数列不等式问题、数列新定义问题、数列实际应用问题专项训练-2026届高三数学一轮复习

数列：数列不等式问题、数列新定义问题、数列实际应用问题专项训练 数列：数列不等式问题、数列新定义问题、数列实际应用问题专项训练 考点一 数列不等式问题 1．（24-25高二下·黑龙江绥化·期中）在正项等比数列中，，，若当时，恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设等比数列公比为，，. ，，解得，， 由得，即. 记，则， 当时，，时，， 因此 故时，取到得最小值是－16.，即实数的取值范围为， 故选:B. 2．（2025·甘肃定西·模拟预测）已知等比数列的前项和为，若对于任意，不等式恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设数列的公比为，由题意知， 由，解得， 所以， 因为，当且仅当，即时等号成立， 所以，解得. 故选：A 3．（2025·山东泰安·模拟预测）公差不为的等差数列的前项和为，若，成等比数列，则满足的的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设数列的公差为， 因为，成等比数列， 所以， 解得， 所以， 故. 由，得，解得.   ∵，∴的最大值为. 故选：D. 4．（2025·海南·模拟预测）数列满足，对于任意的恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意令，所以，对比，可得， 所以数列是以为首项，2为公比的等比数列， 所以， 所以， 对于任意的恒成立，即对于任意的恒成立， 即对于任意的恒成立， 显然当增大时，减小，此时增大， 所以. 故选：A. 5．（24-25高二下·广东江门·期末）已知数列的前项和为，且，设，，若数列是递增数列，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意，所以，解得， 而， 从而，所以， 所以是以为首项、2为公比的等比数列， 所以，解得， 所以， 若数列是递增数列，则当且仅当恒成立， 所以恒成立， 所以恒成立，所以， 所以实数的取值范围是. 故选：B. 6．（24-25高二下·辽宁鞍山·期末）已知单调递增数列的通项公式为，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由已知恒成立，即恒成立， 为奇数时，，，的最小值是，所以，， 为偶数时，，，的最小值是，所以，， 所以， 故选：A. 7．（24-25高三下·陕西咸阳·阶段练习·多选）已知数列的前项和为，满足，数列满足，记，数列的前项和为，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．若，则的最大值为8 D．满足的最大值为8 【答案】AC 【详解】对于A，因为2），所以， 所以数列是等差数列，设公差为， 因为，，所以，解得， 所以，正确； 对于B，因为，，所以，所以数列是公比为2的等比数列， 所以，所以， 所以，错误． 对于C，由B知， 所以恒成立，所以数列单调递增， 当时，， 当时，， 所以的最大值为8，正确； 对于D，设， 则， 令，所以， 当时，，即， 所以当时，单调递增， 即当时单调递增， 当时，，即； 当时，，即； 当时，，即； 当时，，即； 当时，，即； 当时，，即， 所以当时，单调递减， 当时，单调递增， 因为， 所以满足，的最大值为7，错误． 故选：AC 8．（24-25高二下·江苏南京·期中·多选）数列满足，且，数列的前项和为．从的前项中任取两项，它们之和是奇数的概率为，数列的前项积为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】，，， 又，所以数列是首项为3，公差为1的等差数列.， 即，， 对于选项A：，故A对； 对于选项B：，故B错； 对于选项C：显然为奇数时，为奇数，为偶数时，为偶数， 因此要满足两项之和为奇数，则取奇偶各一个， 所以，故C对； 对于选项D：当时，满足； 当时，， 所以，故D对. 故答案为：ACD. 9．（24-25高二下·辽宁大连·期中）已知在数列中，，，设数列的前项和为，若不等式对恒成立，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】由题意知，则数列是首项为的常数列， ， ，，， 当且仅当，即时取等号， ，则的最小值为． 故答案为：． 10．（24-25高二下·江苏南京·期中）已知设，，，是圆心在抛物线上的一系列圆，它们圆心的横坐标分别记为，，，，已知，，，2，3，，都与轴相切，且顺次逐个相邻外切． (1)求； (2)求由，，，构成的数列的通项公式； (3)求证：． 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析. 【详解】（1）由题设，整理得， 或，又，则； （2）由题意知：，， 所以，，且， ，两边平方，整理得， ， ， ， 故是以4为首项，公差为2的等差数列， ， ； （3）， . 11．（2025·江西·模拟预测）已知数列的首项. (1)求数列的通项公式； (2)若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）数列的首项，可得， 而，故，故， 即数列是首项和公比均为3的等比数列，可得，即. （2）若恒成立，即为，即恒成立， 设，可得，. 即数列是单调递减数列，可得， 所以，即实数的取值范围是 12．（24-25高二下·北京西城·阶段练习）已知等差数列的公差为，且满足. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和； (3)若等比数列满足，设数列的前项和为.若对任意，不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）已知等差数列的公差为，， ， 所以，经检验符合题意； （2）因为， 所以. （3）数列为等比数列，， 所以首项为1，公比为的等比数列， 则， 又对任意，不等式恒成立， 所以. 13．（24-25高二下·四川眉山·期末）已知数列的前项和为，其中为常数，且． (1)求的值，并求； (2)，数列的前项和为，若，都有恒成立，求实数的最小值． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）由已知，，， 所以，则，所以， ， （）， 且也成立， 所以． （2）由（1）可知，，则， 则， ， 两式作差得，， 则， ，， 所以数列为递增数列， 因，则，即， 又，都有恒成立，则，则实数的最小值为． 14．（24-25高二下·辽宁锦州·期末）已知数列的首项的前项和为，且. (1)证明数列是等比数列； (2)令，求函数在点处的导数； (3)设，是否存在实数，使对任意正整数都成立，若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)不存在，理由见解析. 【详解】（1）证明：因为，所以， 所以， 又，即， 所以数列是公比和首项均为2的等比数列. （2）由（1），所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以. （3）不存在，理由如下：由题， 则，设对任意正整数都成立， 则当为偶数时，， 因为为偶数，所以，所以； 当为奇数时，， 因为为奇数，所以，所以， 综上所述，不存在实数，使对任意正整数都成立. 15．（24-25高二下·陕西渭南·期末）已知等差数列的前n项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)已知数列满足， （i）求数列的前n项和； （ii）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【详解】（1）设等差数列的公差为d，则，解得， ； （2）（i）由（1）知， ， ， ， ； （ii）由（i）得， 设，则， ，数列是递增数列， 当n为偶数时，恒成立，， 当为奇数时，恒成立，，， 实数的取值范围为. 考点二 数列新定义问题 1．（2025·河北·模拟预测）我们把各项均为0或1的数列称为数列，数列在计算机科学和信息技术领域有着广泛的应用．把佩尔数列（，，，）中的奇数换成0，偶数换成1，得到数列，记的前n项和为，则（    ） A．20 B．15 C．12 D．10 【答案】B 【详解】因为，，， 所以， 可以看出数列的前30项为, 所以， 故选：B. 2．（24-25高二下·广东广州·阶段练习）在数列中，如果存在正整数T，使得，对于任意的正整数m均成立，那么称数列为周期数列，其中T叫做数列的周期.已知数列满足，如果，，当数列的周期最小时，该数列前2025项的和是（    ） A．674 B．1348 C．1350 D．2024 【答案】C 【详解】若数列的周期为1，则，但，矛盾，所以数列的周期不可能为1. 若数列的周期为2，则，，且，又，所以解得， 而当时，，矛盾，所以数列的周期不可能为2. 若数列的周期为3，则，，且，， 所以或，又，所以，且此时有， 所以或，又，所以，解得符合题意， 当时，数列为：1，1，0，1，1，0，…，满足题意， 此时， 所以该数列前2025项的和是. 故选：C. 3．（24-25高二下·上海杨浦·期末）已知无穷数列是各项均为正数的严格减数列.若存在实数，对任意正整数都有成立，则称数列具有“性质”；若存在实数，对任意正实数，数列至多有一项属于开区间，则称数列具有“性质”.则数列具有“性质”是具有“性质”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】充分性：若数列具有性质P，即存在使得，则对于任意正实数，区间内至多有一项； 否则，若存在两项，，满足，，则，导致， 故数列具有“性质”；所以数列具有“性质”是具有“性质”的充分条件； 必要性：举反例，满足性质（取），但不满足性质（因趋近于1，无法找到固定的）； 所以数列具有“性质”不是具有“性质”的必要条件； 故选：A. 4．（2025·江西·模拟预测）若数列满足且，则称数列为“对数底数列”.已知正项数列是“对数2底数列”且，则当且时，（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为正项数列是“对数2底数列”，所以，所以， 所以且， 以上式子相乘得，所以， 所以，得， 即，得，因为，所以； 同理，，所以，所以， 所以.故. 故选：C. 5．（2025·湖南岳阳·三模·多选）已知有穷数列的通项公式为，其项数不少于4项，从中选取项组成数列，数列满足，，则（    ） A．数列是单调数列 B．当时， C．当时， D．数列的个数为 【答案】BCD 【详解】因为数列满足，即必须在和之间， 无法满足单调性，所以A错误； 对于B，当时，各项大小关系为： ； 或者 从而或， 故，B正确； 当时，同B的分析可得： 或： ， 而各项均为正整数，故，C正确； 从项中选项有种方式，由BC的分析可得： 当时，各项的排列次序唯一确定，且为所有项中的最大项， 为所有项中的最小项，为余下项的最大项，为余下项中的最小值， 类似确定； 当时，同理可得各项的排列次序唯一确定； 故数列的个数为，D正确. 故选：BCD. 6．（2025·福建泉州·模拟预测·多选）帕多瓦数列是与斐波那契数列相似的又一著名数列，在数学上，帕多瓦数列被以下递推的方法定义：数列的前n项和为，且满足：，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C．是偶数 D． 【答案】BD 【详解】由题设，， ，，故A错误； 由上分析，，故B正确； 由知：*表示奇数，@表示偶数，如下表， 1 1 1 2 2 3 4 5 7 9 12 16 21 28 * * * @ @ * @ * * * @ @ * @ …… 显然，该数列奇偶数出现以7为周期，一个周期内下标从小到大对应项依次出现3个奇数，2个偶数， 1个奇数，1个偶数，而，故是奇数，故C错误； 由，，，…，，且，, 所以，又， 故，故D正确． 故选：BD. 7．（24-25高二下·山东日照·期末·多选）已知数列，设，若数列满足：存在常数，使得对于任意两两不相等的正整数，，，都有，则称数列具有性质，下列结论正确的是（    ） A．若，则数列具有性质 B．若数列的前项和，则数列具有性质 C．若数列具有性质，则常数 D．若数列具有性质，则为等差数列 【答案】ACD 【详解】对于C，若具有性质，则①， 交换i，j的位置②，①+②， ，C正确． 对于A，若，，对两两不等的正整数i，j，k 符合条件， 具有性质，A正确． 对于B，，取，，，， 不具有性质，B错． 对于D，令，，记为数列的前n项和，具有性质， ， ①， 时，②， ①-②， （且），而时，上式也成立 对恒成立，为等差数列，D正确. 故选：ACD． 8．（24-25高二下·广东深圳·期末·多选）对于正整数是小于或等于n的正整数中与n互质的数的数目（若两个正整数的最大公因数是1，则称这两个正整数互质）.函数以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如（10与1，3，7，9均互质），则（    ） A． B．若p为质数，则数列为等比数列 C．数列的前5项和等于 D．，使得 【答案】ABD 【详解】对于A选项，与20不互质的是2的倍数（10个）以及5的倍数（4个）， 减去重复计数的10的倍数（2个），总共12个，； 与25不互质的只有5的倍数（5个），所以， 所以，故A正确； 对于B选项，设为质数，则小于等于的正整数中与不互质的数只有的倍数， 所以互质的数的数目为， 故，所以为常数， 所以数列为等比数列，故B正确； 对于C选项，根据选项B可知，， 数列的前5项和为，故C错误； 对于D选项， ，， 4不是质数，， 即判断是否存在使得，观察得到时等式成立，故D正确． 故选：ABD. 9．（24-25高二下·江西抚州·期末）斐波那契数列（Fibonaccisequence），又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多•斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：，，，，，，，，，，在数学上，斐波那契数列以如下递推的方式定义：，，，.若集合为集合的非空子集，则集合中所有元素之和为奇数的概率为 . 【答案】 【详解】由斐波那契数列规律可知，集合中的元素有675个偶数，1350个奇数， 记中所有偶数组成的集合为，所有奇数组成的集合为，为集合的子集， 集合中含有奇数个元素的子集为，则所有元素之和为奇数的集合可看成. 易知，集合共有个，集合共有个， 所以所有元素之和为奇数的集合共有个. 又集合的非空子集共有个，所以中所有元素之和为奇数的概率为. 故答案为：. 10．（24-25高二下·北京房山·期末）对于数列，若存在，使得对任意，都有，即，则称为“差有界数列”.给出以下四个结论： ①若等差数列的公差，则该数列为“差有界数列”； ②若等差数列为“差有界数列”，则其公差； ③若数列为“差有界数列”，则为“差有界数列”； ④若数列为“差有界数列”，则为“差有界数列”. 其中正确结论的序号为 . 【答案】①②③ 【详解】对于①，若等差数列的公差，则显然存在，使得对任意，都有， 即该数列为“差有界数列”，故①正确； 对于②，若等差数列为“差有界数列”， 则存在，使得对任意，都有，其中是等差数列的公差， 若，则对于任意给定的，当充分大时，总有，矛盾， 所有，故②正确； 对于③，若数列为“差有界数列”， 则存在，使得对任意，都有， 因为， 所以，则为“差有界数列”，故③正确； 对于④，取，则存在，使得对任意，都有， 即此时数列为“差有界数列”， 而，这意味着对于任意给定的，当充分大时，总有， 所以此时不是“差有界数列”，故④错误. 故答案为：①②③. 11．（24-25高二下·广东揭阳·期末）若数列满足，则称数列为项数列，由所有项数列组成的集合为． (1)若是项数列，当且仅当时，，求数列的所有项的和； (2)已知，且与是两个不同的数列，定义离散型随机变量其中，且． （ⅰ）求取到最大值时的值； （ⅱ）求随机变量的分布列，并证明：当时，． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）分布列为，证明见解析 【详解】（1）数列是项数列，当且仅当时，； 当，，时，. 设数列所有项的和为，则 . （2）（i）因为数列、是从集合中任意取出的两个数列， 所以，数列、均为项数列，所以的可能取值有、、、、， 根据数列中的个数可得，集合的元素个数为， 当时，数列、中有项取值不同，有项取值相同， 先确定有种情况，然后在中选取项，这项与的对应项的取值不同， 有种情况，则与的选择共有种情况， 数列、是从集合中任意取出的两个数列，所有可能情况有种， 所以， 由，化简可得，解得， 则当时，取得最大值； （ii）由（i）知集合中元素的个数为， 当时，数列、中有项取值不同，有项取值相同， 先确定有种情况，然后在中选取项与对应项取值不同有种情况， 则与的选择情况共有种情况， 数列是从集合中任意取出的两个数列，所有可能情况有种， 所以随机变量的分布列为， 因为， 所以 ，即， 当时，. 12．（24-25高二下·辽宁鞍山·期末）为实数，无穷数列为数列时满足：；；． (1)若数列前四项分别为，，，，判断数列是否有可能为数列； (2)若数列为数列，求的值； (3)数列前项和为，则是否存在值，，恒成立.如果有，求出所有符合要求的值；如果没有，请说明原因． 【答案】(1)数列不可能为数列，理由见解析 (2). (3)存在，. 【详解】（1）数列不可能为数列，理由如下： 因为，，，所以，. 因为，所以，所以数列不可能为数列. （2）由数列定义，可知满足：，；； 或. 由或以及，可知，所以. 由或，或， 以及，可得，. 由或，以及，可知， 同理，由或，以及，可知. （3）假设数列是满足“恒成立”的数列. 因为或，且，所以， 由，可知， 从而或. 又因为，所以. 因为，且，所以. 又因为，所以. 因为，且，所以. 因为，所以. 根据假设，由可知，所以， 由及，可知. 由可知，所以. 综上可知，若数列是满足“恒成立”的数列，则. 当时，考虑数列：. 下面验证数列满足数列的要求： 由，可知. 因为，， 所以.，，使得，， 所以，， 所以，， 又， 所以：当时，；当时，. 所以. 由通项公式可知，当时，；当时，， 所以恒成立. 综上所述，存在数列，使得恒成立，此时. 13．（24-25高二下·江苏南京·期末）已知数列的前项和为，若存在常数，使得对任意都成立，则称数列具有性质． (1)若数列的通项公式，求证：数列具有性质； (2)设数列的各项均为正数，且具有性质． ①若数列是公比为的等比数列，且，求的值： ②求的最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2)①；②4 【详解】（1）因为，所以， 所以数列是以为公差，为首项的等差数列， 所以， 所以， 即，所以数列具有性质； （2）①由数列具有性质得， 又等比数列的公比为， 若，则， 解得，与为任意正整数相矛盾， 当时，， 而，整理得， 若，则， 解得，与矛盾， 若，则， 当时，恒成立，满足题意， 当且时，， 解得，与矛盾， 所以； ②由，得， 即，因此，当且仅当时取等号， 即，则有， 由数列各项均为正数， 得，从而，即， 若，则，与矛盾， 因此当时，恒成立，符合题意， 所以的最小值为4． 14．（24-25高二下·北京延庆·期末）已知A：，，…，为有穷实数数列.对于实数x，若A中存在，，，…，，使得，则称x为A的连续可表数，将所有A的连续可表数构成的集合记作. (1)设数列A：1，2，3；B：1，1，1，2.写出和. (2)是否存在数列A，满足，若存在，求出所有数列A，若不存在，说明理由； (3)求出所有的整数m，使得存在数列A，满足. 【答案】(1)， (2)不存在，理由见解析 (3)－5，－4，－3，－2，－1，0，1 【详解】（1）数列A：1，2，3，所有A的连续可表数构成的集合， 则，，；，，， 则，同理可得. （2）若数列A：，，…，满足，不妨设. 假设数列A只有两项，则中至多3个元素，这与中有5项矛盾，故假设错误， 所以数列A至少3项，即，. 因为数列A：，，…，中任意一项都属于， 所以，所以，解得，所以； 又因为且，所以， 此时，即不存在数列A满足. （3）若数列A：，，…，满足， 不妨设.由（2）可知数列A至少3项，即，. ①当时，由， 得，且， 解得，所以，又，所以，即，2； 由（2）可知不成立，所以， 令数列A：1，1，1，1，1，满足； ②当，即时，由， 得，且， 解得，所以，又，则，－6； 当时，令数列A：－1，－1，－1，－1，－1，满足； 当时，由（2）同理可得不成立. ③当时，由，，－3，－2，－1，0. 当时，令数列A：0，1，1，1，1，满足； 当时，令数列A：－1，0，1，1，1，满足； 当时，令数列A：－1，－1，0，1，1，满足； 当时，令数列A：－1，－1，－1，0，1，满足； 当时，令数列A：－1，－1，－1，－1，0，满足； 综上所述，m可能的取值有－5，－4，－3，－2，－1，0，1. 15．（2025·安徽马鞍山·模拟预测）已知且，数列，定义数列的一个变换，在变换下数列变为新的数列，记，设． (1)若，求； (2)若，且，记数列的末项为，求数列的前100项的和； (3)若，数列不是常数列，求证：存在，使得对任意，数列中至少有一项的绝对值大于2025． 【答案】(1)， (2)9999 (3)证明见解析 【详解】（1）由定义知：， ． （2）由题，，故；，故； ，故，依次类推知； 故． （3）当时，记数列， 则时，不全为 ． 故时， ． 取使得， 则对任意，故中至少有一个数大于， 即数列中至少有一项的绝对值大于2025． 16．（24-25高二下·北京大兴·期末）若有穷数列，，，满足如下三个性质，则称Q为数列：①项数；②，；③令集合，对，，或． (1)判断数列0，2，4，6是否是数列，并说明理由； (2)若，，，为数列，求证：对，满足； (3)已知，，，为数列，求证：当时，Q是等差数列． 【答案】(1)数列0，2，4，6是数列，理由见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【详解】（1）由题意知，集合． 因为数列0，2，4，6共有4项，， 且，，，，，，，，， 都是集合的元素， 所以数列0，2，4，6是数列． （2）由题意知，集合． 已知，，，为数列． ①因为，所以，所以，． 故．因此． 所以满足． ②当时，因为， 所以，． 所以对于，满足，即． 所以对，满足 （3）因为，，，为数列， 所以， 且． 所以，，，，，． 即，．① 当时，， 所以，． 由， 且． 所以，，，，， 所以，． 因为时，，， 所以，且， 有，．② 将①②两式相减得，． 因此，当时，，，，是等差数列． 考点三 数列实际应用问题 1．（2023·陕西宝鸡·模拟预测）某农村合作社引进先进技术提升某农产品的深加工技术，以此达到10年内每年此农产品的销售额（单位：万元）等于上一年的1.3倍再减去3.已知第一年（2024年）该公司该产品的销售额为100万元，则按照计划该公司从2024年到2033年该产品的销售总额约为（    ）（参考数据：） A．3937万元 B．3837万元 C．3737万元 D．3637万元 【答案】A 【详解】设该公司在2024年，2025年，...，2033年的销售额（单位：万元）分别为. 依题意可得，则， 所以数列是首项为90，公比为1.3的等比数列， 则，即， 则， 故从2024年到2033年该产品的销售总额约为3937万元. 故选：A. 2．（24-25高二下·辽宁沈阳·期中）甲、乙两名大学生同时于2025年5月初向银行贷款5000元，甲与银行约定按“等额本金还款法”进行还款，乙与银行约定按“等额本息还款法”进行还款；两人都分12次还清所有的欠款，从2025年6月初开始，每个月月初还一次款，贷款月利率均为0.4%，则2025年10月初甲比乙将多还多少元（精确到个位，参考数据：，，）（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【详解】学生甲从5月初到9月初已经还了4个月， 在第5个月的还款额为元， 设学生乙每个月的还款额均为元，第个月还款后还剩余元未还， 显然，，， ……，， 显然，故， 所以，故， 依次类推，可得， 即， 所以， 由等比数列求和公式可得 ， 故元， 学生乙每个月的还款额均为元， 所以甲比乙将多还元． 故选：A 3．（24-25高二下·北京延庆·期中）北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中记载了“隙积术”，提出长方台形垛积的一般求和公式.如图，由大小相同的小球堆成的一个长方台形垛积的第一层有个小球，第二层有个小球，第三层有个小球……依此类推，最底层有个小球，共有层，由“隙积术”可得这些小球的总个数为.若由小球堆成的某个长方台形垛积有8层，小球总个数是460，则该垛积的第一层小球个数可以是（   ） A．5 B．8 C．12 D．19 【答案】C 【详解】当时，最底层小球的数量为，即，， 从而有， 整理得，由皆为正整数，得是不超过10的正偶数， 当时，，无解；当时，，无解； 当时，，无解；当时，，解得或，符合题意； 当时，，无正整数解， 所以该垛积的第一层小球个数. 故选：C 4．（24-25高二下·广东韶关·期末）今年某企业投产高新设备，合格品全部销售完毕，预设第个月将实现销量倍增的目标．已知每月产量在前一个月的基础上提高，第个月产品合格率为，前个月合格率每月增加，之后合格率保持不变．则的值为（   ）（且，参考数据：，） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设第个月的产量和合格率分别构成数列、， 不妨设，则数列是首项为，公比为的等比数列，故， 的前项构成以为首项，公差为的等差数列， 故当时，， 由题意可知当时，， 则该公司第个月的销量为， 当时，， 当时，，，则， 故数列为递增数列，且， 因为，， 当时，，此时数列单调递增， 此时，不合乎题意，故. 故选：B. 5．（24-25高三上·山西·期末·多选）甲、乙、丙、丁四人玩报数游戏：第一轮，甲报数字，乙报数字，，丙报数字，，，丁报数字，，，；第二轮，甲报数字，，，，，依次循环，直到报出数字，游戏结束，则（   ） A．是乙报的 B．是丁报的 C．甲共报了轮 D．甲在前四轮所报数字之和大于 【答案】BC 【详解】甲、乙、丙、丁第轮的报数个数分别为，，，， 前轮共报数个数为. 当时，； 当时，； 且，故是甲报出的，且甲报了轮，A错误，C正确； 对于B，当时，； 当时，，故在第轮报数中，， 故数字是丁报的，B正确； 对于D，甲在前四轮所报数字之和为，D错误. 故选：BC. 6．（24-25高二下·辽宁大连·期中·多选）某人买一辆15万元的新车，购买当天支付3万元首付，剩余向银行贷款，月利率0.3％，分12个月还清（每月购买车的那一天分期还款）．有两种金融方案：等额本金还款，将本金平均分配到每一期进行偿还，每一期所还款金额由两部分组成，一部分为每期本金，即贷款本金除以还款期数，另一部分是利息，即贷款本金与已还本金总额的差乘以利率：等额本息还款，每一期偿还同等数额的本息和，利息以复利计算．下列说法正确的是（   ）（参考：，，计算结果精确到元） A．等额本息方案，每月还款金额为10196元 B．等额本金方案，最后一个月还款金额为10030元 C．等额本金方案，所有的利息和为2340元 D．等额本金方案比等额本息方案还款的利息多 【答案】ABC 【详解】BC选项，对等额本金的还款方案，设每月的还款额为（万元）， 则，，…，. 所以所还的利息总数为（万元）. 故BC正确； 对等额本息的还款方案，设第个月的贷款利息为（万元），偿还本金为（万元）， 则，， ， ， 同理可得：，，…，. 所以是以为首项，为公比的等比数列. 其前12项的和为：. 所以每月的还款额为. 所还利息总和为，故A正确； 又，所以等额本息还款的利息多，故D错误. 故选：ABC 7．（24-25高二下·江西南昌·期中）小琴3月8日用分期付款的方式购买一件商品，商品价格为2200元，购买当天支付200元，当年4月开始算分期付款的第一个月，月利率为个月还清． （1）已知从当年4月开始，后面每月的8日都还款本金80元，并加付欠款利息，若全部欠款付清后，则购买这件商品实际付款 元； （2）若从当年4月开始，后面每月的8日还款一次，每次还款数额相同，按复利计息，则每月还款金额为 元．（最后结果保留4位有效数字，参考数据：） 【答案】 2330 【详解】（1）设第n个月付款元，则， 所以购买这件商品实际付款， 所以购买这件商品实际付款元； （2）设每期还款x元，按复利计算2000元贷款经过25期连本带息增值为元. 则， 可得， 整理可得， 所以每月还款金额为元. 故答案为：2330；. 8．（2025·北京·三模）为保证某水域内鱼类资源的可持续发展，需根据其自身再生能力等因素制定合理的捕捞方案.记为第n年初时该水域内的鱼类总量，根据研究，第n年鱼类的自然繁殖量与成正比，自然死亡量与成正比，捕捞量与成正比，比例系数分别为，则和的关系式为 ；若，要保持每年年初时鱼类总量始终不变，则一组符合条件的为 . 【答案】 （答案不唯一） 【详解】因为第n年鱼类的自然繁殖量与成正比，自然死亡量与成正比，捕捞量与成正比，比例系数分别为， 所以， 若，要保持每年年初时鱼类总量始终不变，即， 所以，代入，则有， 即有，由于，不妨取， 经检验满足题意. 故答案为：；（答案不唯一）. 9．（24-25高二下·安徽阜阳·期末）实行垃圾分类，关系广大人民群众生活环境，关系节约使用资源，也是社会文明水平的一个重要体现．处理生活垃圾的主要方式有填埋方式和环保方式．去年某地产生的生活垃圾为100万吨，其中80万吨垃圾以填埋的方式处理，20万吨垃圾以环保的方式处理，预计每年生活垃圾的总量依次递增10%，同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加10万吨．已知用填埋的方式处理生活垃圾的成本为100元/吨，用环保的方式处理生活垃圾的成本为500元/吨． (1)为了确定处理生活垃圾的预算，请写出今年起该地通过填埋方式处理的垃圾总量关于年数n的表达式； (2)求从今年起，该地6年内处理生活垃圾的预算总和．(参考数据∶1.16≈1.77) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题可得从今年起每年生活垃圾的总量(单位:万吨)构成公比为1.1的等比数列， 今年起每年用环保的方式处理的垃圾总量(单位:万吨)构成公差为10的等差数列， 今年起每年用填埋的方式处理的垃圾总量(单位:万吨)构成数列，满足. 则，，. （2）设6年内处理生活垃圾的预算之和为W，数列的前n项和为， 数列的前n项和为， 则， 所以（元） 10．（24-25高二下·四川绵阳·期中）某工厂去年12月试生产新工艺消毒剂1250升，产品合格率为，从今年1月开始，工厂在接下来的两年中将正式生产这款消毒剂，今年1月按去年12月的产量和产品合格率生产，此后每个月的产量都在前一个月的基础上提高，产品合格率比前一个月增加. (1)求今年1月到12月该消毒剂的总产量； (2)从第几个月起，月产消毒剂中不合格的量能一直控制在120升以内（不含120升）？ 参考公式：月产消毒剂中不合格的量＝月产量（1－月产品合格率） 参考数据：，，， 【答案】(1)20000升 (2)第12个月，不合格的量能一直控制在120升以内 【详解】（1）设从今年1月起，各月的产量构成数列， 因为，且， 可知数列是以公比为的等比数列， 所以今年1月到12月该消毒剂的总产量为升. （2）设从今年1月起，各月不合格率构成数列， 则，， 则从今年1月起，各月不合格产品数量是， 因为 ， 当时，；当时，；当时，； 且，， 所以第12个月，不合格的量能一直控制在120升以内. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$数列：数列不等式问题、数列新定义问题、数列实际应用问题专项训练 数列：数列不等式问题、数列新定义问题、数列实际应用问题专项训练 考点一 数列不等式问题 1．（24-25高二下·黑龙江绥化·期中）在正项等比数列中，，，若当时，恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·甘肃定西·模拟预测）已知等比数列的前项和为，若对于任意，不等式恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·山东泰安·模拟预测）公差不为的等差数列的前项和为，若，成等比数列，则满足的的最大值为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·海南·模拟预测）数列满足，对于任意的恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·广东江门·期末）已知数列的前项和为，且，设，，若数列是递增数列，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高二下·辽宁鞍山·期末）已知单调递增数列的通项公式为，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高三下·陕西咸阳·阶段练习·多选）已知数列的前项和为，满足，数列满足，记，数列的前项和为，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．若，则的最大值为8 D．满足的最大值为8 8．（24-25高二下·江苏南京·期中·多选）数列满足，且，数列的前项和为．从的前项中任取两项，它们之和是奇数的概率为，数列的前项积为，则（   ） A． B． C． D． 9．（24-25高二下·辽宁大连·期中）已知在数列中，，，设数列的前项和为，若不等式对恒成立，则的最小值为 ． 10．（24-25高二下·江苏南京·期中）已知设，，，是圆心在抛物线上的一系列圆，它们圆心的横坐标分别记为，，，，已知，，，2，3，，都与轴相切，且顺次逐个相邻外切． (1)求； (2)求由，，，构成的数列的通项公式； (3)求证：． 11．（2025·江西·模拟预测）已知数列的首项. (1)求数列的通项公式； (2)若恒成立，求实数的取值范围. 12．（24-25高二下·北京西城·阶段练习）已知等差数列的公差为，且满足. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和； (3)若等比数列满足，设数列的前项和为.若对任意，不等式恒成立，求的取值范围. 13．（24-25高二下·四川眉山·期末）已知数列的前项和为，其中为常数，且． (1)求的值，并求； (2)，数列的前项和为，若，都有恒成立，求实数的最小值． 14．（24-25高二下·辽宁锦州·期末）已知数列的首项的前项和为，且. (1)证明数列是等比数列； (2)令，求函数在点处的导数； (3)设，是否存在实数，使对任意正整数都成立，若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由. 15．（24-25高二下·陕西渭南·期末）已知等差数列的前n项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)已知数列满足， （i）求数列的前n项和； （ii）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 考点二 数列新定义问题 1．（2025·河北·模拟预测）我们把各项均为0或1的数列称为数列，数列在计算机科学和信息技术领域有着广泛的应用．把佩尔数列（，，，）中的奇数换成0，偶数换成1，得到数列，记的前n项和为，则（    ） A．20 B．15 C．12 D．10 2．（24-25高二下·广东广州·阶段练习）在数列中，如果存在正整数T，使得，对于任意的正整数m均成立，那么称数列为周期数列，其中T叫做数列的周期.已知数列满足，如果，，当数列的周期最小时，该数列前2025项的和是（    ） A．674 B．1348 C．1350 D．2024 3．（24-25高二下·上海杨浦·期末）已知无穷数列是各项均为正数的严格减数列.若存在实数，对任意正整数都有成立，则称数列具有“性质”；若存在实数，对任意正实数，数列至多有一项属于开区间，则称数列具有“性质”.则数列具有“性质”是具有“性质”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（2025·江西·模拟预测）若数列满足且，则称数列为“对数底数列”.已知正项数列是“对数2底数列”且，则当且时，（   ） A． B． C． D． 5．（2025·湖南岳阳·三模·多选）已知有穷数列的通项公式为，其项数不少于4项，从中选取项组成数列，数列满足，，则（    ） A．数列是单调数列 B．当时， C．当时， D．数列的个数为 6．（2025·福建泉州·模拟预测·多选）帕多瓦数列是与斐波那契数列相似的又一著名数列，在数学上，帕多瓦数列被以下递推的方法定义：数列的前n项和为，且满足：，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C．是偶数 D． 7．（24-25高二下·山东日照·期末·多选）已知数列，设，若数列满足：存在常数，使得对于任意两两不相等的正整数，，，都有，则称数列具有性质，下列结论正确的是（    ） A．若，则数列具有性质 B．若数列的前项和，则数列具有性质 C．若数列具有性质，则常数 D．若数列具有性质，则为等差数列 8．（24-25高二下·广东深圳·期末·多选）对于正整数是小于或等于n的正整数中与n互质的数的数目（若两个正整数的最大公因数是1，则称这两个正整数互质）.函数以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如（10与1，3，7，9均互质），则（    ） A． B．若p为质数，则数列为等比数列 C．数列的前5项和等于 D．，使得 9．（24-25高二下·江西抚州·期末）斐波那契数列（Fibonaccisequence），又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多•斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：，，，，，，，，，，在数学上，斐波那契数列以如下递推的方式定义：，，，.若集合为集合的非空子集，则集合中所有元素之和为奇数的概率为 . 10．（24-25高二下·北京房山·期末）对于数列，若存在，使得对任意，都有，即，则称为“差有界数列”.给出以下四个结论： ①若等差数列的公差，则该数列为“差有界数列”； ②若等差数列为“差有界数列”，则其公差； ③若数列为“差有界数列”，则为“差有界数列”； ④若数列为“差有界数列”，则为“差有界数列”. 其中正确结论的序号为 . 11．（24-25高二下·广东揭阳·期末）若数列满足，则称数列为项数列，由所有项数列组成的集合为． (1)若是项数列，当且仅当时，，求数列的所有项的和； (2)已知，且与是两个不同的数列，定义离散型随机变量其中，且． （ⅰ）求取到最大值时的值； （ⅱ）求随机变量的分布列，并证明：当时，． 12．（24-25高二下·辽宁鞍山·期末）为实数，无穷数列为数列时满足：；；． (1)若数列前四项分别为，，，，判断数列是否有可能为数列； (2)若数列为数列，求的值； (3)数列前项和为，则是否存在值，，恒成立.如果有，求出所有符合要求的值；如果没有，请说明原因． 13．（24-25高二下·江苏南京·期末）已知数列的前项和为，若存在常数，使得对任意都成立，则称数列具有性质． (1)若数列的通项公式，求证：数列具有性质； (2)设数列的各项均为正数，且具有性质． ①若数列是公比为的等比数列，且，求的值： ②求的最小值． 14．（24-25高二下·北京延庆·期末）已知A：，，…，为有穷实数数列.对于实数x，若A中存在，，，…，，使得，则称x为A的连续可表数，将所有A的连续可表数构成的集合记作. (1)设数列A：1，2，3；B：1，1，1，2.写出和. (2)是否存在数列A，满足，若存在，求出所有数列A，若不存在，说明理由； (3)求出所有的整数m，使得存在数列A，满足. 15．（2025·安徽马鞍山·模拟预测）已知且，数列，定义数列的一个变换，在变换下数列变为新的数列，记，设． (1)若，求； (2)若，且，记数列的末项为，求数列的前100项的和； (3)若，数列不是常数列，求证：存在，使得对任意，数列中至少有一项的绝对值大于2025． 16．（24-25高二下·北京大兴·期末）若有穷数列，，，满足如下三个性质，则称Q为数列：①项数；②，；③令集合，对，，或． (1)判断数列0，2，4，6是否是数列，并说明理由； (2)若，，，为数列，求证：对，满足； (3)已知，，，为数列，求证：当时，Q是等差数列． 考点三 数列实际应用问题 1．（2023·陕西宝鸡·模拟预测）某农村合作社引进先进技术提升某农产品的深加工技术，以此达到10年内每年此农产品的销售额（单位：万元）等于上一年的1.3倍再减去3.已知第一年（2024年）该公司该产品的销售额为100万元，则按照计划该公司从2024年到2033年该产品的销售总额约为（    ）（参考数据：） A．3937万元 B．3837万元 C．3737万元 D．3637万元 2．（24-25高二下·辽宁沈阳·期中）甲、乙两名大学生同时于2025年5月初向银行贷款5000元，甲与银行约定按“等额本金还款法”进行还款，乙与银行约定按“等额本息还款法”进行还款；两人都分12次还清所有的欠款，从2025年6月初开始，每个月月初还一次款，贷款月利率均为0.4%，则2025年10月初甲比乙将多还多少元（精确到个位，参考数据：，，）（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 3．（24-25高二下·北京延庆·期中）北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中记载了“隙积术”，提出长方台形垛积的一般求和公式.如图，由大小相同的小球堆成的一个长方台形垛积的第一层有个小球，第二层有个小球，第三层有个小球……依此类推，最底层有个小球，共有层，由“隙积术”可得这些小球的总个数为.若由小球堆成的某个长方台形垛积有8层，小球总个数是460，则该垛积的第一层小球个数可以是（   ） A．5 B．8 C．12 D．19 4．（24-25高二下·广东韶关·期末）今年某企业投产高新设备，合格品全部销售完毕，预设第个月将实现销量倍增的目标．已知每月产量在前一个月的基础上提高，第个月产品合格率为，前个月合格率每月增加，之后合格率保持不变．则的值为（   ）（且，参考数据：，） A． B． C． D． 5．（24-25高三上·山西·期末·多选）甲、乙、丙、丁四人玩报数游戏：第一轮，甲报数字，乙报数字，，丙报数字，，，丁报数字，，，；第二轮，甲报数字，，，，，依次循环，直到报出数字，游戏结束，则（   ） A．是乙报的 B．是丁报的 C．甲共报了轮 D．甲在前四轮所报数字之和大于 6．（24-25高二下·辽宁大连·期中·多选）某人买一辆15万元的新车，购买当天支付3万元首付，剩余向银行贷款，月利率0.3％，分12个月还清（每月购买车的那一天分期还款）．有两种金融方案：等额本金还款，将本金平均分配到每一期进行偿还，每一期所还款金额由两部分组成，一部分为每期本金，即贷款本金除以还款期数，另一部分是利息，即贷款本金与已还本金总额的差乘以利率：等额本息还款，每一期偿还同等数额的本息和，利息以复利计算．下列说法正确的是（   ）（参考：，，计算结果精确到元） A．等额本息方案，每月还款金额为10196元 B．等额本金方案，最后一个月还款金额为10030元 C．等额本金方案，所有的利息和为2340元 D．等额本金方案比等额本息方案还款的利息多 7．（24-25高二下·江西南昌·期中）小琴3月8日用分期付款的方式购买一件商品，商品价格为2200元，购买当天支付200元，当年4月开始算分期付款的第一个月，月利率为个月还清． （1）已知从当年4月开始，后面每月的8日都还款本金80元，并加付欠款利息，若全部欠款付清后，则购买这件商品实际付款 元； （2）若从当年4月开始，后面每月的8日还款一次，每次还款数额相同，按复利计息，则每月还款金额为 元．（最后结果保留4位有效数字，参考数据：） 8．（2025·北京·三模）为保证某水域内鱼类资源的可持续发展，需根据其自身再生能力等因素制定合理的捕捞方案.记为第n年初时该水域内的鱼类总量，根据研究，第n年鱼类的自然繁殖量与成正比，自然死亡量与成正比，捕捞量与成正比，比例系数分别为，则和的关系式为 ；若，要保持每年年初时鱼类总量始终不变，则一组符合条件的为 . 9．（24-25高二下·安徽阜阳·期末）实行垃圾分类，关系广大人民群众生活环境，关系节约使用资源，也是社会文明水平的一个重要体现．处理生活垃圾的主要方式有填埋方式和环保方式．去年某地产生的生活垃圾为100万吨，其中80万吨垃圾以填埋的方式处理，20万吨垃圾以环保的方式处理，预计每年生活垃圾的总量依次递增10%，同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加10万吨．已知用填埋的方式处理生活垃圾的成本为100元/吨，用环保的方式处理生活垃圾的成本为500元/吨． (1)为了确定处理生活垃圾的预算，请写出今年起该地通过填埋方式处理的垃圾总量关于年数n的表达式； (2)求从今年起，该地6年内处理生活垃圾的预算总和．(参考数据∶1.16≈1.77) 10．（24-25高二下·四川绵阳·期中）某工厂去年12月试生产新工艺消毒剂1250升，产品合格率为，从今年1月开始，工厂在接下来的两年中将正式生产这款消毒剂，今年1月按去年12月的产量和产品合格率生产，此后每个月的产量都在前一个月的基础上提高，产品合格率比前一个月增加. (1)求今年1月到12月该消毒剂的总产量； (2)从第几个月起，月产消毒剂中不合格的量能一直控制在120升以内（不含120升）？ 参考公式：月产消毒剂中不合格的量＝月产量（1－月产品合格率） 参考数据：，，， 2 学科网（北京）股份有限公司 $$