专题03 函数的奇偶性- 山东省2026年春季高考一轮复习《数学知识点清单》（原卷版+解析版）

编写说明：山东省2026年春季高考一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及山东历年高考真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含11个模块共42个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题。 本专题是山东省2026年春季高考一轮复习《数学知识点清单》的模块3函数的第3个专题：函数的奇偶性。本专题涵盖含有奇函数、偶函数的的概念及性质、判断函数奇偶性的方法、常见函数的奇偶性等知识点，每个知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 山东省2026年春季高考 一轮复习 《数学知识点清单》 专题03 函数的奇偶性（讲义） 知识点 函数的奇偶性 1．奇函数 （1）定义：一般地，对于函数定义域内的任意一个，都有，那么函数就称为奇函数. （2）图象特征：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形. （3）若奇函数在处有意义，则. 2．偶函数 （1）定义：一般地，对于函数定义域内的任意一个，都有，那么函数就称为偶函数. （2）图象特征：一个函数是偶函数的充要条件是它的图象是以轴为对称轴的轴对称图形. 3．判断函数奇偶性的方法 （1）定义法． 用定义判断函数奇偶性的具体步骤： ①先求定义域，看是否关于原点对称。 ②再判断或是否恒成立. ③得出相应结论. （2）图象法：函数图象关于成中心对称图形是奇函数，关于轴成轴对称图形是偶函数. （3）性质法：奇函数±奇函数＝奇函数；奇函数±偶函数＝非奇非偶函数；偶函数±偶函数＝偶函数；奇函数奇函数＝偶函数；奇函数偶函数＝奇函数. 4．奇函数与偶函数的单调性 （1）如果一个函数是奇函数，那么它在关于原点对称的区间上单调性相同；如果一个函数是偶函数，那么它在关于原点对称的区间上单调性相反. （2）偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大（小）值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数. 5．常见函数的奇偶性 （1）对于常量函数（为常数），若定义域关于原点对称，则是偶函数.特别地，当时，若定义域关于原点对称，则既是奇函数又是偶函数. （2）一次函数为奇函数. （3）二次函数为偶函数. （4）反比例函数是奇函数. （5）正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数. （6）函数为奇数，是奇函数；为偶数，是偶函数. 1．（2021山东真题）已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，且. （1）求实数的值； （2）求该函数的解析式. 2．（2022山东真题）已知函数是奇函数，则实数（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（2023山东真题）已知偶函数的定义域是，对定义域内任意的，都有，当时，，则的值是 4．（2024山东真题）函数是偶函数的充要条件是（   ） A． B． C． D． 5．（2025山东真题）已知函数是奇函数，函数，若，则（   ）. A． B． C． D． 1．下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递增的为（    ） A． B． C． D． 2．函数（    ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数也不是偶函数 3．已知函数是R上的奇函数，且，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 4．已知函数是R上的奇函数，当时，，则的值是（    ） A． B． C．1 D．3 5．已知函数，若，则的值为（    ） A． B．2 C．8 D．6 6．已知函数是奇函数，，则的值为（    ） A． B． C．8 D．6 7．已知函数是奇函数，则（    ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数也不是偶函数 8．已知函数是上的奇函数，当时，，则当时，的解析式为（    ） A． B． C． D． 9．已知函数是上的偶函数，且当时，，则当时，的解析式是（ ） A． B． C． D． 10．下列函数中，为奇函数的是（ ） A． B． C． D． 11．已知定义在R上的偶函数满足：对任意，都有0，则（ ） A． B． C． D． 12．若函数为奇函数，当时，，则下列各点中一定在的图象上的是（ ） A． B． C． D． 13．已知函数为奇函数，当时，是增函数，且，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 14．若函数为偶函数，且，则实数 . 15．已知函数为奇函数，则实数 . 16．已知奇函数在上是增函数且最小值是9，则在上是 （填“增”或“减”）函数，最大值是 . 17．判断下列函数的奇偶性． （1）； （2）； （3）； （4）. 18．设函数是定义在R上的奇函数，当时，. （1）求当时，函数的解析式； （2）若，求实数的取值范围. 19．已知函数是奇函数，且当时，，求当时的解析式. 20．已知函数是偶函数，且当时，，求当时的解析式. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 编写说明：山东省2026年春季高考一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及山东历年高考真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含11个模块共42个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题。 本专题是山东省2026年春季高考一轮复习《数学知识点清单》的模块3函数的第3个专题：函数的奇偶性。本专题涵盖含有奇函数、偶函数的的概念及性质、判断函数奇偶性的方法、常见函数的奇偶性等知识点，每个知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 山东省2026年春季高考 一轮复习 《数学知识点清单》 专题03 函数的奇偶性（讲义） 知识点 函数的奇偶性 1．奇函数 （1）定义：一般地，对于函数定义域内的任意一个，都有，那么函数就称为奇函数. （2）图象特征：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形. （3）若奇函数在处有意义，则. 2．偶函数 （1）定义：一般地，对于函数定义域内的任意一个，都有，那么函数就称为偶函数. （2）图象特征：一个函数是偶函数的充要条件是它的图象是以轴为对称轴的轴对称图形. 3．判断函数奇偶性的方法 （1）定义法． 用定义判断函数奇偶性的具体步骤： ①先求定义域，看是否关于原点对称。 ②再判断或是否恒成立. ③得出相应结论. （2）图象法：函数图象关于成中心对称图形是奇函数，关于轴成轴对称图形是偶函数. （3）性质法：奇函数±奇函数＝奇函数；奇函数±偶函数＝非奇非偶函数；偶函数±偶函数＝偶函数；奇函数奇函数＝偶函数；奇函数偶函数＝奇函数. 4．奇函数与偶函数的单调性 （1）如果一个函数是奇函数，那么它在关于原点对称的区间上单调性相同；如果一个函数是偶函数，那么它在关于原点对称的区间上单调性相反. （2）偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大（小）值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数. 5．常见函数的奇偶性 （1）对于常量函数（为常数），若定义域关于原点对称，则是偶函数.特别地，当时，若定义域关于原点对称，则既是奇函数又是偶函数. （2）一次函数为奇函数. （3）二次函数为偶函数. （4）反比例函数是奇函数. （5）正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数. （6）函数为奇数，是奇函数；为偶数，是偶函数. 1．（2021山东真题）已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，且. （1）求实数的值； （2）求该函数的解析式. 【答案】见解析 【解析】（1）因为，所以，所以. （2）设，则，所以， 因为是定义在R上的奇函数， 所以，即， 综上所述，. 2．（2022山东真题）已知函数是奇函数，则实数（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【解析】函数的定义域为R，因为是奇函数，所以， 所以， 所以，因为，所以，即. 故选：C 3．（2023山东真题）已知偶函数的定义域是，对定义域内任意的，都有，当时，，则的值是 【答案】0 【解析】由偶函数可知， 所以， 所以， 又，所以. 故答案为：0 4．（2024山东真题）函数是偶函数的充要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】是偶函数，图象对称轴是，所以， 当时，，显然是偶函数. 故选：B 5．（2025山东真题）已知函数是奇函数，函数，若，则（   ）. A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，函数， 所以， 又函数是奇函数， 所以，故. 故选：D 1．下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递增的为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】是奇函数，在定义域上是减函数； 是奇函数，由于区间不同，单调性不同； 是偶函数，在上是增函数； 既不是奇函数也不是偶函数，在R上单调递减. 故选：C 2．函数（    ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数也不是偶函数 【答案】D 【解析】因为函数，定义域不关于原点对称，故函数既不是奇函数也不是偶函数. 故选：D 3．已知函数是R上的奇函数，且，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【解析】因为函数是R上的奇函数，且， 所以，所以. 故选：B 4．已知函数是R上的奇函数，当时，，则的值是（    ） A． B． C．1 D．3 【答案】A 【解析】因为当时，，所以， 因为函数是奇函数，所以. 故选：A 5．已知函数，若，则的值为（    ） A． B．2 C．8 D．6 【答案】C 【解析】令，函数的定义域为R，关于原点对称， 因为， 所以函数是奇函数， 因为， 所以，从而，所以. 故选：C 6．已知函数是奇函数，，则的值为（    ） A． B． C．8 D．6 【答案】D 【解析】因为， 所以， 所以，又因为是奇函数，所以 故选：D 7．已知函数是奇函数，则（    ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数也不是偶函数 【答案】B 【解析】因为是奇函数，所以，所以， 因为中不含奇数项，，所以为偶函数. 故选：B 8．已知函数是上的奇函数，当时，，则当时，的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当时，，所以， 又因为是上的奇函数， 所以，即， 所以当时，. 故选：C 9．已知函数是上的偶函数，且当时，，则当时，的解析式是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当时，，所以， 又因为是上的偶函数， 所以，即， 所以当时，. 故选：C 10．下列函数中，为奇函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】选项D满足定义域关于原点对称，且，是奇函数 故选：D 11．已知定义在R上的偶函数满足：对任意，都有0，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意知，偶函数在区间上是增函数， 所以，所以. 故选：A 12．若函数为奇函数，当时，，则下列各点中一定在的图象上的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为函数为奇函数，当时，，所以，所以. 故选：B 13．已知函数为奇函数，当时，是增函数，且，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵为奇函数，，∴， ∵当时，是增函数， ∴在上单调递增， 故的解集为. 故选：C 14．若函数为偶函数，且，则实数 . 【答案】 【解析】根据函数的奇偶性的定义知，定义域关于原点对称，所以，解得. 故答案为： 15．已知函数为奇函数，则实数 . 【答案】1 【解析】因为函数为奇函数，根据解析式可知定义域为R，则有，所以，即. 故答案为：1 16．已知奇函数在上是增函数且最小值是9，则在上是 （填“增”或“减”）函数，最大值是 . 【答案】增； 【解析】因为奇函数在上是增函数且最小值是9， 所以，且在上是增函数， 所以在上最大值是. 故答案为：增； 17．判断下列函数的奇偶性． （1）； （2）； （3）； （4）. 【答案】见解析 【解析】（1）函数的定义域为，不关于原点对称， 所以既不是奇函数也不是偶函数. （2）函数的定义域为R，关于原点对称，， 则且，所以既不是奇函数也不是偶函数. （3）函数的定义域为，关于原点对称， ，所以为奇函数. （4）函数的定义域为，关于原点对称， 对于定义域内的任意实数都满足，所以既是奇函数又是偶函数. 18．设函数是定义在R上的奇函数，当时，. （1）求当时，函数的解析式； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】见解析 【解析】（1）因为是定义在R上的奇函数，当时，， 所以当时，， 则， 因为是定义在R上的奇函数， 所以，所以， 所以当时，. （2）因为， 所以， 所以， 易知，当时，单调递增， 所以当时，也单调递增， 所以，即， 解得或， 所以实数的取值范围是. 19．已知函数是奇函数，且当时，，求当时的解析式. 【答案】. 【分析】本题主要考查利用函数的奇偶性求解析式，求当时的解析式，应先变形为，然后充分利用当时的解析式，再结合函数奇偶性的概念进行变形求解. 【解析】当时，， 因为当时，，所以 又因为是奇函数，所以，即. 所以当时，. 20．已知函数是偶函数，且当时，，求当时的解析式. 【答案】 【解析】当时，， 因为当时，，所以 又因为是偶函数所以，即. 所以当时，. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$