25.3 用频率估计概率-【支点·同步系列】2025-2026学年九年级上册数学（人教版）

25.3用频率估计概率 要点提示 一般地，在大量重复戒验中，如果随机寄件A发生的频率m稳定在莱个常数卫粉近，那么估计随机李件A的概 桌P(A)=b. 注意：(1)在n次减验中，事件A发生的数m满足0≤m≤，周此0≤m≤1，进而可知频率m所稳定到的常数 为 p满足0≤p≤1，即0≤P(A)≤1.(2)当A是必然事件时，P(A)=1;当A是不可能多件时，P(A)=0 O1固基础 4g。。 C.掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时 面朝上的点数是2 知识点1频率与概率的关系 D.在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出 1.关于颜率和概率的关系，下列说法正确的是 的是“剪刀” 4.当重复试验次数足够多时，可用频率来估计 A.频率等于概率 概率.历史上数学家皮尔逊(Pearson.)曾在 B.当试验次数很多时，颜率稳定在概率附近 试验中掷均匀的硬币24000次，正面朝上的 C.当试验次数很多时，概率稳定在颜率附近 次数是12012，颊率约为0.5，则掷一枚均匀 D.试验得到的颜率与概率不可能相等 的硬币，正面朝上的概率是 2.(2024贵州}小是同学通过大量重复的定点 5.一个不透明的箱子里装有3个红色小球和 投篮练习，用频率估计他投中的概率为0.4. 若干个白色小球，每个小球除颜色外其他完 下列说法正确的是 全相同.每次把箱子里的小球摇匀后再从中 A.小星定点投篮1次，不一定能投中 随机摸出1个小球，记下颜色后再放回箱子 B.小星定点投篮1次，一定可以投中 里，通过大量重复试验，发现摸到红色小球 C.小星定点投篮10次，一定投中4次 的频率稳定于0.75. D.小星定点投篮4次，一定投中1次 (1)箱子里白色小球的个数为 知识点2用频率估计概率 (2)现从该箱子里摸出1个小球，记下颜色 3.某小组在“用频率估计概率”的试验中，统计 后放回箱子里，摇匀后，再摸出1个小球.求 了某种结果出现的频率，并绘制了如图所示 两次摸出的小球颜色恰好不同的概率（用画 的折线统计图，那么符合这一结果的试验最 树状图法或列表法求解). 有可能的是 0251突 0.20 0.15 0.10 0.05 04 100200300400500次数 第3近图 A.袋子中有1个红球和2个黄球，它们只有 颜色上不同，从中随机取出1个球是黄球 B.掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是 “正面向上“ 上册第二十五章 02提能力 人，景点一共为参与该游戏的游客免费发放 了景点吉样物15000个. 6.已知不透明的袋中装有n个黑球、20个白 (1)求参与该游戏可免费得到景点吉祥物的 球，这些球除颜色外其他都相同.随机从袋 颜率， 中摸出1个球，记录下颜色后，放回袋中并 (2)请你估计纸箱中白球的个数： 摇匀，重复此过程.经过如此大量重复试验， 发现摸出白球的频率稳定在0.4附近，则n 的值约为 ( A.20 B.30 C.40 D.50 7.某学习小组做抛掷一枚瓶盖的试验，整理的 试验数据如下表： 累计抛掷次数 50 100 200 300 500 盖面朝上次数 28 54 106 158 264 盖面朝上频率0.56000,54000.53000.52670.5280 9O3拓思维 架计抛掷次数 1000 2000 3000 5000 10,【研究问题】一个不透明的盒中装有若干个 盖面朝上次数 527 1056 1587 2650 只有颜色不一样的红球与黄球，怎样估算 盖面朝上频率0.52700.52800.52900.5300 不同颜色球的数量？ 下面有三个推断： 【操作方法】先从盒中摸出8个球，画上记 ①通过上述试验的结果，可以推断这枚瓶盖 号后放回盒中，再进行摸球试验， 有很大的可能性不是质地均匀的； 【试验要求】先搅泮均匀，每次摸出1个球， ②第2000次试验的结果一定是“盖面 放回盒中搅拌均匀，然后再继续， 朝上”； 【活动结果】摸球试验活动一共做了50次， ③随着试验次数的增大，“盖面朝上”的概率 统计结果如下表： 接近0.53. 无记号 有记号 其中正确的是 (填序号) 红球 黄球 红球 黄球 8.一个不透明的口袋里有10个黑球和若千个 摸到的次数 18 28 2 黄球，它们除颜色外其他都相同.从口袋中 【推测计算】 随机摸出1个球记下其颜色，再把它放回口 (1)盒中红球、黄球占总球数的百分比分别 袋里摇匀，重复上述过程，共试验200次，其 约是多少？ 中有120次摸到黄球.由此可估计口袋里的 (2)盒中红球约有多少个？ 黄球有 个 9.某景点为吸引游客，设置了一种游戏，其规 则如下：凡参与游戏的游客从一个装有12 个红球和若干个白球（每个球除颜色外，其 他都相同)的不透明纸箱中，随机摸出1个 球，摸到红球就可免费得到1个景点吉祥 物.据统计，参与这种游戏的游客共有60000 数学九年级RJ版“号≠号，心游戏规则对甲，乙双方不公平 13.解：(1)随机 (27 (3)根据题意，画树状图如图 第一个 第二个 由树状图可知，共有4种等可能的结果，其中恰好是一男 女的结果有2种， :P(两个小孩恰好是一男一女)=是-=司 25.3用频率估计概率 1.B2.A3.C4.0.5 5.解：(1)1 (2)根据题意，面树状图如图 第一次 第二次 第一清 第二次红红：，自 由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中两次摸出的小 球颜色恰好不同的结果有6种， 六P(两次救出的小球颜色恰好不同)一号一是 6 6.B7.①③8.15 9.解：1)多与该游戏可兔费得到景点吉样物的领率为500 60000 =0.25. (2)设纸箱中白球的个数为x 根据题意：得异，-0,25 解得x=36. 经检验，x=36是原分式方程的解，且符合题意」 故估计纸箱中白球的个数为36. 10.解：(1)红球：(18十2)÷50×100%=40%： 黄球：(28十2)÷50×100%=60%. (2)设总球数为x, 由题意，得是-结，解得=10 经检验，x=100是原分式方程的解，且符合题意， ∴.100×40%=40（个）.故盒中红球约有40个， 本章小结 1.A2.B3.C4.A5A6.37.8 8a号 (2)面树状图如图 开地 小明 小丽ABC 由树款图可知，共有9种等可能的结果，其中小明和小丽选 择相同基地的结果有3种， “P小明和小丽达择相同基地)一号一号 9,解：(1)摸出的小球上的数字是奇数的概率为=习 (2)面树状图如图 开 y234 13 123 由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中点(x,y)在函 数y=一x十4的图象上的结果有2种，∴由x,y确定的点 红，》在适数y=一x十4的图象上的概率为号-日 10.(1)根据题意，将A组同学的得分按从小到大的颗序排列， 位于中间的两个数是84,86，，A组同学得分的中位数= 84+86=85(分)， 2 在A组同学得分这组数据中，82出现了2次，出现的次数 最多，.A组同学得分的众数是82分， (2)把A组的2名同学分别记为A:,A:,B组的2名司学分 别记为B,B 根据题意，珂树状图如图 A B B2 A BB AA BA1 A2 B 由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中这2名同学 恰好来自同一组的结果有4种，∴，P(这2名同学恰好来自 同一)= 专题训练 专题训练一配方法的应用 1.A2.A3.C4.B5.A 6.解：b+c-(c-b)=2b=5-4a+3a2-1+2a-a2=2a2-2a 十4，即6=a2-a十2. ".b-a=a2-2a+2=(a-1)2+1>0, ,b>a. c-b=a2-2a+1=(a-11≥0， c≥b. 故aCb≤c 7.证明：x2+y2-2x-4y十16=(x2-2x+1)+(y2-4y+4) +11=(x-1)2+(y-2)2+11≥11，∴不论x,y取任何实 数，多项式x2+y-2x一4y十16的值总为正数. 8A9510是-婴 11.解：将原方程配方，得(4一3)2+(6一4)2+√一5=0，a =3,b=4c■5. "32+4=52,即a2+b=2, .△ABC是以c为斜边长，a,b为直角边长的直角三角形， 12.解：a2十b2=12a十8b-52, .a2-12a十-86十52=0： ∴.(a-6)2十(6-4)2=0， ∴.a-6=0,b-4=0, 解得a=6,b=4. 又a,d,c是△ABC的三边长且互不相等，c是△ABC的 最短边， 解得2<c<4 专题训练二一元二次方程的解法归类 1.解：根据平方根的意义，得4x一1=士15， 7 解得x1=4,x1= 2 2.D 3.解：(1)移项，得x2一8x=一4 183 上册参考卷案