24.1 圆的有关性质-【支点·同步系列】2025-2026学年九年级上册数学（人教版）

10.A11.C12.C13.D14.(2,-4) 15.(-5,-3)16.(3,2) 17.解：(1)点A,D,B,E,C,F的坐标分别是(2,3)，(-2，一3)， 1,2),(一1，一2)，(3,1)，（一3，一1），这些对应点的横坐标 互为相反数，纵坐标也互为相反数， ②依题意，得仁牛28-6六8圣 18.解：(1D:点A的坐标为(2,3)，点A关于直线y=x的对 称点B的坐标为(3,2)，关于原点的对称点C的坐标 为（一2，一3） (2)四边形ABCD是矩形.理由如下： 由题意可知，B(3,2)关于原点的对称点D的坐标为（一3， -2),∴.B0=D0 同理AO=CO,'.四边形ABCD是平行四边形. ,点A关于直线y=x的对称点为B,点A关于原，点的对称 点为C,点B关于原点的对称点为D, .AC=BD,.四边形ABCD是矩形 23.3课题学习图案设计 1.B2.B 3.先绕点B烦时针旋转90”，再向右平移4个单位长度，再向上 平移1个单位长度（答案不唯一） 4.be5.①④③②6.C 7.解：(1)翻折后的图形如图① (2)旋转后的图形如图②. 图1 图2 8.C9.B10.C11.560°12.D④ 13.解：所作图案如图（答案不唯一）. 14.解：(1)r-2 (2)如图（答案不唯一）， 本章小结 1,A2.B3.C4.C5.22°6.45”7.328.B 9.x=■1 10.解：(1)(3,3 (2)如图，△A2BC即为所求. B2(3,-4). (3)56c=2X4-2X2-12_1X4=3 2 2 11.解：(1)当a=150时，△AOD是直角三角形.理由如下 :将△BOC绕点C履时针旋转60得到△ADC, .'.△BOC2△ADC,∠OCD=60°，OC=DC, .,∠BO℃=∠ADC=150°，△COD是等边三角形 ∴.∠ODC=60°， ∴.∠AD0=150°-60°=90 故当4=150'时，△AOD是直角三角形 (2)∠A0B=110°，∠BOC=a, ∴.∠A0C=250°-g 由(1)可知，△OCD是等边三角形， .∠DOC=∠ODC=60', ∴∠AD0=a-60',∠AOD=190°-a ①当∠DAO=∠AOD时，2(190°-)+a-60°=180°，解得 a=140°； ②当∠AOD=∠ADO时，190°-a=a-60°，解得a=125°： ③当∠DA0=∠AD0时，190°-a十2(a-60=180°，解得 a=110° 综上所述，当g为140或125或110时，△A0D是等腰三 角形. 第二十四章圆 24.1圆的有关性质 24.1.1圆 1.D2.B3.B4.B5.C6.60°7.(-1,0) 8.C9.A10.D11.5-1 12.证明：(1)在△AOE利△CDE中， (AE=CE, ∠AEO=∠CED OEDE. ∴.△AOE2△CDE(SAS) (2)△AOE2△CDE, .OA=DC,∠AOE=∠D,∴.OB∥CD OA=OB..OB-CD. ,四边形OBCD是平行四边形 又，OB=OD,,四边形OBCD是菱形. 13.解：(1)OB=0C,∠C=∠B. 设∠B=∠C=无. PC=OC,∴.∠COP=∠CPO=∠B+∠BOA=x+30. 在△P0C中，x+2(x+30°)=180， 解得x=40°，∠B=40 (2)设∠BOC=y. PC=OC,∴.∠CPO=∠COP=y+30° ,OB=C℃ ∴.∠C=∠OBC=,∠B0A+∠CP0=30°+(y+30°)=60° +y. 在△OBC中，y+2(60°+y)=180°， 解得y=20, .∠OBC=80 ∴.∠PB0=180°-∠OBC=100 24.1.2垂直于弦的直径 1.B2.B3.2w34.45.A6.B7.B8.A 9.7cm或17cm10.611.4≤0P≤5 12.解：(1)如图，连接OB. OD过圆心，且D是弦BC的中点 ,OD⊥BC, ∴BD=号BC=6. 在Rt△BOD中，由勾股定理，得OD十BD =BO, ∴0D+62=82,解得OD=27(负值已含去. (2)设BE-x,则E0-√2x,ED=6-x, 在Rt△EOD中，由勾殷定理，得OD2十ED2=EO, 177 上册参考签案 ,(27)2+(6-x)2=(w2x)2. 解得x=4(负值已舍去)，.ED=2 13.解：(1)如图①，设主桥拱所在圆的圆心为O,连接OA,OC :D是AB的中点，DCLAB, O,C,D三点在一条直线上 “AC=BC=2AB=12m. 设OA=OD=rm,则OC=OD-CD ① (r-8)m. 在R:△AOC中，由勾殿定理，得OC十AC=OA, 即(r一8)2十122=r2,解得r=13. 故主桥拱所在圆的半径为13m. (2)如图②，记桥下水面上升2m所在水面为EF,EF交CD 于点G,连接OF,OC 由题意，得CG=2m,∴.DG=CD-CG =6 m..OG=OD-DG=7m. 在Rt△OGF中，由勾殿定理， 得GF=√OF-OG=2/36m, ∴EF=2GF=4√30m 故此时水面的宽度为4√30m. 24.13弧、弦、圆心角 1.B2.B3.60°4.D5.D6.30 7.解：(1)证明：如图，连接AF ,四边形ABCD为平行四边形，.AD∥BC, ∴∠DAF=∠AFB,∠GAD=∠B AB=AF,∴∠B=∠AFB, ,∠GAD=∠DAF .GE=EF. 2)F为BE的中点，BF=EF GE,.,∠BAF=60°， :AB=AR,∠B=∠AFB=180-∠BAFD=60 :四边形ABCD为平行四边形， ∴.AB∥CD,.∠C=180°-∠B=120 8<9.c10.An.9 12.101°13.3 14.解：(1)证明：如图，连接OB,OC ,AB=AC,共AB=AC .OC=OB.OA=0A: .△AOB2△AOC(SSS), ∠1=∠2， AO平分∠BAC. (2)如图，延长AO交BC于点E "AB=AC,AO平分∠BAC, ∴BE=2BC=4,AELBC. 在Rt△ABE和Rt△OBE中，由勾股定理，得AB一BE AE,OB2OE+BE 设OA■x, 则(45)2-4°=(x十0E),x2=0+4, .x十OE=8,x2=OE+4, 解得x=5,0E=3, .⊙0的半径是5， 5.解，(1)证明：AD=BC, ..AD=BC, AD-AC=BC-AC,即CD=AB. CDAB. (2)如图，过点O作OE⊥BD于点E,延长OE交⊙O于点 F,连接OB,BF, 易得BF=DF,BD=BF+DF,BE=DE 178 数学九年级BJ版 BD=24 ,BE=DE=12. .BD=AB+CD.AB=CD. :.AB=BF. .AB=BF=413 在Rt△BEF中，由勾股定理，得EF=√BF一BE=8 设⊙O的半径为r,则OE=r一8. 在R△OBE中，BE+OE=OB,∴122+(r-8)2=72,解 得r=13, ∴.⊙0的半径为13 24.1.4圆周角 1.C2.B3.B4.80 5.解：补全过程如下： ,DE为⊙O的直径， .∠DAE=90°，即∠BAD十∠BAE=90 'AB⊥CD,.∠ABC+∠BCD=90 :∠BAD=∠BCD,,∴.∠ABC=∠BAE, ∴AC=BE, 即AE+EC=EC+BC,.AE-BC ..AE-BC=3. 在Rt△ADE中，由勾股定理，得DE=√AE+AD= √/3+4=5， .⊙0的直径为5. 6.C7.D8.60或120”9.A10.C11.C12.D13.2 14.解：(1)AB=62 (2)AC=4w2. 24.2点和圆、直线和圆的位置关系 24.2.1点和圆的位置关系 1.A2.D3.在圆上4.(1)上外(2)5 5.(1,-2) 6.解：(1)证明：AD平分∠BAC,∠BAD=∠CAD. 又'∠CBD=∠CAD,∴∠BAD=∠CBD BE平分∠ABC,∴.∠CBE=∠ABE, ,.∠DBE=∠CBE+∠CBD=∠ABE十∠BAD 又：∠BED=∠ABE+∠BAD, ∴.，∠BED=∠DBE,DE=DB (2)如图，连接CD :∠BAC=90',∴BC是直径， .∠BDC=90 AD平分∠BAC,BD=CD .CD=BD=4. ∴.BC=BD+CD=4W2, “△ABC外接圆的半径为号×42=22。 7.D8.D9.C10.C11.D12.A13.D14.6十33 15.证明：(1)由题意，得∠B=∠E. 又，∠B=∠D,∠E=∠D 'CE∥AD,∴∠D+∠ECD=180", ∴∠E+∠ECD=180°，∴AE∥CD, ∴四边形AECD为平行四边形 (2)如图，过点O作OM⊥BC于点M,ON⊥CE于点N 四边形AECD为平行四边形， ..AD=CE. AD=BC.CE=CB. 08 'OM I BC,ON⊥CE, .CN EN CE.CM-BM- 专C ..CN=CM.第二十四章圆 24.1圆的有关性质 24.1.1圆 要点提示 1.弦：连接国上任意两点的我熊叫微私，如下图中的线段AB,CD 2直径：经过心的程叫微真模，如下图中的战投AB.立径是特殊的弦，直径等于半径的2倍，直径是震长 的程. 3,圆弧：图上任意西支间的部分叫微圈私，简称狐，弧用特号“一”表示，以AB为端，点的孤记作AB,读作 “图孤AB”我“孤AB”. 4,半圆：国的任意一条直径的而个藕点把国分成两条孤，每一条孤都叫做准唐， 5.优孤与劣弧：大于度围的板叫做优孤，优孤用三个字母表示，如右图中的ABD,CAB等；小于 度图前蕉叫微常蕉，劣孤用两个字母表示，知右困中的CD,AC等. 6能够重合的两个图网做等回，在同国或等图中，能够互相重合的弧叫做等孤， O1固基础 知识点1圆的定义 1.下列条件中，能确定圆的是 第4题国 第5题国 A.以已知点O为圆心 5.如图，直线1∥l2,点A在11上.以点A为圆 B.以1cm长为半径 心，适当长为半径画弧，分别交1,2于B,C C.经过已知点A,且半径为2cm 两点，连接AC,BC.若∠ABC=54°，则∠1 D.以点O为圆心，1cm长为半径 的度数为 （) 2.下列图形中，四个顶点一定在同一个圆上的 是 () A.36 B.54 A.菱形、平行四边形B.矩形、正方形 C.72 D.73 C.正方形、菱形 D.矩形、平行四边形 6.如图，已知点A(0,1),B(0,一1).以点A为 知识点2与圆有关的概念 圆心，AB的长为半径作圆，交x轴的正半轴 3.下面能用来证明“直径是圆中最长的弦”的 于点C,则∠BAC的度数为 图形是 B 知识点③与圆有关的证明和计算 第6题图 第7题图 4.如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点. 7.如图，在平面直角坐标系中，已知点A(4, 若∠BOC-66°，则∠A= 0),B(0,3).以点A为圆心，AB的长为半径 A.66 B.33 画弧，交x轴的负半轴于点C,则点C的坐 C.24 D.30 标为 数学九年级刷版 (2)四边形OBCD是菱形. 易错点考虑问题不全面而致错 8.若⊙O所在平面内一点P到⊙O上的点 的最大距离为a,最小距离为b(a>b> 0),则此圆的半径为 A.g+6 B.a6 2 2 c陵 2 D.a十b或a-b 02提能力 。，。。4。。 9.如图，AB是⊙O的直径，点C,D在⊙O上， ∠BOC=110°，AD∥OC,则∠AOD的度数 为 ( 乡03拓思维心… A.40 B.50 13.已知射线OM经过⊙O的圆心，与⊙O相 C.60 D.70 交于点A,点B在⊙O上，且∠BOA-30°， P为射线OM上异于点O,A的一动点，直 线PB交⊙O于点C,且PC=OC. (1)如图①，当点P在线段OA上时，求∠B 的度数 第9题图 第10题图 (2)如图②，当点P在线段OA的延长线上 10.如图，已知BC是⊙O的直径，半径OA⊥ 时，求∠PBO的度数， BC,点D在劣弧AC上（不与点A,C重合）， 连接OD,BD与OA交于点E.设∠AED =a,∠AOD=B,则 ( A.3a十3=180° B.2a+-180° 用② C.3a-B-90° D.2a-3-90° 11.如图，在Rt△ABC中， ∠ACB=90°，AC=BC=2, 以BC的长为直径的半圆交 AB于点D.若P是CD上的 一个动点，连接AP,则AP 第11题阁 的最小值为 12.(教材变式)如右图，AB为⊙O 的直径，点C,D在⊙O上，AC 与OD交于点E,AE=CE,OE =DE,连接BC,CD.求证： (1)△AOE≌△CDE. 上册第二十四章 55 24.1.2垂直于弦的直径 要点提示 L,图是轴对称闲形，任何一条直径所在的直线都是回的对称轴 2.垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条孤，平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平 分弦所对的两条孤。 3.垂径定班及其推论的延伸；如右图，根搭图的对称性，有下列结论：①AD=BD,②AC=BC ③AE=BE;④AB⊥CD;⑤CD是直径，只要满足其中两个结论，另外三个结论一定成立，即“知二 推三” O1固基础 ⊙O的弦，AM=BM,OM:OC=3:5,则 AB的长为 () 知识点1垂径定理 A.8 cm B.91 cmC.6 cm D.2 em 1.(2024长沙)如图，在⊙O中，弦AB的长为 8,圆心O到AB的距离OE-4,则⊙O的半 径长为 () A.4 B.4② C.5 D.52 第5题图 第6题朋 6.如图，OA,OB,OC都是⊙O的半径，AC与 OB交于点D.若AD=CD=8,OD=6,则 BD的长为 () B A.5 B.4 C.3 D.2 第1题图 第2题因 知识点3垂径定理及推论的应用 2.(2024新疆)如图，AB是⊙O的直径，CD是 7.(2024通辽)如图，圆形拱门最下面AB在地 ⊙O的弦，AB⊥CD,垂足为E.若CD=8, 面上，D为AB的中点，C为拱门最高点，线 OD=5,则BE的长为 段CD经过拱门所在圆的圆心.若AB= A.1 B.2 C.3 D.4 1m,CD=2.5m,则拱门所在圆的半径为 3.如图，在△ABC中，∠C-130°，∠A-20°， () BC-2.以点C为圆心，CB的长为半径的圆 A.1.25mB.1.3mC.1.4mD.1.45m 交AB于点D,则BD的长为 A D B B 第8题图 D 第7题图 第3题阁 第4题图 8.(教材变式)如图，一条公路的转弯处是一段 4.如图，点E在y轴上，⊙E与x轴交于点A,B, 圆弧(AB),点O是这段弧所在圆的圆心.若 与y轴交于点C,D.若点C(0,4),D(0,-1D,则 AB-60m,C是AB的中点，D是AB的中 线段AB的长为 点，且CD=10m,则这段弯路所在圆的半径 知识点2垂径定理的推论 为 5.如图所示，⊙O的直径CD=10cm,AB是 A.50mB.54mC.60mD.80m 数学九年级RJ版 ·易错点没有分类讨论两平行弦在圆 …之03拓思维 … 心的同侧或异侧而漏解 13.项目式学习阅读材料，回答问题. 9.⊙O的半径为13cm,AB,CD是⊙O的两 材料背景 条弦，AB∥CD,AB=24cm,CD-10cm, 迢龙桥（如图①）为虹式单拱石桥，是广西历史 则AB和CD之间的距离为 上的名桥，若某一时刻，将主桥拱抽象成如图② 所示的图形，且别得水面宽度AB为24m,拱高 CD(弧的中点到水而的距离)为8m 02提能力 D 10.如图所示，矩形ABCD与⊙O相交于点 M,N,E,F.若AM=2,DE=1,EF=8,则 图① 图② MN- 问题解决 确定主桥 (1) 求主桥拱所在圆的半径 拱半径 碗定水面 若大雨过后，桥下水面上升 (2) 第10题图 第11题图 宽度 2m,求此时水面的宽度 11.如图，⊙O的直径为10，弦AB的长为6，P 为弦AB上的动点，则线段OP的长的取值 范围是 12.如下图，D是⊙O的弦BC的中点，A是 ⊙O上一点，OA与BC交于点E.已知AO =8,BC=12. (1)求线段OD的长. (2)当EO-=√2BE时，求ED 的长 上册第二十四章 57 24.1.3弧、弦、圆心角 要点提示 L,留既是轴对称形，又是中心对称图形，留心就是它的对称中心， 2.项点在唐心的角叫敏国心角， 3.在同圆或等圆中：(1)湘号的画心角所对的航相号，所对的程也相号.(2)如果南条航相等，那么它们所对的通 心角相等，所对的程息相号.(3)如果西秦程相等，那么它们所对的画心角相等，所对的优孤和劣孤也分斟相等。 O1因基础 6.如图，AB为⊙O的直径，C,D为半圆的三等 分点，CE⊥AB于点E,则∠C的度数为 知识点1圆心角的定义及计算 1.下图中的∠ACB是圆心角的是 7.如右图，以□ABCD的顶点 A为圆心，AB的长为半径 作圆，分别交AD,BC于点 E,F,延长BA交⊙A于点G 2.在半径为1cm的⊙O中，弦长为√2cm的弦 (1)求证：GE-EF. 所对的圆心角的度数为 ( (2)若F为BE的中点，求∠C的度数 A.60° B.90° C.120 D.45° 3.如图，已知AB为⊙O的直 径，D为⊙O上的一点，且 AD所对的圆心角的度数是 BD所对的圆心角度数的2 第3题图 倍，则∠BOD的度数为 知识点2弧、弦、圆心角的关系 4.如图，已知A,B,C,D是圆上的 点，AD=BC,AC,BD交于点E, 连接AB,AD,CD,则下列正确 的是 第4题图 A.AB=AD B.BE=CD C.BE=AD D.AC-BD 5.(2024一2025赣州上犹期中)如图，A,D是 ⊙O上的两点，BC是直径，AD⊥BC.若∠D ◆易错点对圆中有关线段的关系运用不 =32°，则∠ACD的度数为 ( ) 当而出错 A.126°B.128 C.122 D.116 8.（教材变式)如图，在⊙0中， 弦AB>CD,OM⊥AB,ON⊥ CD,M,N分别为垂足，那么 OM ON(填“>” 第8题田 第5题图 第6题图 “<”或“一" 数学九年级R刷版 ,4。。,+ 02提能力心…… (2)若AB=4V5,BC=8,求⊙O的半径， 9.如图所示，在⊙O中，若C是AB的中点， ∠A=45°，则∠BOC的度数是 () A.60 B.50° C.45 D.40 第9题图 弟10题周 10.如图，AB为⊙O的直径，∠BOD=120°，C 为BD的中点，AC交OD于点E.若DE= 1,则AE的长为 ( 03拓思维◆ A.5B.5 C.23 D.25 15.模型观念如图①，AD,BC是⊙O的弦，且 11.如图，半圆O的直径AB=3,弦AC与弦 AD-BC,连接AB,CD. BD相交于点E,OD⊥AC,垂足为F,AC (1)求证：CD=AB. BD,则弦AC的长为 (2)如图@，连接BD.若BD=AB+CD, BD-24,AB=4√13，求⊙O的半径. 第11超阁 第12题图 12.如图，△ABC的顶点A,B,C均在⊙O上， D是BC的中点.若∠AOB=98°，∠COB= 120°，则∠ABD的度数是 13.如图，在半径为5的⊙A中，弦 BC,ED所对的圆心角分别为 ∠BAC,∠EAD.已知DE-6, ∠BAC十∠EAD=180°，则圆第13题圈 心A到弦BC的距离为 14.如右图，AB,AC是⊙O的两 条弦，且AB=AC (1)求证：AO平分∠BAC. 上册第二十四章 59 24.1.4 圆周角 要点提示 L,圆周角的定义：顶点在回上，并且两边都与国相交的角叫敏周角， 2.圆周角定理：一条孤所对的圆局角等于它所对的国心角的一半 3.圆周角定理的推论：(1)同孤或多孩所对的团周角相等.(2)度通（或真校）所对的国两角是真南，90°的国周角 所对的弦是直径.(3)国内接四边形的对角互补 O1因基础 BC=3,求⊙O的直径.下面是小博的解题过 程，请补充完整。 知识点1圆周角定理 解：如图②，连接DO并延长交⊙O于点E,连 1.(2024湖南)如图，AB,AC为⊙0的两条弦， 接AE. 连接OB,OC.若∠A=45”,则∠BOC的度数 0t*+ 为 ( A.60° B.75 C.90° D.135 第1题图 第2题图 2.(教材变式)如图，已知AB是⊙O的弦， ∠AOB=120°，OC⊥AB,垂足为C,OC的延 长线交⊙O于点D.若∠P是AD所对的圆 周角，则∠P的度数是 A.20° B.30° C.40 D.60 知识点2圆周角定理的推论 3.(2024云南)如图，CD是⊙O的直径，点A,B 在⊙O上.若AC=BC,∠AOC-36°，则∠D= 知识点3圆内接四边形 6.(2024吉林)如图，四边形ABCD内接于 A.9 B.18 C.36 D.45 ⊙O,过点B作BE∥AD,交CD于点E.若 ∠BEC=50°，则∠ABC的度数是() A.50 B.100° C.130° D.150 C 第3题图 第4题图 4.如图，已知AM为⊙O的直径，直线BC经过 点M,且AB=AC,∠BAM=∠CAM,线段 第6题图 第7题图 AB和AC分别交⊙O于点D,E.若∠BMD= 7.如图，在圆内接四边形ABCD中，若∠A, 40°，则∠EOM的度数为 ∠B,∠C的度数之比为4：3：5，则∠D的 5.过程补充题如图①，AB,CD是⊙O的弦，且 度数是 AB⊥CD,垂足为P,连接AD,BC.若AD=4, A.80° B.100°C.110°D.120 60 数学九年级RJ版 ●易错点忽略分类讨论思想而出错 之O3拓思维© 8.已知在半径为4的⊙O中，弦AB=4√3， 14.(2024一2025厦门期中}已知四 点P在圆上，则∠APB的度数为 边形ABCD内接于⊙O,∠DAB =90°. (1)如图①，连接BD.若⊙O的半径为6， 02提能力© AD=AB,求AB的长. 9.如图，△ABC内接于⊙O,∠C=48°，连接 (2)如图②，连接AC.若AD=5,AB=3,对 OA,则∠OAB的度数为 ( 角线AC平分∠DAB,求AC的长， A.42 B.45 C.54° D.67 用② 第9题圈 第10题图 10.如图，AB,CD是⊙O的两条直径，E是BC 的中点，连接BC,DE.若∠B=22°，则∠D 的度数为 () A.22 B.32 C.34 D.44 11.如图，AB是⊙O的直径，弦 CD⊥AB于点E,G是AC上 任意一点，连接AG,AD, GD.若BC所对的圆心角的 第11题园 度数为50°，则∠AGD的度数为 ( A.50 B.55 C.65 D.75 12.如图，AB是⊙O的直径，∠C=∠CAB, AD=2,AC=4,则⊙O的半径为( ) A.23B.32C.25D.5 第12题图 第13题图 13.如图，⊙O的半径为1，△ABC的顶点A, B,C均在⊙0上.若∠A=60°，∠B=75°， 则AB= 上册第二十四章