24.3 正多边形和圆-【支点·同步系列】2025-2026学年九年级上册数学（人教版）

24.3正多边形和圆 要点提示 1.正多边形的外接图的圆心叫做这个正多边形的中心，外接回的半径叫做正多边形的等极，正多边形每一边所 对的国心角叫数正多边形的中心角，中心到正多边形的一~边的距离回做正多边形的过心敢 2.正多边形的有关计算：)正n边形的每个内为1-2)·180.(2正m边形的每个中心角为360 (3)正 边形的年个外每为圆，(（④设正边写的边长，边心延两米，面积分别为么山，S,对么=a,及-名山 O1因基础念 3cm,则螺帽边长a= cm. 知识点1圆内接正多边形的有关概念 1.下列说法错误的是 ( A.圆内接正多边形每个内角都相等 B.圆内接正多边形都是轴对称图形 第5题困 第6题困 C.圆内接正多边形都是中心对称图形 6.如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边 D.圆内接正多边形的中心到各边的距离 形，AF是⊙O的直径，则∠BDF的度数是 相等 2.正多边形的中心角与该正多边形的一个内 7.如下图，正三角形ABC内接于⊙O,AD是 角的关系为 ( ⊙O的内接正十二边形的一条边长，连接 A.两角互余 B.两角互补 CD.若CD=6√2cm,求⊙O的半径. C.两角互余或互补D.不能确定 知识点2正多边形和圆的有关计算 3.(2024雅安)如图，⊙O的周长为8π，正六边 形ABCDEF内接于⊙O,则△OAB的面积 为 A.4 B.45 C.6 D.65 D 弟3题图 第4题图 4.(2025新余期末)如图，已知⊙O的周长等于 ◆易错点误认为正多边形的边心距是正 6π，则该圆的内接正六边形ABCDEF的边 多边形的半径而出错 心距OG为 8.一个边长是2的正多边形的内角和是其 A.33 号 D.3 外角和的2倍，则这个正多边形的半径是 5,(教材变式)如图，工人师傅用扳手拧形状为正 六边形的螺帽.现测得扳手的开口宽度b一 A.2 B.3 c.1 D. 数学九年级RJ板 02提能力 (2)若足球烯中正六边形的边长为a,求该 正六边形的边心距， 9.已知圆的半径是2√3，则该圆的内接正六边 形的面积是 () A.33B.93 C.183D.363 10.跨生物学学科大自然中有许多小动物都是 “小数学家”如图①，蜜蜂的蜂巢结构非常精 巧、实用且节省材料，多名学者通过观测研 究发现蜂巢巢房的横截面大都是正六边 形.如图②，一个巢房的横截面为正六边形 ABCDEF.若对角线AD的长为8mm,则 正六边形ABCDEF的边长为 03拓思维念 14.如下图，正五边形ABCDE内接于⊙O.阅 图 围② 读以下作图过程，并解答下列问题： 第10题图 作法：①作直径AF:②以点F为圆心，FO A.2 mm B.2√2mm 为半径作圆弧，与⊙O交于点M,N:③连 C.23 mm D.4 mm 接AM,MN,NA. 11.如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O,半 (1)求∠ABC的度数 径为2cm.若G为CD的中点，连接AG,则 (2)△AMN是正三角形吗？请说明理由. AG的长为 cm. (3)从点A开始，以DN长为边长，在⊙O 上依次截取点，再依次连接这些分点，得到 正n边形.求n的值. 第11题图 第12题困 12.如图，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六 边形.设正六边形ABCDEF的面积为S1, △ACE的面积为S,则- 13.跨化学学科碳60，是一种非金属单质，化 学式为C0,是一种由60个碳原子构成的 分子，形似足球，又名足球烯.如下图，足球 烯是由正五边形和正六边形组成的凸多 面体 (1)足球烯中正五边形每一个内角的度数 为 上册第二十四由(1)可知，∠DCE-120', ∠0cE-号∠DCE=0 ∴.∠C0E=90'-∠0CE=30°. CE=20 cm,..OC=2CE=40 cm, ,在Rt△OCE中，由勾股定理，得OE=√OC一CE= √/40-20=20/3(cm), 轮胎的直径为40，/3em 11.解：(1)ADBE1 (2)证明：如图，连接OD,OE,OF,过点 O作OG⊥MN于点G :MW⊥AB, .∠ACB=∠ANM=90 ∠CAB=∠NAM,AM=AB， .△CAB2△NAM, ..AC=AN. ,⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D,E,F, .∠OFC=∠OEC=∠ECF=90, ∠ODN=∠OGN-∠DNG=9g', ,四边形OECF和四边形ODNG都是矩形，，CF=OE DN=OG. 由切线长定理，得AF=AD, .AC-AF=AN-AD, 即CF=DN, .OG-DN-CF-OE 0G为⊙0的半径. :OG⊥MN, .MN是⊙O的切线 24.3正多边形和圆 1.C2.B3.B4.C5.W56.549 7.解：如图，连接OA,OD,OC 由题意，得∠A0C=号×360°=120， 1 ∠A0D=立×360°=30， ∴∠C0D=∠A0C-∠A0D=120°-30 =90" ,OC=OD,.△OCD是等要直角三角形， ∴.C2+OD=CD, ∴0c-0D-gcD-2 ×6w2=6(cm), 2 ∴，⊙O的半径为6cm 8.A9.C10.D11.1312.2 13.解：1)108 (2)如图，AB为正六边形的一条边，点O 为它外接圆的圆心，连接OA,OB,过点O 作OM LAB ·0A=0B,∠A0B=36 6=60 △OAB是等边三角形，.AB=OA=OB=a ?OM1AB,∴AM=2AB=2a 在Rt△OAM中，由勾股定理，得OM=OA-A证一 √-(-, 即该正六边形的边心距为号。 14.解：(1)，五边形ABCDE是正五边形 ÷∠ABC=5-2)X180=108 (2)△AMN是正三角形. 理由：如图，莲接ON,NF 180 数学九年级R版 由题意可得FN=OF=ON ·△FON是等边三角形， ,.∠NFA=60°， ∴.∠NMA=∠NFA=60 同理可得∠ANM一60°， .∠MAN=60°， ∴.△AMN是正三角形 (3)如图，连接OD. ∠NMA=60,.∠AON=2∠NMA =120. “∠A0D=×2=14 ∴.∠NOD=∠AOD-∠A0N=144-120°=24. :360°÷24°=15，.m的值是15. 24.4弧长和扇形面积 第1课时弧长和扇形面积 1.C2.8x 3.解：(1)如图，连接OA :AB是⊙O的切线，A为切点， .∠BA0=90°.AB=AC,OA= OC,.∠B=∠C=∠OAC 在△ABC中，∠B十∠C十∠BAC= 180°，.∠C+∠C+90°+∠C=180°，.∠C=30°， (2)由(1)可T,∠0AC=∠C=30°，.∠A0C=120°， ÷Ac的长为12903=2 4.C5.11r6.D7.B8.(6x-93) 9.解：(1)如图，连接OE ∠ADE=40°， .∠AOE=2∠ADE=80°， ∴，∠B0E=180°-∠A0E=100. AB=4,.OB=2, :BE的长为100x×2_10m 180 (2)证明：OA=0E,∠AOE=80°， ÷∠0AE=180-∠A0E=50, ∠BAC=∠EAD-∠OAE=26, ,∠C=84, ∴.∠ABC=180°-∠BAC∠C=90°，即AB⊥CB 又点B在园上，AB为⊙O直径， .CB为⊙O的切线 10.解：(1)证明：如图①，连接OC CD为⊙O的切线， ∴∠OCD=90°，即∠DCA十∠OCA =90 又，AB为直径， ·∠ACB=90°，即∠1+∠OCA =90°， 图①D ∴.∠DCA=∠1. 0C=OB,.∠1=∠2 AC=CE,∠2=∠3， :∠DCA=∠3，∴.DC∥AE (2)如图②，连接O℃，OE,BE :EF垂直平分OB, ..OE=BE. 又，OE=OB. .△OEB为等边三角形， ∴.∠B0E=60°，∠AOE=120. ② OA=OE ∴.∠QAE=∠0EA=30 ,DC∥AE,