABP． 同上可得点B，D，P，E四点共圆， …… 任务： （1）填空： ①依据1指的是中点的定义及　　， ②依据2指的是　　． （2）请将证明过程补充完整． （3）善于思考的小虎发现当点P是的中点时，BD＝CF，请你利用图（2）证明该结论的正确性． 【详解】（1）解：①依据1指的是中点的定义及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半， ②依据2指的是圆内接四边形对角互补， 故答案为：①直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，②圆内接四边形对角互补； （2）解：如图（1），连接PB，PC，DE，EF，取PC的中点Q，连接QE、QF， 则EQ＝FQPC＝PQ＝CQ， ∴点E，F，P，C四点共圆， ∴∠FCP+∠FEP＝180°， 又∵∠ACP+∠ABP＝180°， ∴∠FEP＝∠ABP， 同上可得：点B，D，P，E四点共圆， ∴∠DBP＝∠DEP， ∵∠ABP+∠DBP＝180°， ∴∠FEP+∠DEP＝180°， ∴点D，E，F在同一直线上； （3）证明：如图，连接PA，PB，PC， ∵点P是的中点， ∴， ∴BP＝PC，∠PAD＝∠PAC， 又∵PD⊥AD，PF⊥AC， ∴PD＝PF， ∴Rt△PBD≌Rt△PCF（HL）， ∴BD＝CF． 1．（2024·宝应县·期末）如图1，C，D是半圆ACB上的两点，点P是直径AB上一点，且满足∠APC＝∠BPD，则称∠CPD是弧CD的“幸运角”． （1）如图2，若弦CE⊥AB，D是弧BC上的一点，连接DE交AB于点P，连接CP．求证：∠CPD是弧CD的“幸运角”； （2）如图3，若直径AB＝2，弦CE⊥AB，弧CD的“幸运角”为90°，求CD的长． 【详解】解：（1）∵AB是直径，CE⊥AB， ∴AB平分CE， ∴△CEP是等腰三角形， ∵CE⊥AB， ∴∠CPA＝∠EPA， ∵∠EPA＝∠BPD， ∴∠CPA＝∠BPD， ∴∠CPD是弧CD的“幸运角”； （2）如图，连接OC，OD， ∵弧CD的“幸运角”为90°， ∴∠CPD＝90°， ∴， ∵CE⊥AB， ∴∠CED＝90°﹣45°＝45°， ∴∠COD＝2∠CED＝90°， ∵AB＝2， ∴， ∴． 2．（2025·浦口区·模拟）已知：如图点A、B为⊙O定点． 求作：优弧AB上点C使得AC﹣BC等于定长d．（保留作图痕迹，并将你的构图思维用简要文字加以说明） 【详解】解：如图，作AB的垂直平分线OD交于点D，以点D为圆心AD为半径作⊙D交OD于点F，以点A为圆心d为半径作⊙A，⊙A与⊙D交于点E，连接AE并延长交⊙O于点C，根据轴对称的性质，同理在另一侧得到点C′，点C和C′即为所求， 思路：由于AE＝d，构造CE＝BC，在等腰△CBE中， ∠AEB＝180°﹣∠CEB＝180°﹣（）＝180°∠AFB， 由于∠AFB＝∠AFD+∠BFD＝2∠AFD，180°180°﹣∠ADO＝∠FAD+∠AFD， 则∠FAD＝∠AFD，AD＝DF＝DB， 由于∠C为定角，则∠AEB也为定角，点E的轨迹为以点D为圆心，AD为半径的圆， 因点E又在以点A为圆心d为半径的圆上， 故两圆交点即为点E，连接AE并延长，即可找到点C． 3．（2024·盐城·期末）关于x的一元二次方程，如果a、b、c满足a2+b2＝c2且a≠0，那么我们把这样的方程称为“勾系一元二次方程”．请解决下列问题： （1）判断方程x2+2x+1＝0是否是“勾系一元二次方程”，并说明理由； （2）求证：关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根； （3）如图，已知AB、CD是半径为8的⊙O的两条平行弦，AB＝2a，CD＝2b，且关于x的方程是“勾系一元二次方程”，则∠BAC的度数为　　°． 【详解】解：（1）方程x2+2x+1＝0是“勾系一元二次方程”，理由如下： 由题意可知：， 满足且1≠0， ∴方程x2+2x+1＝0是“勾系一元二次方程”； （2）证明：∵是“勾系一元二次方程”， ∴a2+b2＝c2， ∵， ∴必有实数根； （3）连接OC，OB，作OE⊥CD于E，EO的延长线交AB于F． ∵关于x的方程是“勾系一元二次方程”， ∴a2+b2＝82， ∵AB∥CD，OE⊥CD， ∴OF⊥AB， ∴∠OEC＝∠OFB＝90°， ∴CE2+OE2＝OC2，OF2+BF2＝OB2，DE＝EC＝b，BF＝AF＝a， ∵OD＝OB＝8， ∴，， ∴CE＝OF，OE＝BF， ∴△OEC≌△BFO（SSS）， ∴∠EOC＝∠OBF， ∵∠OBF+∠BOF＝90°， ∴∠EOC+∠BOF＝90°， ∴∠COB＝90°， ∴， 故答案为：45． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$