23.2 中心对称-【支点·同步系列】2025-2026学年九年级上册数学（人教版）

23.2中心对称 23.2.1中心对称 要点提示 L.中心对称的斯念：如右图，△DEF烧点O旋转180°，与△ABC重合，剥称△DEF与 △ABC关于点O中心对称，点O叫做对称中心 2.中心对称的性质：如右图，①DA,FC,EB交于，点O,②OF=OC,OD=OA,OE-OB: ③△DEF≌△ABC O1固基础 ◆易错点因对对称中心认识不清而出错 知识点1中心对称的概念 5.如图，在平面直角坐标系中，若△ABC与 1.(2024广州)下列图案中，点O为正方形的中 △AB,C关于点E成中心对称，则对称 心，阴影部分的两个三角形全等，则阴影部分 中心点E的坐标是 的两个三角形关于点O对称的是 ( 02提能力 6.如图，菱形ABCD的对角线AC,BD交于点 O.若△BOC与△B'O'C关于点C成中心对 2.如图，四边形ABCD与四边形FGHE关于某 称，且AC=2,AB=5,则菱形ABCD的边 一点成中心对称，则这个点是 长是 () A.3 B.4 C./15 D./17 02 第2题图 第3题图 知识点2中心对称的性质 3.如图，△ABC与△AB'C关于点A成中心对 第6题图 第7题图 7.如图所示的是一个滑梯的侧面示意图，现要 称.若∠C=90°，∠B=30°，AC=5,则BB1 在滑梯侧面设计一张安全标语海报（阴影部 的长为 分).已知点O是曲线AC的对称中心，点A A.25 B.33 的对称点是C.若AB⊥BC,AB=BC=3m, C.43 D.63 则海报的面积为 m2. 4.如图，△AOB与△COD关于点O成中心对 8.双空题如图，E是R1△ABC的 称.若∠BAO=90°，AB=4,AO=3,则AD 斜边BC上一点，作点E关于 的长为 AB,AC的对称点F,G,连接FG (1)点F和点G的对称关系为 第8题图 (2)若AB=6,AC=8,则FG的最小值为 第4题图 第5题图 数学九年级RJ版 23.2.2中心对称图形 要点提示 判断中心对称图形的“两个方法”：(1)若存在一个点，使整个图形绕者这个点旋转180°后能够与原来的图形重 合，则这个图形就是中心对称图形，（②）若图形上的对应点的连线都经过同一个，点，并且被这个，点平分，这个 图形就是中心对称图形， O1固基础 (1)图①中的三个图案都具有一个共同的特 征：都是 图形（填“轴对 知识点1中心对称图形的识别 称”或“中心对称”) 1.(2024一2025赣州宁都期中)下列四幅图案 (2)请你在图②、图③的网格中涂上阴影，使 是四所大学校徽的主体标识，其中是中心对 阴影部分构成的图案与图①中的图案有相 称图形的是 同特征 B 图② 3 02提能力 5.(2024辽宁)纹样是我国古代艺术中的瑰宝. D 下列四幅纹样图形既是轴对称图形又是中 知识点2中心对称图形的性质 心对称图形的是 ) 2.(教材变式)如图所示的图形是中心对称图 形，则其对称中心是 8 回回 A.点C B.点D C.线段BC的中点D.线段FC的中点 6.如图，点A,B,C的坐标分别为(2,4)，(5， 2),(3,一1).若以A,B,C,D为顶点的四边 形既是轴对称图形，又是中心对称图形，则 点D的坐标为 第2题周 第3题 3.如图，已知矩形的长为10cm,宽为4cm,则 图中阴影部分的面积为 ( A.20 cm2 B.15 cm2 C.10 cm2 D.25 cm2 第6题图 第7题图 知识点3中心对称图形的作图 7.在一次数学社团活动中，小明设计了一个社 4.如图，请你仔细观察图①中三个网格中的阴 团标识，如图所示.正方形ABCD与折线 影部分构成的图案，按要求回答下列问题： DE-EF-FB构成了一个中心对称图形，且 DE⊥EF,AD=50,DE比EF长25，那么 EF的长是 上册第二十三章 23.2.3关于原点对称的点的坐标 要点提示 两个点关于原点对称时，它们的堂标将号相反，即点P(x,y)关于原点的对称点为P(一x,一)， O1固基础 度，平移后得到的点为A'.若点A和点A关 于原点对称，则a十b= 知识点1关于原点对称的点的坐标 8.若点P(2m-1,3m-9)关于原点的对称点 1.(2024一2025南昌期中)已知点P与点Q关 Q在第二象限，则符合条件的整数m有 于原点对称，若点P在第四象限，则点Q落 个 在 9.(2024一2025高安期中)如下图，△ABC三个 A.第一象限 B.第二象限 顶点的坐标分别为A(1,1),B(4,2),C(3,4). C.第三象限 D.第四象限 (1)请画出△ABC关于原点O对称的 2.下列各点中，关于原点对称的两个点是 △ABC1,并写出点A1,B1,C1的坐标. (2)在x轴上求作一点P,使△PAB的周长 A.(-5,0)与(0,5) 最小，请画出△PAB,并直接写出点P的 B.(0,2)与(2,0) 坐标 C.(-2,-1)与(-2,1) D.(2,-1)与(-2,1) 3.(教材变式)已知点P(一b,2)与点Q(3,2a) 关于原点对称，则a,b的值分别是() A.-1,3 B.1,-3 C.-1,-3 D.1,3 4.在平面直角坐标系中，点P(4,一6)与点 Q(-4,m十1)关于原点对称，那么m的值为 知识点2关于原点对称的点的坐标的应用 5.已知a<1且a≠0，则点(-a2,-a十1)关于 原点的对称点在 ( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 6.如图，□ABCD的中心在 易错点“混淆关于原点对称与关于坐标 7D3,2 原点，AD∥x轴，D(3,2), 轴对称的点的坐标特征而出错 C(1,一2)，则其他两顶点 10.点A(一3,2)关于原点的对称点是B,点 C(1.-2) A,B的坐标分别为 B关于x轴对称的点是C,则点C的坐 第6题相 标是 A.(3,2) B.(-3,2) 7.在平面直角坐标系中，将点A〔一2,3)向右 C.(3,-2) D.(-2,3) 平移a个单位长度，再向下平移b个单位长 数学九年级RJ版 O2提能力 何特征 (2)若点P(a十4，-5-b)与点Q(2b,2a十 1山.已知点P(a+1,-受+1关于原点的对称 8)也是通过上述变换得到的对应点，求a,b 点在第四象限，则a的取值范围在数轴上 的值 表示正确的是 ( -0 -1012 A B -1012 D 12.若点A(a,b)和点B(m,n)关于原点对称， 且a十b=1,则下列说法正确的是() A.mn=-1 B.m-n=-1 C.m十n--1 D.=-1 13.已知抛物线y=一x8十2x十向左平移2 个单位长度，再向下平移2个单位长度，所 得的新抛物线的点与原抛物线的顶点关 ， 于原点对称，则的值为 ( O3拓思维 A.3B.2 C.1 D.0 18.几何直观如下图，已知A(2,3)和直线y 14.若点A(n十2，n-3)在x轴上，则点B(1一 =t. n,n十1)关于原点对称的点的坐标为 (1)分别写出点A关于直线y=x的对称点 B和关于原点的对称点C的坐标 15.在平面直角坐标系中，已知A(2,3),B(0, (2)若D是点B关于原点的对称点，判断 1),C(3,1).若线段AC与BD互相平分， 四边形ABCD的形状，并说明理由. 则点D关于坐标原点对称的点的坐标为 16.在平面直角坐标系中，已知A(3,2),作点A 关于y轴的对称点A,作点A:关于原点的 对称点A2,作点A关于x轴的对称点A, 作点A关于y轴的对称点A,….按此 规律，点A20的坐标为 17.如下图，△DEF是由△ABC经过某种变换 得到的，点A与点D,点B与点E,点C与 点F分别是对应点，观察点与点的坐标之 间的关系，解答下面的问题： (1)写出点A与点D,点B与点E,点C与 点F的坐标，并说明这些对应点的坐标有 上册第二十三章得1=一号×7十骨X7+2,解得=号 ≤<号， .符合条件的的整数值为4和5。 本章小结 1.B2.A3.A4.D5.C6.B 7.y=一x2-3(答案不唯一)8.>9.10 10.解：(1)，抛物线y=x2一x十c与x抽交于点A(一1,0)， ,1+1十c=0,解得c=一2， .抛物线的解析式为y=x2一x一2， (2):地物线y=x一工一2的对称轴为直线x■一2× -1 z,且0<x≤2,1>0， “当x=名时，函数有最小值，最小值为一号 当x=0时，y=一2： 当x=2时，y=4一2-2=0， .当0<x≤2时，y■x一x十c的函数值的取值范围为 、9 ≤y≤0. 1.D12.-y=-2+2-3 13.B14.D15.D16.②③④17.1m 18.解：(1)由题意，得(10,8)，(20,8)是关于对称轴对称的点， .对称轴是直线x=15,.顶点坐标是15,9). 设抛物线的解析式为y=a(x一15)产十9. :抛物线过点(0,0)，∴.0=225a十9，解得a=一亦 指物线的解折式为y=一女一15)户十8 1 2)由题意，得将x=5代人y=一云红一15》十9，得y 六6-152+9=5. 故当水火箭飞行至离发射点O的水平距离为5m时，水火 箭距离地面OA的竖直高度为5m. 第二十三章旋转 23.1图形的旋转 第1课时旋转及其特征 1.D2.B3.B4.D5.A6.(-4,8) 7.解：△ABC为等边三角形， ,∠BAC=80,AB=AC :将△ABD绕点A逆时针旋转到△ACE的位置， ,,AD=AE,CE=BD=14,∠DAE=∠BAC=60°， △ADE为等边三角形，，DE=AD=10, ,.△DEC的周长=DE+DC+CE=10+15+14=39. 8.(2,10)9.A10.211.23 12.解：(1)证明：，将线段CD绕点C须时针旋转90至CE, ∴.CD=CE,∠DCE=90° ∠ACB=90", ',∠ACB-∠BCD=∠DCE-∠BCD, 即∠ACD=,∠BCE (AC-BC. 在△ACD与△BCE中，∠ACD=∠BCE, CD=CE, ∴，△ACD2△BCE(SAS). (2)在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=3/2, ∠ABC=∠A=45,AB=6. 由I)可知，△ACDa△BCE,且0=3， ∠A=∠CBE=45,AD-BE=2, 176 数学九年级RJ版 ,∠DBE=∠ABC十∠CBE=90”,BD=AB-AD=4. 在Rt△BDE中，∠DBE=90°， .DE=BE十BD,∴.DE=√2+4=2W5 13.解：(1)BE=DC 理由：，'△ABD和△AEC都是等腰直角三角形，∠BAD ∠CAE=90°， ,AB=AD,AE=AC,∠BAD+∠BAC=∠CAE十 ∠BAC,即，∠DAC=∠BAE, ,将△ADC绕点A逆时针旋转90”，能与△ABE完全重 合，.BE=DC (2)∠AOD=∠AOE 理由：如图，过点A分别作AM⊥DC于点 M,AN⊥BE于点N 由(1)，得△ADC2△ABE S△c-S△A8E 2DC·AM=2BE·AN 又，DC=BE,.AM=AN. ,AM⊥DC,AN⊥BE,.∠AOD=∠AOE. 第2课时旋转作图 1.C2.B 3.解：(1)如图①，线段BE即为所求， (2)如图②，点P即为所求. 恩① 4.C5.A6.(-3,1D 7.解：点B的坐标为（一2,3）或(2，一3) 23.2中心对称 23.2.1中心对称 1.C2.03.C4.2135.(3,-1)6.D7.4.5 8.①关于点A成中心对称②号 23.2.2中心对称图形 1.C2.D3.A 4.解：(1)中心对称 (2)(答案不唯一)如图①、图②所示 图① 图② 5.B6.(0,1)7.10 23.2.3关于原点对称的点的坐标 1.B2.D3.A4.55.D6.(-1,2),(-3,-2)7.10 8.2 9.解：()如图所示，△ABC即为所求，A(一1，一1)，B1(-4, -2),C(-3,-4). (2)如图所示，△PAB即为所求，P(2,0), 10.A11.C12.C13.D14.(2,-4) 15.(-5,-3)16.(3,2) 17.解：(1)点A,D,B,E,C,F的坐标分别是(2,3)，(-2，一3)， 1,2),(一1，一2)，(3,1)，（一3，一1），这些对应点的横坐标 互为相反数，纵坐标也互为相反数， ②依题意，得仁牛28-6六8圣 18.解：(1D:点A的坐标为(2,3)，点A关于直线y=x的对 称点B的坐标为(3,2)，关于原点的对称点C的坐标 为（一2，一3） (2)四边形ABCD是矩形.理由如下： 由题意可知，B(3,2)关于原点的对称点D的坐标为（一3， -2),∴.B0=D0 同理AO=CO,'.四边形ABCD是平行四边形. ,点A关于直线y=x的对称点为B,点A关于原，点的对称 点为C,点B关于原点的对称点为D, .AC=BD,.四边形ABCD是矩形 23.3课题学习图案设计 1.B2.B 3.先绕点B烦时针旋转90”，再向右平移4个单位长度，再向上 平移1个单位长度（答案不唯一） 4.be5.①④③②6.C 7.解：(1)翻折后的图形如图① (2)旋转后的图形如图②. 图1 图2 8.C9.B10.C11.560°12.D④ 13.解：所作图案如图（答案不唯一）. 14.解：(1)r-2 (2)如图（答案不唯一）， 本章小结 1,A2.B3.C4.C5.22°6.45”7.328.B 9.x=■1 10.解：(1)(3,3 (2)如图，△A2BC即为所求. B2(3,-4). (3)56c=2X4-2X2-12_1X4=3 2 2 11.解：(1)当a=150时，△AOD是直角三角形.理由如下 :将△BOC绕点C履时针旋转60得到△ADC, .'.△BOC2△ADC,∠OCD=60°，OC=DC, .,∠BO℃=∠ADC=150°，△COD是等边三角形 ∴.∠ODC=60°， ∴.∠AD0=150°-60°=90 故当4=150'时，△AOD是直角三角形 (2)∠A0B=110°，∠BOC=a, ∴.∠A0C=250°-g 由(1)可知，△OCD是等边三角形， .∠DOC=∠ODC=60', ∴∠AD0=a-60',∠AOD=190°-a ①当∠DAO=∠AOD时，2(190°-)+a-60°=180°，解得 a=140°； ②当∠AOD=∠ADO时，190°-a=a-60°，解得a=125°： ③当∠DA0=∠AD0时，190°-a十2(a-60=180°，解得 a=110° 综上所述，当g为140或125或110时，△A0D是等腰三 角形. 第二十四章圆 24.1圆的有关性质 24.1.1圆 1.D2.B3.B4.B5.C6.60°7.(-1,0) 8.C9.A10.D11.5-1 12.证明：(1)在△AOE利△CDE中， (AE=CE, ∠AEO=∠CED OEDE. ∴.△AOE2△CDE(SAS) (2)△AOE2△CDE, .OA=DC,∠AOE=∠D,∴.OB∥CD OA=OB..OB-CD. ,四边形OBCD是平行四边形 又，OB=OD,,四边形OBCD是菱形. 13.解：(1)OB=0C,∠C=∠B. 设∠B=∠C=无. PC=OC,∴.∠COP=∠CPO=∠B+∠BOA=x+30. 在△P0C中，x+2(x+30°)=180， 解得x=40°，∠B=40 (2)设∠BOC=y. PC=OC,∴.∠CPO=∠COP=y+30° ,OB=C℃ ∴.∠C=∠OBC=,∠B0A+∠CP0=30°+(y+30°)=60° +y. 在△OBC中，y+2(60°+y)=180°， 解得y=20, .∠OBC=80 ∴.∠PB0=180°-∠OBC=100 24.1.2垂直于弦的直径 1.B2.B3.2w34.45.A6.B7.B8.A 9.7cm或17cm10.611.4≤0P≤5 12.解：(1)如图，连接OB. OD过圆心，且D是弦BC的中点 ,OD⊥BC, ∴BD=号BC=6. 在Rt△BOD中，由勾股定理，得OD十BD =BO, ∴0D+62=82,解得OD=27(负值已含去. (2)设BE-x,则E0-√2x,ED=6-x, 在Rt△EOD中，由勾殷定理，得OD2十ED2=EO, 177 上册参考签案