专题02 反比例函数四种综合问题（高效培优专项训练）数学沪科版九年级上册

专题02 反比例函数四种综合问题 题型一：反比例函数k的几何意义 题型二：实际问题与反比例函数 题型三：一次函数与反比例函数综合应用 题型四：反比例函数与二次函数综合应用 题型一：反比例函数k的几何意义 1．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，的顶点分别在坐标轴和反比例函数的图象上，并且的面积为6，则k的值为（   ） A．6 B． C．3 D． 2．（24-25九年级上·安徽马鞍山·期末）如图，是反比例函数和在第一象限的图象，直线轴，并分别交两条双曲线于A、B两点，若，则的值是（   ） A．9 B．6 C．3 D．12 3．（24-25九年级上·安徽淮北·期中）如图，已知函数的图象经过直角三角形的斜边的中点，且与直角边相交于点．若的坐标为，则的面积为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 4．（2025·安徽马鞍山·三模）如图，第一象限内点A，B分别在反比例函数和的图象上，分别过A，B两点向x轴，y轴作垂线，围成的阴影部分的面积为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 5．（24-25九年级上·安徽马鞍山·期中）如图，点在双曲线上，点在双曲线上，轴，点是轴上一点，连接、，若的面积是4，则的值（    ） A． B．7 C． D． 6．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，A是双曲线上的一点，点C是的中点，过点C作y轴的垂线，垂足为D，交双曲线于点B，且的面积是3，则（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 7．（24-25九年级上·安徽淮北·期末）如图在平面直角坐标系中，点、点在反比例函数的图象上．过点作．轴于点，点作轴于点，若，且的面积为12，则的值是（   ） A．12 B．16 C．18 D．24 8．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，点为坐标原点，点在轴正半轴上，点在双曲线上，且，若的面积为12，则的值为（   ） A．24 B．12 C．6 D．3 9．（2025·安徽淮北·三模）如图，点A，B在反比例函数的图象上，点A，B的横坐标分别是3和6，连接，则的面积是（   ） A． B．4 C． D．5 10．（24-25九年级上·安徽宣城·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，反比例函数和的图像分别经过的两个顶点，，的另外两个顶点，均在轴的正半轴上，若的面积等于9，则的值为 ． 11．（2024·安徽合肥·一模）如图，A，B是反比例函数图象上的两点，过点A作轴，垂足为C，交于点D．若D为的中点，则的面积为 ． 12．（2024·安徽淮南·三模）如图是反比例函数和在第一象限的图象，直线轴，并分别交两条曲线于两点，点在轴上，则 ． 13．（24-25九年级上·安徽六安·阶段练习）如图，的顶点在双曲线上，顶点在双曲线上，的中点恰好落在轴上，已知，则的值为 ． 14．（24-25九年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点A，B在反比例函数的图象上，过点作轴于点，过点作轴于点，若，且的面积为20，则的值是 ． 15．（24-25九年级上·安徽亳州·期末）如图，和都是等腰直角三角形，，反比例函数在第一象限的图象经过点，若与的面积之差为5．则的值为 ． 16．（24-25九年级上·安徽安庆·期末）如图，点A在函数图象上，点B、C在反比例函数（）的图象上，轴，轴． （1）若点A的坐标为且，连接，则 ； （2）若点A是函数图象上的任意一点，阴影部分的面积为4，则 ． 17．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，四边形和四边形都是正方形，且面积分别是和，点，，都在轴上，点在边上，第二象限的点是反比例函数图象上一点，反比例函数的图象同时经过点，． （1）的值为 ； （2）的值为 ． 18．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，反比例函数的图象与矩形在第一家限相交于题图点，，，连接．记的面积分别为． （1）比较大小： （填“”、“”、“”）； （2）若，则的面积为 ． 题型二：实际问题与反比例函数 19．（2024·安徽六安·模拟预测）力F作用于物体，产生的压强P与物体受力面积S之间满足关系式，当F一定时，根据表格可以判断a和b的大小关系为（    ） 5 20 30 40 60 800 ■ a ■ b A． B． C． D． 20．（24-25九年级上·安徽六安·阶段练习）验光师检测发现近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，y关于x的函数图象如图所示．经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由0.25米调整到0.5米，则近视眼镜的度数减少了（   ）度． A．150 B．200 C．250 D．300 21．（24-25九年级上·安徽阜阳·期末）物理兴趣小组在实验室研究电学时设计了一个电路，其电路图如图1所示．闭合开关后，经测试，发现电流（单位：A）随着电阻（单位：）的变化而变化，并结合数据描点、连线，画成如图2所示的函数图象．若该电路的最小电阻为，则该电路的（    ） A．最小电流是6A B．最大电流是9A C．最大电流是6A D．最小电流是9A 22．（23-24九年级上·安徽宿州·阶段练习）在物理学相关知识，在简单电路中，闭合开关，当导体两端电压U（单位：V）一定时，通过导体的电流I（单位：A）与导体的电阻R（单位：）满足反比例函数关系，它们的图象如图所示．当时，． (1)求电流I关于电阻R的函数关系式； (2)当时，求电阻R的值． 23．（23-24九年级上·安徽芜湖·期末）如图，某人对地面的压强p（单位：）与这个人和地面接触面积S（单位：）满足反比例函数关系． (1)图象上点A坐标为，求函数解析式； (2)如果此人所穿的每只鞋与地面的接触面积大约为，那么此人双脚站立时对地面的压强有多大？ (3)如果某沼泽地面能承受的最大压强为，那么此人应站立在面积至少多大的木板上才不至于下陷（木板的质量忽略不计）？ 24．（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图1是一盏亮度可调节的台灯，通过调节总电阻R来控制电流I实现灯光亮度的变化，电流与电阻之间的函数关系如图2所示． (1)求I与R之间的函数表达式； (2)求时，对应的R的取值范围． 25．（24-25九年级上·安徽六安·阶段练习）验光师通过检测发现近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例，关于的函数图象如图所示．经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由米调整到米，求近视眼镜的度数减少了多少度． 26．（23-24九年级上·安徽·阶段练习）国家质量监督检验检疫局发布的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验》中规定的酒驾检测判定标准为：饮酒驾驶：驾驶员血液中酒精含量； 醉酒驾驶：驾驶员血液中酒精含量． 根据相关实验数据显示，一般情况下，成人喝低度白酒后，小时内其血液中酒精含量（毫克/百毫升）与时间（时）成正比例；小时后（包括小时）与成反比例．根据图中提供的信息，解答下列问题： (1)写出一般情况下，成人喝低度白酒后，与之间的函数关系式及相应的自变量取值范围； (2)假设某驾驶员晚上在家喝完低度白酒，第二天早上能否驾车去上班？请说明理由． 27．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）学校下午放学时校门口的“堵塞”情况已成为社会热点问题，某校对本校下午放学校门口“堵塞”情况做了一个调查发现：每天放学时间2分钟后校门外学生流量变化大致可以用“拥挤指数”（）与放学后时间（分钟）的函数关系描述．如图，2～12分钟呈二次函数状态，且在第12分钟达到该函数最大值100，此后变化大致为反比例函数的图象趋势．若“拥挤指数”，校门外呈现“拥挤状态”，需要护学岗执勤人员维护秩序、疏导交通． (1)求该二次函数的解析式和k的值； (2)“拥挤状态”持续的时间是否超过15分钟？请说明理由． 28．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）为检测一种玩具气球的质量情况，需往气球里充满一定量的气体，当温度不变时，气球里的气体的压强是气体体积的反比例函数，其图象如图所示． (1)求反比例函数的表达式；（不用写自变量取值范围） (2)若气球内气体的压强不能超过，为安全起见，则其体积要控制在什么范围? 29．（24-25九年级上·安徽亳州·阶段练习）图中有一面墙（可利用的最大长度为），现打算用栅栏沿墙围成一个面积为的长方形花圃．设花圃与墙平行的一边栅栏长，与墙垂直的一边栅栏长为． (1)求关于的函数表达式，并指出自变量的取值范围； (2)若栅栏总长度为122米，求的长； (3)若想使花圃是与墙垂直的一边的7.5倍，则花圃需要栅栏多少米？ 30．（24-25九年级上·安徽阜阳·阶段练习）某工程队修建一条村村通公路，所需天数（单位：天）与每天修建该公路长度（单位：米）是反比例函数关系，已知该函数关系的图象经过点，如图．    (1)求与之间的函数表达式（不用写出自变量的取值范围）； (2)其它条件不变，求该工程队每天修建该公路30米要比每天修建24米提前多少天完成此项工程? 31．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标数随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标数y随时间x（分钟）变化的函数图象如图所示，当和时，图象是线段：当时，图象是双曲线的一部分，根据函数图象回答下列问题： (1)求注意力指标数y随时间x（分钟）的函数表达式； (2)已知为了让学生在听数学综合题讲解时能完全理解和接受，注意力指标不低于30，而张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要8分钟，则这节课张老师至多能讲解几道数学综合题能让学生完全理解和接受． 32．（24-25九年级上·安徽亳州·阶段练习）某超市在十二月份销售一种商品，根据统计结果发现该商品的日销售量（件）与时间第天之间的函数关系如图，当时，日销售量（件）与时间第天满足一次函数关系，当时，日销售量（件）与时间第天满足反比例函数关系． (1)求与之间的函数表达式； (2)求该超市的日销售量不低于20件的天数． 33．（24-25九年级上·安徽芜湖·期末）综合与实践 某校“无穷大”社团利用物理中的杠杆原理研究反比例函数．如图，他们制作了一个特殊的天平，其中是一根质地均匀的木杆，支点为中点，两个托盘可沿木杆左右移动，、分别表示左、右托盘离支点的距离． 该社团成员通过改变托盘内砝码质量和托盘与支点的距离，并将平衡时的数据记录如下： 左托盘砝码质量/ 右托盘砝码质量/ ... ... 任务：根据实验数据：__________，__________． 任务：以左托盘砝码质量为横坐标，左托盘距离支点的距离的值为纵坐标，在方格内描出上表中的数对为坐标的各点，并用平滑的曲线顺次连接这些点，根据图像回答下列问题： 这条曲线是反比例函数图象的一支吗？如果是，请写出函数解析式（不标注自变量取值范围），如不是，请说明理由； 若左托盘距离支点的距离可变化的范围为：，求左托盘内砝码质量的变化范围． 任务：某成员希望在的情况下称取食盐．他先将砝码放在左托盘，取出一些食盐放在右托盘使天平平衡；然后将砝码放在右托盘，再取出一些食盐放在左边托盘使天平平衡．该成员得出结论：两次称得的食盐的总质量是．该成员的结论是否正确？请判断并说明理由．（参考公式：当，时，，当且仅当时，等号成立） 题型三：一次函数与反比例函数综合应用 34．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴交于A，B两点，且与反比例函数的图象交于点C，D，则的面积为 ． 35．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）如图，已知反比例函数与一次函数的图象交于点、，且，则的值为 ． 36．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点A作轴，交反比例函数的图象于点C，过点C作轴于点D，与直线交于点E．    （1）若，，则 ； （2）若，则b与k的数量关系是 ． 37．（24-25九年级上·安徽宣城·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别是反比例函数、一次函数的交点，已知．在线段上取一点C，过C点作直线l 平行x轴，交反比例函数于点D，连接、． （1） ； （2）记的面积为，则最大值为 ． 38．（24-25九年级上·安徽宿州·阶段练习）如图，正方形的顶点在轴的正半轴上，反比例函数在第一象限的图象经过点和边上的点，过点的直线交轴于点，交y轴于点， 则（1） （2）点的坐标是 ． 39．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，点反比例函数的图象经过，两点，连接，，过点B作轴，交于点，若为的中点，且点坐标为． (1)求的值； (2)连接并延长，交轴于点，求点的坐标； (3)连接，求的面积． 40．（24-25九年级上·安徽阜阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象和反比例函数的图象交于点． (1)求反比例函数的解析式． (2)观察图象，直接写出当时，自变量的取值范围． (3)把函数的图象沿轴向上平移，使平移后的直线与轴交于点，与反比例函数的图象在第一象限内交于点，连接，求的面积． 41．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）如图，已知一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数的图象交于点和两点． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)根据图象，求出使反比例函数的值大于一次函数的值的的取值范围； (3)点在反比例函数（）的图象上，若，求点的坐标． 42．（23-24九年级上·安徽滁州·期中）如图，直线与双曲线相交于点，两点，点纵坐标为． (1)求双曲线及直线对应的函数表达式； (2)点在轴上，连接，当的面积为时，求的值； (3)请直接写出关于的不等式的解集． 43．（23-24九年级上·安徽阜阳·期末）如图，已知反比例函数的图象与直线相交于，两点． (1)求反比例函数与一次函数的解析式； (2)求△AOB的面积； (3)直接写出当时，对应的x的取值范围． 44．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，已知一次函数与反比函数的图象在第一、三象限分别交于、两点，连接、． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)求的面积； (3)直接写出时，x的取值范围． 45．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，点A的横坐标是2，点B的纵坐标是．    (1)求反比例函数的表达式； (2)根据图象写出x取何值时，； (3)求的面积． 46．（24-25九年级上·安徽淮北·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于、两点，与轴相交于点，已知点的坐标为． (1)求反比例函数的解析式； (2)点为反比例函数图象上任意一点，若，求点的坐标； (3)直接写出不等式的解集． 47．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和． (1)填空：一次函数的解析式________，反比例函数的解析式________． (2)由图像写出满足的自变量x的取值范围； (3)点P是线段上一点，过点作轴于点，连接，若的面积为，求的取值范围． 48．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，已知一次函数（k，b是常数且）的图象与双曲线（n是常数且）交于两点，与x轴交于点C． (1)求m，n，k，b的值； (2)求的面积； (3)直接写出不等式组的解集：__________． 49．（2024·安徽六安·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点和点B，与x轴交于点D． (1)________，________，B点坐标为________； (2)根据函数图象直接写出时x的取值范围； (3)P是x轴上一点，且满足的面积等于5，求点P坐标． 50．（24-25九年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，已知一次函数与反比函数的图象在第一、三象限分别交于点，，连接，． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)求的面积； (3)直接写出时，x的取值范围． 51．（24-25九年级上·安徽亳州·自主招生）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于A，B两点，点A的坐标为，点B的坐标为． (1)求反比例函数与一次函数的表达式． (2)当时，请直接写出x的取值范围：_______． (3)点E为y轴上一个动点，若，求点E的坐标． 题型四：反比例函数与二次函数综合应用 52．（2025·安徽合肥·三模）已知反比例函数的图象如图所示，则二次函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 53．（23-24九年级上·安徽合肥·阶段练习）二次函数的图象如图，则函数与函数的图象可能是（       ） A． B． C． D． 54．（23-24九年级上·安徽阜阳·期中）反比例函数与二次函数在同一坐标轴中的图象大致是（    ） A． B． C． D． 55．（2025·安徽六安·二模）在同一坐标系中，函数与的图象大致为（   ） A．B．C． D． 56．（2025·安徽蚌埠·三模）如图是直线 （，，是常数且，，），则二次函数 和反比例函数 在同一平面直角坐标系中的大致图象可能为（    ） A．B． C． D． 57．（2025·安徽阜阳·三模）一次函数与反比例函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 58．（2025·安徽合肥·三模）二次函数与反比例函数（是常数，且）在同一平面直角坐标系中的大致图象是（　　） A． B． C． D． 59.如图，点是抛物线l：和双曲线的一个交点，且位于直线的右侧：抛物线l与x轴交于点B，C，（B在C的左侧）与y轴交于点F．    (1)当时，求a和k的值； (2)若点B在x轴的负半轴上，试确定k的取值范围； (3)的面积为4，且，求k的值； (4)直接写出k的值，使O，F两点间的距离为1． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 反比例函数四种综合问题 题型一：反比例函数k的几何意义 题型二：实际问题与反比例函数 题型三：一次函数与反比例函数综合应用 题型四：反比例函数与二次函数综合应用 题型一：反比例函数k的几何意义 1．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，的顶点分别在坐标轴和反比例函数的图象上，并且的面积为6，则k的值为（   ） A．6 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了反比例函数k值的意义，过点C作轴于点E，证明四边形为矩形，得出，求出结果即可． 【详解】解：过点C作轴于点E，如图所示： 则， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∵反比例函数图象在第一象限， ∴． 故选：A． 2．（24-25九年级上·安徽马鞍山·期末）如图，是反比例函数和在第一象限的图象，直线轴，并分别交两条双曲线于A、B两点，若，则的值是（   ） A．9 B．6 C．3 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义，解答时注意观察图中三角形面积关系以构造方程．应用反比例函数比例系数k的几何意义，表示、的面积，利用构造方程即可． 【详解】解：由反比例函数比例系数k的几何意义可知，，， ∵， ∴， ∴； 故选：B． 3．（24-25九年级上·安徽淮北·期中）如图，已知函数的图象经过直角三角形的斜边的中点，且与直角边相交于点．若的坐标为，则的面积为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数系数k值的几何意义，熟练掌握反比例函数系数k值的几何意义是关键．根据中点求出点D坐标，得到反比例函数解析式，根据k值的几何意义解答即可． 【详解】解：∵D是的中点，且的坐标为， ∴， ∵点D在反比例函数图象上， ∴， ∴反比例函数解析式为， ∴， 故选：C． 4．（2025·安徽马鞍山·三模）如图，第一象限内点A，B分别在反比例函数和的图象上，分别过A，B两点向x轴，y轴作垂线，围成的阴影部分的面积为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义；点A、B分别在反比例函数和图象上，利用反比例函数比例系数的几何意义，表示出，，由阴影部分的面积，由此解出k即可． 【详解】解：如图所示： 点A、B分别在反比例函数和图象上，且轴，轴， 四边形和为矩形， 根据反比例函数比例系数的几何意义，得： ，， 则阴影部分的面积为， 故选：B． 5．（24-25九年级上·安徽马鞍山·期中）如图，点在双曲线上，点在双曲线上，轴，点是轴上一点，连接、，若的面积是4，则的值（    ） A． B．7 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，反比例函数的图象，连接，设与轴交点为，得到，再利用反比例函数系数的几何意义，得到，，然后根据列方程求出的值，再结合函数图象即可得到答案，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，设与轴交点为， ∵轴， ∴轴，， ∵点在双曲线上，点在双曲线上， ∴，， ∴， 解得， ∵双曲线分布在二、四象限， ∴， ∴， 故选：． 6．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，A是双曲线上的一点，点C是的中点，过点C作y轴的垂线，垂足为D，交双曲线于点B，且的面积是3，则（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】本题考查了三角形中线的性质，反比例函数的的几何意义，掌握反比例函数的几何意义是解题的关键． 根据点C是的中点，根据三角形中线的可得，进而可得，根据点B在双曲线上，轴，以及，进而即可求解． 【详解】解：点C是的中点， ∴， ∴ ∴ 点B在双曲线上，轴， ∴ 双曲线经过第一象限 故选：B． 7．（24-25九年级上·安徽淮北·期末）如图在平面直角坐标系中，点、点在反比例函数的图象上．过点作．轴于点，点作轴于点，若，且的面积为12，则的值是（   ） A．12 B．16 C．18 D．24 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，图象点的坐标特征．延长交于点E，已知，表示出各点坐标，根据的面积为12，列出方程，求出k． 【详解】解：延长交于点E． ∵，点A、点B在反比例函数的图象上， ∴． ∴， ∵的面积为，的面积为，的面积为， ∴， 解得，， ∵函数图象在第一象限，，负数舍去， ∴． 故选：B． 8．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，点为坐标原点，点在轴正半轴上，点在双曲线上，且，若的面积为12，则的值为（   ） A．24 B．12 C．6 D．3 【答案】C 【分析】作轴于M，根据，易得点是中点，由的面积为12，求出的面积为，进而求出的面积为，再根据，即可解答． 【详解】解：如图，作轴于M， ∵， ∴是等腰三角形， ∵， ∴点是中点， ∵的面积为12， ∴的面积为， ∴的面积为， ∵点在双曲线上， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查反比例函数的几何意义、平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题． 9．（2025·安徽淮北·三模）如图，点A，B在反比例函数的图象上，点A，B的横坐标分别是3和6，连接，则的面积是（   ） A． B．4 C． D．5 【答案】C 【分析】此题考查了反比例函数系数的几何意义，关键是掌握图象中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值． 根据图象上点的坐标特征求得、的坐标，将三角形的面积转化为梯形的面积，根据坐标可求出梯形的面积即可， 【详解】解：点A，B在反比例函数的图象上，点A，B的横坐标分别是3和6，，， 作轴于，轴于， ， ， ， 故选C． 10．（24-25九年级上·安徽宣城·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，反比例函数和的图像分别经过的两个顶点，，的另外两个顶点，均在轴的正半轴上，若的面积等于9，则的值为 ． 【答案】13 【分析】本题主要考查了反比例函数与几何图形， 作轴，作轴，设点，可得点，，进而表示. 再根据的面积等于9列出方程，可求出答案． 【详解】解：过点A作轴，于点F，点B作轴，于点E， ∴． 设点，则点，， ∴． ∵的面积等于9， ∴， 即， 解得． 故答案为：13． 11．（2024·安徽合肥·一模）如图，A，B是反比例函数图象上的两点，过点A作轴，垂足为C，交于点D．若D为的中点，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数系数的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是根据题意可以分别表示出点的坐标，然后根据的面积为，即可求解． 【详解】设点的坐标为则点的坐标为 ∴点的坐标为纵坐标为横坐标为：， ， 的面积为， 故答案为：． 12．（2024·安徽淮南·三模）如图是反比例函数和在第一象限的图象，直线轴，并分别交两条曲线于两点，点在轴上，则 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，连接，设直线与x轴交于D，先证明得到，再由反比例函数比例系数的几何意义得到，则． 【详解】解：如图所示，连接，设直线与x轴交于D， ∵轴， ∴轴， ∴， ∴， ∵B、C分别在反比例函数和的图象上， ∴， ∴， 故答案为：1． 13．（24-25九年级上·安徽六安·阶段练习）如图，的顶点在双曲线上，顶点在双曲线上，的中点恰好落在轴上，已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数的几何意义、平行四边形的面积，解决这类问题，要熟知反比例函数图象上点到轴的垂线段与此点与原点的连线组成的三角形面积是． 连接，过点和点分别作轴的垂线段和，证明则 面积面积； 易知面积 面积由此可得 面积面积面积面积，解即可，注意 【详解】解：连接，过点和点分别作轴的垂线段和， ∴， 又∵ ∴， ∴面积面积. ∵点在双曲线上， ∴面积， ∵点在双曲线上， 且， ∴面积， ∵四边形是平行四边形， ∴面积面积面积面积， 解得(正数舍去)， 故答案为： ． 14．（24-25九年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点A，B在反比例函数的图象上，过点作轴于点，过点作轴于点，若，且的面积为20，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，图象点的坐标特征．延长交于点E，得到，，再根据题意得到，计算即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点E， ∵点A，B在反比例函数的图象上，， ∴，， ∴，， ∵的面积为20， ∴， 解得，（舍去）． 故答案为：． 15．（24-25九年级上·安徽亳州·期末）如图，和都是等腰直角三角形，，反比例函数在第一象限的图象经过点，若与的面积之差为5．则的值为 ． 【答案】10 【分析】本题考查已知面积求值，根据和都是等腰直角三角形可得出，设，则点B的坐标为，根据反比例函数图象上点的坐标特征即可求出，即可得出结果． 【详解】解：∵和都是等腰直角三角形， ∴， 设，则点B的坐标为， ∵与的面积之差为5， ∴，即：， ∵反比例函数在第一象限的图象经过点， ∴； 故答案为：10． 16．（24-25九年级上·安徽安庆·期末）如图，点A在函数图象上，点B、C在反比例函数（）的图象上，轴，轴． （1）若点A的坐标为且，连接，则 ； （2）若点A是函数图象上的任意一点，阴影部分的面积为4，则 ． 【答案】 6 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值． （1）延长交轴于点，求得，，据此即可求解； （2）延长交轴于点，延长交轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点，设，可得到四边形、、都是矩形，点是函数图象上的任意一点，可得，根据点、在反比例函数的图象上，从而得到，，然后根据阴影部分的面积为4列方程即可解答． 【详解】解：（1）延长交轴于点，如图， ∵轴， ∴轴， ∴，， ∴； 故答案为：； （2）延长交轴于点，延长交轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点，设， ∵轴，轴， 又∵在平面直角坐标系中，轴和轴互相垂直， ∴轴，轴，， ∴四边形、、都是矩形， ∴，， ∵点是函数图象上的任意一点， ∴， ∴， ∵点、在反比例函数的图象上， ∴，， ∴， ∴， 即， 解得：． 故答案为：． 17．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，四边形和四边形都是正方形，且面积分别是和，点，，都在轴上，点在边上，第二象限的点是反比例函数图象上一点，反比例函数的图象同时经过点，． （1）的值为 ； （2）的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，反比例函数中的几何意义，以及反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握相关知识．根据反比例函数中的几何意义可得，根据两个正方形的面积可得两个正方形的边长分别是和，设，，即可求，根据正方形的性质和直角坐标系列方程求出，进而求出，即可求的值． 【详解】解：根据的几何合义，易知， 两个正方形面积分别是和， 两个正方形的边长分别是和， 设，， 则， ， 解得：， ， ， 故答案为：，． 18．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，反比例函数的图象与矩形在第一家限相交于题图点，，，连接．记的面积分别为． （1）比较大小： （填“”、“”、“”）； （2）若，则的面积为 ． 【答案】 【分析】此题考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数系数的几何意义是解题的关键． （1）根据反比例系数的几何意义知的面积分别为进行解答即可； （2）根据的面积矩形的面积的面积的面积的面积进行解答即可． 【详解】（1）根据反比例系数的几何意义知的面积分别为， 故答案为： （2） ， 的面积矩形的面积的面积的面积的面积． 故答案为： 题型二：实际问题与反比例函数 19．（2024·安徽六安·模拟预测）力F作用于物体，产生的压强P与物体受力面积S之间满足关系式，当F一定时，根据表格可以判断a和b的大小关系为（    ） 5 20 30 40 60 800 ■ a ■ b A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数的应用，关键是掌握反比例函数的性质．根据，当F一定时，P与S成反比例函数，由函数的性质得出结论． 【详解】解：∵F一定， ∴， ∴， ∴当时，P随着S的增大而减小， ∵， ∴． 故选：A． 20．（24-25九年级上·安徽六安·阶段练习）验光师检测发现近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，y关于x的函数图象如图所示．经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由0.25米调整到0.5米，则近视眼镜的度数减少了（   ）度． A．150 B．200 C．250 D．300 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的应用，待定系数法求反比例函数解析式，读懂题意，掌握课本知识是解决问题的关键．由已知设，则由图象知点满足解析式，代入求，则解析式为：，令，时，分别求的值后作差即可． 【详解】解：设， 在图象上， ， 函数解析式为：， 当时，， 当时，， 度数减少了（度）， 故选：B 21．（24-25九年级上·安徽阜阳·期末）物理兴趣小组在实验室研究电学时设计了一个电路，其电路图如图1所示．闭合开关后，经测试，发现电流（单位：A）随着电阻（单位：）的变化而变化，并结合数据描点、连线，画成如图2所示的函数图象．若该电路的最小电阻为，则该电路的（    ） A．最小电流是6A B．最大电流是9A C．最大电流是6A D．最小电流是9A 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的解析式，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系． 根据图象观察可得，两个变量之间的函数关系为反比例函数，设，利用待定系数法，则可求出，然后代入求值即可． 【详解】解：根据电压电流电阻，设， 将代入得，解得， ； 若该电路的最小电阻为，该电路能通过的最大电流是． 故选：C． 22．（23-24九年级上·安徽宿州·阶段练习）在物理学相关知识，在简单电路中，闭合开关，当导体两端电压U（单位：V）一定时，通过导体的电流I（单位：A）与导体的电阻R（单位：）满足反比例函数关系，它们的图象如图所示．当时，． (1)求电流I关于电阻R的函数关系式； (2)当时，求电阻R的值． 【答案】(1)； (2)电阻R的值为12Ω． 【分析】本题考查反比例函数的应用． （1）利用待定系数法即可求出电流I关于电阻R的函数关系式； （2）将代入函数关系式解出即可． 【详解】（1）解：∵通过导体的电流I（单位：A）与导体的电阻R（单位：Ω）满足反比例函数关系， ∴可设， ∵当时，． ∴， ∴电流I关于电阻R的函数关系式为：； （2）解：当时，， 解得Ω， 答：电阻R的值为12Ω． 23．（23-24九年级上·安徽芜湖·期末）如图，某人对地面的压强p（单位：）与这个人和地面接触面积S（单位：）满足反比例函数关系． (1)图象上点A坐标为，求函数解析式； (2)如果此人所穿的每只鞋与地面的接触面积大约为，那么此人双脚站立时对地面的压强有多大？ (3)如果某沼泽地面能承受的最大压强为，那么此人应站立在面积至少多大的木板上才不至于下陷（木板的质量忽略不计）？ 【答案】(1)函数解析式为 (2) (3)此人应站立在面积至少大的木板上才不至于下陷 【分析】本题主要考查求反比例函数解析式，反比例函数与实际问题，能够通过函数图象判断函数类别以及正确求解函数解析式是解题的关键． （1）由图象可知压强与接触的受力面积成反比，故可得到对应的反比例函数，再将点代入解析式即可求得反比例函数的解析式，由反比例函数的解析式可分析得到人的体重． （2）首先换算单位，根据，带入解析式即可求得此人双脚站立时对地面的压强大小． （3）根据得：，将地面能承受的最大压强代入解析式即可求得至少多大的木板才不至于下陷． 【详解】（1）解：由题可设， ∵点在函数图象上， ∴． 解得． ∴函数解析式为； （2）解：， ； （3）解：将代入函数解析式，得： ． 24．（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图1是一盏亮度可调节的台灯，通过调节总电阻R来控制电流I实现灯光亮度的变化，电流与电阻之间的函数关系如图2所示． (1)求I与R之间的函数表达式； (2)求时，对应的R的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，正确的求出函数解析式，掌握反比例函数的性质是解题的关键. （1）待定系数法求出函数解析式； （2）将代入，求得R的值，然后根据反比例函数在第一象限内的增减性即可得出结果. 【详解】（1）解：根据题意可设， 点在函数的图象上， ， 解得， 电流与电阻之间的函数表达式为； （2）当时，， ， 由函数图象可知，该函数在第一象限内随的增大而减小， 当时， 25．（24-25九年级上·安徽六安·阶段练习）验光师通过检测发现近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例，关于的函数图象如图所示．经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由米调整到米，求近视眼镜的度数减少了多少度． 【答案】度． 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，先利用待定系数法求出，再分别求出和时的函数值即可得到答案． 【详解】解：设y与x的函数关系式为， 把代入中得，， ∴， 当时，， 当时， ∴度数减少了度． 26．（23-24九年级上·安徽·阶段练习）国家质量监督检验检疫局发布的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验》中规定的酒驾检测判定标准为：饮酒驾驶：驾驶员血液中酒精含量； 醉酒驾驶：驾驶员血液中酒精含量． 根据相关实验数据显示，一般情况下，成人喝低度白酒后，小时内其血液中酒精含量（毫克/百毫升）与时间（时）成正比例；小时后（包括小时）与成反比例．根据图中提供的信息，解答下列问题： (1)写出一般情况下，成人喝低度白酒后，与之间的函数关系式及相应的自变量取值范围； (2)假设某驾驶员晚上在家喝完低度白酒，第二天早上能否驾车去上班？请说明理由． 【答案】(1)； (2)第二天早上不能驾车去上班，理由见解析． 【分析】()利用待定系数法即可求出求出反比例函数及一次函数的解析式； ()根据题意得出时的值，即可判断； 本题考查了反比例函数的应用、一次函数的应用等知识，解题的关键是灵活掌握待定系数法确定函数解析式，学会利用函数解决实际问题． 【详解】（1）解：由题意可得：当时， 设函数关系式为， 则， 解得， ∴； 当时，设函数关系式为， 则， ∴ ； 综上所述，与之间的两个函数关系式为：； （2）解：第二天早上不能驾车去上班． 理由：∵晚上到第二天早上有个小时， ∴时，， ∴第二天最早上不能驾车去上班． 27．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）学校下午放学时校门口的“堵塞”情况已成为社会热点问题，某校对本校下午放学校门口“堵塞”情况做了一个调查发现：每天放学时间2分钟后校门外学生流量变化大致可以用“拥挤指数”（）与放学后时间（分钟）的函数关系描述．如图，2～12分钟呈二次函数状态，且在第12分钟达到该函数最大值100，此后变化大致为反比例函数的图象趋势．若“拥挤指数”，校门外呈现“拥挤状态”，需要护学岗执勤人员维护秩序、疏导交通． (1)求该二次函数的解析式和k的值； (2)“拥挤状态”持续的时间是否超过15分钟？请说明理由． 【答案】(1)； (2)“拥挤状态”持续的时间没有超过15分钟 【分析】本题考查了二次函数与反比例函数的应用 （1）设该二次函数的解析式为，把点代入，即可求得二次函数的解析式；把点代入，即可求得k的值； （2）由可得，再由，得，进而即可求解． 【详解】（1）解：设该二次函数的解析式为， 把点代入，得，解得： ∴所求二次函数的解析式为 把点代入得：； （2）解：没有超过15分钟， 理由如下： 由解得：，（舍去）， 由，解得：， ， 所以“拥挤状态”持续的时间没有超过15分钟． 28．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）为检测一种玩具气球的质量情况，需往气球里充满一定量的气体，当温度不变时，气球里的气体的压强是气体体积的反比例函数，其图象如图所示． (1)求反比例函数的表达式；（不用写自变量取值范围） (2)若气球内气体的压强不能超过，为安全起见，则其体积要控制在什么范围? 【答案】(1) (2)气体的体积应不小于 【分析】此题考查了反比例函数的应用． （1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）把代入（1）中的函数解析式，求出，根据反比例函数的增减性进行解答即可 【详解】（1）解：设，由题意知 ，即； （2）当时，． 在第一象限，随的增大而减小， 当时，， 为了安全起见，气体的体积应不小于． 29．（24-25九年级上·安徽亳州·阶段练习）图中有一面墙（可利用的最大长度为），现打算用栅栏沿墙围成一个面积为的长方形花圃．设花圃与墙平行的一边栅栏长，与墙垂直的一边栅栏长为． (1)求关于的函数表达式，并指出自变量的取值范围； (2)若栅栏总长度为122米，求的长； (3)若想使花圃是与墙垂直的一边的7.5倍，则花圃需要栅栏多少米？ 【答案】(1) (2) (3)花圃至少需要围栏米． 【分析】本题考查了反比例函数的应用，解一元二次方程和分式方程，根据矩形的面积公式得出y与x的函数关系式是关键，注意结合实际取自变量的取值范围． （1）根据长方形面积公式列式求解即可； （2）根据栅栏总长度为122米列方程求解即可； （3）根据题意得到，然后代入求出，进而求解即可． 【详解】（1）解：∵设花圃与墙平行的一边长，与墙垂直的一边长为，面积为， ∴ ∴ ∵可利用的最大长度为 ∴ ∴关于的函数表达式为； （2）解：∵栅栏总长度为122米 ∴ 整理得， 解得或120（舍去） 经检验，符合题意 ∴； （3）解：∵使花圃长是宽的倍 ∴ ∴代入得， ∴ ∴或（舍去） ∴ ∴ ∴花圃至少需要栅栏米． 30．（24-25九年级上·安徽阜阳·阶段练习）某工程队修建一条村村通公路，所需天数（单位：天）与每天修建该公路长度（单位：米）是反比例函数关系，已知该函数关系的图象经过点，如图．    (1)求与之间的函数表达式（不用写出自变量的取值范围）； (2)其它条件不变，求该工程队每天修建该公路30米要比每天修建24米提前多少天完成此项工程? 【答案】(1)与之间的函数表达式为 (2)该工程队每天修建该公路30米要比每天修建24米提前天完成此项工程 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式、反比例函数的应用，正确求出反比例函数解析式是解此题的关键． （1）利用待定系数法求解即可得出与之间的函数表达式； （2）将及代入（1）中求得的解析式，求出值，作差后即可得出答案． 【详解】（1）解：设与之间的函数表达式为， ∵该函数关系的图象经过点， ∴， ∴， ∴与之间的函数表达式为； （2）解：当时，， 当时，， ∵， ∴该工程队每天修建该公路30米要比每天修建24米提前天完成此项工程． 31．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标数随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标数y随时间x（分钟）变化的函数图象如图所示，当和时，图象是线段：当时，图象是双曲线的一部分，根据函数图象回答下列问题： (1)求注意力指标数y随时间x（分钟）的函数表达式； (2)已知为了让学生在听数学综合题讲解时能完全理解和接受，注意力指标不低于30，而张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要8分钟，则这节课张老师至多能讲解几道数学综合题能让学生完全理解和接受． 【答案】(1) (2)这节课张老师至多能讲解道数学综合题能让学生完全理解和接受． 【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的应用，运用待定系数法求解出相关函数表达式以及正确的理解图象是解题的关键． （1）根据待定系数法求解即可； （2）当时，，解得，当时，，解得，根据图象可知，注意力指标不低于的时间为分钟，再根据讲解一道数学综合题需要8分钟即可得到答案． 【详解】（1）解：当时，图象是双曲线的一部分，图象经过点， 设， 则，解得， ∴； 当时，， ∴， ∴， 当时，图象是线段，则该段函数是一次函数，点， 设， 则，解得， ∴； 当时，， ∴注意力指标数y随时间x（分钟）的函数表达式为 （2）解：当时，， 解得，， 当时，， 解得，， 根据图象可知，注意力指标不低于的时间为（分钟）， ∵， ∴这节课张老师至多能讲解道数学综合题能让学生完全理解和接受． 32．（24-25九年级上·安徽亳州·阶段练习）某超市在十二月份销售一种商品，根据统计结果发现该商品的日销售量（件）与时间第天之间的函数关系如图，当时，日销售量（件）与时间第天满足一次函数关系，当时，日销售量（件）与时间第天满足反比例函数关系． (1)求与之间的函数表达式； (2)求该超市的日销售量不低于20件的天数． 【答案】(1)； (2)该超市的日销售量不低于20件的天数有11人． 【分析】本题考查了反比例二次函数的应用． （1）分两种情况，利用待定系数法求解即可； （2）分别求得当时，的值，即可求解． 【详解】（1）解：当时，设函数表达式为， 由题意得， 解得， ∴函数表达式为； 当时，设函数表达式为， 由题意得， ∴函数表达式为； 综上，与之间的函数表达式为； （2）解：当时，， 解得； ， 解得； ； 该超市的日销售量不低于20件的天数有11人． 33．（24-25九年级上·安徽芜湖·期末）综合与实践 某校“无穷大”社团利用物理中的杠杆原理研究反比例函数．如图，他们制作了一个特殊的天平，其中是一根质地均匀的木杆，支点为中点，两个托盘可沿木杆左右移动，、分别表示左、右托盘离支点的距离． 该社团成员通过改变托盘内砝码质量和托盘与支点的距离，并将平衡时的数据记录如下： 左托盘砝码质量/ 右托盘砝码质量/ ... ... 任务：根据实验数据：__________，__________． 任务：以左托盘砝码质量为横坐标，左托盘距离支点的距离的值为纵坐标，在方格内描出上表中的数对为坐标的各点，并用平滑的曲线顺次连接这些点，根据图像回答下列问题： 这条曲线是反比例函数图象的一支吗？如果是，请写出函数解析式（不标注自变量取值范围），如不是，请说明理由； 若左托盘距离支点的距离可变化的范围为：，求左托盘内砝码质量的变化范围． 任务：某成员希望在的情况下称取食盐．他先将砝码放在左托盘，取出一些食盐放在右托盘使天平平衡；然后将砝码放在右托盘，再取出一些食盐放在左边托盘使天平平衡．该成员得出结论：两次称得的食盐的总质量是．该成员的结论是否正确？请判断并说明理由．（参考公式：当，时，，当且仅当时，等号成立） 【答案】任务一：，  任务二：是，解析式是   任务三：不正确，理由见解析 【分析】本题考查求反比例函数的解析式，反比例函数的性质，根据杠杆平衡的条件找到相等关系并合理使用是解决本题的关键． 任务：根据杠杆平衡的条件计算即可解答； 任务：画出图象即可判断是反比例函数图象的一支，再根据表格以及杠杆平衡的条件即可求出反比例函数解析式； 分别求出当时和时的值，即可解答； 任务：由于天平的两臂不相等，可设，，，第一次称取的食盐质量为，第二次称取的食盐质量为，根据杠杆平衡原理得：，，解得：，，所以，因为，所以，即可得出结论． 【详解】解：任务：， ， ， ， 故答案为：，； 任务： 这条曲线是反比例函数的一支，解析式为：，即； 当时，，当时，， 可变化的范围为时，左侧砝码质量变化范围是：； 任务：由于天平的两臂不相等，可设，，，第一次称取的食盐质量为，第二次称取的食盐质量为， 根据杠杆平衡原理，有：，， 解得：，， 则， 因为，所以， 所以该成员两次称得的食盐总质量超过了， （利用作差法：当时，进行判断也可给分）． 题型三：一次函数与反比例函数综合应用 34．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴交于A，B两点，且与反比例函数的图象交于点C，D，则的面积为 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题．根据题意求出，及的面积即可解决问题． 【详解】解：由方程得， ，， 将代入得，． 将代入得，， 所以点D的坐标为，点C的坐标为． 将代入得，， 所以点B的坐标为． 将代入得，， 所以点A的坐标为， 则， ， ， 所以． 故答案为：8． 35．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）如图，已知反比例函数与一次函数的图象交于点、，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了反比例函数和一次函数交点问题，先由一次函数的图象与轴正半轴交于点，求出，则有，再根据即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵一次函数的图象与轴正半轴交于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 36．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点A作轴，交反比例函数的图象于点C，过点C作轴于点D，与直线交于点E．    （1）若，，则 ； （2）若，则b与k的数量关系是 ． 【答案】 1 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，利用图象中各个点的坐标之间的关系是解此题的关键． （1）先分别求解A，B，C，D，E的坐标，再计算即可； （2）先求出A坐标，可以得到C的坐标，由，可以得E的坐标，把E的坐标代入直线即可得出答案． 【详解】解：（1）∵，， ∴，， 当，，当，， ∴，， 当时，， ∴， 当时，，则， ∴， ∴； 故答案为：1 （2）∵， 当时，；当时，， ∴点A的坐标为，， ∵轴，且点C在反比例函数的图象上， ∴点C的坐标为， ∵，轴， ∴点E的坐标为， 把代入得： ， 解得：． 故答案为：． 37．（24-25九年级上·安徽宣城·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别是反比例函数、一次函数的交点，已知．在线段上取一点C，过C点作直线l 平行x轴，交反比例函数于点D，连接、． （1） ； （2）记的面积为，则最大值为 ． 【答案】 4 【分析】本题主要考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质，坐标与图形． （1）将代入，即可解答； （2）设，则，根据点C在线段上得到，由，高，得到，根据二次函数的性质即可解答． 【详解】解：（1）∵反比例函数的图象过点， ∴，解得． 故答案为：4 （2）∵一次函数的图象过点， ∴，解得， ∴一次函数解析式为 由（1）得， ∴反比例函数解析式为． 解方程组得，， ∴ 设，则， ∵点C是线段上的点， ∴ ∵，高， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴的最大值为． 故答案为： 38．（24-25九年级上·安徽宿州·阶段练习）如图，正方形的顶点在轴的正半轴上，反比例函数在第一象限的图象经过点和边上的点，过点的直线交轴于点，交y轴于点， 则（1） （2）点的坐标是 ． 【答案】 1 【分析】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． （1）由点得到正方形的边长为2，则，所以，根据反比例图象上的坐标特征得到，即可求出的值； （2）由（1）得E点坐标为，然后利用待定系数法确定直线的解析式为，再求时对应自变量的值，从而得到点F的坐标． 【详解】（1）解；方形的顶点， ∴正方形的边长为2， ∴，而点， ∴，即E点坐标为， ∴， 解得， 故答案为：； （2）由（1）得E点坐标为， 设直线的解析式为， 把，代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得， ∴点F的坐标为， 故答案为：． 39．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，点反比例函数的图象经过，两点，连接，，过点B作轴，交于点，若为的中点，且点坐标为． (1)求的值； (2)连接并延长，交轴于点，求点的坐标； (3)连接，求的面积． 【答案】(1)8 (2) (3)6 【分析】本题主要考查了反比例函数和一次函数的综合，求一次函数和反比例函数解析式，三角形面积的计算，解题的关键是数形结合熟练掌握待定系数法． （1）根据中点坐标求出点C的坐标，再代入反比例函数解析式求出k的值即可； （2）先求出点，再求出直线表达式为：，求出当时，，求出点； （3）根据求出结果即可． 【详解】（1）解：∵点为，是的中点， ∴点为， ∴ （2）解：∵， ∴， ∵轴，点为， ∴把代入得：， ∴， 设直线的解析式为，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得， ∴； （3）解： ． 40．（24-25九年级上·安徽阜阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象和反比例函数的图象交于点． (1)求反比例函数的解析式． (2)观察图象，直接写出当时，自变量的取值范围． (3)把函数的图象沿轴向上平移，使平移后的直线与轴交于点，与反比例函数的图象在第一象限内交于点，连接，求的面积． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查一次函数与反比例函数综合，涉及一元二次方程，函数图象与不等式结合，熟练掌握一次函数与反比例函数的图象与性质是解题的关键． （1）将点代入求出，即可知点坐标，再代入反比例函数中即可求解； （2）当时，即，由，求出与的交点坐标，利用，即求的图象在的图象下方（包括重合）所对应的自变量的取值范围，即可求解； （3）设直线的解析式为，代入，求出直线的解析式，再联立，求出点坐标，再利用即可求解． 【详解】（1）解：将点代入， 得， 解得：， 点． 将点代入， 得， 解得：， 反比例函数的解析式为； （2）解：当时，即， 由， 解得：，， 即与的交点坐标为和， 观察图象，可知时，的取值范围是或， 故时，的取值范围是或； （3）解：设直线的解析式为． 将点代入，得， 解得：， 直线的解析式为， 由，得， 整理，得， 解得：，， 点的坐标为， ． 41．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）如图，已知一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数的图象交于点和两点． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)根据图象，求出使反比例函数的值大于一次函数的值的的取值范围； (3)点在反比例函数（）的图象上，若，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)或 【分析】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，坐标与图形性质，待定系数法求函数解析式，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （1）先用待定系数法求出一次函数解析式，然后再求出点坐标，最远求出反比例函数解析式即可； （2）先求出点M的坐标，找出反比例函数图象位于一次图象上方时的范围即可； （3）先求出，得出，设点坐标为，得出，求出c即可得出答案． 【详解】（1）解：一次函数（）的图象经过点和点， ， 解得， 一次函数的表达式是； 在一次函数的图象上， ，解得， 点的坐标为， 点在反比例函数（）的图象上， ， ， 反比例函数表达式为； （2）解：解方程组， 得或， 点坐标为， 点坐标为， 由图象可知，当或时，反比例函数的值大于一次函数的值； （3）解：点坐标为，点坐标为， ， ， ， 点在反比例函数的图象上， 设点坐标为， ， 解得， 点坐标为或． 42．（23-24九年级上·安徽滁州·期中）如图，直线与双曲线相交于点，两点，点纵坐标为． (1)求双曲线及直线对应的函数表达式； (2)点在轴上，连接，当的面积为时，求的值； (3)请直接写出关于的不等式的解集． 【答案】(1)双曲线的解析式为，直线解析式为； (2)或； (3)． 【分析】本题是考查了待定系数法求函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形面积，函数与不等式的关系，运用数形结合的思想是解题的关键． ()将代入双曲线，求出的值，从而确定双曲线的解析式，再将点代入，确定点坐标，最后用待定系数法求直线的解析式即可； ()求得直线于轴的交点坐标，然后根据，求得的坐标，进一步求得的值； ()数形结合求出的范围即可； 【详解】（1）将代入双曲线得， ， ∴， ∴双曲线的解析式为， 将代入得， ， ∴， ∴， 将代入得， ， 解得， ∴直线解析式为； （2）如图， 由可知， ， ∴， ∴， ∴的值为或； （3）由可得， 根据函数图象可知，关于的不等式的解集为：． 43．（23-24九年级上·安徽阜阳·期末）如图，已知反比例函数的图象与直线相交于，两点． (1)求反比例函数与一次函数的解析式； (2)求△AOB的面积； (3)直接写出当时，对应的x的取值范围． 【答案】(1)，； (2)； (3)或． 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的图象， （1）反比例函数的图象过点得，即可得反比例函数为，根据反比例函数的图象过点得，则，根据直线过点，得，进行计算即可得； （2）令一次函数与y轴交于点C，与x轴交于点D，在中，令，则，令，即，令，则，计算得，即，根据进行计算即可得； （3）观察函数图象即可得； 掌握反比例函数的性质，一次函数的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象过点， ∴， ∴反比例函数为， ∵反比例函数的图象过点， ∴， ∴， ∵直线过点，， ∴， 解得， ∴一次函数的解析式； （2）解：如图所示，令一次函数与y轴交于点C，与x轴交于点D， 在中，令，则，令，即， 令，则， ， 即， ∴ ； （3）解：根据函数图象得，当时，或． 44．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，已知一次函数与反比函数的图象在第一、三象限分别交于、两点，连接、． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)求的面积； (3)直接写出时，x的取值范围． 【答案】(1)； (2)8 (3) 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数与几何综合，函数与不等式，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识． （1）将代入可求得反比例函数的解析式，再将代入反比例函数的解析式求得的值，再将、坐标代入求解，即可求得一次函数解析式； （2）记一次函数与轴交点为，求出点坐标，根据即可解题； （3）根据图象可直接得出在轴正半轴时，在点右侧，有，根据点坐标即可求得x的取值范围． 【详解】（1）解：一次函数与反比函数的图象在第一、三象限分别交于、两点， 将代入得：， 解得：， 反比例函数的解析式为， 将代入得：， 解得：， ， 将、代入得： ， 解得：， 一次函数的解析式为； （2）解：如图，记一次函数与轴交点为， 令，则， ， 由图可知： ； （3）解：由图可知：在轴正半轴时，在点右侧，有， ， 的取值范围为． 45．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，点A的横坐标是2，点B的纵坐标是．    (1)求反比例函数的表达式； (2)根据图象写出x取何值时，； (3)求的面积． 【答案】(1) (2)或 (3)6 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题、待定系数法求一次函数解析式、三角形面积公式，求出A、B、C三点的坐标是解此题的关键． （1）先根据点A的横坐标是2，点B的纵坐标是，求出，，再利用待定系数法进行计算即可得出反比例函数的表达式； （2）由，，结合函数图象即可得出答案； （3）先求出点C的坐标，从而得出，再根据进行计算即可． 【详解】（1）解：在中令，则；令，则， ∴， 将代入，得， 即反比例函数的表达式为. （2）解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于，， ∴由图象可得：当或时，； （3）解：在中，当时，， ∴， ∴， ∴． 46．（24-25九年级上·安徽淮北·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于、两点，与轴相交于点，已知点的坐标为． (1)求反比例函数的解析式； (2)点为反比例函数图象上任意一点，若，求点的坐标； (3)直接写出不等式的解集． 【答案】(1) (2)点的坐标为或 (3)或 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数综合； （1）根据点在直线上，得出进而将点坐标代入反比例函数解析式，待定系数法求解析式，即可； （2）将反比例函数解析式和一次函数解析式联立方程组得，，得出点坐标为，根据，建立方程，求得点纵坐标为9或，进而代入反比例函数，求得纵坐标，即可求解； （3）根据函数图象，即可求解． 【详解】（1）解：因为点在直线上，所以，解得． 故点坐标为． 将点坐标代入反比例函数解析式得，， 所以反比例函数的解析式为． （2）将反比例函数解析式和一次函数解析式联立方程组得，， 解得或． 故点坐标为． 又，即， 所以， 故点纵坐标为9或． 将代入得，． 将代入得，． 所以点的坐标为或． （3）根据函数图象可知，不等式的解集为：或． 47．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和． (1)填空：一次函数的解析式________，反比例函数的解析式________． (2)由图像写出满足的自变量x的取值范围； (3)点P是线段上一点，过点作轴于点，连接，若的面积为，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题主要考查一次函数与反比例函数的交点问题，二次函数图象的性质，一次函数与几何图形的综合，掌握待定系数法求解析式，二次函数图象求最值的计算方法是解题的关键． （1）把点代入一次函数，把点代入反比例函数，即可求解； （2）把点代入一次函数解析式可得，结合图形即可求解； （3）根据题意，设，得到，则有，当，的面积最大，最大值为，当时，，当时，，由此即可求解． 【详解】（1）解：一次函数与反比例函数的图象交于点和， ∴把点代入一次函数得，， 解得，， ∴一次函数解析式为：， 把点代入反比例函数得，， 解得，， ∴反比例函数解析式为：， 故答案为：； （2）解：把点代入一次函数得，， 解得，， ∴， ∴由图形可得，当或时，， ∴满足的自变量x的取值范围为：或； （3）解：∵点P是线段上一点， ∴设， ∴， ∴， ∴当，的面积最大，最大值为， ∵， ∴当时，， 当时，， ∴的取值范围为． 48．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，已知一次函数（k，b是常数且）的图象与双曲线（n是常数且）交于两点，与x轴交于点C． (1)求m，n，k，b的值； (2)求的面积； (3)直接写出不等式组的解集：__________． 【答案】(1)，，， (2)2 (3) 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的交点问题， （1）先由点、在双曲线上求出m，n的值，即可得，再由、在一次函数上，求出k，b的值即可； （2）过点A作于点D，分别求出、的长，再由即可得的面积； （3）观察函数图象可得不等式组的解集是x轴上方，双曲线下方的图象对应的x的取值范围． 【详解】（1）解：∵点、在双曲线上， ∴， 解得：， ∴， ∵点、在一次函数上， ∴， 解得：； （2）解：如图，过点A作于点D， ∵点 ∴， 由（1）得在一次函数， 令，则， ∴，， ∴； （3）解：∵点，， 结合函数图象可得不等式组的解集为． 49．（2024·安徽六安·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点和点B，与x轴交于点D． (1)________，________，B点坐标为________； (2)根据函数图象直接写出时x的取值范围； (3)P是x轴上一点，且满足的面积等于5，求点P坐标． 【答案】(1)3，6，； (2)或； (3)点P的坐标为或 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式是解答本题的关键． （1）将点代入直线解析式得到m值，继而得到反比例函数解析式，联立方程组求得点B坐标即可； （2）根据两个函数图象直接写出不等式的解集即可； （3）先求出点D坐标，然后根据列出关于m的方程解出m值即可知道P的坐标． 【详解】（1）解：∵函数的图象经过点， ∴， ∴， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴反比例函数解析式为：， 联立方程组得，解得，或， ∴． （2）解：由图象可知：不等式即：的解集为：或． （3）解：设点P坐标为， 在中，令，则， ∴， ∵， ∴， ∴或， ∴点P坐标为或． 50．（24-25九年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，已知一次函数与反比函数的图象在第一、三象限分别交于点，，连接，． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)求的面积； (3)直接写出时，x的取值范围． 【答案】(1)反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为； (2) (3) 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）记一次函数的图象与y轴交点为C，则，再由计算即可得解； （3）根据函数图象即可得解． 【详解】（1）解：将代入得， 解得， 反比例函数的表达式为， 将代入得， 解得， ， 将，代入，得， 解得， 一次函数的表达式为； （2）解：如图，记一次函数的图象与y轴交点为C， 令，则， ， 由图可知； （3）解：由图可知在x轴正半轴时，在A点右侧，有， ， 的取值范围为． 51．（24-25九年级上·安徽亳州·自主招生）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于A，B两点，点A的坐标为，点B的坐标为． (1)求反比例函数与一次函数的表达式． (2)当时，请直接写出x的取值范围：_______． (3)点E为y轴上一个动点，若，求点E的坐标． 【答案】(1)反比例函数为，一次函数为 (2)或 (3)或 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、待定系数法求解析式，熟练掌握反比例函数与一次函数的图象与性质是解题的关键． （1）代入到求出反比例函数的表达式，代入点B的坐标求出的值，再利用待定系数法求出一次函数的表达式，即可得出答案； （2）观察图象，写出反比例函数图象在一次函数图象下方所对应的自变量x的范围即可； （3）设一次函数与轴交于点，求出点的坐标为，设点E的坐标为，利用列出方程，求出的值即可解答． 【详解】（1）解：代入到，得， 反比例函数的表达式为， 代入到，得， 解得：， ， 代入，到，得， 解得：， 一次函数的表达式为． 反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为． （2）解：结合图象得，当时，x的取值范围为或． 故答案为：或． （3）解：如图，设一次函数与轴交于点， 当时，， ， 设点E的坐标为，则， 由图可得，， ， 整理得：， 解得：或， 点E的坐标为或． 题型四：反比例函数与二次函数综合应用 52．（2025·安徽合肥·三模）已知反比例函数的图象如图所示，则二次函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数和反比例函数图象特征，根据反比例函数图象确定出k是负数，然后根据二次函数的开口方向、对称轴、与y轴的交点坐标确定出函数图象，从而得解． 【详解】解：∵反比例函数图象位于第二、四象限， ∴， ∴， ∴二次函数图象开口向上， 又， ∴二次函数图象与y轴的交点在y轴负半轴， 对称轴为直线， ∴对称轴在y轴左边， 纵观各选项，只有A选项符合． 故选：A． 53．（23-24九年级上·安徽合肥·阶段练习）二次函数的图象如图，则函数与函数的图象可能是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了一次函数、二次函数以及反比例函数的图象，正确记忆相关图象的分布是解题关键． 直接利用抛物线图象得出a,b,c的符号，进而利用一次函数和反比例函数的性质得出符合题意的图象． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ， ∵抛物线对称轴在y轴左侧， ∴a.b同号， ， ∵抛物线与y轴交在正半轴， ， ， 则函数的图象分布在第二、四象限， 函数的图象经过第一、二、四象限． 故选：B． 54．（23-24九年级上·安徽阜阳·期中）反比例函数与二次函数在同一坐标轴中的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象，以及二次函数的图象，熟练掌握二次函数、反比例函数中系数与图象位置之间关系是解题的关键． 根据二次函数、反比例函数中系数与图象位置之间关系解答即可． 【详解】解：A、抛物线开口方向向下，则，对称轴， 反比例函数的图象位于第二、四象限，故本选项正确，符合题意； B、抛物线开口方向向上，则，对称轴，故本选项错误，不符合题意； C、抛物线开口方向向上，则，对称轴，与反比例函数的图象位于第二、四象限矛盾，故本选项错误，不符合题意； D、抛物线应该经过原点，故本选项错误，不符合题意； 故选：A． 55．（2025·安徽六安·二模）在同一坐标系中，函数与的图象大致为（   ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】该题主要考查二次函数和反比例函数图象的有关性质．根据的符号，对函数的图象位置和的图象进行判断，逐一判断即可． 【详解】解：当时，函数的图象在一，三象限，此时同号， A．函数的图象，开口向上，对称轴，故，该选项符合题意； B．函数的图象，开口向下，对称轴，故，该选项不符合题意； C．函数的图象，开口向上，对称轴，故，该选项不符合题意； 当时，函数的图象在二，四象限，此时异号， D．函数的图象，开口向下，对称轴，故，该选项不符合题意； 故选：A． 56．（2025·安徽蚌埠·三模）如图是直线 （，，是常数且，，），则二次函数 和反比例函数 在同一平面直角坐标系中的大致图象可能为（    ） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数，二次函数，反比例函数的图象和性质，熟练掌握其图象和性质，根据图形确定出、的正负情况是解题的关键．先根据一次函数图象确定出，，即可确定双曲线经过的象限，再根据抛物线对称轴位置进行判断，即可得解． 【详解】 直线的函数图象经过二、三、四象限， ，． ∴， ∴二次函数的对称轴，在轴的左侧，图象在二，四象限，只有A选项符合题意， 故选：A． 57．（2025·安徽阜阳·三模）一次函数与反比例函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数图象，一次函数图象和反比例函数图象综合，根据一次函数和反比例函数图象经过的象限可得到，，则，则可得到二次函数的图象开口向下，与y轴交于负半轴，对称轴z在y轴右侧，据此可得答案． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、三、四象限， ∴， ∵反比例函数的图象经过第一、三象限， ∴， ∴， ∴， ∴二次函数的图象开口向下，与y轴交于负半轴，对称轴z在y轴右侧， ∴只有D选项中的函数图象符合题意， 故选：D． 58．（2025·安徽合肥·三模）二次函数与反比例函数（是常数，且）在同一平面直角坐标系中的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数和反比例函数图象特征，由反比例图象得为正数是解题的关键． 根据反比例函数图象确定出是正数，然后根据二次函数的开口方向、对称轴、与轴的交点坐标确定出函数图象，从而得解． 【详解】解：当时，反比例函数图象位于第一、三象限， ， ， 二次函数与轴的交点在轴负半轴， ， 二次函数图象开口向上， 对称轴为直线， 对称轴在轴左边， 观察各选项，只有选项符合． 当时，反比例函数图象位于第二、四象限， ， ， 二次函数与轴的交点在轴正半轴， ， 二次函数图象开口向下， 对称轴为直线， 对称轴在轴左边， 观察各选项，没有选项符合． 故选：A ． 59.如图，点是抛物线l：和双曲线的一个交点，且位于直线的右侧：抛物线l与x轴交于点B，C，（B在C的左侧）与y轴交于点F．    (1)当时，求a和k的值； (2)若点B在x轴的负半轴上，试确定k的取值范围； (3)的面积为4，且，求k的值； (4)直接写出k的值，使O，F两点间的距离为1． 【答案】(1)， (2) (3) (4)2或 【分析】（1）时，点为，把代入解得，把代入解得； （2）的对称轴为直线，当过原点时，则点B即在原点，则，得到，则，由，解得．由点位于直线的右侧得到．则； （3）由得到．由的面积为4得到．分当B在x轴的负半轴和在x轴的正半轴分别进行求解即可； （4）由O，F两点间的距离为1得到点F的坐标是或，分别代入，求出a的值，再求出m的值，即可得到k的值． 【详解】（1）解：时，点为， 把代入得， ，解得， 把代入得 ， 解得， 综上可知，，． （2）∵的对称轴为直线，当过原点时，则点B即在原点， ∴， ∴． ∴． 由，解得． ∵点位于直线的右侧， ∴． ∴． ∴当点B在x轴的负半轴上时，； （3）∵， ∴． ∵的面积为4， ∴． ∴． ①当B在x轴的负半轴时， ∵， ∴， ∴ ②当B在x轴的正半轴时， 设， ∵， ∴． ∴， ∴ ∵对称轴为， ∴不合题意，舍去， 综上所述可知点．代入得到， ∴， ∴． 当时，， 解得． 由（2）可知， ∴． ∴． （4）∵O，F两点间的距离为1． ∴点F的坐标是或， 把代入得到，， 解得， ∴， 把代入得到， 解得 ∵点在双曲线上， ∴不合题意，舍去， ∴， ∴， ∴， 把代入得到，， 解得， ∴， 把代入得到， 解得， ∵点在双曲线上， ∴不合题意，舍去， ∴， ∴， ∴， 综上可知，当或时，O，F两点间的距离为1． 【点睛】此题是二次函数与反比例函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式、二次函数的图象和性质、反比例函数的图象和性质、一元二次方程的解法等知识，分类讨论和数形结合是解题的关键． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$