专题02 函数的单调性- 山东省2026年春季高考一轮复习《数学知识点清单》（原卷版+解析版）

编写说明：山东省2026年春季高考一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及山东历年高考真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含11个模块共42个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题。 本专题是山东省2026年春季高考一轮复习《数学知识点清单》的模块3函数的第2个专题：函数的单调性。本专题涵盖含有增函数、减函数的的概念及性质、判断函数单调性的方法等知识点，每个知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 山东省2026年春季高考 一轮复习 《数学知识点清单》 专题02 函数的单调性（讲义） 知识点 函数的单调性 1．增函数 （1）定义：对于给定区间上的任意两个不相等的变量，记，相应的，当时，就说在这个区间上是增函数. （2）图象特征：随的增大而增大，自左向右图象（如图所示）呈上升趋势. 2．减函数 （1）定义：对于给定区间上的任意两个不相等的变量，记，相应的，当时，就说在这个区间上是减函数. （2）图象特征：随的增大而减小，自左向右图象（如图所示）呈下降趋势． 3．单调区间 如果一个函数在某个区间上是增函数或者是减函数，就说这个函数在这个区间上具有（严格的）单调性，这个区间称为函数的单调区间. 函数的单调区间一般是指保持函数单调性的最大区间. 4．判断（证明）函数单调性的方法 （1）观察函数图象的特征． （2）利用函数单调性的定义． ①取值：在给定区间上任取两个不相等的变量，则. ②计算： ③判断：的正负号. ④结论：当时，函数在这个区间上是增函数；当时，函数在这个区间上是减函数. 5．基本函数的单调性的判定 （1）正比例函数、一次函数、反比例函数，主要看的符号． （2）二次函数先看的符号，然后求出对称轴，画图象，对称轴两边单调性正好相反． （3）指数函数、对数函数的单调性主要区分底数与1的大小． （4）正弦、余弦函数套用相应的单调区间结论． （5）分段函数要分段讨论． （6）与在相同区间内的单调性正好相反. 1．（2020山东真题）已知函数的定义域是，若对于任意两个不相等的实数，总有成立，则函数一定是（   ） A．奇函数 B．偶函数 C．增函数 D．减函数 【答案】C 【解析】因为，所以函数为增函数. 故选：C 2．（2021山东真题）已知函数在区间上是减函数，则下列关系中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为在区间上是减函数， 所以由函数单调性可知当越大，反而越小， 因为，所以． 故选：A 3．（2022山东真题）已知函数，且. （1）求实数的值； （2）证明：函数在区间上是减函数. 【答案】见解析 【解析】（1）因为函数，且，所以，解得. （2）设是上任意两个不相等的实数， 则， 又因为，， 所以， 故函数在区间上是减函数. 4．（2024山东真题）已知是定义在上的减函数，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为定义在上的减函数，且，所以，解得. 故选：B 5．（2024临沂模拟）若函数在上是增函数，则（   ）. A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为函数在上是增函数，所以，即. 故选：A 1．若函数的图象在上呈下降趋势，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．不确定 【答案】A 【解析】由题意知在上是减函数，所以. 故选：A 2．在上，和都是减函数，则是（    ） A．增函数 B．减函数 C．先增后减函数 D．先减后增函数 【答案】B 【解析】在上任取， 则 ， ， 因为在上，和都是减函数， 所以，， 所以，所以在上是减函数. 故选：B 3．下列函数中，在区间上为增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】函数在上为减函数； 在上为减函数； 在上为减函数； 函数开口向上，且对称轴为，在上为增函数. 故选：B 4．已知函数的图象如图所示，则函数的单调区间（保持函数单调性的最大区间）有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解析】由图可知的单调增区间为和，单调减区间为和，共有4个单调区间． 故选：D 5．已知函数定义在上的增函数，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为函数定义在上的增函数，且，所以，即. 故选：C 6．若函数在区间上为减函数，则满足的实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为在区间上为减函数，即函数值随增大而减小，所以. 故选：B 7．若函数在上是增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为函数在上是增函数，所以，即. 故选：A 8．若函数在区间上是减函数，那么实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，化简得，解得. 故选：B 9．设，若是的最小值，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，当时，的极小值为，当时，极小值为， 又是的最小值，则. 故选：C 10．已知函数在区间是减函数，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对称轴为，开口向上，在区间是减函数，所以 故选：A 11．已知函数在上是增函数，若，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为在上是增函数，且，所以，解得. 故选：C 12．函数在区间上具有单调性，则的取值范围为 . 【答案】 【解析】二次函数的对称轴为，因函数在区间上具有单调性，所以或 故答案为： 13．已知二次函数在区间上是减函数，则实数的取值范围为 . 【答案】 【解析】由题意得，其对称轴为直线， 因为函数在区间上是减函数，所以，解得 故答案为： 14．已知函数在上是增函数，且，则实数的取值范围为 . 【答案】或 【分析】本题主要考查利用函数的单调性求参数的取值范围，根据增函数的概念，自变量和函数值的单调性是一致的，由此得到不等式. 解决此类问题应灵活转化为解不等式，注意结合定义域求解. 【解析】由题意得，即， 解得或. 故答案为：或. 15．已知函数在区间上单调递增，求满足的实数的取值范围． 【答案】 【解析】由函数在区间上单调递增， 所以，解得 或， 所以实数的取值范围为. 16．判断函数在区间上的单调性． 【答案】见解析 【解析】 设任意且， 则， 所以. 由,得， 所以，即， 所以函数在区间上为减函数. 17．已知，函数，求证：函数在区间上是减函数. 【答案】见解析 【解析】设任意，且， 则，，所以， 因为且， 所以，则， 所以，即， 所以函数在区间上为减函数. 18．已知二次函数，求证：函数在区间上是减函数. 【答案】见解析 【解析】设任意，且， 则， ， 因为，所以， 即，所以， 所以函数在区间上为减函数. 19．已知函数是定义在区间上的减函数，且，求实数的取值范围. 【答案】 【解析】由函数是定义在区间上的减函数， 所以，解得， 所以的取值范围是 20．求证：函数在区间上单调递减. 【答案】见解析 【解析】设任意，且， 则， 因为，所以， 所以，故函数在区间上单调递减 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 编写说明：山东省2026年春季高考一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及山东历年高考真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含11个模块共42个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题。 本专题是山东省2026年春季高考一轮复习《数学知识点清单》的模块3函数的第2个专题：函数的单调性。本专题涵盖含有增函数、减函数的的概念及性质、判断函数单调性的方法等知识点，每个知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 山东省2026年春季高考 一轮复习 《数学知识点清单》 专题02 函数的单调性（讲义） 知识点 函数的单调性 1．增函数 （1）定义：对于给定区间上的任意两个不相等的变量，记，相应的，当时，就说在这个区间上是增函数. （2）图象特征：随的增大而增大，自左向右图象（如图所示）呈上升趋势. 2．减函数 （1）定义：对于给定区间上的任意两个不相等的变量，记，相应的，当时，就说在这个区间上是减函数. （2）图象特征：随的增大而减小，自左向右图象（如图所示）呈下降趋势． 3．单调区间 如果一个函数在某个区间上是增函数或者是减函数，就说这个函数在这个区间上具有（严格的）单调性，这个区间称为函数的单调区间. 函数的单调区间一般是指保持函数单调性的最大区间. 4．判断（证明）函数单调性的方法 （1）观察函数图象的特征． （2）利用函数单调性的定义． ①取值：在给定区间上任取两个不相等的变量，则. ②计算： ③判断：的正负号. ④结论：当时，函数在这个区间上是增函数；当时，函数在这个区间上是减函数. 5．基本函数的单调性的判定 （1）正比例函数、一次函数、反比例函数，主要看的符号． （2）二次函数先看的符号，然后求出对称轴，画图象，对称轴两边单调性正好相反． （3）指数函数、对数函数的单调性主要区分底数与1的大小． （4）正弦、余弦函数套用相应的单调区间结论． （5）分段函数要分段讨论． （6）与在相同区间内的单调性正好相反. 1．（2020山东真题）已知函数的定义域是，若对于任意两个不相等的实数，总有成立，则函数一定是（   ） A．奇函数 B．偶函数 C．增函数 D．减函数 2．（2021山东真题）已知函数在区间上是减函数，则下列关系中，正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（2022山东真题）已知函数，且. （1）求实数的值； （2）证明：函数在区间上是减函数. 4．（2024山东真题）已知是定义在上的减函数，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（2024临沂模拟）若函数在上是增函数，则（   ）. A． B． C． D． 1．若函数的图象在上呈下降趋势，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．不确定 2．在上，和都是减函数，则是（    ） A．增函数 B．减函数 C．先增后减函数 D．先减后增函数 3．下列函数中，在区间上为增函数的是（    ） A． B． C． D． 4．已知函数的图象如图所示，则函数的单调区间（保持函数单调性的最大区间）有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 5．已知函数定义在上的增函数，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．若函数在区间上为减函数，则满足的实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．若函数在上是增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．若函数在区间上是减函数，那么实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．设，若是的最小值，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 10．已知函数在区间是减函数，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 11．已知函数在上是增函数，若，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 12．函数在区间上具有单调性，则的取值范围为 . 13．已知二次函数在区间上是减函数，则实数的取值范围为 . 14．已知函数在上是增函数，且，则实数的取值范围为 . 15．已知函数在区间上单调递增，求满足的实数的取值范围． 16．判断函数在区间上的单调性． 17．已知，函数，求证：函数在区间上是减函数. 18．已知二次函数，求证：函数在区间上是减函数. 19．已知函数是定义在区间上的减函数，且，求实数的取值范围. 20．求证：函数在区间上单调递减. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$