专题04 几种常见的函数- 山东省2026年春季高考一轮复习《数学知识点清单》（原卷版+解析版）

编写说明：山东省2026年春季高考一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及山东历年高考真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含11个模块共42个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题。 本专题是山东省2026年春季高考一轮复习《数学知识点清单》的模块3函数的第4个专题：几种常见的函数。本专题涵盖含有反比例函数、一次函数和二次函数的的概念及性质等知识点，每个知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 山东省2026年春季高考 一轮复习 《数学知识点清单》 专题04 几种常见的函数（讲义） 知识点 几种常见的函数 1．反比例函数 （1）定义：形如（是常数，）的函数为反比例函数. （2）性质：定义域是，值域是，是奇函数；当时，在上都是减函数；当时，在上都是增函数. 2．一次函数 （1）定义：形如（是常数，）的函数为一次函数.当时，函数为正比例函数. （2）性质：定义域是R，值域是R；当时是奇函数，当时，既不是奇函数也不是偶函数；时，在R上是增函数，时，在R上是减函数. 3．二次函数的定义 一般地，给定且，函数称为二次函数，它的定义域是实数集R. 4．二次函数的图象与性质 图象 开口方向 向上 向下 顶点坐标 对称性 关于直线对称 单调性 当时，是减函数； 当时，是增函数. 当时，是增函数； 当时，是减函数. 最值 当时，最小值 当时，最大值 图象与轴有两个交点时，；图象与轴有一个交点时，；图象与轴无交点时，. 注：①二次函数中，由，可得对称轴为直线 ②二次函数在闭区间上必有最大值和最小值，当含有参数时，要按对称轴相对于区间的位置进行讨论. 5．二次函数解析式的形式 （1）一般式： （2）顶点式：，其中为顶点. （3）两根式：，其中为方程的两实根. 6．二次函数恒大（小）于0的问题 图象位于轴上方（函数值恒大于0）； 图象位于轴下方（函数值恒小于0）. 1．（2020山东真题）已知二次函数的图象如图所示，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 2．（2022山东真题）已知函数的图象的对称轴为，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 3．（2023山东真题）已知函数的最小值为2，图象的对称轴为. （1）求的解析式； （2）若，判断函数的奇偶性，并给出证明. 4．（2024济南模拟）关于函数的单调性说法正确的是（   ） A．在上是增函数 B．在上是增函数 C．在，上都是减函数 D．在上是减函数 5．（2024青岛模拟）设函数为二次函数，且，则该函数的解析式是（   ）. A． B． C． D． 1．若函数，在其定义域上是增函数，是奇函数，则（    ） A． B． C． D． 2．若函数为R上的减函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．若函数在上是减函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．若二次函数的图象与轴有两个交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．如果成等比数列，那么函数的图象与轴的交点个数为（    ） A． B．1 C．2 D．1或2 6．已知二次函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．已知二次函数满足，且有两个实数根，，则（    ） A．0 B． C．3 D．6 8．若二次函数的图象的顶点是，且经过原点，则的解析式是（    ） A． B． C． D． 9．如图所示为一元二次函数的图象，其中为实数，则下列选项中正确的是（ ） A． B． C． D． 10．已知函数的图象与轴有交点，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 11．函数在区间上的最大值和最小值分别为（ ） A． B． C． D． 12．已知函数是偶函数，函数，则（ ） A． B． C． D． 13．已知二次函数在区间上单调递减，在上单调递增，则的值为（ ） A． B． C． D． 14．已知二次函数在区间上是减函数，在区间上是增函数，则实数 . 15．已知二次函数满足，则实数 . 16．求二次函数的最大值和最小值. 17．已知二次函数满足，且函数图象过原点，求的解析式. 18．已知一次函数满足下列条件：①函数图象在轴上的截距是5；②. （1）求的解析式； （2）设函数，求的值域. 19．某种商品每件定价80元，每天可以售出30件；如果每件定价120元，则每天可售出20件.如果售出件数是定价的一次函数，求售出件数关于定价的解析式. 20．某商店将每件进价8元的某种商品按每件10元出售，一天可销出约100件，该店想通过降低售价，增加销售量的办法来提高利润，经过市场调查发现，这种商品单价每降低0.1元，销售量可增加约10件，将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大? 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 编写说明：山东省2026年春季高考一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及山东历年高考真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含11个模块共42个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题。 本专题是山东省2026年春季高考一轮复习《数学知识点清单》的模块3函数的第4个专题：几种常见的函数。本专题涵盖含有反比例函数、一次函数和二次函数的的概念及性质等知识点，每个知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 山东省2026年春季高考 一轮复习 《数学知识点清单》 专题04 几种常见的函数（讲义） 知识点 几种常见的函数 1．反比例函数 （1）定义：形如（是常数，）的函数为反比例函数. （2）性质：定义域是，值域是，是奇函数；当时，在上都是减函数；当时，在上都是增函数. 2．一次函数 （1）定义：形如（是常数，）的函数为一次函数.当时，函数为正比例函数. （2）性质：定义域是R，值域是R；当时是奇函数，当时，既不是奇函数也不是偶函数；时，在R上是增函数，时，在R上是减函数. 3．二次函数的定义 一般地，给定且，函数称为二次函数，它的定义域是实数集R. 4．二次函数的图象与性质 图象 开口方向 向上 向下 顶点坐标 对称性 关于直线对称 单调性 当时，是减函数； 当时，是增函数. 当时，是增函数； 当时，是减函数. 最值 当时，最小值 当时，最大值 图象与轴有两个交点时，；图象与轴有一个交点时，；图象与轴无交点时，. 注：①二次函数中，由，可得对称轴为直线 ②二次函数在闭区间上必有最大值和最小值，当含有参数时，要按对称轴相对于区间的位置进行讨论. 5．二次函数解析式的形式 （1）一般式： （2）顶点式：，其中为顶点. （3）两根式：，其中为方程的两实根. 6．二次函数恒大（小）于0的问题 图象位于轴上方（函数值恒大于0）； 图象位于轴下方（函数值恒小于0）. 1．（2020山东真题）已知二次函数的图象如图所示，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由图可知，不等式的解集为. 故选：A 2．（2022山东真题）已知函数的图象的对称轴为，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为函数的对称轴为，所以，即，所以的解集为． 故选：C 3．（2023山东真题）已知函数的最小值为2，图象的对称轴为. （1）求的解析式； （2）若，判断函数的奇偶性，并给出证明. 【答案】见解析 【解析】（1）因为对称轴为， 所以，解得， 所以， 又因为函数最小值为2， 所以，即，解得， 所以. （2）证明：， 因为定义域是R，关于原点对称， 又因为， 所以是偶函数. 4．（2024济南模拟）关于函数的单调性说法正确的是（   ） A．在上是增函数 B．在上是增函数 C．在，上都是减函数 D．在上是减函数 【答案】C 【解析】因为，所以反比例函数在上是减函数，在上是减函数，不能认为在上是减函数 故选：C 5．（2024青岛模拟）设函数为二次函数，且，则该函数的解析式是（   ）. A． B． C． D． 【答案】C 【解析】方法一：代入， 得，解得，所以 方法二：，代入四个选项进行验证. 故选：C 1．若函数，在其定义域上是增函数，是奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由是增函数可得，解得， 由是奇函数得. 故选：A 2．若函数为R上的减函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为是减函数，所以，即. 故选：C 3．若函数在上是减函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为函数在上是减函数，所以，即或. 故选：D 4．若二次函数的图象与轴有两个交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可知方程有两个不等实根， 则，即，解得或. 故选：D 5．如果成等比数列，那么函数的图象与轴的交点个数为（    ） A． B．1 C．2 D．1或2 【答案】B 【解析】由成等比数列，得， 因为， 所以的图象与轴有1个交点. 故选：B 6．已知二次函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意知图象开口向上，图象在对称轴左侧是单调递减的，对称轴为，所以，解得. 故选：B 7．已知二次函数满足，且有两个实数根，，则（    ） A．0 B． C．3 D．6 【答案】D 【解析】由题意可知，函数的对称轴为，所以，解得. 故选：D 8．若二次函数的图象的顶点是，且经过原点，则的解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设函数的解析式为，把点代入得 故选：B 9．如图所示为一元二次函数的图象，其中为实数，则下列选项中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由抛物线的开口方向可知，抛物线与轴的交点在轴的上方可知，根据抛物线的顶点在第一象限得，又因为，所以 故选：B 10．已知函数的图象与轴有交点，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意知，当时，函数图象与轴有交点， 解关于的不等式得或. 故选：C 11．函数在区间上的最大值和最小值分别为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为， 所以函数的对称轴为，且在区间上是单调递增的， 所以在区间上， 故选：B 12．已知函数是偶函数，函数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为函数是偶函数， 所以，则，显然为奇函数， 所以. 故选：B 13．已知二次函数在区间上单调递减，在上单调递增，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意得，二次函数的对称轴为直线，解得， 所以，所以 故选：C 14．已知二次函数在区间上是减函数，在区间上是增函数，则实数 . 【答案】 【解析】由题意得二次函数的对称轴为，解得. 故答案为： 15．已知二次函数满足，则实数 . 【答案】 【解析】因为，所以为二次函数图象的对称轴，所以，即. 故答案为： 16．求二次函数的最大值和最小值. 【答案】最大值为0，最小值为 【解析】依题意，函数的二次项系数为，图象开口向下，函数的对称轴为， 因为，，， 所以的最大值为0，最小值为 17．已知二次函数满足，且函数图象过原点，求的解析式. 【答案】见解析 【解析】由题意设， 因为，且图象过原点， 所以，解得， 所以 18．已知一次函数满足下列条件：①函数图象在轴上的截距是5；②. （1）求的解析式； （2）设函数，求的值域. 【答案】见解析 【解析】（1）图象在轴上的截距是5，可知， 所以函数， 因为， 所以，即，所以. （2）依题意，， 即当时，，所以的值域为 19．某种商品每件定价80元，每天可以售出30件；如果每件定价120元，则每天可售出20件.如果售出件数是定价的一次函数，求售出件数关于定价的解析式. 【答案】见解析 【分析】本题主要考查一次函数的应用，其模型为. 根据实际生活确定的取值范围，即当销量时，可以求得的最大值，特别地，. 【解析】因为售出件数是定价的一次函数，所以不妨设 由题意可得，解得，即， 令，得，所以，. 所以售出件数关于定价的解析式为. 20．某商店将每件进价8元的某种商品按每件10元出售，一天可销出约100件，该店想通过降低售价，增加销售量的办法来提高利润，经过市场调查发现，这种商品单价每降低0.1元，销售量可增加约10件，将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大? 【答案】见解析 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解决此类问题时，一般先构建二次函数模型，然后利用单调性、值域等方法求出最值，最后再还原为实际问题. 【解析】设每件商品降低元，该商品每天的利润为元. 则与的函数关系式为：，即 配方得， 当时，， 因为，所以当这种商品的售价降低0.5元时，能使销售利润最大，最大利润为 225元 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$